Obliczenie indukcyjności cewek i przewodów połączeń
4.2. Projektowanie filtrów oktawowych
Filtry oktawowe (dla których stosunek górnej częstotliwości do dolnej jest równy 2) są stosowane w szerokopasmowych torach radiowych do eliminacji wyż-szych harmonicznych w pasmach częstotliwości więkwyż-szych niż oktawa (rozdz. 6).
Podstawy teoretyczne syntezy filtrów, normowane wartości elementów oraz przy-kłady obliczeń są opisane w [17], [38], [61].
W tym rozdziale rozpatrzymy opracowanie filtrów pasmowych z charaktery-stykami Czebyszewa. Charakterystyka transmitancji mocy takiego filtru-prototypu może być przedstawiona w postaci (4.5) (rys. 4.13): KP 1/[1ε2T2n(Ω)], gdzie Tn (x) – wielomian Czebyszewa 1-go rodzaju n-tego rzędu [17], [38]. Cechą cha-rakterystyczną tych wielomianów jest ortogonalność i równość wszystkich ekstre-mów (±1) przy |x| ≤ 1 oraz szybki wzrost przy |x| ≥ 1 (rys. 4.12). Przy ustaleniu dość małej wartości parametru ε można sformować odpowiednią charakterystykę transmitancji (4.5).
Wielomiany Czebyszewa mogą być obliczone za pomocą jednego z dwóch sposobów:
– w postaci algebraicznej z zastosowaniem wzoru rekurencyjnego Tn+1(x)=2x Tn(x)-Tn-1(x): – w postaci trygonometrycznej:
Rys. 4.13. Pasmowe przekształcenie częstotliwości
-1 -0.5 0 0.5 1
Rys. 4.12. Wielomiany Czebyszewa
Rozpatrzmy syntezę filtru pasmowego na podstawie filtru-prototypu. W tym przypadku stosuje się tzw. pasmowe przekształcenie częstotliwości (rys. 4.13).
Jak napisano wyżej, przy opracowaniu filtru pasmowego trzeba indukcyjności filtru-prototypu zamienić na rezonansowe obwody szeregowe, zaś pojemności – na obwody równoległe (rys. 4.3a,c). Warunkiem zamiany jest równość reaktancji odpowiednich gałęzi filtrów w odpowiednich pasmach częstotliwości, np. dla in-dukcyjności:
gdzie: P i p – częstotliwości zespolone, odpowiednio dla filtrów dolnoprzepusto-wego i pasmodolnoprzepusto-wego; L – indukcyjność filtru-prototypu, Li , Ci – elementy odpo-wiedniej gałęzi filtru pasmowego. Zakładając, że P = jΩ oraz p = jω otrzymamy wzór dla pasmowego przekształcenia częstotliwości:
ω gdzie: ω 0 – pulsacja rezonansowa wszystkich obwodów rezonansowych filtru pa-smowego (rys. 4.3c) równa pulsacji średniogeometrycznej pasma filtru pasmowe-go; Δω – szerokość pasma filtru pasmowego (rys. 4.13). Według wzoru (4.9) łatwo sprawdzić: Znaczy to, że częstotliwość średniogeometryczna filtru pasmowego odpowia-da częstotliwości zerowej filtru-prototypu, zaś częstotliwości graniczne – normo-wanym częstotliwościom granicznym filtru-prototypu.
Normowane wartości elementów dla różnych struktur dolnoprzepustowych fil-trów-prototypów (przy pulsacji granicznej Ω = 1/s i obciążeniu R = 1Ω) opubliko-wano w literaturze [17], [37], [59]. Mała część spośród tych struktur (symetryczne T- i -układy nieparzystego rzędu przy obciążeniu obustronnym) jest pokazana na rysunku 4.14. Odpowiednie normowane wartości elementów bi (L lub C) filtrów dla rzędów n = 3,5,7 i nierównomierności charakterystyki mocy Δa = 0.1, 0.2, 0.5 dB przedstawiono w tabl. 4.1. Wartości rzeczywistych elementów filtru pa-smowego przy danym obciążeniu Ro i paśmie Δω można obliczyć według następu-jących wzorów:
102
Rys. 4.14. Symetryczne T (a) i (b) struktury filtrów-prototypów przy obciążeniu obustronnym
Tablica 4.1. Normowane wartości elementów dolnoprzepustowych filtrów-prototypów
n b 1 b 2 b 3 b 4
Jeśli rezystancja wyjściowa generatora różni się od rezystancji obciążenia, trzeba zastosować idealny transformator, który można przeliczyć w odpowiednie miejsce filtru i zatem usunąć go, wykorzystując przekształcenie Nortona (rys. 4.15) [40]. Dla otrzymania dodatnich wartości cewek i kondensatorów po przekształce-niu Nortona trzeba uwzględnić ograniczenia na współczynnik transformacji:
2
Rys. 4.15. Przekształcenia Nortona
Przykład obliczeniowy. Obliczyć jeden z filtrów oktawowych do pracy w ogólnym paśmie częstotliwości 4-28MHz; rezystancja obciążenia wzmacniacza tranzystorowego (ekwiwalentna rezystancja wewnętrzna generatora) Rg = 8 Ω, rezystancja obciążenia Ro = 50 Ω, nierównomierność charakterystyki mocy Δa = 0.2 dB (WFB = 0.65), minimalne tłumienie harmonicznych A 2f 1 = 35 dB.
Ponieważ całe robocze pasmo jest dużo większe niż oktawa, należy zastoso-wać kilka filtrów quazi-oktawowych, dla których stosunek częstotliwości górnej do dolnej jest taki sam, mniejszy niż 2 i wynosi około 1.6-1.8. Zmniejszenie tego pa-rametru jest związane z nieidealnym nachyleniem charakterystyk częstotliwościo-wych rzeczywistych filtrów. Zatem mamy: fg / fd = (fb / fa ) N , gdzie: N – ilość fil-trów quazi-oktawowych, fd = 4 MHz – dolna częstotliwość graniczna całego zakre-su, fg = 28 MHz – górna częstotliwość graniczna, fa i fb – dolna i górna częstotli-wości graniczne filtrów quazi-oktawowych. Zakładając, że N=4, otrzymamy fb / fa
= 1.625. Wtedy częstotliwości graniczne filtrów: f1 = 4.0 MHz, f2 = 6.50 MHz, f3 = 10.562 MHz, f4 = 17.164 MHz, f5 = 28.0 MHz.
Wybieramy 3 pasmo, wtedy: fa = 10.562 MHz, fb = 17.164 MHz. Rząd filtru jest bezpośrednio związany z nachyleniem charakterystyki filtru poza pasmem przepustowym: im wyższy jest rząd filtru, tym węższe staje się pasmo przejściowe, a tłumienie wzrasta. Dla określenia rzędu filtru trzeba uwzględnić tłumienie dla pulsacji ΩA filtru-prototypu odpowiedniej podwójnej dolnej granicznej częstotliwo-ści filtru oktawowego 2 fa = 21.124 MHz. Ponieważ wzrost wielomianów Czeby-szewa poza pasmem [–1,1] jest monotoniczny, to spełnienie warunku tłumienia dla częstotliwości 2 fa zapewnia większe tłumienie dla wszystkich harmonicznych sygnału wzbudzającego.
Używając wzór (4.9) określamy: ΩA = ((2ωa)2 ωa ωb) / (2 ωa (ωb ωa)) = (4fa fb) / 2(fb fa) = 1.8997. Następnie ze wzoru Δa = 10 log (1+ε2 ) wyznaczamy war-tość zafalowania w skali liniowej i zakładając rząd filtru n = 5 według wzoru (4.5), sprawdzamy wartość tłumienia filtru-prototypu dla obliczonej pulsacji ΩA: A 2f 1 = 20 log (ε T5 (ΩA)) = 35.5 dB. Znaczy to, że dla wybranego rzędu filtru n = 5 został spełniony warunek tłumienia harmonicznych. Jeśli filtr nie zapewnia zadanego tłumienia, należy zwiększyć rząd filtru lub ilość pasm (filtrów).
Dla naszego przypadku z tabl. 4.1 dla Δa = 0.2 dB, n = 5 wypisujemy normo-wane wartości elementów filtru-prototypu: b1 =1.3394, b2 =1.3370, b3 =2.1660.
Dalej z wzorów (4.11) dla Ro = 50 Ω obliczamy wartości elementów symetryczne-go filtru oktawowesymetryczne-go (rys. 4.16a). Ponieważ rezystancja generatora Rg ≠ Ro, włą-czamy idealny transformator z przekładnią k= Ro/ Rg= 6.25=2.5 (rys. 4.16a).
Wtedy mamy niesymetryczny filtr z zadanymi rezystancjami obciążeń. Zatem przeliczamy transformator w odpowiednie miejsce filtru, żeby otrzymać strukturę np. z cewkami (rys. 4.15b). W tym przypadku należy zmniejszyć reaktancje „prze-noszonych” elementów k 2 razy, tzn. cewki odpowiednio zmniejszyć, kondensatory
104
zwiększyć. Dalej w filtrze (rys. 4.16b) zamieniamy oznaczoną strukturę części filtru zgodnie z rys. 4.15a i otrzymujemy ostateczny filtr oktawowy (rys. 4.16c).
1.62
0.22
1.62 2.61
0.22 86
644
53 86
8 644 50
1:2.5 a)
50
b) 2.61 1.62
6440.22
53 86
644 50
8
1:2.5 .26
0.035 541
1.62 2.61
6440.22
53 86
644 50
c) 8
.21 0.087
541 .13
d) 29.82
56 2.48
8 0.29
541 2.18 4.7 26
38
1.62
50
61
Rys. 4.16. Opracowanie schematów filtru oktawowego, L – μH, C – pF
Charakterystyki obliczonego filtru (WFB i moc normowaną) pokazano na ry-sunku 4.17; widać, że otrzymane charakterystyki w pełni odpowiadają przyjętym założeniom.
5 10 15 20
0 0.5
1 WFB
f, MHz f 3 f 4
a)
5 10 15 20
-40 -30 -20 -10
0 P/Pmax ,dB
f , MHz
b)
f3 f
4 2 f
3
Rys. 4.17. Charakterystyki filtru oktawowego: a) WFB, b) moc normowana
Warto zaznaczyć, że dla danego filtru-prototypu, stosując przekształcenia Nor-tona (rys. 4.15), można otrzymać nieskończoną ilość filtrów oktawowych z tymi samymi charakterystykami w danym paśmie częstotliwości. W tym celu należy
rozdzielić idealny transformator na 2 lub więcej transformatorów (przy odpowied-niej ilości elementów filtru) i przy zachowaniu przekładni wypadkowej przesunąć je w różne miejsca filtru i potem eliminować zgodnie z układami przekształcenia Nortona (rys. 4.15). Przykład jednego z takich ekwiwalentnych filtrów pokazano na rysunku 4.16d. Idealny transformator w układzie (rys. 4.16b) został rozdzielony na dwa z przekładniami (1:8.35) i (3.34:1), potem pierwszy z nich eliminowano za pomocą cewek (jedna z nich zerowa, odpowiadająca indukcyjności LI , rys. 4.15a), a drugi po przesunięciu za pomocą kondensatorów. Przy obliczeniach zerową cew-kę otrzymano docelowo, wybierając przekładnię pierwszego transformatora z gra-nicznego warunku (4.12): k1 =1+L1/L2 = 8.35; wtedy drugi („wsteczny”) transfor-mator ma przekładnię k2 = 8.35/2.5 = 3.34. Należy zwrócić uwagę, że „zmodyfi-kowany” filtr ma lepsze do realizacji wartości elementów niż układ kanoniczny (rys. 4.16c).
W taki sposób mogą być skonstruowane pozostałe filtry oktawowe do pracy ze wzmacniaczem szerokopasmowym. Przy zmianie częstotliwości sygnału wzbudza-jącego i przejściu do innych pasm częstotliwości filtry muszą być przełączane me-chaniczne lub z zastosowaniem diod p-i-n.
Wszystkie operacje projektowania filtrów, syntezę, stosowanie przekształceń Nortona ze zautomatyzowanym przesunięciem transformatora, obliczenie filtrów ekwiwalentnych można wykonać za pomocą programu DIASP (p. 5.8) [61], [62].