W tym podrozdziale rozpatrzymy niezdegenerowane rozwiązanie z( · , λ) równania `y = λy,
λ ∈ R, spełniające warunki brzegowe (1.16) we wszystkich wierzchołkach brzegowych oprócz
korzenia. Takie rozwiązanie nazywamy specjalnym, zaś odpowiadający mu kąt Pr¨ufera –
spe-cjalnym kątem Pr¨ufera.
Rozpoczniemy od wprowadzenia następujących notacji. Dla dowolnej krawędzi e = (a, b) przez Γ(e) oznaczamy domknięcie spójnej komponenty grafu Γ \ {a} zawierającej krawędź e. Wtedy Γ(e) jest poddrzewem drzewa Γ z korzeniem we wierzchołku a zawierającym wraz z e wszystkie x ∈ Γ, które można osiągnąć przesuwając się z wierzchołka a w dodatnim kierun-ku wzdłuż e. Następnie jako L (e) oznaczamy operator różniczkowy na drzewie Γ(e) dany za
pomocą wyrażenia różniczkowego τ , warunków dopasowania (1.14)–(1.15) we wierzchołkach wewnętrznych drzewa Γ(e), warunków brzegowych (1.16) w każdym wierzchołku brzegowym Γ(e) \ {a} oraz warunku brzegowego Dirichleta w korzeniu a drzewa Γ(e). Tak więc L (e) jest operatorem samosprzężonym. Niech Λ(e) oznacza jego widmo oraz
Λ = [
e∈E(Γ)\{e0}
Λ(e),
gdzie e0 jest krawędzią mającą początek w korzeniu v0. Zbiór Λ jest dyskretny i ograniczony z dołu.
Lemat 3.6. Niech λ ∈ R \ Λ. Rozwiązanie specjalne z(·; λ) równania `y = λy istnieje i jest
wyznaczone w sposób jednoznaczny (z dokładnością do stałej multiplikatywnej) oraz nie posiada miejsc zerowych we wierzchołkach wewnętrznych grafu Γ.
Dowód. Niech l, l ∈ N, oznacza wysokość drzewa Γ. Dowód przeprowadzimy metodą in-dukcji matematycznej prowadzonej względem poziomu k, k ∈ N, krawędzi e = (a, b). Mianowicie pokażemy, że dla każdej krawędzi e = (a, b) istnieje niezdegenerowane rozwiązanie z równania
`y = λy na poddrzewie Γ(e) spełniające warunki brzegowe (1.16) we wszystkich wierzchołkach
brzegowych Γ(e) poza korzeniem. Rozwiązanie takie będziemy w skrócie nazywać specjalnym dla Γ(e). Wykażemy również, że rozwiązanie specjalne jest wyznaczone z dokładnością do stałej multiplikatywnej oraz nie posiada miejsc zerowych we wierzchołkach wewnętrznych Γ(e), ani w korzeniu a poddrzewa Γ(e), o ile różni się on od v0 (tzn. k > 1).
Dowód indukcyjny rozpoczynamy od k = l i zniżamy się do k = 1, dlatego zakładamy, że
e = (a, b) jest dowolną krawędzią o poziomie l. Wtedy b jest wierzchołkiem brzegowym, stąd
Γ(e) =e = [a, b]. Definiujemy rozwiązanie specjalne z dla Γ(e) jako jedyne rozwiązanie równania τ y = λy na e = [a, b] zgodne z warunkiem w punkcie końcowym
y(b) = sin α(b), y[1](b) = cos α(b). (3.7) Zauważmy, że z nie posiada miejsca zerowego w punkcie x = a; istotnie w przeciwnym razie λ byłoby wartością własną operatora L (e). Każde inne rozwiązanie τy = λy na Γ(e) spełniające waruki brzegowe (1.16) w punkcie x = b jest wielokrotnością z, co wynika z konstrukcji z. Zatem pierwszy krok indukcyjny został udowodniony.
Załóżmy teraz, że rozwiązanie specjalne zostało skonstruowane na poddrzewie Γ(e) dla każ-dej krawędzi e poziomu k, k ¬ l. Niech γ = (a, b) będzie krawędzią o poziomie k − 1. Wówczas istnieją dwie możliwości, w zależności od tego czy b jest wierzchołkiem brzegowym Γ, czy też nie. Jeśli b ∈ ∂Γ, to rozwiązanie z równania τ y = λy na Γ(γ) = γ jest takie jak w poprzednim akapi-cie, ustalone przez warunki graniczne (3.7). Dla b ∈ I(Γ) oznaczmy przez γ1, . . . , γm krawędzie
mające swój początek w b oraz jako z1, . . . , zm rozwiąznia specjalne `y = λy na poddrzewach Γ(γ1), . . . , Γ(γm). Z założenia indukcyjnego zj nie posiadają miejsc zerowych we wierzchołku
b. Rozważmy rozwiązanie yγ równania τ y = λy na przedziale γ = [a, b] zgodne z warunkami
granicznymi y(b) = 1 i y[1](b) =Pm
j=1zj[1](b)/zj(b).
Następnie konstruujemy funkcję z na drzewie Γ(γ), która jest równa funkcji yγ na γ oraz
zj/zj(b) na każdym poddrzewie Γ(γj), j = 1, . . . , m. Skonstruowana w ten sposób funkcja z jest rozwiązaniem niezdegenerowanym równania τ y = λy na każdej krawędzi tworzącej drzewo Γ(γ), spełnia warunki dopasowania (1.14)–(1.15) w każdym wierzchołku wewnętrznym drzewa Γ(γ) oraz warunki brzegowe w każdym wierzchołku brzegowym drzewa Γ(γ) poza korzeniem. Stąd z jest rozwiązaniem specjalnym równania `y = λy na drzewie Γ(γ). Ściślej mówiąc, rozwiązanie to jest skonstruowane z dokładnością do stałej multiplikatywnej oraz może zostać parametryzowane przez swoją wartość w punkcie b. Z tak przeprowadzonej konstrukcji oraz założenia indukcyjnego funkcja z nie posiada miejsc zerowych we wierzchołkach wewnętrznych drzewa Γ(γ). Jeśli a 6= v0, to rozwiązanie specjalne z nie posiada miejsca zerowego w korzeniu a. W przeciwnym razie z byłoby funkcją własną operatoraL (γ) odpowiadającą wartości własnej λ, co przeczy założeniu, że λ 6∈ Λ i kończy ten krok indukcyjny. Na mocy indukcji matematycznej twierdzenie pozostaje prawdziwe dla dowolnego drzewa o wysokości l ∈ N.
Stwierdzenie 3.1. Niech λ ∈ R \ Λ oraz y będzie nietrywialnym rozwiązaniem równania
`y = λy spełniającym warunki brzegowe (1.16) we wszystkich wierzchołkach brzegowych oprócz korzenia. Wówczas y jest wielokrotnością rozwiązania specjalnego z(·, λ), a tym samym rozwią-zaniem niezdegenerowanym.
Dowód. Wystarczy wykazać, że y nie posiada miejsc zerowych we wierzchołkach wewnętrz-nych drzewa Γ. Istotnie wówczas y jest rozwiązaniem niezdegenerowanym, więc na mocy po-wyższego lematu jest wielokrotnością rozwiązania z(·, λ).
Dla dowodu nie wprost załóżmy, że istnieje v ∈ I(Γ) taki, że y(v) = 0. Wybór takiego wierzchołka jest możliwy w taki sposób, że y nie jest rozwiązaniem tożsamościowo równym zero na wszystkich krawędziach przyległych do v (w przeciwnym razie byłoby to rozwiązanie tożsamościowo równe zero na całym drzewie Γ). Z warunku (1.15) wynika, że y nie jest funkcją zerową na co najmniej dwóch przyległych krawędziach do wierzchołka v. Krawędzie mające w nim swój początek oznaczamy przez e1, . . . , em. Wobec powyższych rozważań y nie jest funkcją tożsamościowo równą zero na co najmniej jednym spośród poddrzew Γ(e1), . . . , Γ(em). Wtedy jednak λ jest wartością własną dla co najmniej jednego operatoraL (e1), . . . ,L (em), co przeczy założeniu, że λ /∈ Λ. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Stwierdzenie 3.2. Każda wartość własna λ operatora L nie należąca do Λ jest prosta,
natomiast z(·; λ) jest odpowiadającą jej funkcją własną.
Ponieważ rozwiązanie specjalne z(·; λ), λ 6∈ Λ, jest wyznaczone w sposób jednoznaczny z do-kładnością do stałej multiplikatywnej, więc odpowiadający mu specjalny kąt Pr¨ufera φ(·; λ) jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do modulo π. Dokładniej mówiąc, φ(·; λ) jest ciągła wzdłuż każdej krawędzi, ale wartości graniczne we wierzchołkach wewnętrznych wzdłuż przyle-głych krawędzi mogą być różne. Ponadto warunki brzegowe (1.16) dla funkcji z(·; λ) przypisują wartości brzegowe α(v) ∈ (0, π] dla φ(·; λ) w każdym wierzchołku brzegowym v z wyjątkiem korzenia. Pomijamy założenie, że φe(b; λ) ∈ (0, π] dla krawędzi e = (a, b) mających swój koniec we wierzchołkach wewnętrznych b, aby zyskać dla każdej wartości x ciągłość względem λ, skon-struowanego specjalnego kąta Pr¨ufera. Zauważmy, że wartości λ ∈ Λ nie są dłużej wykluczane. Standardowo dla wierzchołka wewnętrznego v ∈ I(Γ) o stopniu d wyrażenie φ(v, λ) rozumiemy jako d granicznych wartości funkcji φ(x, λ) wzdłuż przyległych krawędzi.
Twierdzenie 3.3. Specjalny kąt Pr¨ufera może być definiowany tak, aby
(A1) dla każdego ustalonego x ∈ int(Γ) ∪ {v0}, φ(x; λ) było funkcją ciągłą i ściśle malejącą względem λ ∈ R;
(A2) istniała wartość µ ∈ R taka, że φ(x; λ) ∈ (0, π) dla każdego x ∈ int(Γ) ∪ {v0} i dowolnego λ < µ.
Dla tak określonego φ spełnione są następujące warunki:
(A3) limλ→−∞φ(x; λ) = π dla każdego ustalonego x ∈ int(Γ) ∪ {v0}; co więcej, jeśli ustalimy
µ∗ := sup{µ ∈ R : max
x∈int(Γ)∪{v0}φ(x; λ) > 0 dla każdego λ < µ}, (3.8)
to
(A4) φ(x; µ∗) > 0 na zbiorze int(Γ) oraz φ(v0; µ∗) = 0.
Dowód. Wykorzystamy metodę indukcji matematycznej prowadzonej względem poziomu krawędzi e = (a, b), aby dowieść, że specjalny kąt Pr¨ufera może być definiowany tak, aby spełniał własności opisane powyżej dla drzewa Γ(e) zamiast Γ oraz z korzeniem v0 zastąpionym przez a. Niech e = (a, b) będzie krawędzią o najwyższym poziomie (założmy l, l ∈ N) mającą swój koniec we wierzchołku brzegowym b. Zatem φ na krawędzi e jest zdefiniowane w sposób jedno-znaczny jako rozwiązanie równania (3.3) spełniające warunek w punkcie końcowym φ(b) = α(b),
własności (A1)–(A4) dla φ na drzewie Γ(e) zostały udowodnione w [38], jak również zob. roz-dział 2.
Załóżmy, że własności (A1)–(A4) zostały udowodnione dla poddrzewa Γ(e) z krawędziami e poziomu k, k ¬ l. Niech γ = (a, b) będzie krawędzią o poziomie k − 1. Istnieją dwie możliwości, w zależności od tego czy b jest wierzchołkiem brzegowym drzewa Γ, czy też nie. Jeśli b ∈
∂Γ, to φ na Γ(γ) jest zdefiniowane tak jak w poprzedniej części, więc (A1)–(A4) zachodzą.
Jeśli natomiast b ∈ I(Γ), to przez γ1, . . . , γm oznaczamy krawędzie mające swój początek w b. Z założenia indukcyjnego specjalny kąt Pr¨ufera jest poprawnie określony i spełnia (A1)–(A4) na poddrzewach Γ(γ1), . . . , Γ(γm). Niech g(λ) := m X j=1 cot φγj(b; λ), (3.9)
wówczas g przyjmuje wartości +∞ dla wartości własnych µk operatorów L (γ1),. . . , L (γm). Ponadto z (A1) wiemy, że jest to funkcja ciągła i ściśle rosnąca pomiędzy kolejnymi µk. Z ra-cji (A2) istnieje wartość µ = µ(γ) ∈ R taka, że g(λ) < ∞ dla λ < µ. Natomiast (A3) wnosi fakt, że g(λ) → −∞, gdy λ → −∞.
Niech β(λ) := arc ctg g(λ) ∈ (0, π), dla λ < µ. Wówczas β jest ciągła i ściśle malejąca dla tak określonego argumentu λ. Co więcej, własności funkcji φγj(b; λ) (ciągłość) umożliwiają rozszerzenie tej definicji dla dowolnego λ ∈ R i β(λ) będzie funkcją ściśle malejącą na R. Z określenia funkcji β mamy β(λ) = 0 mod π wtedy i tylko wtedy, gdy φγj(b; λ) = 0 mod π dla co najmniej jednego j ∈ {1, . . . , m}.
Następnie definiujemy φγ(·; λ) na [a, b] jako jedyne rozwiązanie (3.3) zgodne z warunkiem granicznym φ(b; λ) = β(λ). Wówczas dla x ∈ [a, b] własność (A1) wynika z lematu 2.1, (A3) jest konsekwencją twierdzenia 2.3 oraz (A2) zostało udowodnione w kroku 1 w dowodzie twierdze-nia 2.3.
Określamy liczbę µ∗(γ) za pomocą (3.8), ale dla drzewa Γ(γ) zamiast Γ, wówczas
µ∗ := µ∗(γ) ¬ min{µ∗(γ1), . . . , µ∗(γm)}.
Załóżmy, że µ∗ = µ∗(γk) dla pewnego k ∈ {1, . . . , m}. Wówczas z założenia indukcyjnego mamy φγk(b, µ∗) = 0, co z określenia φ daje φγ(b, µ∗) = 0. Dla dowolnego x∗ takiego, że
φγ(x∗, µ∗) = 0 mod π specjalny kąt Pr¨ufera jest funkcją ściśle rosnącą w każdym takim punkcie. Stąd wnioskujemy, że φγ(x, µ∗) < 0 dla każdego x ∈ [a, b), co przeczy definicji µ∗ oraz ciągłości funkcji φ. Zatem µ∗ < µ∗(γk) dla każdego k = 1, . . . , m, tak więc φ(x, µ∗) > 0 na zbiorze
int Γ(γ1)∪ · · · ∪ int Γ(γm)∪ {b}.
Pozostało dowieść, że φγ(x, µ∗) > 0 dla każdego x ∈ (a, b) oraz φ(a, µ∗) = 0. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że istnieje x∗ ∈ (a, b) takie, że φγ(x∗, µ∗) = 0. Ponieważ φγ(·, µ∗) jest funkcją
ściśle rosnącą w każdym punkcie, gdzie φγ(x, µ∗) = 0 mod π wnioskujemy, że φγ(x, µ∗) < 0 dla każdego x ∈ [a, x∗); co przeczy ciągłości funkcji φγ i definicji µ∗. Zatem φγ(x, µ∗) > 0 na przedziale γ = (a, b). Nierówność φγ(a, µ∗) > 0 wykluczamy z podobnych przyczyn jak wyżej. Tak więc dowód (A4) uznajemy za zakończony, a tym samym i dowód twierdzenia.
Uwaga 3.3. Zauważmy, że dla λ 6∈ Λ każdy kąt Pr¨ufera θ(·; λ) odpowiadający rozwiązaniu specjalnemu z(·; λ) jest równy specjalnemu kątowi Pr¨ufera φ(·; λ) modulo π, tzn.
cot θ(·; λ) ≡ cot φ(·; λ). (3.10)
Istotnie, zarówno θ jak i φ są rozwiązaniami równania różniczkowego (3.3) na każdej krawędzi drzewa Γ, spełniają te same warunki brzegowe θ(v; λ) = φ(v; λ) = α(v) dla każdego wierz-chołka brzegowego poza korzeniem oraz te same warunki dopasowania w każdym wierzchołku wewnętrznym drzewa Γ dla cot θ i cot φ; porównaj (3.2) oraz konstrukcję φ w dowodzie powyż-szego twierdzenia.
W rezultacie okazuje się, że (3.10) jest również spełnione dla λ ∈ Λ, o czym mówi następujący
Lemat 3.7. Załóżmy, że y(·; λ) jest nietrywialnym rozwiązaniem równania `y = λy
spełnia-jącym warunek (1.16) dla każdego wierzchołka brzegowego oprócz korzenia. Dla każdej krawędzi γ ∈ E(Γ) takiej, że yγ jest rozwiązaniem niezdegenerowanym określamy kąt Pr¨ufera θ. Wówczas dla każdej takiej krawędzi γ mamy θ(·; λ) ≡ φ(·; λ) mod π.
Dowód. Na każdej krawędzi γ = (c, d), gdzie y jest rozwiązaniem niezdegenerowanym, kąty Pr¨ufera θ i φ rozwiązują to samo równanie pierwszego rzędu (3.3), które jest niezmiennicze względem przesunięcia θ lub φ o wartość π. Zatem wystarczy wykazać, że warunki graniczne dla
θγ i φγ we wierzchołku d są równe co do wartości modulo π. Dowód przeprowadzimy metodą indukcji matematycznej względem poziomu krawędzi e dla każdego poddrzewa Γ(e) zamiast Γ. Niech e = (a, b) będzie krawędzią o najwyższym poziomie (powiedzmy l, l ∈ N) mającym swój koniec we wierzchołku brzegowym b. Jeśli y jest rozwiązaniem niezdegenerowanym na e, to z konstrukcji kąta Pr¨ufera θ(·; λ) wynika, że spełnia on warunek graniczny θ(b; λ) = α(b). Podobną własność wnioskujemy dla φ, więc otrzymujemy tożsamość θ(·; λ) ≡ φ(·; λ) na e.
Załóżmy, że lemat został udowodniony dla poddrzew Γ(e) z krawędziami e o poziomie k, gdzie k ¬ l, oraz niech γ = (a, b) będzie krawędzią o poziomie k − 1. Przypadek, gdy b ∈ ∂Γ został omówiony w poprzednim akapicie, dlatego zakładmy, że b ∈ I(Γ) oraz przez γ1, . . . , γm
oznaczamy krawędzie mające swój początek w punkcie b. Ponieważ
więc rozpatrujemy tylko przypadek, gdy y jest rozwiązaniem niezdegenerowanym na γ. Jeśli
y(b) 6= 0, to z równości (3.2) otrzymujemy
cot θγ(b; λ) =
m
X
j=1
cot θγj(b; λ).
Na mocy założenia indukcyjnego prawa strona powyższej równości jest zgodna z wartością
m
X
j=1
cot φγj(b; λ),
co daje cot φγ(b; λ) z konstrukcji φ. Zatem θγ(b; λ) = φγ(b; λ) mod π, co kończy drugi krok indukcyjny w przypadku gdy y(b) 6= 0.
Załóżmy teraz, że y(b) = 0. Wówczas φγ(b; λ) = 0 mod π. Zauważmy, że y nie może być funkcją identycznie równą zero na wszystkich krawędziach γ1, . . . , γm mających swój początek w punkcie b, bowiem w przeciwnym razie y musiałoby być równe zeru rownież na krawędzi γ, i nie pozostaje nic do dowodu. Dlatego niech y będzie nietrywialnym rozwiązaniem np. na krawę-dzi γ1. Wtedy θ jest zdefiniowane na γ1 i θγ1(b; λ) = 0 mod π. Na mocy założenia indukcyjnego również φγ1(b; λ) = 0 mod π. Z konstrukcji funkcji φ otrzymujemy φγ(b; λ) = 0 mod π, co kończy drugi krok indukcyjny w przypadku, gdy y(b) = 0. Na mocy indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego drzewa o poziomie l, l ∈ N.
Stwierdzenie 3.3. Wartość λ jest elementem zbioru Λ (λ ∈ Λ) wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje wierzchołek wewnętrzny v i krawędź e z niego wychodząca taka, że φe(v; λ) = 0 mod π.
Dowód. Jeśli λ ∈ R \ Λ, to na mocy lematu 3.6 rozwiązanie specjalne z(·; λ) równania
`y = λy istnieje i nie posiada miejsc zerowych w żadnym wierzchołku wewnętrznym v ∈ I(Γ).
Oznacza to, że odpowiadający mu specjalny kąt Pr¨ufera φ(·; λ) nie przyjmuje wartości πn,
n ∈ Z, w takich wierzchołkach.
Niech e = (a, b) będzie krawędzią, różną od krawędzi e0 wychodzącej z korzenia v0 drze-wa Γ, taką że λ ∈ Λ(e). Wówczas istnieje funkcja własna y(·; λ), tzn. funkcja, która nie jest tożsamościowo równa zero na Γ(e), rozwiązująca równanie `y = λy na Γ(e), spełniająca wa-runki brzegowe (1.16) we wszystkich wierzchołkach brzegowych oprócz korzenia drzewa Γ(e) oraz warunek Dirichleta y(a; λ) = 0 w punkcie a (w korzeniu a drzewa Γ(e)). Znajdujemy krawędź γ = (c, d) ∈ E(Γ(e)) taką, że y jest rozwiązaniem niezdegenerowanym na γ oraz
yγ(c; λ) = 0. Wówczas każdy kąt Pr¨ufera θ, dla rozwiązania y, na γ spełnia warunek θγ(c; λ) = 0 mod π. Na mocy lematu 3.7 wnioskujemy, że φγ(c; λ) = 0 mod π, co kończy dowód.
Stwierdzenie 3.4. Dla liczby µ∗, określonej w (3.8), zachodzą następujące nierówności: λ0¬ µ∗ < min{µ : µ ∈ Λ};
ponadto λ0 jest jedyną wartością własną operatora L w przedziale (−∞; µ∗].
Dowód. Druga nierówność jest konsekwencją stwierdzenia 3.3 oraz (A4). Z kolei własności (A1), (A3), oraz (A4) gwarantują istnienie i jednoznaczność λ∗ ¬ µ∗ takiego, że φ(v0; λ∗) =
α(v0). To oznacza, że rozwiązanie specjalne z(·; λ∗) spełnia w korzeniu v0 warunek brzegowy
z[1](v0; λ∗)
z(v0; λ∗) = cot φ(v0; λ∗) = cot α(v0).
Stąd λ∗ jest wartością własną operatoraL , a z(·; λ∗) odpowiadającą mu funkcją własną, tak więc λ0 ¬ λ∗ ¬ µ∗.
Następnie wykażemy, że jeśli λ ∈ (−∞; µ∗] jest wartością własną operatora L , to λ = λ∗. Istotnie, gdy λ 6∈ Λ, to na mocy stwierdzenia 3.2 każda odpowiadająca jej funkcja własna jest wielokrotnością z(·; λ), tym samym jest to rozwiązanie niezdegenerowane i spełnia w korzeniu v0 warunek brzegowy
z[1](v0; λ)
z(v0; λ) = cot α(v0).
Stąd cot φ(v0; λ) = cot α(v0). Dla λ rosnącego od −∞ do µ∗ funkcja φ(v0; ·) ściśle maleje od
π do 0, stąd wnioskujemy, że λ = λ∗. Tak więc λ∗ jest jedyną wartością własną operatora L w przedziale (−∞, µ∗], stąd jest to pierwsza wartość własna λ0 operatoraL .
Stwierdzenie 3.5. Wartość własna λ0 operatoraL jest prosta, a odpowiadająca jej funkcja
własna z(·; λ0) nie posiada miejsc zerowych na wnętrzu drzewa Γ.
Dowód. Z faktu, że λ 6∈ Λ oraz stwierdzenia 3.2 otrzymujemy, że λ0 jest prostą warto-ścią własną z odpowiadającą jej funkcją własną z(·; λ). Natomiast brak miejsc zerowych funk-cji z(·; λ) jest gwarantowany dzięki nierówności λ0 ¬ µ∗ oraz (A4).