ZASADA FERMATA XI Temat

Temat

XI

ZASADA FERMATA

2

1. Zasada Fermata 

W większości wykładów z fizyki optyka geometryczna poprzedza optykę falową. My wskoczyliśmy w optykę falową bezpośrednio po omówieniu tematu fale. Teraz dokończę dzieła i zajmę się optyką geometryczną. Zacznę od pojęcia

„przedmiotu”. Aby można było mówić o przedmiocie w optyce, przedmiot ów musi świecić. Przedmiot może świecić światłem własnym lub odbitym. Dla nas nie będzie miało to znaczenia jak świeci przedmiot. Świecący przedmiot będę reprezentował, przez jego rozkład na świecące punkty (rys.1.1). Punkt świecący jest, w ramach optyki geometrycznej, wygodną konstrukcją teoretyczną, podobnie jak masa punktowa w mechanice.

Rysunek 1.1. a) świecąca linia została podzielona na trzy świecące punkty.

Reprezentacja świecącej linii przez zbiór świecących punktów jest jej modelem.

Światło, z każdego punktu, wychodzi we wszystkie strony w taki sam sposób – na rysunku pokazane jest to w dwóch wymiarach. W optyce geometrycznej światło emitowane przez źródło punktowe reprezentowane jest przez zbiór zaczynających się w tym punkcie linii. Ponieważ świecącą linię reprezentujemy przez skończoną liczbę świecących punktów, musimy uznać, że każdy świecący punkt reprezentuje pewien mały odcinek, którego granice określone są przez położenie sąsiednich punktów świecących. Inaczej mówiąc świecenie każdego takiego odcinka sprowadzamy, w tym modelu, do świecenia reprezentującego go punktu. Energia z jaką świeci punkt jest równa energii światła emitowanego przez odpowiadający mu odcinek. Im więcej wybierzemy takich świecących punktów na linii czy innym przedmiocie, tym lepszy będziemy mieli model pod względem dokładności, ale gorszy pod względem złożoności obliczeniowej;

b) tworząc model złożonego przedmiotu trójwymiarowego postępujemy w taki sam sposób, to jest każdy mały obszar na powierzchni tego przedmiotu reprezentujemy przez świecący punkt. Na rysunku pokazany jest jeden taki punkt (czerwony).

W praktyce nie ma świecących punktów; podobnie jak nie ma punktowych mas.

Punkt, który wyświecałby skończoną energię miałby nieskończoną gęstość energii i byłby czarną dziurą. My jednak traktujemy punkty jako reprezentantów małych obszarów, na które dzielimy przedmiot (rys. 1.1), dlatego przypisujemy mu skończoną energię. Punkt nie ma struktury wewnętrznej, więc nie ma

3

możliwości zróżnicowania emisji światła ze względu na kierunek (nie mający struktury punkt jest idealnie symetryczny), dlatego przyjmujemy, że punkt świecący, świeci we wszystkie strony tak samo. To że widzimy, że z różnych obszarów na przedmiocie dobiega światło o różnym natężeniu możemy zamodelować na dwa sposoby. Przez nierównomierne rozłożenie tak samo świecących punktów lub przez przypisanie różnych intensywności świecenia równomiernie rozłożonym punktom świecącym. Rozchodzące się światło reprezentujemy poprzez zbiór linii nazywanych promieniami świetlnymi.

Promienie świetlne to tor propagacji energii niesionej przez światło. To jak porusza się promień świetlny określa podstawowa reguła optyki geometrycznej - zasada Fermata

Określenie 1.1: Zasada Fermata

Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po takiej drodze, na której, lokalnie rzecz biorąc, czas przejścia światła jest ekstremalny.

Najprostsza sytuacja jest wtedy, gdy między punktem źródłowym Z, a punktem obserwacji A, jest ośrodek optycznie jednorodny. Co to jest ośrodek optycznie jednorodny?

Definicja 1.1: Ośrodek optycznie jednorodny

Przez ośrodek optycznie jednorodny rozumiemy ośrodek, w którym warunki rozchodzenia się światła w dowolną stronę i w każdym punkcie są takie same

Rysunek 1.2. W ośrodku optycznie jednorodnym światło między punktem źródłowym Z a punktem obserwacji A rozchodzi się po linii prostej. Jest to droga najkrótszego czasu przejścia. Każda inna droga jest drogą czasu dłuższego i jest eliminowana, na mocy zasady Fermata jako niefizyczna (w ramach teorii optyki geometrycznej).

Najdoskonalszym, optycznie jednorodnym ośrodkiem jest próżnia.

Powietrze w zamkniętym pomieszczeniu też gra dobrze rolę ośrodka jednorodnego, choć nie aż tak dobrze jak próżnia. W powietrzu są zawsze drobne fluktuacje gęstości, które powodują zaburzenia jego optycznej jednorodności. Ale w wielu zagadnieniach praktycznych możemy o tych drobnych niejednorodnościach optycznych zapomnieć.

Powiedzmy, że mamy ośrodek optycznie jednorodny, punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A. W ośrodku jednorodnym, zgodnie z zasadą Fermata światło przejdzie po odcinku łączącym oba punkty (rys. 1.2). Odcinek ten jest drogę

4

najkrótszego czasu przejścia między punktem Z i A. Wprowadzając powierzchnię odbijającą łamiemy optyczną jednorodności ośrodka (rys. 1.3a).

Ciągle jednak najkrótsza droga od Z do A, wiedzie po linii prostej. Wiemy jednak, że promienie odbijają się od zwierciadła i któryś z nich trafi pewnie w punkt A. Na szczęście w zasadzie Fermata mamy określenie „lokalnie ekstremalny”. Na zwierciadle pokazanym na rysunku (1.3a) jest taki punkt, że promień odbijający się w tym punkcie biegnie, lokalnie rzecz biorąc, w najkrótszym czasie.

Rysunek 1.3. a) Słowo „lokalnie” w zasadzie Fermata powoduje, że chociaż niebieski promień nie jest promieniem najkrótszego czasu, to staje się takim promieniem wśród tych promieni, które biegną w jego sąsiedztwie, a więc lokalnie. Dzięki temu światło może się poruszać, między punktem Z i A wzdłuż promienia i zielonego i niebieskiego; b). Dowolne dwa punkty (na przykład G i H) na dowolnym promieniu świetlnym możemy uznać za odpowiednio punkt źródłowy i punkt docelowy. Część promienia między tymi punktami musi również spełniać zasadę Fermata.

Z tą lokalnością jest jednak wielki problem. Lokalnie oznacza tyle, co w najbliższym sąsiedztwie. Gdy mamy punkt na płaszczyźnie lub w przestrzeni, to wiemy co oznacza jego sąsiedztwo. Ale w przypadku zasady Fermata mamy dwa punkty A i B oraz wszystkie możliwe ciągłe krzywe łączące te punkty.

Zatem w naszym zbiorze jeden punkt to jedna krzywa. Wybierzmy zatem taki punkt. Jakie inne jego punkty (krzywe) są jego sąsiedztwem? Czy w ogóle możemy znaleźć sensowną odpowiedź na to pytanie. Otóż okazuje się, że tak.

Sąsiedztwo krzywej jako punktu zbioru krzywych możemy sensownie określić w ramach teorii analizy funkcjonalnej. Wstępne wiadomości z tego obszaru zostaną podane w (§TXVII 2). W takim przypadku jak na rysunku (1.3a) sprawa sąsiedztwa jest prosta. Kiedy dochodzimy do zwierciadła to musimy to robić po linii prostej. W tym temacie kwestie sąsiedztwa promieni będziemy rozstrzygali tylko w takich prostych przypadkach. Zauważ jeszcze, że dowolne dwa punkty dowolnego promienia świetlnego mogą być traktowane jako źródło i punkt docelowy (rys. 1.3b). Podkreślam, że oba punkt muszą być wybrane na rzeczywistym promieniu. Gdy zastosujemy zasadę Fermata dla tych punktów to

5

musimy dostać jako rozwiązanie promień, na którym zostały wybrane. Do teoretycznych rozważań nad zasadą Fermata jeszcze powrócę.

Dla płaskiej powierzchni odbijającej możemy szybko wyprowadzić prawo odbicia. Załóżmy zatem, że mamy punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A i płaskie zwierciadło L. Ustalmy układ współrzędnych tak jak na rysunku (1.4).

Z punktu źródłowego wychodzą promienie, które w środowisku optycznie jednorodnym rozchodzą się, zgodnie z zasadą Fermata, po liniach prostych.

Sytuacja zmienia się na powierzchni zwierciadła. Jak rozchodzą się promienie odbite od zwierciadła? Na razie skierujmy je wszystkie do punktu obserwacji A.

Możemy teraz wyznaczyć długości promieni jako funkcję położenia punktu odbicia P(x,y).

s(𝑥) = √(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍² + √(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² 1.1

Policzę punkty, w których funkcja s(x) może mieć ekstremum. W tym celu policzę jej pochodną po x.

s′(𝑥) = −𝑥_𝑍 + 𝑥

√(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍²+ −𝑥_𝐴 + 𝑥

√(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² 1.2

Przyrównam pochodną do zera 0 = −𝑥_𝑍 + 𝑥

√(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍²+ −𝑥_𝐴 + 𝑥

√(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴²

⟹ 𝑥_𝐴 − 𝑥

√(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² = −𝑥_𝑍 + 𝑥

√(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍²

1.3

Z rysunku (1.4) widać, że (1.3) można zapisać w postaci

sin(𝑖) = sin(𝑖^′) ⟹ 𝑖 = 𝑖′ 1.4

Gdy dla danego punktu x spełniony jest warunek (1.4) funkcja może mieć w tym punkcie ekstremum. Badając drugą pochodną możemy stwierdzić czy w punkcie x jest minimum, maksimum, czy punkt przegięcia. Sam się możesz przekonać, że mamy tam minimum.

6 Rysunek 1.4. Z punktu źródłowego wychodzi wiązka promieni. Część z nich pada na zwierciadło i odbija się. Z dowolnego punktu P na zwierciadle, promień odbity rysujemy do punktu obserwacji A. Wyznaczamy czasy przejścia po drodze ZPA, dla każdego punkt P na zwierciadle. Istnieje takie położenie punktu P, że czas ten będzie lokalnie minimalny. W tym szczególnym położeniu, które oznaczę przez Q, kąt padania promienia na zwierciadło będzie równy kątowi odbicia.

Przyda nam się pojęcie kąta padania i odbicia Definicja 1.2: Kąt padania

Kątem padania promienia świetlnego na powierzchnię nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni

Definicja 1.3: Kąt odbicia

Kątem odbicia promienia świetlnego od powierzchni nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni

Ze wzoru (1.4) wynika, że pochodna s(x) jest równa zeru w punktach, w których kąt padania promienia jest równy kątowi odbicia. Stanowi to treść prawa odbicia

Co się stanie gdy zwierciadło będzie zakrzywione? Cóż, nieskończenie małym otoczeniu danego punktu dowolna powierzchnia gładka zachowuje się tak jak powierzchnia do niej styczna. To pozwala nam złożyć powierzchnię zakrzywionego zwierciadła z nieskończonej liczby płaskich zwierciadełek, dla których obowiązuje równość kątów padania i odbicia (rys. 1.5).

7 Rysunek 1.5. Prawo odbicia dla zakrzywionej powierzchni odbijającej działa tak samo jak dla powierzchni płaskiej. W każdym punkcie powierzchni wyznaczamy płaszczyzną styczną i stosujemy prawo odbicia odnośnie do tej płaszczyzny. Na rysunku przedstawiono przekrój przez powierzchnię, czyli linię wraz z czterema przykładowymi stycznymi (na fioletowo).

Ogólnie możemy prawo załamania sformułować tak:

Określenie 1.2: Prawo odbicia

Promień padający na powierzchnię odbijającą, odbija się od niej pod takim kątem, że kąt jego padania jest równy kątowi jego odbicia.

Fakt 1.1:

Prawo dobicia wynika z zasady Fermata i jest od niej mniej ogólne.

Ciekawym przypadkiem jest zwierciadło elipsoidalne. Kiedy źródło umieścimy w jednym z ognisk elipsoidy, a punkt obserwacji w drugim ognisku, to czas przejścia promienia od źródła do punktu obserwacji przez dowolny punkt elipsoidy jest taki sam. Przypominam, że elipsoida to taka powierzchnia, dla której dla dowolnego punktu suma r1+r2 jest taka sama; tutaj r1 i r2 to odległości ogniska pierwszego i drugiego od danego punktu elipsoidy. Wynika z tego, że wszystkie promienie wyemitowane w jednym ognisku i dochodzące po odbiciu do drugiego ogniska wyznaczają drogi o takim samym czasie przejścia.

W takim przypadku wszystkie promienie są dozwolone przez zasadę Fermata.

Fakt 1.2:

Gdy grupa sąsiednich promieni wyznacza taki sam czas przejścia światła to wszystkie te promienie są dozwolone.

8 Rysunek 1.6. Zwierciadło o kształcie elipsy (elipsoidy) ma tą własność, że gdy źródło Z znajduje się w jednym z ognisk elipsy (elipsoidy), a punkt obserwacji A w drugim jej ognisku, to czas przejścia światła po wszystkich drogach ZPA (P to dowolny punkt elipsy) jest taki sam. W takiej sytuacji wszystkie te drogi są przez zasadę Fermata dozwolone. Zatem wszystkie promienie wychodzące z jednego ogniska zwierciadła eliptycznego (elipsoidalnego) trafiają do jego drugiego ogniska.

W efekcie wszystkie promienie wyemitowane z jednego ogniska skupią się w drugim ognisku (rys. 1.6). Wynika z tego jeszcze jeden wniosek, jeżeli zbudujemy kąt z wierzchołkiem leżącym na elipsie i opartym o dwa ogniska tej elipsy, to dwusieczna tego kąta będzie jednocześnie wyznaczała kierunek prostej normalnej do elipsy (spróbuj uzasadnić to stwierdzenie, korzystając z prawa załamania).

Jeżeli podegniemy powierzchnię elipsy do góry wokół wybranego punktu odbicia Q, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów wzrośnie (rys. 1.7). Wówczas punkt Q będzie punktem minimalnego czasu przejścia i zgodnie z zasadą Fermata promień dojdzie do punktu obserwacji A odbijając się od punktu Q. Jednak od sąsiednich punktów promienie odbiją się tak, że nie trafią do punktu obserwacji A. Jeżeli teraz podegniemy powierzchnię elipsy do dołu, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów zmniejszy się.

W takiej sytuacji punkt Q będzie punktem lokalnie największego czasu przejścia. Ponownie, zgodnie z zasadą Fermata promienie z punktów sąsiadujących z Q nie dotrą do punktu obserwacji. W większości praktycznych przykładów czas przejścia promieni jest lokalnie minimalne, ale ostatni przykład pokazuje, że czasy lokalnie maksymalne są też ważne, dlatego w zasadzie Fermata użyłem słowa ekstremalny, które oznacza i minimalny i maksymalny.

9 Rysunek 1.7. Gdy odegniemy, wokół pewnego punktu Q, powierzchnię zwierciadła eliptycznego na zewnątrz, wtedy droga do punktu A, dla sąsiednich punktów na odgiętej powierzchni, wydłuży się. Zatem droga przez punkt Q stanie się lokalnie drogą najkrótszego czasu przejścia. Punkt Q będzie, w tej części zwierciadła, jednym punktem, od którego odbity promień trafi do punktu obserwacji A. Na rysunku na pomarańczowo zaznaczone są dwa sąsiednie punkty na odgiętej powierzchni zwierciadła. Promienie odbite w tych punktach nie mogą już trafić do punktu A (zielone przerywane linie pokazują niefizyczne promienie). Podobnie, jeżeli wokół pewnego punktu P zwierciadło odegniemy do wewnątrz, to wszystkie drogi promieni odbijających się od sąsiednich do P punktów staną się drogami czasu krótszego. Zatem punkt P stanie się punktem lokalnie najdłuższego czasu przejścia.

Z tematu (TX) wiemy, że promienie równoległe reprezentują falę płaską.

Przyjmujemy, że punktowe źródło tej fali leży w nieskończoności (rys. 1.9).

Z własności paraboli i z zasady Fermata nietrudno wydedukować, że wiązka promieni równoległych, po odbiciu od zwierciadła parabolicznego, przejdzie przez ognisko paraboli (rys. 1.8). Oznacza to, że czasy dojścia do dowolnej prostej prostopadłej przecinającej tą wiązkę są takie same dla każdego promienia. Parabolę możemy traktować jak elipsę, której jedno z ognisk leży w nieskończoności. Wiązka promieni równoległych ma źródło w nieskończoności, zatem powinny trafiać do drugiego ogniska.

10 Rysunek 1.8. Na zwierciadło paraboliczne pada równoległa wiązka promieni.

Czas ich dojścia do dowolnie wybranej linii prostopadłej jest taki sam.

Wybierzmy linię wskazaną kreską podwójnie kropkowaną. Długość drogi najbardziej zewnętrznego promienia od tej linii do ogniska wynosi L1

i z własności paraboli wynika, że jest równa L1, to jest odległości do kierownicy paraboli. Długość następnego narysowanego promienia od linii równej drogi do ogniska wynosi S2+L2 i jak wynika z zależności wypisanych na rysunku jest równa L1. W podobny sposób można wykazać równość wszystkich wzajemnie sąsiednich dróg a co zatem idzie równość dróg optycznych wszystkich promieni wiązki równoległej. Oznacza to, że promienie te po odbiciu od powierzchni paraboli trafią do jej ogniska F.

Zwierciadła paraboliczne stosuje się w teleskopach. Przy bardzo odległych obiektach z jakimi mamy do czynienia w astronomii promienie wychodzące z punktów świecących wpadają jako wiązka promieni prawie równoległych (rys. 1.9). Paraboliczny kształt zwierciadła pozwala zbierać promienie uchwycone przez teleskop w jednym punkcie obrazowym.

Oczywiście z punktu widzenia przyzwoitej fizyki ogniskowanie wiązki równoległej w punkt jest zabronione. Taki kłopotliwy wynik wskazuje na ograniczenie optyki geometrycznej. Z tematu (§TX 2.1 i 4) wiemy, że fala płaska padająca na otwór ulega dyfrakcji. Każda soczewka czy zwierciadło ma obudowę, na której mamy zjawisko dyfrakcji i to zupełnie wystarczy do rozmycia zogniskowanej plamki; do tego zagadnienie jeszcze powrócę. Teoria falowa jest z jednej strony trudniejsza od geometrycznej, jednak z drugiej strony nie produkuje tak kłopotliwych wyników jak wiązka promieni zogniskowanych idealnie w punkt (co daje w tym punkcie nieskończoną gęstość energii, czyli czarną dziurę). Obie teorie są użyteczne i obie mają swoje ograniczenia. Trzeba po prostu wiedzieć, kiedy można stosować prostszą teorię geometryczną a kiedy trzeba się odwołać do trudniejszej teorii falowej.

11 Rysunek 1.9. Ze źródła punktowego wychodzi pęk promieni. Punkt może na przykład reprezentować mały obszar na odległej gwieździe. Odcinek zaznaczony grubą kreską ilustruje średnicę obiektywu teleskopu. W pierwszym położeniu, blisko punktu źródłowego, kąt między promieniem centralnym (różowy), a promieniami brzegowymi (zielone) jest większy niż w przypadku gdy teleskop zostaje odsunięty na dalszą odległość; w tym drugim przypadku promienie brzegowe wyróżnione są kolorem niebieskim. Przy odległościach astronomicznych i średnicach zwierciadeł teleskopów rzędu metrów, możemy uznać, że promienie dochodzące od punktów świecących na ciałach niebieskich tworzą praktycznie wiązkę promieni równoległych. Gdy punkt odsuwamy do nieskończoności promienie padające na daną otwór stają się równoległe, dla każdego skończonego rozmiaru tegoż otworu. Dlatego przyjmujemy, że źródło wiązki promieni równoległych leży w nieskończoności.

1.1. Prawo załamania

W ośrodkach materialnych światło porusza się wolniej niż w próżni. Jeżeli oznaczymy prędkość światła w próżni przez c, to w ośrodku materialnym będzie to mniej niż c.

Definicja 1.1.1: Współczynnik załamania

Współczynnik złamania n danej substancji jest równy stosunkowi prędkości światła c do prędkości światła v o tej samej częstości, rozchodzącego się w tej substancji.

𝑛 = 𝑐

𝑣 1.1.1

Rozważmy następujący przykład. Między źródłem światła Z a punktem obserwacji A znajduje się płaska granica dwóch ośrodków o współczynniku załamania n₁ i n2 (rys. 1.1.1). Jak będzie biegł promień od punkt Z do punkt P?

Problem ten rozwiążemy dokładnie tak samo jak w przypadku odbicia promienia od zwierciadła, czyli odwołując się do zasady Fermata. Wzór na drogę od punktu Z do punktu A, poprzez punkt P mogę zapisać w postaci

s(𝑥) = √(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍² + √(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² 1.1.2

12

W tym przypadku droga najkrótsza (najdłuższa) geometrycznie nie jest drogą lokalnie ekstremalnego czasu przejścia. W przypadku odbicia prędkość światła była taka sama przed i po odbiciu. Teraz promień w pierwszym ośrodku porusza się z prędkością c/n, a w drugim ośrodku z prędkością c/n.

Rysunek 1.1.1. Na granicy dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania n i n promienie wychodzące z punktu źródłowego Z ulegają załamaniu. Do punktu obserwacji A trafia promień, którego czas przejścia jest lokalnie ekstremalny (promień niebieski). Bieg pozostałych dwóch promieni, po przekroczeniu granicy ośrodka narysowany jest źle. Tak narysowane promienie nie spełniają zasady Fermata.

Musimy zatem od razu przejść do wyznaczenia czasu przejścia t(𝑥) = s(𝑥)

v(𝑥)

= 𝑛√(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍²

𝑐 + 𝑛′√(𝑥_𝐴 − 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² 𝑐

1.1.3

Obliczamy pierwszą pochodną tego wyrażenia i przyrównujemy ją do zera t′(𝑥) = 𝑛

𝑐

−𝑥_𝑍 + 𝑥

√(𝑥_𝑍− 𝑥)²+ 𝑦_𝑍²+𝑛′

𝑐

−𝑥_𝐴 + 𝑥

√(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² 1.1.4a 𝑛 −𝑥_𝑍 + 𝑥

√(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍²+ 𝑛′ −𝑥_𝐴 + 𝑥

√(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² = 0 1.1.4b Wyrażenie (1.1.4b) możemy przepisać w postaci

𝑛 −𝑥_𝑍 + 𝑥

√(𝑥_𝑍 − 𝑥)²+ 𝑦_𝑍² = 𝑛′ 𝑥_𝐴 − 𝑥

√(𝑥_𝐴− 𝑥)²+ 𝑦_𝐴² 1.1.5

13

𝑛 sin(𝑖) = 𝑛′ sin (𝑖′) 1.1.5b

Wzór (1.1.5b) wyraża prawo załamania Określenie 1.1.1: Prawo załamania

Promień padający na granicę dwóch ośrodków, ulega załamaniu przy czym kąty padania i załamania, liczone do normalnej do powierzchni granicznej w danym punkcie, są związane wzorem (1.1.6).

Prawo załamania daje wynik, który jakościowo można przewidzieć. Tutaj często przytaczanym przykładem jest biegacz stojący w punkcie Z (rys. 1.1.1) i cel biegu znajdujący się w punkcie A. Ośrodek wokół punktu Z to piasek, a graniczący z nim ośrodek (z punktem A) to tartan. Jak najszybciej dobiec po celu? Po piasku biegnie się wolniej niż po tartanie. Warto więc przebiec nieco dłuższy odcinek po tartanie a w zamian za to krótszy po piasku. Optymalną trasę wyznaczy prawo załamania, podobnie jak w optyce geometrycznej. Musimy je zapisać w postaci

sin(𝑖) sin (𝑖′) = 𝑛′

𝑛 → sin(𝑖) sin (𝑖′) =𝑣′

𝑣

1.1.5c Gdzie v i v to wartość prędkości biegacza na piasku i tartanie. Zapisanie prawa załamania w postaci ilorazu prędkości uwalnia nas od obecności wyróżnionej prędkości c. Dla światła taka prędkość tak czy inaczej istnieje więc nie ma problemu, ale dla biegacza nic takiego nie mamy.

Prawo załamania, tak jak i prawo odbicia wynika z zasady Fermata i jest od niej mniej ogólne. Jest również ważne dla dowolnie gładkich powierzchni odgraniczających ośrodki o dwóch różnych współczynnikach załamania, bo każda powierzchnia gładka może być przedstawiona jako suma płatów płaskich powierzchni stycznych. W zasadzie powinniśmy pokazać, że w punktach spełniających warunek (1.1.5) czas jest lokalnie ekstremalny. Sprawdzenie tego faktu pozostawiam jako ćwiczenie. Przypominam również, że prawo odbicia i załamania wynika z zasady Huygensa (§TIX 2), i jest zgodne z teorią falową.

Załóżmy, że promień świetlny pada na granicę dwóch ośrodków, od strony ośrodka o większym współczynniku (n>n ) załamania (rys. 1.1.2). Może to być na przykład wyjście promienia świetlnego z wody n=1.33 do powietrza n=1. Z równania (1.1.6) mamy

sin (𝑖′) = 𝑛

𝑛′sin(𝑖) 1.1.7

W naszym przykładzie 𝑛

𝑛′ = 1.33 1.1.8

Jeżeli sin(i) jest większe niż 1/1.330.752, to wtedy wyrażenie z prawej strony równania (1.1.7) jest większe od jeden i w efekcie sin(i) jest większe od 1. Co

14

się zatem dzieje po przekroczeniu tej granicy? Im bardziej do jedynki zbliży się prawa strona równania (1.1.7), tym bardziej do jedynki zbliży się sin(i), a zatem kąt załamania i będzie się zbliżał do kąta prostego. Gdy sin(i) osiągnie wartość jeden, kąt załamania będzie kątem prostym i promień załamany będzie się ślizgał po powierzchni granicznej. Dla jeszcze większego kąta padania, promień nie będzie się załamywał, tylko nastąpi odbicie od powierzchni granicznej.

Mówimy wtedy o zjawisku całkowitego wewnętrznego odbicia (rys. 1.1.2). Kąt padania, przy którym, prawa strona równania (1.1.7) jest równa jeden nazywamy kątem granicznym. Podobny wniosek wyciągnęliśmy z zasady Huygensa (rys. TIX 2.9).

Warto zaznaczyć, że przy każdym kącie padania część światła ulega odbiciu. Z teorii fal elektromagnetycznych, do której też w końcu dotrzemy, można obliczyć ile światła, przy danym kącie padania i danym stosunku współczynników załamania, powinno się odbić a ile ulec załamaniu. Ilość światła odbitego rośnie wraz ze wzrostem kąta padania, aż przy kącie granicznym całe światło ulega odbiciu.

Rysunek 1.1.2. Na powierzchnię graniczną padają trzy promienie. Promień zielony pada pod kątem mniejszym od kąta granicznego.

Przy takim kącie padania większość światło ulega załamaniu (promień rysowany przerywaną kreską), a mała część energii niesionej przez promień świetlny ulega również odbiciu. Zauważ, że ponieważ promień przechodzi z ośrodka gęstszego do rzadszego, kąt załamania jest większy od kąta padania.

Promień czerwony pada pod kątem granicznym. Promień załamany ślizga się po powierzchni granicznej. Promień niebieski pada pod kątem większym od granicznego. Teraz światło ulega tylko odbiciu.

Z pomocą zjawiska całkowitego wewnętrznego odbicia możemy wyjaśnić działanie światłowodu. Prosty światłowód składa się z szklanego rdzenia o współczynniku załamania nr i pokrycia o współczynniku załamania np. Różnica współczynników załamania między rdzeniem i pokryciem jest taka, że światło wprowadzone do światłowodu ulega na granicy rdzeń płaszcz całkowitemu wewnętrznemu odbiciu (rys. 1.1.3); czyli nr>np. W najprostszym przypadku pokryciem może być powietrze. Z rysunku w (1.1.3) w prosty sposób możemy wyznaczyć maksymalny kąt, pod jakim do światłowodu możemy wejść promień by uległa całkowitemu wewnętrznemu odbiciu. Z elementarnej trygonometrii i optyki mamy

15

 

sin ^p

r

b n

a n

   1.1.9

Zakładamy oczywiście, że kąt  jest kątem granicznym dla całkowitego wewnętrznego odbicia.

Rysunek 1.1.3. Prosty światłowód składa się z rdzenia o współczynniku załamania nr, pokrycia o współczynniku załamania np<nr. Współczynnik załamania środowiska wynosi no.

Mamy nadto

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 ^p

r

b c c b n

a a a a n

 

        

  1.1.10

W ostatnim kroku skorzystałem z (1.1.9). Dalej mamy

     

2

1 ^p 1 sin2 cos sin

r

c n

a  ^ n ^       

  1.1.11

Korzystając z prawa Snella dla promienia padającego na światłowód mamy

   

sin _o sin _{r r} 1 ^p _{r p}

r

n n n n n n

    ^ n ^  

  1.1.12

Wzór (1.1.12) określa wielkość nazywaną aperturą numeryczną światłowodu.

W części (4.3.1) wprowadzę pojęcie apertury numerycznej obiektywu mikroskopowego, która dla rozdzielczości mikroskopu jest decydującym parametrem. Podobnie, gdy wykorzystujemy światłowód do obrazowania małych obiektów, jego apertura numeryczna ma decydujący wpływ na możliwą rozdzielczość takiego układu.

Nasze model nie uwzględnia faktu, że światłowód może zostać zagięty, co zmienia relacje kątowe między normalną do powierzchni rdzenia a promieniem.

Generalnie zarysowany tu model geometryczny opisujący propagację światła przez światłowód należy do kategorii modeli kulistej krowy. Jest to zatem najprostszy model, który coś wartościowego na temat światłowodów może nam powiedzieć. Dla wielu praktycznych zastosowań jest to jednak model za słaby.

Musimy wtedy oprzeć swoje model o teorię falową.

W optyce często posługujemy się pojęciem drogi optycznej.

16

Definicja 1.1.1: Droga optyczna

Droga optyczna promienia jest równa iloczynowi drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka, w którym ta droga przebiega

Rysunek (1.1.3) ilustruje tą definicję dla ośrodka złożonego z kilku warstw o różnym współczynniku załamania. W naszym przykładzie droga optyczna wyraża się wzorem

𝑑_𝑜 = ∑ 𝑛_𝑖𝑠_𝑖

𝑁=6

𝑖=1

1.1.9

Rysunek 1.1.3. Droga optyczna dla wyrysowanego promienia jest równa sumie iloczynów długości odcinków i współczynników załamania środowiska przez, które poszczególne odcinki promienia biegną.

Może się zdarzyć również i tak, że współczynnik załamania ośrodka zmienia się od punktu do punktu (rys. 1.1.4). W takiej sytuacji droga optyczna wyraża się wzorem

𝑑_𝑜 = ∫ n(𝑠)d𝑠

𝑠𝑘

𝑠_𝑝 1.1.10

Jak widać z definicji droga optyczna wydłuża długość odcinka o wartość współczynnika załamania. Z drugiej strony współczynnik załamania mówi ile razy wolniej biegnie światło w danym ośrodku w porównaniu z próżnią. Zamiast zwalniać światło n razy możemy wydłużyć jego drogę n razy, a czas przejścia pozostaje taki sam. Oznacza to, że droga optyczna pozwala nam sformułować zasadę Fermata tak:

Określenie 1.1.2: Zasada Fermata

Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po lokalnie ekstremalnej drodze optycznej

Oba sformułowania zasady Fermata (zależne od czasu lub drogi optycznej) są równoważne i jest kwestią wygody czy historycznych zaszłości, które z nich jest w użyciu. Przedstawione wyżej sformułowanie jest preferowane w klasycznej optyce.

17 Rysunek 1.1.4. W ośrodkach gradinetowych, w których współczynnik załamania zmienia się od punktu do punktu promień świetlny jest linią krzywą. W takim przypadku dzielimy ośrodek na nieskończenie cienkie warstwy i zamiast sumowanie we wzorze na drogę optyczną mamy całkowanie (1.1.10). Całkujemy od punktu początkowego sp do punktu końcowego sk. Współczynnik załamania musimy zapisać jako funkcję długości geometryczne promienia n(s). Rysunek pokazuje gradinetowy układ ogniskujący, tzw.

soczewkę gradientową; źródło Wikipedia, licencja: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

1

1..11..11.. ZZaassaaddaa FFeerrmmaattaa jjeesstt ooggóóllnniieejjsszzaa oodd pprraawwaa zzaałłaammaanniiaa..

No oczywiście, że jest ogólniejsza. Przecież obejmuje również prawo odbicia.

Ale nie oto chodzi. Możemy pokazać problem przejścia promienia z jednej ośrodka do drugiego, o różnych współczynnikach załamania, gdzie prawo załamania prowadzi do złych wniosków (rys. 1.1.5).

Rysunek 1.1.5. Bieg wybranego promienia w ośrodku gradientowym.

Ośrodkiem jest tu cylinder, którego przekrój pokazuje rysunek.

Współczynnik załamania ośrodka, reprezentowany przez stopnie szarości, maleje od osi w kierunku brzegu cylindra.

Rysunek przedstawia soczewkę gradientową (zobacz też rys. 1.1.4), w której współczynnik załamania zmienia się radialnie od osi soczewki, tak że na osi jest największy, na brzegu soczewki najmniejszy. Promień padający normalnie w punkcie A, zgodnie z prawem Snella nie powinien ulec załamaniu. W takiej sytuacji cylinder opuściłby w punkcie B. Jednak zgodnie z zasadą Fermata promień ten porusza się po torze AC. Dzieje się tak dlatego, że z punktu widzenia drogi optycznej bardziej opłaca się przejść dłuższą drogę geometryczną w części o mniejszym współczynniku załamania, a przez to krótszą drogę geometryczną w części o większym współczynniku załamania.

18

2. Klasyczne odwzorowanie optyczne 

Z punktu widzenia zastosowań praktycznych bardzo istotne jest następujące zagadnienie. Mamy układ punków świecących, jak uzyskać obraz tego układu na ekranie? Wymagamy przy tym aby obrazy poszczególnych punktów były jak najbardziej ostre a ich układ zachował swoją geometrię z dokładnością do zadanej skali. Słowem jedyna zmiana w geometrii punktów jaką dopuszczamy to powiększenie tworzonego przez nie wzoru lub jego pomniejszenie o zadany współczynnik. Punktowe źródło światła Z rozsyła we wszystkie strony promienie. Gdy w pewnej odległości ustawimy ekran E, to otrzymamy równomiernie oświetloną powierzchnię tego ekranu. W tym konkretnym układzie optycznym obrazem punktu świecącego Z będzie cały ekran E. Nie oto nam chodzi. Jak spowodować, aby obrazem punktu świecącego był punkt świecący lub coś co tenże punkt jak najbardziej przypomina? Najstarszym rozwiązaniem tego problemu jest ciemna skrzynka, na której ściance był ekran E, a na ściance przeciwnej otworek. Rysunek (2.1) ilustruje zasadę działania tego przyrządu nazywanego camera obscura (co po łacinie znaczy ciemny pokój) lub kamerą otworkową.

Rysunek 2.1. Camera obscura jest zamkniętym pudełkiem, które w jednej ze ścianek ma mały otwór. Obraz przedmiotu rysuje się na ściance przeciwnej.

Otworek wycina z wiązki promieni wychodzących z danego punktu wąski snop, który na ściance pudełka służącej za ekran rysuje dysk. Im mniejszy otwór, tym przy danych rozmiarach pudełka, mniejszy rozmiar dysku. W efekcie każdy punkt przedmiotu jest obrazowany jako dysk. Zbiór tych dysków tworzy obraz przedmiotu. Nie jest to obraz idealny, ale przy małych rozmiarach otworu jakość obrazu jest bardzo dobra. Widać jednocześnie, że długość pudełka (odległość otwór-ekran) decyduje o pomniejszeniu lub powiększeniu obrazu przedmiotu. Gdy długość pudełka jest równa odległości otwór-przedmiot, obraz przedmiotu ma takie same rozmiary jak sam przedmiot. Obraz utworzony przez kamerę obscura jest obrazem odwróconym.

Na pytanie, kto wynalazł kamerę otworkową nie mamy odpowiedzi.

W pewnych okolicznościach, kiedy do ciemnego pokoju przez mały otwór wpada światło z jasno oświetlonego podwórza efekt kamery otworkowej może powstać samorzutnie. Pierwsze pewne informacje wskazują, że camera obscura

19

mogła być wykorzystywana przez Hellenów, a później przez astronomów arabskich do obserwacji zaćmień Słońca w X wieku. W 1270 roku w takim celu użył camerę obscura Witellon¹. Najstarszy rysunek camera obscura pochodzi z książki „De radio astronomico et geometrico liber” (1545) autorstwa holenderskiego lekarza i fizyka Reinera Gemma Frisius (1508 – 1555). Jedna z ilustracji z tej książki przedstawia obserwację zaćmienia Słońca z użyciem camera obscura (rys. 2.2)

Rysunek 2.2. Najstarszy znany rysunek ilustrujący działanie Camera Obscura z książki Reinera Gemma Frisiusa z 1545 r.

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) przedstawił w swych notatkach opis kamery otworkowej. Odnajdziemy go w dziele zatytułowanym „Codex Atlanticus”

(rys. 2.3). Możemy tam przeczytać:

„Gdy fronton domu lub krajobraz jest oświetlony słońcem, a w zaciemnionej ścianie znajdującej się naprzeciw domu uczyni się otwór, to oświetlone przedmioty będą wysyłać przez ten otwór swój obraz i obraz ten będzie odwrócony” (rys. 2.3).

Rysunek 2.3. Ilustracja działania kamery otworkowej z dzieła Leonarda da Vinci; źródło Wikipedia

Johannes Kepler używał przenośnej „namiotowej” camera obscura. W 1604 roku nadał on temu urządzeniu nazwę „camera obscura”. Z czasem kamera otworkowa zmniejszała swoje rozmiary do wielkości większego pudełka. Za jej pomocą malarze ułatwiali sobie malowanie widoków. Używał jej między

1 Witellon mnich polski, który w XIII wieku zajmował się fizyką, matematyką i optyką. Urodził się ok. 1230r na dolnym Śląsku. Zajmował się dyplomacją na rzecz książąt i biskupów wrocławskich.

20

innymi nadworny malarz króla Stanisława Augusta Poniatowskiego Bernardo Belotto, zwany Canaletto (1721 – 1780), gdy malował kamienice Warszawy.

Przy pomocy camera obscura francuz Joseph Niecephore Niepce, 6 maja 1816 roku, po raz pierwszy odwzorował obraz na światłoczułym asfalcie (asfalt syryjski). Asfalt pokrywał tylną ściankę camera obscura. Obraz nie był trwały i po krótkim czasie znikał. W 1826 roku udało mu się zarejestrować trwały obraz. Czas naświetlania wynosił 8 godzin (choć niektórzy specjaliści sugerują, że mogło to trwać nawet trzy dni), podczas którego został zarejestrowany widok z okna pracowni (rys. 2.4). W miejscach naświetlonych asfalt twardniał, natomiast w miejscach nienaświetlonych dał się zmywać olejkiem lawendowym. Aby podnieść kontrast, Niepce zaciemniał obraz w oparach jodu.

Niepce otrzymywał w ten sposób obrazy negatywowe, które można było powielać (już jako obrazy pozytywowe) techniką zwaną heliograwiurą. Na tej pierwszej fotografii można zaobserwować dziwnie rozmieszczone cienie.

Odpowiedzialne za nie jest słońce, które podczas długiego czasu naświetlania, zmieniało swoje położenie. Tak narodziła się fotografia, a camera obscura wystąpiła w nowej roli - aparatu fotograficznego. Sam Niepce nazwał swoją metodę „heliografią”.

Rysunek 2.4. Widok z okna na Le Gras”, Joseph Niepce 1826r; źródło Wikipedia

Dziś camera obscura bawi w parkach rozrywki, ale nie tylko.

Fotografowanie kamerą otworkową ma zagorzałych wielbicieli. Przykład zdjęcia pokazuje rysunki (2.5).

W poprzednim temacie (TX) omówione zostało zjawisko dyfrakcji.

Dyfrakcja powoduje, że gdy oświetlamy falą płaską otwór kołowy obraz na ekranie nie jest świetlnym krążkiem z dobrze określoną granicą cienia ale plamką złożoną z naprzemiennych jasnych i ciemnych krążków (rys. TX 4.5.1 i 4.5.2). Przy czym im mniejszy otwór tym większą średnicę mają poszczególne krążki (rys. TX 4.5.3). Wynika z tego jasne ograniczenie na wielkość otworu camery obscura. Chociaż z punktu widzenia optyki geometrycznej mniejszy

21

otwór oznacza ostrzejszy (ale również ciemniejszy) obraz, to efekty dyfrakcyjne (optyka falowa) powodują, że od pewnego rozmiaru obraz punktu się powiększa. Nie ma sensu zmniejszać otworu poniżej rozmiaru, przy którym efekty dyfrakcyjne powodują zwiększenie rozmycia obrazu punktu.

Rysunek 2.5. Rynek wrocławski, zdjęcie wykonane kamerą otworkową. Średnica otworka 0,3mm, długość tuby 7mm, czas naświetlania 1s. Z pracy dyplomowej „Fotografowanie kamerą otworkową. Ilustracja wybranych efektów”, Marty Tubek.

Wzór na optymalną wielkość otworka kamery otworkowej został podany przez Rayleigha i ma postać

1.9

d  f 2.1

gdzie d jest średnicą otworka, f odległością do ekranu a , to długość fali.

Przykładowo dla kamery o długości f=100mm i dla światła żółtego =500nm, optymalna średnica otworka wynosi d=0,42mm.

2.1. Soczewka

Kamera otworkowa ma same zalety i praktycznie tylko jedną wadę jest ciemna.

Oznacza to, że przy małym otworku tracimy dużą część energii wyświecanej przez punkt źródłowy. Im mniejszy otworek tym większa strata energii, a ponieważ stosowane otworki są małe, co wynika ze wzoru (2.1), problem jest poważny. Jak możemy sobie z nim poradzić? Tu w sukurs przychodzi zasada Fermata. Spróbujemy zmierzyć się z następującym problemem. Weźmy sześcienny blok szklany. Czy możemy tak przyciąć jedną z jego części, aby wszystkie promienie z wiązki równoległej padającej na ten blok trafiły do wybranego punktu na osi symetrii układu (rys. 2.1.1)? Wiązkę promieni równoległych traktujemy jako pochodzącą od punktowego źródła znajdującego się nieskończoności. Zatem gdybyśmy rozwiązali tak postawiony problem, to mielibyśmy układ odwzorowujący punktowe źródło światła, znajdujące się w nieskończoności, w punkt na ekranie. Przy czym średnica elementu odwzorowującego, czyli soczewki jest znacznie większa od średnicy otworka w kamerze otworkowej. Taki obiektyw byłby znacznie jaśniejszy. Znajdę teraz odpowiedni kształt drugiej powierzchni. Powiedzmy, że blok szklany

22

o współczynniku załamania n znajduje się w środowisku o współczynniku załamania n.

Rysunek 2.1.1. Przednią powierzchnię bloku szklanego o współczynniku załamania n przycinamy tak aby równoległa wiązka promieni skupiała się w punkcie P na osi układu. Blok znajduje się w jednorodnym środowisku o współczynniku załamania n.

Chcemy, żeby wiązka promieni równoległych skupiła się w punkcie P odległym o zo od bloku. Ponieważ na blok szkła pada równoległa do osi wiązka promieni, możemy uznać, że wszystkie promienie dochodzące do przerywanej czerwonej linii wyznaczają takie same drogi optyczne. Analizę zaczniemy więc od tej przerywanej linii. Powiedzmy, że grubość bloku liczona od przerywanej linii do jego przedniej ściany wynosi d=5mm. Możemy na taką grubość zeszlifować blok co da nam przyzwoicie wyglądającą soczewkę. Droga optyczna dla promienia idącego od czerwonej kreskowanej linii do punktu P wynosi

𝑠₀ = 𝑛𝑑 + 𝑛′𝑧_𝑜 2.1.1

Jeżeli wszystkie promienie mają trafiać do punktu P, to wszystkie muszą wyznaczać tą samą drogę optyczną, tak jak to było w przypadku zwierciadła eliptycznego (rys. 1.6). Wyznaczę teraz drogę optyczną dla promienia, który przecina szukaną powierzchnię w punkcie A(x,z). Jego droga optyczna wewnątrz bloku szkła wynosi

𝑠_𝐴1 = 𝑛(𝑧 + 𝑑) 2.1.2

Gdzie, z<0. Droga optyczna liczona wzdłuż promienia z prawej strony szukanej powierzchni wynosi

𝑠_𝐴2 = 𝑛′√𝑥²+ (𝑧_𝑜 − 𝑧)² 2.1.3

Całkowita długości drogi optycznej wynosi

𝑠_𝐴1+ 𝑠_𝐴2 = 𝑛(𝑧 + 𝑑) + 𝑛′√𝑥² + (𝑧_𝑜 − 𝑧)² 2.1.4

23

Dla dowolnego punktu A na szukanej powierzchni soczewki droga liczona wzdłuż promienia dochodzącego do punktu P musi być równa drodze s0 (2.1.1), stąd mamy równanie

𝑛𝑑 + 𝑛′𝑧_𝑜 = 𝑛(𝑧 + 𝑑) + 𝑛′√𝑥²+ (𝑧_𝑜 − 𝑧)² 2.1.5 Proste przekształcenia pozwalają zapisać to równanie w formie

𝑧_𝑜− 𝑛

𝑛′𝑧 = √𝑥²+ (𝑧_𝑜− 𝑧)² 2.1.6

Po podniesieniu obu stron (2.1.6) do kwadratu i uporządkowaniu mamy 𝑥² + 𝑧²(1 − 𝑛²

𝑛^′2) − 2 (𝑧_𝑜 − 𝑛

𝑛′𝑧_𝑜) 𝑧 = 0 2.1.7

Równanie (2.1.7) ma postać równania krzywej stożkowej, której wierzchołek jest styczny do początku układu współrzędnych

2𝜌𝑧 = 𝑥²+ 𝜀𝑧² 2.1.8

Porównując (2.1.7) i (2.1.8) mamy 𝜌 = 𝑧_𝑜𝑛′ − 𝑛

𝑛′ 2.1.9a

𝜀 = 𝑛^′2 − 𝑛²

𝑛^′2 2.1.9b

Rozwiązania (2.1.9) są niezależne od grubości d soczewki, co przy poosiowej wiązce promieni równoległych jest spodziewanym rezultatem.

Podstawiając dane n=1,5, n=1, zo=200mm mamy

𝜌 = −100𝑚𝑚 2.1.10a

𝜀 = −1,25

2.1.10b Ujemna wartość współczynnika  oznacza, że otrzymaliśmy powierzchnię hiperboliczną. Ujemna wartość promienia krzywizny  głównej (tej mierzonej w wierzchołku krzywej stożkowej) oznacza, że soczewka jest soczewką wypukłą. Choć zadanie zostało pomyślnie rozwiązane, błędem byłoby sądzić, że sprawa jest zamknięta. Zanim jednak przejdę do zobrazowania problemu muszę powiedzieć coś na temat spotdiagramu. Posłużę się w tym celu rysunkiem (2.1.2).

Wracając do naszej hiperbolicznej soczewki idealnej. Jeżeli oświetlimy ją wiązką równoległą, ale lekko skośną, to promienie nie zbiegną się już do punktu. Jest to oczywiste – skośna wiązka promieni równoległych zmieni warunki geometryczne zadania i rozwiązanie uzyskane dla wiązki poosiowej traci ważność. W efekcie promienie nie trafią w jeden punkt, tylko ulokują się w pewnym obszarze, co dobrze widać na spotdiagramch z rysunku (2.1.3).

24 Rysunek 2.1.2. a) układ optyczny składa się ze źródła, z którego wychodzi stożek promieni, soczewki płasko-wypukłej, soczewki cylindrycznej i ekranu.

Zielone linie pokazują bieg promieni liczony z zastosowaniem prawa załamania;

b) ta część pokazuje rozkład trafień promieni w ekran. Ze względu na obecność soczewki cylindrycznej trafienia układają się w linię. Takie graficzne przedstawienie rozkładu trafień promieni w daną powierzchnię nazywamy spotdiagramem; c) spotdiagram dla pierwszej powierzchni soczewki cylindrycznej – pokazuje gdzie promienie, po przejściu przez soczewkę płasko- wypukłą trafiają w pierwszą powierzchnię soczewki cylindrycznej. Rysunki zostały wygenerowana za pomocą modułu „Optica” dla pakietu Mathematica.

Im bardziej wiązka będzie skośna, tym większy będzie ten obszar. Podobny dramat ma miejsce, gdy zmienimy położenie punktu w przestrzeni. Niech punkt świecący będzie na osi ale w skończonej odległości. Ponownie promienie nie trafiają w punkt tylko w pewien obszar. Zatem nasze rozwiązanie jest dobre tylko dla jednego punktu przedmiotowego, umieszczonego w ściśle określonym miejscu względem soczewki – w naszym wypadku jest to nieskończenie odległy punkt na osi. Można przyjąć, że dla każdego innego punktu przedmiotowego możemy ponownie rozwiązać zadanie i znaleźć odpowiednią geometrię dla soczewki idealnej, ale nie da się tego zrobić dla wszystkich punktów naraz.

Sprawę możemy poprawić zmieniając geometrię pierwszej powierzchni wyjściowego bloku szklanego. Uzyskujemy dodatkowy stopień swobody, który może być wykorzystany do zaprojektowania lepszej soczewki. Nie ma jednak nadziei na to, że uzyskamy wynik tak dobry jak to miało miejsce w przypadku

25

kamery otworkowej, dla której obraz każdego punktu jest ostry (jeżeli otworek jest odpowiednio mały)

Rysunek 2.1.3. Rysunki pokazują spotdiagramy, dla wiązki promieni równoległych padających na soczewkę. Bieg promieni liczony był z użyciem prawa załamania: a) obraz wiązki promieni poosiowych. Zwróć uwagę na skalę rysunku, punkty rozrzucone są na obszarze o rozmiarach rzędu 10^-15 mm.

Rozrzut ten wynika z błędów maszynowych jakie są zawsze obecne przy obliczeniach numerycznych (TVI 7.1). Zatem z dokładnością do błędów obliczeń maszynowych wszystkie promienie trafiły w ten sam punkt; b) padająca wiązka promieni równoległych pochylona jest względem osi x tak, że odpowiedni kosinus kierunkowy ma wartość cx=0.01. Widać, że dla takiej wiązki promieni soczewka przestała pracować jak soczewka idealna. Zamiast jednego punktu, w który trafiają promienie mamy asymetryczny obszar trafień; c) padająca wiązka promieni równoległych pochylna jest względem osi y tak, że odpowiedni kosinus kierunkowy ma wartość cy=0.02. Obszar trafień jest większy od tego punkcie (b), gdyż większe jest odstępstwo od kierunku równoległego do osi, obliczanej wiązki promieni.

Jest jeszcze problem wykonania zaprojektowanej soczewki. Nawet gdyby soczewka płasko-hiperboliczna była idealna pod każdym względem, to technologia wykonania takich powierzchni, z odpowiednią dokładnością jest trudna. Z tego powodu, choć dawno wiedziano, że powierzchnie niesferyczne mają lepsze własności odwzorowujące od powierzchni sferycznych, to wykonywano układy optyczne stosując powierzchnie płaskie i sferyczne. Wady soczewek sferycznych kompensowano stosując układy wielosoczewkowe.

Dodatkowe powierzchnie dawały dodatkowe możliwości kompensacji wad odwzorowania. Obecnie technologia jest na tyle rozwinięta, że producenci mogą wykorzystywać powierzchnie praktycznie o dowolnej geometrii. Tak też robią, szczególnie w układach z górnej półki cenowej lub stosowanych do celów przemysłowych lub badawczych.

Rysunek (2.1.4) pokazuje schematycznie płasko-wypukłą soczewką idealnie ogniskującą wiązkę promieni równoległych poosiowych (może to być taka soczewka jak obliczona wyżej (rys. 2.1.1). Przeanalizuję jej działanie korzystając z ujęcia falowego; konkretnie z pomocą fazorów. W modelu fazorowym wiązkę promieni równoległych poosiowych traktujemy jako falę

26

płaską poosiową. Fala taka ustawia na płaskiej części soczewki wszystkie fazory w tej same fazie. Niech po przejściu odcinka d na osi faza fazora w punkcie P jest taka sama jak na wejściu soczewki, przy czym droga t=PA jest taka, że nt<. Oznacza to, że blok szkła od płaskiej powierzchni soczewki do odcinka BPB nie jest potrzebny, gdyż faza fazorów na niebieskiej linii jest taka sama jak na wejściowej powierzchni soczewki. Możemy zatem cały ten blok wyrzucić.

Rysunek 2.1.4. Konstrukcja kinoformu.

W punktach B (niebieskich) cofnijmy się o odcinek t=/n. i wyrysujmy odcinek (różowy) do soczewki. Wyznaczy nam to położenie nowych punktów na soczewce (różowych). Na różowych odcinkach fazory ponownie będą w takiej fazie jak na wejściu soczewki. Możemy więc całe szkło pod różowymi odcinkami wyrzucić. Postępując tak aż do osiągnięcia brzegu soczewki pozbędziemy się całego zbędnego szkła. To co zostanie przedstawione zostało z prawej strony. Tak odchudzona soczewka będzie pracowała tak samo jak soczewka idealna. Nazywamy ją kinoformem. Można się domyślić, że granice między poszczególnymi strefami kinoformu odpowiadają dokładnie granicom stref Fresnela w płytce strefowej (rys. TX 2.1.6). Płytka strefowa pracuje tak jak soczewka tyle że światło w punkcie ogniskowym nie jest idealnie ogniskowane ze względu na zbyt „kwadratową” geometrię płytki. Omawiając płytkę strefową stwierdziłem, że bardziej gładkie podcinanie stref mogłoby nam dać maksymalnie możliwe natężenie światła w ognisku. Teraz przedstawiłem prosty pomysł jak takie podcinanie zaprojektować. Trzeba po prostu odchudzić idealną soczewkę szklaną z całego zbędnego szkła.

27

2.2. Miraże

Zasada Fermata pozwala w łatwy sposób wyjaśnić powstawanie zjawiska mirażu. Pod wpływem gradientu temperatury gęstość powietrza zmienia się wraz z wysokością nad powierzchnią gruntu. Zmiana gęstości powietrza zmienia również jego współczynnik załamania. W efekcie promienie biegną tak jak w ośrodku gradientowym (rys. 1.1.4). Zmiany współczynnika załamania są niewielkie, tak że istotna zmiana kierunku biegu światła wymaga większego dystansu. Układ optyczny oka wytwarza wrażenie wzrokowe tak, jakby promienie świetlne wpadały do oka po linii prostej. Stąd wzrok identyfikuje położenie przedmiotu w fałszywym miejscu. Rysunek (2.2.1) ilustruje mechanizm powstawania mirażu dolnego. Rysunek (2.2.2) pokazuje zdjęcie mirażu górnego. Wbrew obiegowej opinie najlepsze miraże powstają nie na pustyni, a w okolicach podbiegunowych. W sprzyjających warunkach w chłodnych miejscach Ziemi może powstać przekładaniec złożony z kilku warstw powietrza chłodnego i zimnego. Taki przekładaniec zachowuje się jak światłowód (rys. 1.1.3), dzięki czemu obraz danego obiekty (np. domu) może być przenoszony na setki kilometrów²

Rysunek 2.2.1. Miraż dolny powstaje gdy na skutek nagrzania podłoża gęstość powietrza (a zatem i współczynnik załamania) jest najmniejsza przy podłożu.

2 O zjawiskach optycznych w atmosferze możesz przeczytać w dwóch wartościowych książkach: Greenler, Tęcze, glorie i halo, Prószyński i S-ka, Warszawa 1998 oraz M. Minnaret, Światło i barwa w przyrodzie, PWN 1961,

28 Rysunek 2.2.2. Przykład mirażu górnego na wodami w okolicy Sydney w Australii. Miraż górny powstaje nad wodą, gdzie gęstość powietrza jest większa niż w wyższych jego warstwach (temperatura przy wodzie jest wyższa); źródło Wikipedia; autor Timpaananen; na prawach: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0.

2.3. Anamorfoza

Przed XX wiekiem ludzi nie absorbowało kino, telewizja, gry komputerowe czy Internet. Mieli za to czas na wiele innych spraw, a cierpliwość była cnotą cenioną i rozpowszechnioną. Fascynowali się między innymi anamorfozą.

Anamorfoza (od greckiego anamórphōsis – przekształcenie) jest celowym zniekształceniem obrazu, tak aby przy oglądaniu w określonych warunkach miał on pożądane cechy. Przy obliczaniu anamorfozy posługujemy się optyką geometryczną, u podstaw której leży zasada Fermata. Te określone warunki, to przykładowo może być oglądanie obrazu przez zakrzywione zwierciadło (rys. 2.3.1).

Rysunek 2.3.1. Przykład anamorfozy odtwarzanej poprzez cylindryczne zwierciadło; źródło Wikipedia

29

Mistrzowie pędzla ukrywali w swoich płótnach anamorfozy, które były świadectwem opanowani przez nich techniki malowania. Prawdopodobnie najbardziej znaną anamorfozą w malarstwie jest czaszka, umiejscowiona w obrazie (z 1533 r.) Ambasadorowie niemieckiego malarza Hansa Holbeina (rys. 2.3.2). Współcześnie przekształcenie anamorficzne stosuje się między innymi przy zapisie obrazu na DVD dla formatu TV 16:9. Obraz jest ściśnięty do formatu 720×576 pikseli (proporcje 4:3), a przy odtwarzaniu rozciągany do formatu docelowego.

W sieci można znaleźć programy do rysowania anamorfozy (dziś nie potrzeba ani cierpliwości ani wiedzy ani sprawnej ręki).

Rysunek 2.3.2. z lewej – obraz Ambasadorowie Hansa Holbeina (źródło Wikiepdia); z prawej – fragment z białą strukturą widziany pod ostrym kątem ukazuje ludzką czaszkę. Obrazek wygenerowany za pomocą pliku TheAmbassadorsInteractive pod programem Mathematica (plik w zasobach http://demonstrations.wolfram.com)

2.2.44.. CChhrroommaattyyzzmm

Kąt załamania światła przechodzącego przez blok szkła zależy od długości barwy światła (rys. 2.4.1). Barwę światła wiążemy z długością fali tegoż światła³ (zjawisko dyspersji). Używając szklanego pryzmaty możemy rozłożyć wiązkę światła białego na jej składowe chromatyczne (rys. 2.4.1b). Używając pryzmatów Newton pokazał, że światło białe jest mieszaniną światła o różnych barwach. Działanie pryzmatu przypomina w tym względzie działanie siatki

3 Jest to tzw. barwa spektralna. Wrażenie wzrokowe barwy jest bardziej złożonym zjawiskiem, dla którego barwa spektralna jest tylko jedną z ważnych składowych. Jednak w przypadku dyspersji istotna jest barwa spektralna.

30

dyfrakcyjnej (§TX 3). Jednak są istotne różnice. W siatce dyfrakcyjnej największemu ugięciu, dla danego rzędu dyfrakcji ulegały promienie o największej długości fali. W przypadku pryzmatu najbardziej uginają się promienie o najmniejszej długości fali (rys. 2.4.1). Siatka o wielu szczelinach ma znacznie większą zdolność rozdzielania poszczególnych składowych widma światła białego niż pryzmat. Dlatego w spektroskopach używa się siatek.

Rysunek 2.4.1. Zjawisko dyspersji światła na przykładzie siatki (u góry) i szklanego pryzmatu u dołu. Porównując wiązki 1 i 2 widać, że w przypadku siatki najbardziej ugięty jest promień czerwony (największa długość fali dla światła widzialnego) a najmniej promień fioletowy (najmniejsza długość fali dla światła widzialnego). W przypadku pryzmatu jest na odwrót; źródło Wikipedia, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported; autor - Cmglee

Dyspersja światła przy refrakcji⁴ światła odpowiada za zjawisko tęczy.

Rysunek (2.4.2 a,b) przedstawia stosowną ilustrację. Gdy patrzymy w stronę zawiesiny kropel w powietrzu, mając za sobą Słońce (na wysokości mniejszej niż 40 na horyzontem) to jak widać z (rys. 2.4.2) zobaczymy pod kątem około 42 łuk tęczy. Przy dobrych warunkach widać również drugi łuk tęczy, znajdujący się powyżej pierwszego. Drugi łuk tęczy powstaje na skutek dwukrotnego całkowitego wewnętrznego dobicia i jest przez to słabszy.

W podobnym duchu problem rozwiązał Kartezjusz (rys. 2.4.2c), a wcześniej Teodoryk z Freibergu⁵.

Zjawisko dyspersji światła jest uciążliwe przy budowie układów obrazujących, co ilustruje rysunek (2.4.3-1)

4 Refrakcja światła to synonim załamania światła.

5 Teodoryk z Freibergu – niemiecki dominikanin i teolog, który zajmował się również problemami optyki i metafizyki. W dziele „O tęczy” (łac. De iride) opisał tęczę jako efekt refrakcji na kroplach wody zawieszonych w powietrzu.