W (§TX) omówiłem podstawy optyki falowej, która jest teorią ogólniejszą od optyki geometrycznej. Wynika to choćby z faktu, że na gruncie teorii falowej unikamy takich wpadek jak soczewka ogniskująca wiązkę promieni w punkt (nieskończona gęstość energii). Rysunek (2.5.1) przedstawia ponownie soczewkę, która zgodnie z optyką geometryczną ogniskuje wiązkę promieni równoległych w punkt. Choć teoria promienia przewiduje, że wszystkie promienie poosiowej wiązki równoległej trafią w punkt, to w rzeczywistych układach tak nie jest. Rozmycie energii poza punkt zawdzięczamy efektom dyfrakcyjnym.
Zgodnie z zasadą Fermata wszystkie drogi optyczne od pierwszej powierzchni punktu do ogniska soczewki, dla wiązki promieni równoległych poosiowych są takie same. Oznacza to, że wszystkie fazory liczone wzdłuż tych promieni mają w ognisku tą samą fazę. Kiedy jednak weźmiemy pod uwagę jakiś bliski ogniska punkt Q, to równość dróg optycznych ulegnie zaburzeniu i fazory nie będą się sumował w tej samej fazie, nie będę się również sumowały do zera. W efekcie w punkcie otoczeniu punktu Q będzie również niezerowe natężenie fali świetlnej, choć mniejsze niż w punkcie ogniskowym. Oddalając się od ogniska wprowadzimy w fazy fazorów coraz to większy „chaos”, przez co obniży się wielkość fazora wypadkowego, aż dojdziemy do punktu, gdzie fazory dodadzą się do zera. Za tym punktem sytuacja się znów zmieni tak że uzyskamy niezerową sumę, gdyż fazy fazory dla coraz odleglejszych punktów (w stosunku do punktu F) będą zmieniały się coraz szybciej. Fakt ten ilustruje rysunek (2.5.2 i 2.5.3). Pytanie dlaczego nigdy poza punktem P nie odtworzy się maksimum główne natężenia światła ma dla nas prostą odpowiedź, przez analogię do paczki falowej (§TIX 4.2). Ponieważ sumujemy nieskończenie wiele przyczynków zgodne ułożenie fazorów nie powtarza się nigdzie poza głównym maksimum.
33 Rysunek 2.5.1. Na soczewkę płasko wypukłą pada wiązka promieni równoległych poosiowych. Soczewka ogniskuje je w punkt F. Ponieważ wiązka równoległa reprezentuje falę płaską na pierwszej powierzchni soczewki wszystkie fazory są w fazie. Zgodnie z zasadą Fermata drogi optyczne od pierwszej powierzchni soczewki do punktu F muszą być takie same. Zatem zmiana fazy fazora wzdłuż każdej ze ścieżek jest taka sama i w punkcie F fazory sumują się w fazie dając największe możliwe natężenie światła. W punkcie P docierające promienie nie dają takich samych dróg optycznych i fazory mają różne kąty, a fazor wypadkowy ma mniejszą długość. Im dalej od punktu F tym większy chaos w ułożeniu fazorów i mniejsze natężenie światła, aż do punktu, gdzie natężenie światła spada do zera (punkt Q). Powyżej tego punktu natężenie światła znów nieznacznie różni się od zera.
Z tego samego powodu im większa będzie soczewka tym węższy będzie jej obraz dyfrakcyjny (rys. 2.5.4). Związane jest to znów z faktem, że punkty na soczewce bardziej odległe od osi szybciej wprowadzają chaos i natężenie światła w punktach sąsiednich w stosunku do centralnego spada szybciej.
Ponownie z tego samego powodu siatka o większej liczbie szczelin ma lepszą rozdzielczość. Odleglejsze szczeliny powodują szybszy spadek natężenia światła, przy odejściu od centrów poszczególnych maksimów. Przez co Maksima stają się szczuplejsze (rys. 3.1.5 i 3.1.6).
34 Rysunek 2.5.2. Zmiana fazy fazora dla promienia przechodzącego przez punkt x soczewki i trafiającego do płaszczyzny ogniskowej, z przykładu z podrozdziału (2.1). Lewa kolumna pokazuje zmianę fazy, prawa sumę 21 fazorów (w ostatniej linii 41 fazorów): a i b) punkt obserwacji ma współrzędną xO=0.01mm (zobacz rys. (2.5.1)) nad ogniskiem; c i d) punkt obserwacji ma współrzędną xO=0.025mm nad ogniskiem; e i f) punkt obserwacji ma współrzędną xO=0.2 mm nad ogniskiem. W tym przypadku fazory sumują się do zera. Z wykresu (e) fazy
widać, że wykonują dwa okrążenia. W ognisku (na osi) wszystkie fazory dodają się w fazie i ich wypadkowa jest krotności długości fazorów. Dla 41 jeden fazorów z rysunku (f) oznacza to, że w ognisku natężenie amplituda jest większa około siedmiu razy (natężenie 49 razy) niż w punkcie 0.2mm nad ogniskiem. Zobacz też rysunek (2.5.3)
35 Rysunek 2.5.3. a) Wykres unormowanej amplitudy (niebieski) i natężenia (żółty) światła dla soczewki z przykładu z rysunku (2.5.2). Płaszczyzna obrazowa jest w ognisku soczewki. Punkt czerwony na osi xO odpowiada rysunkowi (2.5.2 a i b), punkt zielony odpowiada rysunkowi (2.5.2 c i d), punkt pomarańczowy odpowiada rysunkowi (2.52 e i f). Temu przypadkowi odpowiadają dwa okrążenia fazorów. Jedno okrążenie powinno dać jeszcze jedno minimum między punktem pomarańczowym a punktem xO=0. Widać jednak, że są aż trzy takie minima. W punkcie fioletowym fazory układają się w półkole (czerwony wykres w części (b)) dla punktów na soczewce zmieniających się od xO=0 do xO=1. Jednak dla punktów zmieniających się od xO=-1 do xO=0 ułożą się w półkole przeciwnie skierowane (zielony wykres w części (b)). Obie te części dodadzą się do zera, stąd dodatkowe minima.
Możemy stwierdzić, że zasada Fermata wyróżnia obszary, gdzie kąty fazorów zmieniają się bardzo wolno przy przejściu od jednego punktu układu do innego sąsiedniego (na przykład od jednego punktu na zakrzywionej powierzchni soczewki (rys. 2.5.1) do drugiego sąsiedniego). W tych to punktach fazory dają znaczący fazor wypadkowy. W pozostałych punktach szybka zmiana fazy fazorów, przy niewielkim zmianie położenia punktu obserwacji nie pozwala na rozbudowanie fazora wypadkowego i natężenia światła jest niskie.
Nas interesują głównie punkty jasne, stąd użyteczność zasady Fermata i optyki geometrycznej. Mam nadzieję, że nie masz teraz wątpliwości, że teoria falowa jest ogólniejsza w stosunku do optyki geometrycznej.
36 Rysunek 2.5.4. Obraz wiązki równoległej w soczewce idealne, w punkcie ogniskowym. Kolorem niebieskim pokazany jest przypadek soczewki o średnicy 2mm, kolorem żółtym przypadek soczewki o średnicy 4mm.
Jak z tego widać obraz punktu uzyskany przez soczewkę, nawet idealną, nie jest punktem, a rozmywa się w dysk. Dysk ten jest tym mniejszy im większa jest średnica soczewki (przy danej ogniskowej soczewki). W przypadku soczewek możemy zastosować to samo kryterium rozdzielczość co dla siatek (kryterium Rayleigha (okr. TX 3.1)). Obrazy dwóch punktów uważamy za rozdzielone, kiedy maksimum główne jednego z nich wypada nad pierwszym minimum drugiego z nich. Jeżeli maksimum obrazu pierwszego z nich wypada między maksimum i pierwszym minimum obrazu drugiego z nich to obrazy tych punktów nie są rozdzielone.
Rysunek 2.5.5. Pierre de Fermat (17.08.1601 12.01.1665) Francuski prawnik (z wykształcenia) i matematyk (z zamiłowania). Autor Wielkiego Twierdzenia Fermata, położył podwaliny pod rachunek prawdopodobieństwa (wraz z Blaise Pascalem) i geometrię analityczną (niezależnie od Kartezjusza). Sformułował zasadę Fermatą leżącą u podstaw optyki geometrycznej. Za życie niewiele publikował. Duża część jego prac została opublikowana przez jego syna Samuela, po śmierci Fermata; źródło Wikipedia.
37