Index of /rozprawy2/11275

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO–HUTNICZA I M. S T A N I S Ł A W A S T A S Z I C A WYDZIAŁ MATEMATYKI STOSOWANEJ. ROZPRAWA DOKTORSKA. WŁASNOŚCI SPEKTRALNE SINGULARNYCH GRAFÓW KWANTOWYCH MONIKA HOMA. PROMOTOR:. DR HAB. ROSTYSLAV HRYNIV. KRAKÓW 2017.

(2) Podziękowania. Składam serdeczne podziękowania Panu Profesorowi Rostyslavowi Hrynivowi za wieloletnią opiekę nad moim rozwojem naukowym. Dziękuję za wskazanie kierunków badań, wielogodzinne dyskusje i współpracę naukową. W szczególności dziękuję za cenne wskazówki i uwagi, które przyczyniły się do powstania i nadały kształt ostateczny niniejszej rozprawie. Wyrazy wdzięczności kieruję również za otrzymaną od Pana Profesora wyrozumiałość i cierpliwość względem mojej osoby.. Pragnę również podziękować mojemu ukochanemu Mężowi Łukaszowi za wsparcie, motywację, towarzystwo w każdej podróży, sprawowaną opiekę nad naszymi dziećmi, kiedy przygotowywałam i pisałam pracę. Dziękuję, że jesteś!. Rozprawę dedykuję mojej Rodzinie.. –2–.

(3) Spis treści. Podziękowania. 2. Wstęp. 5. 1 Wiadomości wstępne. 13. 1.1. Regularne zagadnienie Sturma–Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.2. Singularne zagadnienie Sturma–Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 1.3. Funkcja Weyla–Titchmarsha singularnego operatora Sturma–Liouville’a na przedziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 1.4. Zagadnienie Sturma–Liouville’a dla grafów kwantowych . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1. Drzewo metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.4.2. Operatory różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 1.4.3. Warunki brzegowe i warunki dopasowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 2 Teoria oscylacji dla singularnego zagadnienia Sturma–Liouville’a na [0, 1]. 26. 2.1. Kąt Pr¨ ufera i jego własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 2.2. Twierdzenia porównawcze i oscylacyjne Sturma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 3 Teoria oscylacyjna Sturma dla singularnych drzew kwantowych. 40. 3.1. Kąt Pr¨ ufera dla drzew kwantowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 3.2. Twierdzenie porównawcze Sturma dla drzew kwantowych . . . . . . . . . . . . . 42. 3.3. Twierdzenia oscylacyjne dla drzew kwantowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1. Ogólne własności spektralne drzew kwantowych . . . . . . . . . . . . . . . 45. 3.3.2. Teoria oscylacji Sturma w przypadku drzewa ogólnego . . . . . . . . . . . 48. 3.4. Rozwiązanie specjalne i odpowiadający mu kąt Pr¨ ufera . . . . . . . . . . . . . . . 50. 3.5. Zasady wariacyjne dla drzew nieogólnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.1. Wielokrotne wartości własne i uogólnione miejsca zerowe specjalnego kąta Pr¨ ufera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 3.5.2. Teoria oscylacyjna Sturma w przypadku nieogólnym . . . . . . . . . . . . 60. –3–.

(4) 4 Spektralne zagadnienia odwrotne dla singularnych drzew kwantowych 4.1. 62. Rozwiązanie Weyla i m–funkcje Weyla–Titchmarsha . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Podsumowanie. 70. Bibliografia. 72. –4–.

(5) Wstęp. Niniejsza rozprawa doktorska poświęcona jest omówieniu własności spektralnych singularnych grafów kwantowych. Prezentowane wyniki badań dotyczą szczególnego rodzaju grafów kwantowych jakimi są drzewa kwantowe. Praca powstała głównie w oparciu o następujące pozycje literatury [38], [39], [40], które są wspólnym dorobkiem autorki i Promotora rozprawy doktorskiej. Przedstawiona w rozprawie tematyka dotyczy dwóch częściowo niezależnych od siebie zagadnień z zakresu analizy spektralnej na grafach kwantowych dla operatorów Sturma– Liouville’a z potencjałami będącymi funkcjami uogólnionymi (dystrybucjami). Kierując się omawianą tematyką można podzielić pracę na dwie części. Pierwsza z nich składa się z rozdziałów 2–3 i dotyczy uogólnienia klasycznej teorii Sturma na przypadek singularnego drzewa kwantowego, natomiast druga część pracy, tj. rozdział 4, dotyczy spektralnego zagadnienia odwrotnego dla struktur jakimi są singularne drzewa kwantowe. Rozdział 1 służy jako rozdział pomocniczy i wprowadza w tematykę pracy. Znajdziemy w nim omówienie podstawowych definicji, lematów i oznaczeń. W celu lepszego zrozumienia problematyki, której praca jest poświęcona, podamy zarys historyczny rozwoju kierunków badań omawianych w pracy. Charles Sturm w nowatorskich pracach [77], [78] z 1836 r. udowodnił kilka twierdzeń porównawczych i oscylacyjnych dla formalnie symetrycznych równań różniczkowych drugiego rzędu na skończonym przedziale. Tym samym ustanowił nowe podstawy dla dalszego rozwoju badań teorii spektralnej operatorów różniczkowych. W pracach [17], [22], [36], [79] można znaleźć omówienie klasycznego zagadnienia brzegowego Sturma–Liouville’a oraz teorię oscylacji dla funkcji własnych. Regularne zagadnienie Sturma–Liouville’a opisane językiem współczesnym zostało przedstawione w rozdziale 1.1 tej rozprawy. Od czasu publikacji wyników Sturma teoria, którą zaproponował, została rozszerzona w wielu kierunkach takich jak: równania różniczkowe cząstkowe oraz/lub równania rozniczkowe wyższych rzędów [10], równania różnicowe [80], równania o mniej regularnych potencjałach itd. Przegląd historyczny omawianych kierunków oraz ostatnich wyników można znaleźć w pracach Hintona [37] oraz Simona [76], jak również w spisach literatury tam umieszczonych. W szczególności kilka wyników dla równań różniczkowych na jednowymiarowych grafach zostało opisanych w pracach [11], [61], [66], [72]. Rozdział 2 przedstawia uogólnienie klasycznej teorii Sturma na przedziale (0, 1) z potencja–5–.

(6) łem będącym funkcją uogólnioną z przestrzeni W2−1 (0, 1). Ogólnie rzecz ujmując potencjał taki nie jest funkcją regularną, ale dystrybucją. Potencjałami takiego typu są np. δ–funkcja Diraca (zob. przykład 1.1) oraz potencjał typu Coulomba. 1 x. (zob. przykład 1.2). Są to najbardziej. typowe i ważne dla zastosowań potencjały służące do opisu związku pomiędzy różnorodnymi cząsteczkami w mechanice kwantowej i fizyce matematycznej [2], [12]. Realizacja uogólnień jest możliwa dzięki wprowadzeniu zapisu operatora na odcinku (w rozdziale 3 na drzewie Γ) przy użyciu quasi–pochodnej (zob. rozdział 1.2, rozdział 1.4.2). Więcej informacji na temat tej techniki można znaleźć w [38], [73]. Rozdział 2 jest potrzebny w celu lepszego zrozumienia problematyki rozdziału 3, w którym z kolei rozszerzymy teorię singularnych operatorów Sturma–Liouville’a na przypadek drzewa kwantowego. W pracy [75] autorzy rozwinęli teorię Sturma dla zagadnienia Sturma–Liouville’a −y 00 + qy = λy. (1). w przypadku, gdy potencjał q jest dystrybucją rzeczywistą z przestrzeni Sobolewa W2−1 (a, b). Praca tych autorów przedstawia realizację dwóch podejść. Pierwsze z nich rozszerza klasyczną metodę Sturma, natomiast drugie opiera się na zasadzie wariacyjnej. Bardziej ogólny przypadek był rozważany w pracy [81]. Z kolei własności oscylacyjne dla rozwiązań równań Sturma– Liouville’a ze współczynnikami mierzalnymi był studiowany w [67]. Celem pracy w rozdziale 2 jest podanie alternatywnych podejść do udowodnienia twierdzenia porównawczego Sturma oraz twierdzenia oscylacyjnego dla (1) z potencjałem q ∈ W2−1 (0, 1) będącym dystrybucją rzeczywistą. Motywacja, którą jesteśmy kierowani, to wykorzystanie tego podejścia do późniejszego (rozdział 3) rozważania singularnych operatorów różniczkowych na drzewach kwantowych. Wiadomym jest fakt, że w celu rozwinięcia teorii na bardziej ogólne, złożone obiekty jakimi w naszym przypadku są singularne drzewa kwantowe, zwykło się budować najpierw taką teorię na pojedynczej krawędzi, tj. na odcinku. Odkryliśmy jednakże, że podejście przedstawione w [75] nie pozwala na bezpośrednie uogólnienie na grafy, dlatego podobnie jak w [75] stosujemy technikę kątów Pr¨ ufera, ale definicję samego kąta (rozdział 2.1) wprowadzamy w inny sposób. W rozdziale 2 oprócz dostarczenia singularnych odpowiedników twierdzeń Sturma rozważamy również bardzo szczegółowo (rozdział 2.1) własności kąta Pr¨ ufera (własności odpowiadającego mu równania Carathéodory’ego), które stanowią podstawę do rozwoju teorii Sturma na singularnych drzewach kwantowych w rozdziale 3. Ostatecznie w rozdziale 2.2 wykorzystujemy otrzymane własności, aby udowodnić twierdzenie porównawcze i oscylacyjne w przypadku równań (1) o potencjałach singularnych. Podsumowując, w rozdziale 2 dokonaliśmy uogólnienia własności oscylacyjnych i porównawczych w przypadku operatorów Sturma–Liouville’a na przedziale (0, 1) z potencjałami uogólnionymi, które owszem były rozpatrywane w pracy [75], ale. –6–.

(7) przy użyciu innych technik, niedopuszczających uogólnienia na drzewa kwantowe. Operatory różniczkowe na grafach, tzn. grafy kwantowe, cieszą się niesłabnącą popularnością już od lat 90–tych ubiegłego stulecia, tym samym przykuwają uwagę i są atrakcyjne do badań dla matematyków. Ściślej mówiąc, są to spektralne własności grafów kwantowych, które zawdzięczają swoją poularność dzięki różnorodnym zastosowaniom w wielu dziedzinach nauki oraz w obecnej technologii np., w mechanice (przepływ elektronów w mechanicznych obwodach kwantowych, wibracje mechaniczne sieci elastycznych strun), chemii (teoria wolnych elekronów dla sprzężonych molekuł), nanotechnologii (obwody sieci kwantowych), fizyce (przepływ ciepła w sieci, rozprzestrzenianie się promieniowania w sieciach optycznych włókien), elektronice (obwody elektryczne i kwantowe bramki logiczne) oraz optyce (fotony krystaliczne). Literatura poświęcona operatorom różniczkowym na grafach i ich zastosowaniu jest bardzo rozległa. Wspominamy kilka opracowań i przeglądów m.in. [50, 51] oraz książkę [4], gdzie można znaleźć rewelacyjny przegląd uzyskanych wyników i ich zastosowań w omawianej teorii. Podstawowe definicje, oznaczenia i wyniki dotyczące grafów kwantowych oraz ich widm można znaleźć w [51]. Ponadto w [51] możemy znaleźć kilka przykładów warunków brzegowych, które opisują samosprzężone grafy kwantowe. Podobne informacje dotyczące singularnych grafów kwantowych zostały umieszczone w rozdziale 1 niniejszej rozprawy. W rozdziale 3 postaramy się odpowiedzić na pytanie, które z własności oscylacyjnych mogą być kontynuowane dla singularnych operatorów Sturma–Liouville’a na grafach. Mianowicie rozważamy wyrażenie różniczkowe −. d2 +q dx2. (2). na grafie metrycznym Γ, z potencjałem q ∈ W2−1 (Γ). Tak więc rozważanie klasycznego zagadnienia Sturma–Liouville’a na przedziale rozszerzamy do badań na drzewach kwantowych. Jednym z najbardziej interesujących kierunków badań nad takimi obiektami jest rozważanie liczby miejsc zerowych funkcji własnych odpowiadających zagadnieniu Sturma–Liouville’a oraz ich dziedzin węzłowych. Liczba miejsc zerowych funkcji własnej yn na grafie kwantowym jest ściśle powiązana z liczbą jej dziedzin węzłowych. Tego typu kierunek badań był bardzo szczegółowo rozważany w kilku pracach, w powiązaniu z dolnym i górnym ograniczeniem jakie spełniają miejsca zerowe; w szczególności odsyłamy do prac [8], [11], [33], [66], [72]. Al–Obeid, Pokornyi, Pryadiev w [66] twierdzą, że liczba dziedzin węzłowych n–tej funkcji własnej jest równa liczbie n na ogólnych drzewach metrycznych, co odpowiada naszemu założeniu o ogólności drzewa w rozdziale 3.3.2. Wynik z pracy [66] został poprawiony przez Schapotschnikowa w [72]. W artykule [33] pokazano, że dla grafów o walencyjności w każdym wierzchołku większej niż dwa liczba dziedzin węzłowych jest mniejsza niż indeks wartości własnych. Więcej informacji i uwag odnośnie tych badań znaj-. –7–.

(8) dziemy w [11]. Zauważmy, że pytanie dotyczące obliczania liczby dziedzin węzłowych dla funkcji własnych oraz przeplatanie się wartości własnych w przypadku regularnego drzewa kwantowego były rozważane w kilku artykułach. Do naszych rozważań najbardziej przydatne są prace [72] oraz [11]. Pierwsza z nich przedstawia rozważania dotyczące operatora Sturma–Liouville’a −y 00 + q(x)y na skończonym drzewie ze standardowymi warunkami brzegowymi (Dirichleta lub Neumanna) oraz warunkami dopasowania (warunek typu δ–Kirchhoffa) w każdym wierzchołku wewnętrznym. O potencjale q zakłada się, że jest funkcją ograniczoną o wartościach rzeczywistych. Autor używając teorii oscylacyjnej wykazuje, że wartości własne na drzewie przeplatają się z wartościami własnymi na poddrzewach uzyskanych przez rozłączenie w pewnym wierzchołku. Co więcej, w pracy [72] pokazano, że jeśli założymy, że wartość własna λn jest prosta, to uzyskamy informację, że odpowiadająca jej funkcja własna yn posiada n dziedzin węzłowych. W artykule tym rozważano również asymptotykę wartości własnych. Z kolei w [11] autor bada obliczanie liczby dziedzin węzłowych dla funkcji własnych w przypadku operatora Laplace’a na grafach ogólnych. Ponadto praca ta zawiera niewiele informacji odośnie przeplatania się miejsc zerowych funkcji własnych. Celem rozprawy doktorskiej, w rozdziale 3, jest rozszerzenie poprzednich wyników na przypadek drzewa kwantowego o potencjale singularnym, tzn. wyrażenia różniczkowego (2), które rozumiemy krawędziowo na grafie metrycznym, z określonymi warunkami brzegowymi we wierzchołkach brzegowych oraz warunkami dopasowania we wierzchołkach wewnętrznych (tak zdefiniowany operator oznaczamy L ). Wykażemy, że twierdzenie porównawcze zachodzi dla singularnych drzew kwantowych, podczas gdy własności oscylacyjne zachodzą ogólnie, tzn. w przypadku, gdy operator nie ma żadnych nieprostych wartości własnych. Posiadanie przez operator nieprostych wartości własnych na drzewie kwantowym powoduje niemałe utrudnienia i komplikacje przy roważaniu teorii oscylacyjnej. Mianowicie istnieje wiele funkcji własnych odpowiadających takim wartościom własnym, stąd liczba dziedzin węzłowych zależy od wyboru konkretnej funkcji własnej. Dodatkowo istnieją zawsze funkcje własne, które przyjmują wartość tożsamościowo równą zero na kilku krawędziach drzewa, co uniemożliwia zliczanie liczby miejsc zerowych lub dyskusję o własności ich przeplatania się. Mimo wszystko wykażemy, że nawet w przypadku obecności nieprostych wartości własnych własności oscylacyjne, dla singularnych drzew kwantowych, pozostają prawdziwe dla prostych wartości własnych. W rozdziale 3.1 wprowadzamy krawędziową notację kątów Pr¨ ufera dla drzew kwantowych, natomiast kolejna sekcja, tj. 3.2, poświęcona została rozszerzeniu twierdzenia porównawczego Sturma na singularne drzewa kwantowe. W podrozdziale 3.3.1 omawiamy własności spektralne drzew kwantowych, a dokładniej kilka własności operatora L na Γ, oraz stosujemy twierdzenie Couranta o dziedzinie węzłowej w celu. –8–.

(9) wykazania twierdzenia oscylacyjnego. W następnym paragrafie 3.3.2 definiujemy ogólne drzewo kwantowe oraz charakteryzujemy jego widmo. W podrozdziale 3.4 konstruujemy rozwiązanie specjalne (rozwiązanie niezdegenerowane spełniające warunki brzegowe w każdym wierzchołku brzegowym oprócz korzenia, przy założeniu λ ∈ R) oraz odpowiadający mu kąt Pr¨ ufera. Dodatkowo prezentujemy kilka lematów opisujących własności takich rozwiązań. W paragrafie 3.5.1 wykorzystujemy specjalny kąt Pr¨ ufera do zliczania wielokrotnych, nieprostych wartości własnych operatora L . Ostatecznie w rozdziale 3.5.2 wykazujemy prawdziwość teorii oscylacyjnej Sturma w przypadku nieogólnym. Otrzymane wyniki w rozdziale 3 są na ogół nowe. Wprawdzie twierdzenie porównawcze Sturma (w przypadku drzew kwantowych) oraz twierdzenie oscylacyjne (dla ogólnych drzew kwantowych) były badane w pracy [66], ale w przypadku potencjałów mierzalnych. Natomiast twierdzenie oscylacyjne w przypadku nieogólnych drzew kwantowych, o prostych wartościach własnych, nie było do tej pory badane. Jednym z interesujących kierunków rozważań jest teoria spektralnych zagadnień odwrotnych na grafach kwantowych. Polega ona na rekonstrukcji grafów metrycznych oraz/lub wyrażeń różniczkowych oraz/lub warunków dopasowania przy użyciu pewnych danych spektralnych. Prawie 70 lat temu Borg [16], Levinson [55], Marchenko [57], Gelfand i Levitan [31] oraz Krein [49] stworzyli nową, obecnie bardzo popularną teorię odwrotnych zagadnień spektralnych dla operatorów różniczkowych na przedziale. Polega ona na możliwości rekonstrukcji potencjału, który jest funkcją całkowalną o wartościach rzeczywistych, w sposób jednoznaczny za pomocą każdego z następujących zbiorów danych: • wartości własnych odpowidających zagadnieniu brzegowemu Dirichleta oraz wartości własnych odpowiadających zagadnieniu brzegowemu Dirichleta–Neumanna (teoria Borga); • wartości własne odpowiadające zagadnieniu brzegowemu Dirichleta oraz dane Neumanna, które są powiązane z funkcjami własnymi (teoria Levinsona); • wartości własne odpowiadające zagadnieniu brzegowemu Dirichleta oraz współczynniki normujące związane z funkcjami własnymi (teoria Marchenki). Problem badania rozwiązywalności zagadnienia odwrotnego dla tego typu operatora określonego na przedziale został przedłużony do badania na grafach kwantowych. Pomimo tego, obecnie nie ma rozwiniętej ogólnej teorii dla spektralnego zagadnienia odwrotnego operatorów Sturma–Liouville’a na grafach. Głównym czynnikiem odpowiedzialnym za ten stan rzeczy jest to, że zagadnienie Cauchy’ego dla dowolnych danych na grafach może posiadać nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć ich wcale, a jak wiadomo, mówiąc o spektralnym zagadnieniu odwrotnym dla operatorów różniczkowych, pierwsze pytanie jakie się nasuwa jest pytaniem –9–.

(10) o jednoznaczność wyznaczonego rozwiązania. W literaturze można znaleźć opracowania dotyczące specjalnych rodzajów tego typu zagadnień na grafach. Pierwszymi pracami, spośród wielu, które zasługują na uwagę są praca Gerasimenki i Pavlova [32] oraz artykuł Carlsona [21], dla którego punktem wyjścia do rozważania operatorów różniczkowych na grafach jest postrzeganie ich jako jednowymiarowych rozmaitości. W pracy [21] spektralne zagadnienie odwrotne dla operatorów Schr¨ odingera zostaje rozwiązane przy pomocy informacji o ich widmach (wartościach własnych). Pomimo braku ogólnie rozwiniętej teorii dla spektralnych zagadnień odwrotnych dla operatorów Sturma–Liouville’a na grafach, teoria ta została szeroko zbadana dla specjalnych rodzajów grafów, np. drzew. Kierunek tego badania zawdzięcza swój rozwój dzięki licznym zastosowaniom modeli drzew kwantowych w fizyce i chemii. W pracy [20] można znaleźć szeroki przegląd literatury dotyczącej tego zagadnienia. Problem spektralnego zagadnienia odwrotnego w ogólnym sformułowaniu dla drzew zwartych był po raz pierwszy przedstawiony w pracy [9]. Niestety podane rozwiązanie zostało opracowane przy użyciu zbyt dużej liczby założeń, tym samym pytanie, jak poprawnie zdefiniować spektralne zagadnienie odwrotne, pozostało pytaniem otwartym. W 2005 r. odpowiedź podali Brown i Weikard [19], oraz niezależnie Yurko [82], co więcej przedstawili wyniki dla spektralnego zagadnienia odwrotnego operatorów Sturma–Liouville’a na drzewach. Yurko we wspomnianej pracy uogólnił problem Borga nie tylko w przypadku operatorów samosprzężonych, ale również wtedy, gdy potencjał jest funkcją o wartościach zespolonych. W innej pracy tego autora, [83], możemy znaleźć twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rekonstrukcji operatora na podstawie następujących danych: funkcji Weyla (uogólnienie klasycznego zagadnienia odwrotnego dla operatora Sturma–Liouville’a na przedziale), układu widm (uogólnienie klasycznego zagadnienia Borga), residuów funkcji Weyla dla poszczególnych wartości własych, tzn. jej biegunów (uogólnienie klasycznego zagadnienia spektralnego dla operatorów Sturma–Liouville’a sformułowanego przez Marchenka). Autor w każdym z wymienionych wyżej przypadków podaje konstruktywny algorytm na rekonstrukcję współczynników operatora wykorzystując metodę odwzorowań spektralnych. W tym miejscu należy również wspomnieć o drugiej pracy Browna i Weikarda [20], w której zostały uogólnione, na przypadek skończonego drzewa, dobrze znane klasyczne twierdzenia spektralnego zagadnienia odwrotnego typu Levinsona i Marchenki. Narzędziem, za pomocą którego owe uogólnienie zostało przeprowadzone, są funkcje Weyla i Greena oraz odwzorowanie przeprowadzające warunki brzegowe typu Dirichleta w warunki brzegowe typu Neumanna (ang. Dirichlet–to–Neumann map). Na wyróżnienie zasługują również prace [64, 65]. W pierwszej z nich autor rozważa spektralne zagadnienie odwrotne rekonstrukcji potencjału operatora Sturma–Liouville’a oraz warunków. – 10 –.

(11) dopasowania na grafie gwiazdkowym składającym się z trzech krawędzi o warunkach brzegowych we wierzchołkach brzegowych oraz warunku dopasowania we wierzchołku wewnętrznym. W drugiej pracy autor uogólnia otrzymane wyniki na dowolny, skończony graf gwiazdkowy oraz podaje algorytm na rekonstrukcję potencjału. Currie oraz Watson w pracach [24, 25] rozważają zagadnienie odwrotne dla problemu brzegowego Sturma–Liouville’a na grafach na podstawie informacji o M –macierzy, która jest powiązana z odpowiednikiem macierzowego kąta Pr¨ ufera. Autorzy wykazują, że dla ko–normalnych warunków brzegowych potencjał może zostać rekonstruowany z danych zawartych w M –macierzy z dokładnością do równoważności unitarnej. Innym, bardzo ciekawym kierunkiem badań spektralnego zagadnienia odwrotnego jest tzw. częściowe spektralne zagadnienie odwrotne. Polega ono na rekonstrukcji operatora na podstawie informacji o potencjale na części grafu. Okazuje się, że aby to uczynić potrzebna jest mniejsza liczba danych spektralnych, w porównaniu z pełnym zagadnieniem odwrotnym. W celu uzyskania bliższych informacji odsyłamy do [14, 15]. Inne źródła dotyczące spektralnego zagadnienia odwrotnego można znaleźć w pracy Nowaczyk [61], gdzie przedstawiono rewelacyjny przegląd literatury dotyczącej tego zagadnienia. Praca ta jest rozprawą doktorską opartą o artykuły [7], [52], [53], [62], poświęconą zagadnieniom odwrotnym dla grafów kwantowych o operatorach różniczkowych Laplace’a. Autorka, popierając przykładem, pokazuje, że problem rekonstrukcji grafu metrycznego nie jest zagadnieniem trywialnym i nie można dokonać jego rekonstrukcji w sposób jednoznaczny. Dodatkowo bada i wyjaśnia zależność warunków brzegowych w dowolnym wierzhchołku od parametryzacji wyznaczonej w sposób jednoznaczny przez pewną macierz unitarną. W [53] wprowadzono i szczegółowo zbadano nową klasę warunków brzegowych, które nazwano hiperpłaszczyznowymi warunkami dopasowania. Nowaczyk w [62], przy założeniu o skończoności i zwartości grafu metrycznego Γ, zbadała warunki, które gwarantują, że informacja o widmie operatora Laplace’a wyznacza graf w sposób jednoznaczny. W [7] autorzy zbadali rekonstrukcję warunków brzegowych w przypadku grafów gwiazdkowych. Kolejnym kierunkiem rozwoju badań spektralnego zagadnienia odwrotnego jest rekonstrukcja potencjału będącego funkcją uogólnioną (dystrybucją). W przypadku klasycznej teorii zagadnień odwrotnych [16], [55], tzn. dla lokalnie całkowalnych potencjałów, wiemy, że sama informacja o widmie operatora nie pozwala jeszcze na jego rekonstrukcję. Podobne wyniki, ale dla klasy operatorów Sturma–Liouville’a z potencjałami z przestrzeni W2−1 (0, 1), uzyskano w pracy [41]. Rekonstrukcja potencjału singularnego, czyli z przestrzeni W2−1 (0, 1), w klasie operatorów Sturma–Liouville’a, za pomocą informacji o widmie i stałych normujących została opisa-. – 11 –.

(12) na w pracy [41]. Inna praca tych autorów [42] opisuje rekonstrukcję potencjału uogólnionego z dwóch widm odpowiadających operatorowi Sturma–Liouville’a, ale przy różnie określonych warunkach brzegowych. Ponadto R. Hryniv i Ya. Mykytyuk w [43] podają jasno sprecyzowany przepis (warunki konieczne i dostateczne) na rozwiązanie spektralnego zagadnienia odwrotnego, w przypadku potencjałów uogólnionych, wykorzystując informację o trzech widmach (jedno dla całego przedziału, dwa pozostałe dla dwóch jego części) oraz analizują jednoznaczność rozwiązania. Podążając śladami autorów wyżej wymienionych prac Yurko i inni w [29] badają spektralne zagadnienie odwrotne dla operatorów Sturma–Liouville’a z potencjałami singularnymi na grafach gwiazdkowych. Jest to pierwsza praca opisująca tego typu zagadnienie na grafach. Aparatem wykorzystywanym do przeprowadzenia analizy jest funkcja Weyla (uogólnienie klasycznej m–funkcji dla operatorów Sturma–Liouville’a na przedziale). Problem rozwiązano w sposób jednoznaczny za pomocą metody odwzorowania spektralnego [30] oraz podano algorytm na jego rozwikłanie. Z kolei w [13] autorka bada częściowe spektralne zagadnienie odwrotne dla operatorów Sturma–Liouville’a o potencjałach uogólnionych na grafach gwiazdkowych. W naszej pracy (rozdział 4) skupimy się na spektralnym zagadnieniu odwrotnym dla drzew kwantowych z potencjałami singularnymi. Jest to, wspomniany już wcześniej, drugi kierunek prowadzonych badań, który przedstawiamy w rozprawie doktorskiej. W szczególności zbadamy zagadnienie odwrotne polegające na rekonstrukcji singularnego operatora Sturma–Liouville’a na drzewie metrycznym. Zdefiniujemy uogólnioną m–funkcję Weyla–Titchmarsha (definicja 4.1) oraz w lemacie 4.2 zbadamy jej asymptotykę. Udowodnimy istnienie i jednoznaczność rozwiązania Weyla na singularnym drzewie kwantowym (lemat 4.1). Głównym twierdzeniem rozdziału 4 jest twierdzenie 4.1. Wyjaśnia ono, w jaki sposób przeprowadzić jednoznaczną rekonstrukcję potencjału będącego funkcją uogólnioną na drzewie kwantowym, wykorzystując informację z odpowiadającej mu m–macierzy Weyla–Titchmarsha. Macierz ta jest uogólnieniem klasycznej m– funkcji Weyla–Titchmarsha dla operatorów różniczkowych na przedziałach, którą omówiliśmy w podrozdziale 1.3.. – 12 –.

(13) Rozdział 1. Wiadomości wstępne. W rozdziale tym przypomnimy najważniejsze definicje i twierdzenia związane z teorią operatorów Sturma–Liouville’a o potencjałch singularnych. Na początku (§ 1.1) zdefiniujemy zagadnienie Sturma–Liouville’a w klasycznej formie (tj. w przypadku potencjału regularnego) na odcinku, następnie (§ 1.2) sformułujemy to samo zagadnienie w przypadku singularnym (tj. w przypadku potencjału będącego funkcją uogólnioną) na odcinku [0, 1]. Fragment § 1.3 dotyczy asymptotyki spektralnej singularnych operatorów Sturma–Liouville’a na przedziale [0, a], a ∈ R. W ostatniej części tego rozdziału (§ 1.4) określimy zagadnienie Sturma–Liouville’a dla grafów metrycznych.. 1.1. Regularne zagadnienie Sturma–Liouville’a. Jednym z najczęściej rozpatrywanych problemów w teorii równań różniczkowych drugiego rzędu jest zagadnienie Sturma–Liouville’a oraz związana z nim teoria oscylacji i twierdzeń porównawczych. W celu lepszego zrozumienia problematyki rozpoczniemy od przypomnienia klasycznej teorii Sturma–Liouville’a na skończonym przedziale [a, b], [17, 22, 36, 79]. Niech p, q będą funkcjami rzeczywistymi na zwartym przedziale I = [a, b] takimi, że p > 0 p.w. oraz 1/p i q są całkowalne na I (1/p, q ∈ L1 (a, b)). Klasyczna teoria oscylacyjna Sturma [77] dla problemu odnajdywania wartości własnych równania −(py 0 )0 + qy = λy,. (1.1). zgodnego na przykład z warunkami brzegowymi Dirichleta y(a) = y(b) = 0,. (1.2). głosi, że: 1. Wartości własne λn (n ∈ Z+ ) zagadnienia (1.1)–(1.2) są rzeczywiste, ograniczone z dołu oraz są podzbiorem dyskretnym w R, z jedynym punktem skupienia w +∞.. – 13 –.

(14) 2. Funkcja własna yn odpowiadająca wartości wlasnej λn posiada dokładnie n wewnętrznych miejsc zerowych, które przeplatają się z miejscami zerowymi funkcji własnej yn+1 odpowiadającej wartości własnej λn+1 (tzn. pomiędzy dwoma kolejnymi miejscami zerowymi funkcji własnej yn+1 istnieje miejsce zerowe funkcji własnej yn ).. y1. y2. s. s. a. b. Rysunek 1.1. Miejsca zerowe funkcji własnych y1 , y2. 1.2. Singularne zagadnienie Sturma–Liouville’a. W klasycznej teorii Sturma–Liouville’a dla operatorów określonych na odcinku [0, 1] przez wyrażenie różniczkowe τ y := −y 00 + qy,. (1.3). zakładamy, że potencjał q jest funkcją całkowalną oraz y ∈ W22 (0, 1) = {y ∈ L2 (0, 1) : y 0 , y 00 ∈ L2 (0, 1)}. W przypadku, gdy q jest niecałkowalny w punktach końcowych przedziału przyjmujemy, że q ∈ L1,loc (0, 1). Natomiast w niniejszym podrozdziale skupimy się na sytuacji, gdy potencjał q w (1.3) jest funkcją uogólnioną (np. δ–funkcją Diraca), a więc nie musi być całkowalny nawet lokalnie. Omówimy najpierw takie zagadnienie na odcinku [0, 1] przy założeniu, że q jest dystrybucją o wartościach rzeczywistych z przestrzeni W2−1 (0, 1) – przestrzeni dualnej (w sensie iloczynu ◦. skalarnego w L2 (0, 1)) do przestrzeni W21 (0, 1) = {y ∈ L2 (0, 1) : y 0 ∈ L2 (0, 1), y(0) = y(1) = 0}. Innymi słowy funkcję q z przestrzeni W2−1 (0, 1) można podać [59] jako q(x) = u0 (x),. gdzie. u(x) ∈ L2 (0, 1).. (1.4). Powyższa równość jest rozumiana w sensie dystrybucji, czyli spełniona jest równość (q, ϕ) = −(u, ϕ0 ), dla dowolnej funkcji próbnej, tzn., funkcji gładkiej ϕ o nośniku zwartym w przedziale (0, 1), czyli ϕ ∈ C0∞ (0, 1). Działanie (·, ·) oznacza iloczyn skalarny zgodny z normą przestrzeni L2 (0, 1). W celu poprawnego określenia operatora różniczkowego wykorzystamy metodę regularyzacji – 14 –.

(15) quasi–pochodnymi, która po raz pierwszy została opisana w pracy [5], dla szczególnego przypadku q(x) =. 1 x. na (−1, 1), a następnie została uogólniona dla dowolnego potencjału q ∈ W2−1 (0, 1). w pracach [73, 74]. Definicja 1.1. Niech q ∈ W2−1 (0, 1) będzie funkcją uogólnioną o wartościach rzeczywistych oraz u ∈ L2 (0, 1) będzie jej rzeczywistą funkcją pierwotną w sensie uogólnionym, tzn. u0 = q. Oznaczmy przez AC(0, 1) klasę funkcji absolutnie ciągłych na (0, 1), tzn. AC(0, 1) = W11 (0, 1) = {y ∈ L1 (0, 1) : y 0 ∈ L1 (0, 1)}. Wówczas dla dowolnej funkcji y ∈ AC(0, 1) definiujemy jej quasi– pochodną jako y [1] = y 0 − uy, a wyrażenie różniczkowe τ w sposób następujący: 0. τ y = − y [1] − uy [1] − u2 y. (1.5). dom τ := {y ∈ L2 (0, 1) : y, y [1] ∈ AC(0, 1), τ y ∈ L2 (0, 1)}.. (1.6). na dziedzinie. Cytując wyniki z pracy [73] otrzymujemy, że operatory z potencjałami uogólnionymi są zdefiniowane w sposób jawny oraz równości (1.5)–(1.6) są naturalnym uogólnieniem wyrażenia (1.3) rozumianym w sensie dystrybucji. Mianowicie, niech u ∈ L2 (0, 1) oraz un , n ∈ N, będzie ciągiem funkcji rzeczywistych i gładkich na odcinku [0,1] takim, że kun (x) − u(x)kL2 → 0,. gdy n → ∞.. (1.7). Oznaczmy przez Tn , n ∈ N, ciąg operatorów Sturma–Liouville’a generowanych przez wyrażenia różniczkowe τn :=. d2 dx2. + u0n oraz warunki brzegowe y(0) = y(1) = 0 dla każdej funkcji y. z dziedzin operatorów τn . Niech T będzie operatorem generowanym przez wyrażenie τ z definicji 1.1 i warunki brzegowe y(0) = y(1) = 0. Wiadomym jest fakt [73], że operatory Tn oraz T są samosprzężone. Jeśli zachodzi warunek (1.7), to dla każdej liczby nierzeczywistej µ ciąg operatorów ograniczonych (Tn − µ)−1 jest zbieżny według normy operatorowej do operatora (T − µ)−1 , tzn.. (Tn − µ)−1 − (T − µ)−1 → 0, L 2. gdy n → ∞.. Wniosek 1.1. Na podstawie definicji (1.5) wyrażenia τ równość τ y = λy + f, dla f ∈ L2 (0, 1), λ ∈ C, możemy zinterpretować jako układ równań różniczkowych pierwszego rzędu. Istotnie, przyjmując y1 = y oraz y2 = y [1] = y 0 − uy, otrzymujemy d y1 dx y2. !.   = |. . u. !. !. 1  y1 0 + .  y2 −f −u2 − λ −u {z. A(x). (1.8). }. Wyrazy macierzy A(x) są elementami z przestrzeni L1 (0, 1). Wówczas prawdziwy jest następujacy – 15 –.

(16) Lemat 1.1 ([70], Ch. II, Sec. 3). Niech x0 ∈ [0, 1], c1 , c2 ∈ C. Układ (1.8) posiada jedyne rozwiązanie (y1 , y2 )t spełniające warunki y1 (x0 ) = c1 i y2 (x0 ) = c2 . Wniosek 1.2. Wobec powyższego lematu 1.1 równanie τ y = λy + f posiada rozwiązanie y, które jest wyznaczone w sposób jednoznaczny poprzez warunki y(x0 ) = c1 , y [1] (x0 ) = c2 . Dodatkowo zarówno y jak i jego quasi–pochodna y [1] są funkcjami absolutnie ciągłymi, podczas gdy pochodna y 0 = y [1] + uy nie musi być ciągła. Teraz przejdziemy do omówienia monotoniczności rozwiązania równania τ y = λy, gdy λ ∈ R. Definicja 1.2. Mówimy, że funkcja y jest ściśle rosnąca (odpowiednio malejąca) w punkcie . x0 , gdy istnieje otoczenie O(x0 ) punktu x0 takie, że (x−x0 ) y(x)−y(x0 ) > 0 (odpowiednio (x− . x0 ) y(x) − y(x0 ) < 0) dla każdego x ∈ O(x0 ) \ {x0 }. Poniższy lemat jest bardzo dobrze znany. Przedstawimy jego krótki dowód w ramach uzupełnienia brakujących informacji w literaturze. Lemat 1.2 ([46, 75]). Niech y będzie rozwiązaniem równania τ y = λy, λ ∈ R, takim, że y(x0 ) = 0 i y [1] (x0 ) = c dla pewnego x0 ∈ [0, 1] i c ∈ R. Wówczas spełnione są następujące stwierdzenia: (i) jeżeli c = 0, to y ≡ 0 na [0, 1]; (ii) jeżeli c > 0, to y ściśle rośnie w punkcie x0 ; (iii) jeżeli c < 0, to y ściśle maleje w punkcie x0 . W szczególności każde miejsce zerowe nietrywialnego rozwiązania y równania τ y = λy jest punktem izolowanym na przedziale [0, 1]. Dowód. Pierwsza część lematu wynika z lematu 1.1 o jednoznaczności rozwiązania y. W celu wykazania (ii) zauważmy, że y przyjmuje wartości rzeczywiste i definiujemy funkcję z(x) := y(x) exp{. R x0 x. u(t) dt}. Wówczas z jest funkcją rzeczywistą i absolutnie ciągłą podobnie R x0. jak y. Obliczamy pochodną i otrzymujemy z 0 (x) = y [1] (x) exp{. x. u(t) dt}. Z założenia ma-. my, że y [1] > 0 w pewnym ε–otoczeniu punktu x0 . Stąd wnioskujemy, że z jest funkcją ściśle rosnącą w tym otoczeniu, a tym samym i y, co kończy tę część dowodu. Dowód części (iii) przeprowadzamy analogicznie. Przykład 1.1 (Delta–funkcja Diraca, por. [2] Ch. I.3.1). Rozważmy przedział I = (0, 1) oraz q = αδ(· − a) dla a ∈ (0, 1). Standardowa definicja wyrażenia różniczkowego τ =−. d2 + αδ(· − a) dx2 – 16 –.

(17) jest następująca: τ y = −y 00 dla x 6= a i y ∈ W21 (0, 1) ∩ W22 (0, 1) \ {a} (czyli y jest funkcją . gładką poza punktem a) oraz spełniony jest warunek dopasowania y 0 (a+) − y 0 (a−) = αy(a). Regularyzacja quasi–pochodnymi daje następujące wyniki. Jako funkcję u bierzemy u = αχ(· − a), gdzie χ jest funkcją Heaviside’a. Wyrażenie (1.5) zgadza się z τ y = −y 00 poza punktem x = a. Ponieważ y ∈ dom τ jest ciągła wraz z quasi–pochodną y [1] = y 0 − uy, otrzymujemy warunek dopasowania w punkcie x = a: y [1] (a+) = y [1] (a−) ⇐⇒ y 0 (a+) − u(a+)y(a+) = y 0 (a−) − u(a−)y(a−) ⇐⇒ y 0 (a+) − y 0 (a−) = [u(a+) − u(a−)]y(a) = αy(a). Wówczas z y, y [1] ∈ AC(0, 1) otrzymujemy gładkość y poza punktem a. Przykład 1.2 (Oddziaływanie typu Coulomba na (−1, 1)). Jest to zagadnienie Sturma– Liouville’a z warunkami brzegowymi Dirichleta modelowane przez potencjały typu 1/x: τ =−. d2 α + 2 dx x. (1.9). Wyrażenie (1.9) nie jest proste do zdefiniowania: np. granice, gdy ε → 0, operatorów (1.9) z zamienianym przez wyrażenia. α α x+iε , x−iε ,. i. αx x2 +ε2. są różne [12, 18]. Ponadto zauważmy, że. 1 x. α x. nie. jest dystrybucją jako taka, a wymaga regularyzacji np. przez wartość główną P.v.. Dystybucję u0 otrzymujemy wybierając u jako. u(x) =.    α log(−x). dla.   α log x + β. dla x > 0.. x < 0;. Regularyzacja quasi–pochodnymi daje różne realizacje wyrażenia τ dla różnych β, np. wartości β = 0 odpowiada P.v. x1 .. 1.3. Funkcja Weyla–Titchmarsha singularnego operatora Sturma– Liouville’a na przedziale. W rozdziale tym przedstawimy kilka wyników dotyczących asymptotyki spektralnej singularnych operatorów Sturma–Liouville’a na przedziale [0, a], a ∈ R. Niech q ∈ W2−1 (0, 1) będzie potencjałem singularnym o funkcji pierwotnej u ∈ L2 (0, 1), a τ oznaczone poprzez (1.5)–(1.6). Definicja 1.3. Operator Sturma–Liouville’a odpowiadający wyrażeniu różniczkowemu (1.3) oraz warunkom brzegowym Dirichleta definiujemy jako T y := τ y,. y ∈ dom T = {y ∈ dom τ : y(0) = y(a) = 0} – 17 –.

(18) i oznaczamy przez TD . Definicja 1.4. Operator Sturma–Liouville’a odpowiadający wyrażeniu różniczkowemu (1.3) oraz warunkom brzegowym Dirichleta–Neumanna definiujemy jako T y := τ y,. y ∈ dom T = {y ∈ dom τ : y(0) = y [1] (a) = 0}. i oznaczamy przez TDN . Lemat 1.3. [73, 74] Operatory TD , TDN są samosprzężone, ograniczone z dołu oraz posiadają widma dyskretne. Oznaczmy przez s(·, λ), c(·, λ) rozwiązania fundamentalne (typu sinus i cosinus) równania τ y = ρ2 y (λ = ρ2 ) spełniające warunki początkowe c(0, λ) = s[1] (0, λ) = 1 oraz c[1] (0, λ) = s(0, λ) = 0. Zauważmy, że s(x, ·), c(x, ·) są funkcjami całkowitymi rzędu co najwyżej. 1 2. (patrz. na uwagę 1.1). Rozwiązanie s(·, λ) możemy wyrazić przy użyciu tzw. operatora transformacji [44] s(x, λ) =. sin(ρx) + ρ. Z x. k(x, t) 0. sin(ρt) dt, ρ. gdzie jądro k posiada następujące własności • dla każdego x ∈ [0, a] funkcja k(x, ·) jest elementem przestrzeni L2 (0, a); • odwzorowanie x 7→ k(x, ·) jest ciągłe z [0, a] w L2 (0, a). W podobny sposób możemy zapisać quasi–pochodną s[1] funkcji s s[1] (x, λ) = cos(ρx) +. Z x. ˜ t) cos(ρt) dt, k(x,. 0. gdzie jądro k˜ posiada podobne własności jak jądro k. Co więcej, rozwiązanie c(·, λ) oraz jego quasi–pochodna posiadają reprezentację całkową Z x. c(x, λ) = cos(ρx) +. k1 (x, t) cos(ρt) dt, 0. [1]. c (x, λ) = −ρ sin(ρx) + ρ. Z x. k˜1 (x, t) sin(ρt) dt,. 0. gdzie jądra k1 , k˜1 posiadają te same własności co jądro k. Uwaga 1.1. Jak wynika z powyższych przedstawień funkcja s(x, ·), dla każdego ustalonego x ∈ [0, a], jest funkcją całkowitą rzędu. 1 2. jako funkcja parametru λ i spełnia oszacowanie. s(x, λ) =. 1 Im ρx e (1 + o(1)), 2ρ. gdy λ dąży do nieskończoności na zewnątrz sektora Sε := {z ∈ C : | arg z| ¬ ε}, dla dowolnego ε ∈ (0, π). – 18 –. (1.10).

(19) Niech λk będą wartościami własnymi operatora Sturma–Liouville’a TD . Wartości λk są proste oraz ich asymptotyka dla k → ∞ jest postaci [41] p. ˜k λk = πk + λ. ˜ k ) należacym do `2 . z ciągiem (λ Definicja 1.5. M –funkcję Weyla–Titchmarsha dla operatora TD definiujemy jako m(λ) :=. s[1] (a, λ) . s(a, λ). (1.11). Uwaga 1.2. M –funkcja Weyla–Titchmarsha jest funkcją wymierną posiadającą miejsca zerowe µk (punkty odpowiadające wartościom własnym operatora TDN ) i bieguny jednokrotne λk . Stąd określenie m–funkcji równoważne jest zadaniu widm wyrażenia różniczkowego τ o warunkach brzegowych Dirichleta oraz Dirichleta–Neumanna. Zgodnie z [42] pozwala to na rekonstrukcję operatorów TD oraz TDN w sposób jawny. Lemat 1.4. M –funkcja m(λ) spełnia zachowanie asymptotyczne √ √ m(λ) = −i λ + o( λ), gdy λ → ∞ na zewnątrz wycinka Sε dla każdego ε > 0. Dowód. Używając reprezentacji całkowej rozwiązania s mamy s(a, λ) = gdzie s˜(λ) :=. Ra 0. sin ρa s˜(λ) + , ρ ρ. k(a, t) sin(ρt) dt spełnia oszacowanie [58, lemat 1.3.1] s˜(λ) = o(e| Im ρ|a ),. gdy λ → ∞ na zewnątrz każdego Sε . W podobny sposób otrzymujemy, że s[1] (a, λ) = cos(ρa) + c˜(λ) z c˜(λ) = o(e| Im ρ|a ), gdy λ → ∞ na zewnątrz Sε . Wówczas m(λ) = ρ. sin(ρa) c˜(λ) cos(ρa) +ρ . sin(ρa) sin(ρa) + s˜(λ) sin(ρa) + s˜(λ). Zauważmy, że dla ρ → ∞ na zewnątrz dowolnego sektora Sε mamy cos(ρa) = −i + o(1), sin(ρa). sin(ρa) = 1 + o(1), sin(ρa) + s˜(λ). c˜(λ) = o(1). sin(ρa) + s˜(λ). Łącząc uzyskane zależności otrzymujemy żądaną asymptotykę dla funkcji m(λ), co kończy dowód. – 19 –.

(20) 1.4. Zagadnienie Sturma–Liouville’a dla grafów kwantowych Na początku wprowadzimy podstawową terminologię, którą będziemy się posługiwać w dal-. szej części pracy. Została ona w większości zaczerpnięta z następujących pozycji literatury [1], [51], [61], [72].. 1.4.1. Drzewo metryczne. Definicja 1.6. Strukturę Γ = (V, E) składającą się ze zbioru wierzchołków (punktów) V = V (Γ) oraz zbioru krawędzi E = E(Γ) łączących niektóre pary wierzchołków nazywamy grafem geometrycznym. Definicja 1.7. Grafem metrycznym nazywamy graf geometryczny z wprowadzoną metryką na każdej jego krawędzi γ ∈ E(Γ). Oznaczenie 1. Zakładamy, że Γ jest skończony i zwarty. Liczbę wszystkich krawędzi grafu Γ oznaczamy przez N. Uwaga 1.3. Krawędzie w E(Γ) możemy przenumerować jako γ1 , . . . , γN . Wówczas dowolną krawędź γk identyfikujemy z przedziałem [x2k−1 , x2k ] na prostej. Punkt x2k−1 traktujemy jako wierzchołek początkowy krawędzi γk , natomiast x2k jako punkt końcowy—koniec krawędzi. Każdy wierzchołek v jest utożsamiany z podzbiorem odpowiednich punktów ze zbioru {xk }2N k=1 . Definicja 1.8. Stopniem lub walencyjnością wierzchołka v ∈ V nazywamy liczbę krawędzi z niego wychodzących i oznaczamy d(v). Definicja 1.9. Wierzchołek v ∈ V nazywamy brzegowym, gdy jego stopień wynosi 1, czyli d(v) = 1. Wierzchołek, którego walencyjność spełnia nierówność d(v) > 1 nazywamy wierzchołkiem wewnętrznym. Zbiór wszystkich wierzchołków brzegowych oznaczamy symbolem ∂Γ, natomiast zbiór wszystkich wierzchołków wewnętrznych symbolem I(Γ). Wnętrzem grafu nazywamy zbiór int(Γ) := Γ \ ∂Γ. Definicja 1.10. Pętlą nazywamy krawędź γ ∈ E(Γ), której wierzchołki początkowy i końcowy pokrywają się.. Definicja 1.11. Mówimy, że: – graf jest spójny, gdy spójne są każde jego dwa wierzchołki;. – 20 –.

(21) tn t. . . t Q . Q i t. t Qt PP PP Pt t Q Q Qt. Rysunek 1.2. Graf metryczny zawierający pętle t. A. At. t XXt. B B Bt PP. t . t t QQ t t Qt PP PP t P t Q Q Qt PP t P. Rysunek 1.3. Graf metryczny zawierający cykle – wierzchołki v∗ i v ∗ są spójne jeśli istnieje ciąg wierzchołków v0 , v1 , . . . , vn , n ∈ N, taki, że v0 = v∗ , vn = v ∗ i każde dwa wierzchołki vj i vj+1 , j = 0, 1, . . . , n − 1, są połączone krawędzią; – odpowiadające krawędzie kształtują cykl (podzbiór homeomorficzny z kołem), gdy v0 = vn i n > 1, n ∈ N, zobacz rysunek 1.3. Definicja 1.12. Spójny graf metryczny niezawierający pętli ani cykli nazywamy drzewem. Definicja 1.13. Korzeniem drzewa Γ nazywamy jeden z ustalonych jego wierzchołków brzegowych i oznaczamy symbolem v0 .. vt0. t t t t QQ tP Qt t PP Q PP t tS Q S Qt Q Q Qt S St. Rysunek 1.4. Drzewo metryczne z wierzchołkiem v0. Uwaga 1.4. Wybór korzenia jest możliwy, co jest podyktowane faktem, że zbiór ∂Γ nie jest pusty; skończone drzewo metryczne ma niepusty ∂Γ (moc zbioru ∂Γ wynosi co najmniej 2 w przypadku najprostszego drzewa tj. odcinka). Mając wybrany korzeń ustalamy naturalną orientację, kierunek na drzewie z v0 w „górę”. Każda krawędź γ jest zorientowana i posiada – 21 –.

(22) swój początek aγ ∈ V (Γ) oraz koniec bγ ∈ V (Γ). Przez „metrykę” rozumiemy odległość, która jest definiowana na każdej krawędzi γ, w taki sposób, że γ może być utożsamiana z przedziałem [0, dγ ] na prostej, gdzie dγ oznacza długość krawędzi. Mając zdefiniowane pojęcie orientacji na grafie możemy wprowadzić notację poziomu wierzchołka i krawędzi w sposób następujący: Definicja 1.14. Przyjmujemy, że korzeń v0 ma poziom zerowy, natomiast krawędź mająca w nim swój początek ma poziom pierwszy i łączy v0 z wierzchołkiem o poziomie pierwszym. Analogiczną terminologię wprowadzamy dla każdego wierzchołka vk , k = 1, 2, . . . . Każda krawędź mająca swój początek we wierzchołku o poziomie k ma poziom o jeden wyższy, czyli k + 1, natomiast koniec tej krawędzi jest punktem o poziomie k + 1. Definicja 1.15. Wysokością drzewa nazywamy największą liczbę spośród poziomów jego wierzchołków (lub krawędzi).. 1.4.2. Operatory różniczkowe. Jak już wcześniej założyliśmy, każdą krawędź drzewa Γ utożsamiamy z przedziałem na R, tak więc notacje różniczkowalności i całkowalności funkcji na zbiorze Γ \ V (Γ) są definiowane w standardowy sposób. Definicja 1.16. Dla s 1 definiujemy przestrzeń Lebesgue’a Ls (Γ) na Γ jako Ls (Γ) := ⊕γ∈E(Γ) Ls (γ). Każda funkcja f ∈ Ls (Γ) jest jednoznacznie określona na grafie Γ (jako element Ls (Γ)) poprzez jej zawężenia fγ do poszczególnych krawędzi γ ∈ E(Γ). Oznaczenie 2. Niech γ ∈ E(Γ). Przestrzeń Sobolewa funkcji rzędu s standardowo oznaczamy jako W2s (γ) [59]. W szczególności przestrzeń W21 (γ) składa się z funkcji z L2 (γ), których pochodne uogólnione należą do L2 (γ). Elementy zbioru W21 (γ) są funkcjami absolutnie ciągły◦. mi. Niech W21 (γ) oznacza podprzestrzeń przestrzeni W21 (γ) składającą się z tych funkcji, które przyjmują wartość równą zero na końcach krawędzi. Wtedy przestrzeń W2−1 (γ) jest przestrze◦. nią dualną do W21 (γ). Każdą funkcję f ∈ W2−1 (γ) możemy zapisać jako f = g 0 dla pewnego g ∈ L2 (γ). Niech W2−1 (Γ) := ⊕γ∈E(Γ) W2−1 (γ). Teraz wprowadzimy wyrażenie różniczkowe na drzewie Γ. Określimy go najpierw w przypadku potencjałów regularnych. – 22 –.

(23) Definicja 1.17. Niech q będzie całkowalną, rzeczywistą funkcją na drzewie metrycznym Γ. Wówczas na L2 (Γ) wprowadzamy wyrażenie różniczkowe τ jako τ := −. d2 + q. dx2. (1.12). Uwaga 1.5. Wyrażenie (1.12) rozumiemy krawędziowo, tzn. • L2 (Γ) = ⊕γ∈E(Γ) L2 (γ); • dla y ∈ L2 (Γ) yγ oznacza zawężenie y do krawędzi γ; • wówczas (τ y)γ = −yγ00 + qγ yγ dla każdego γ ∈ E(Γ); • dom τ = ⊕γ∈E(Γ) W22 (γ), tj., τ jest określone na swojej maksymalnej dziedzinie. Następnie zakładamy, że q jest dystrybucją z przestrzeni W2−1 (Γ) przyjmującą wartości rzeczywiste. Na przestrzeni Hilberta L2 (Γ) określamy wyrażenie różniczkowe τ, τ := −. d2 + q. dx2. (1.13). Uwaga 1.6. Wyrażenie τ rozumiemy krawędziowo, czyli (τ y)γ := −yγ00 + qγ yγ ; jest to zawężenie wyrażenia τ y do krawędzi γ ∈ Γ, gdzie pochodne są rozumiane w sensie uogólnionym. Operator τ możemy zdefiniować w sposób równoważny używając techniki regularyzacji quasi–pochodnymi opisanej w [73, 74]. Definicja 1.18. Niech u ∈ L2 (Γ) będzie funkcją rzeczywistą taką, że q = u0 . Określamy quasi–pochodne z funkcji absolutnie ciągłej y jako y [1] := y 0 − uy. Wówczas wyrażenie τ działa w sposób następujący: 0. τ y = − y [1] − uy [1] − u2 y na swojej dziedzinie dom τ := {y ∈ L2 (Γ) : ∀γ ∈ E(Γ), yγ , yγ[1] ∈ AC(γ), (τ y)γ ∈ L2 (γ)}.. 1.4.3. Warunki brzegowe i warunki dopasowania. Warunki brzegowe i dopasowania określamy odpowiednio we wierzchołkach brzegowych v ∈ ∂Γ i wewnętrznych v ∈ I(Γ) w taki sposób, aby pozostawały one zgodne ze strukturą wierzchołków oraz gwarantowały samosprzężoność operatora na drzewie. – 23 –.

(24) Definicja 1.19. Zakładamy, że v ∈ I(Γ) jest wierzchołkiem wewnętrznym. Niech γ+ oznacza jedyną krawędź mającą swój koniec we wierzchołku v, natomiast przez B(v) oznaczamy (niepusty) zbiór krawędzi mających swój początek w punkcie v. Określamy warunki dopasowania typu δ jako y jest ciągła w v; (y [1] )γ+ (v) −. X. (y [1] )e (v) = α(v)y(v),. (1.14) (1.15). e∈B(v). gdzie y(v) oznacza wspólną wartość funkcji y we wierzchołku v. Uwaga 1.7. Bez straty ogólności zakładamy, że α(v) = 0. Istotnie, wartość α(v) = 0 możemy uzyskać zastępując funkcję pierwotną uγ z q na krawędzi γ+ przez sumę uγ+ + α(v). Takie postępowanie powinno być kolejno przeprowadzone w każdym wierzchołku startując od wierzchołka wewnętrznego o najniższym poziomie. Uwaga 1.8. Dla α(v) = 0 równanie (1.15) oznacza zachowanie całkowitego strumienia przechodzącego przez wierzchołek v. Wobec tego faktu warunki (1.14)–(1.15) są singularnym odpowiednikiem standardowych warunków dopasowania Kirchhoffa. Przykład 1.3. Niech v ∈ I(Γ) oraz d(v) = 2. Wówczas zbiór B(v) = {γ− } składa się z jednej krawędzi mającej swój początek w v. Warunek (1.15) z α(v) = 0 (patrz na uwagę 1.8) przybiera postać (y [1] )γ+ (v) − (y [1] )γ− (v) = 0, a tym samym oznacza, że zarówno funkcja y jak i jej quasi–pochodna y [1] są ciągłe w punkcie v. Możemy zatem scalić krawędzie γ+ i γ− formując pojedynczą krawędź γ+ ∪ {v} ∪ γ− .. t. γ+. v. t. γ− t. Rysunek 1.5. Wierzchołek v o walencyjności 2. Uwaga 1.9. Wobec powyższego przykładu, bez straty ogólności, zakładamy, że drzewo nie posiada wierzchołków o stopniu 2. Definicja 1.20. Zawężenie wyrażenia różniczkowego τ do zbioru funkcji spełniających warunki (1.14)–(1.15) w każdym wierzchołku v ∈ I(Γ) oznaczamy przez `.. – 24 –.

(25) Definicja 1.21. Niech v ∈ ∂Γ \ {v0 } i γ ∈ E(Γ) będzie krawędzią mającą swój koniec we wierzchołku v. Dla każdego wierzchołka brzegowego, z wyjątkiem korzenia, wprowadzamy warunki brzegowe Robina jako (y [1] )γ (v) sin α(v) = yγ (v) cos α(v),. (1.16). dla α(v) ∈ [0, π]. Warunek brzegowy dla korzenia v0 jest wprowadzany w sposób analogiczny. Uwaga 1.10. Dla α(v) = 0 lub α(v) = π warunek (1.16) przyjmuje postać warunku brzegowego Dirichleta. W przeciwnym razie, tzn. gdy sin α(v) 6= 0, wartość α(v) można wziąć równą π 2,. jeśli funkcję u zastąpimy przez u1 = u + cot α(v) wzdłuż krawędzi γ. Wtedy warunek (1.16). stanie się warunkiem brzegowym Neumanna. Definicja 1.22. Wyrażenie różniczkowe ` spełniające warunki brzegowe (1.16) dla wszystkich v ∈ ∂Γ oznaczamy L . Uwaga 1.11. Operator L jest samosprzężony na przestrzeni L2 (Γ) (zob. rozdział 3.3.1, lemat 3.2). Po wprowadzeniu podstawowych definicji i oznaczeń możemy przystąpić do określenia terminu drzewa kwantowego. Definicja 1.23. Drzewo metryczne z określonym na jego krawędziach symetrycznym wyrażeniem różniczkowym τ , gdzie funkcje z dziedziny operatora τ spełniają warunki (1.14)–(1.15) we wierzchołkach wewnętrznych oraz warunek (1.16) w każdym wierzchołku brzegowym, nazywamy drzewem kwantowym.. Innymi słowy, drzewo kwantowe to drzewo metryczne Γ z określonym na jego krawędziach operatorem samosprzężonym L z przestrzeni L2 (Γ).. – 25 –.

(26) Rozdział 2. Teoria oscylacji dla singularnego zagadnienia Sturma–Liouville’a na [0, 1]. W rozdziale tym udowodnimy klasyczne twierdzenia porównawcze i oscylacyjne Sturma na skończonym przedziale [0, 1] dla operatorów Sturma–Liouville’a z potencjałami będącymi rzeczywistymi funkcjami uogólnionymi. Główną motywacją do rozważania tego typu zagadnienia jest możliwość późniejszego (zob. rozdział 3) wykorzystania otrzymanych wyników do opisania tego problemu na grafach kwantowych. W literaturze niejednokrotnie redagowano już takie zagadnienie dla singularnych operatorów na pojedynczej krawędzi, m.in. w [75]. Jednakże przedstawione w tym artykule podejście do tego typu zagadnienia nie pozwala na jego uogólnienie na grafy. W celu możliwości przeniesienia otrzymanych wyników na grafy kwantowe wykorzystamy technikę kątów Pr¨ ufera – podobnie jak w pracy [75], ale samą definicję kąta Pr¨ ufera wprowadzimy w inny sposób.. 2.1. Kąt Pr¨ ufera i jego własności. Przypomnijmy, że w przypadku singularnego zagadnienia Sturma–Liouville’a na odcinku [0, 1] zakładamy, że q ∈ W2−1 (0, 1) jest potencjałem singularnym o funkcji pierwotnej u ∈ L2 (0, 1), natomaist τ jest określone poprzez (1.5)–(1.6). Nasze rozważania rozpoczynamy od wprowadzenia definicji kąta Pr¨ ufera. Definicja 2.1. Niech λ ∈ R i y(·) = y(· ; λ) będzie rzeczywistym rozwiązaniem równania 0. − y [1] −uy [1] −u2 y = λy. Wprowadzamy współrzędne biegunowe r i θ jako y(x) = r(x) sin θ(x) i y [1] (x) = r(x) cos θ(x). Współrzędną θ nazywamy kątem Pr¨ ufera dla rozwiązania y. Uwaga 2.1. Funkcja θ jest zdefiniowana tylko z dokładnością do modulo 2π. Jednakże, możemy wybrać ciągłą gałęź θ wyznaczoną na przykład przez wartość θ(0) ∈ [0, 2π). Dzieląc wyrażenie y [1] (x) przez y(x) otrzymujemy cot θ = y [1] /y, a nastepnie różniczkując dostajemy równanie różniczkowe θ0 = (u sin θ + cos θ)2 + λ sin2 θ. – 26 –. (2.1).

(27) Zauważmy, że jeśli θ spełania warunek (2.1), to własność tę zachowuje również wartość θ + π, ponieważ jest to kąt Pr¨ ufera dla rozwiązania −y, tak więc wartości θ i θ + π utożsamiamy. Ostatecznie θ jest definiowane z dokładnością do modulo π. Funkcja u występująca po prawej stronie równania (2.1) należy do klasy funkcji L2 (0, 1) i nie posiada dodatkowo żadnej gładkości, więc funkcja (u sin θ + cos θ)2 + λ sin2 θ nie jest ciągła. Tym samym wyrażenie (2.1) należy do klasy równań Carathéodory’ego. Przedstawiona w tym rozdziale teoria istnienia rozwiązania równania Carathéodory’ego została zaczerpnięta z [28, Ch. 1]. Więcej szczegółów można zanleźć w następujących pozycjach literatury [3],[22, Ch. 2], [36, Ch. 2], [70, Ch. 2].. Definicja 2.2. Równanie różniczkowe postaci y 0 (x) = f (x, y(x)). (2.2). nazywamy równaniem Carathéodory’ego na dziedzinie D ∈ R2 , gdy funkcja f spełnia następujące warunki: (i) dla prawie wszystkich x funkcja f (x, y) jest poprawnie określona i zależy w sposób ciągły od y; (ii) dla każdego y funkcja f (x, y) jest mierzalna względem x; (iii) istnieje funkcja całkowalna m(x) taka, że spełniona jest nierówność |f (x, y)| ¬ m(x) dla każdych (x, y) ∈ D. Twierdzenie 2.1. [28, Theorem 1.1] Równanie (2.2) z określonym warunkiem początkowym y(x0 ) = y0 posiada rozwiązanie lokalne postaci Z x. y(x) = y0 +. . f t, y(t) dt. (2.3). x0. dla każdego punktu (x0 , y0 ) ∈ int D. Innymi słowy, rozwiązanie to jest rozumiane w sensie całkowym; jest to funkcja ciągła spełniająca powyższą równość. Jeśli dodatkowo f spełnia warunek (iv) istnieje funkcja całkowalna l(x) taka, że dla każdych (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D spełniona jest nierówność |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ¬ l(x)|y1 − y2 |, to rozwiązanie postaci (2.3) jest wyznaczone w sposób jednoznaczny na D.. – 27 –.

(28) Prawa strona równania (2.1) f (x, y) := u(x) sin y + cos y. 2. + λ sin2 y. spełnia warunki (i)–(iv) na dziedzinie D := [0, 1] × R z funkcjami m(x) = (|u(x)| + 1)2 + |λ| i l(x) = 2m(x). Wniosek 2.1. [28, Ch. 1] Każde rozwiązanie równania (2.1) jest określone na całym przedziale (tzn. jest to rozwiązanie globalne) i jest to funkcja absolutnie ciągła. Uwaga 2.2. Zauważmy, że dla θ(x∗ ) = 0 mod π, (tzn., sin θ(x∗ ) = 0), równanie (2.1) przybiera postać θ0 (x∗ ) = 1. Niestety fakt ten nie świadczy o tym, że θ jest funkcją ściśle rosnącą w punkcie x∗ (tak jak to bywa w przypadku, gdy potencjał q jest funkcją całkowalną), ponieważ f (x, θ) nie jest funkcją ciągłą. Jednakże prawdziwe jest następujące Stwierdzenie 2.1. Funkcja θ jest funkcją ściśle rosnącą w każdym punkcie x∗ , gdzie θ(x∗ ) = 0 mod π, (tzn. w każdym miejscu zerowym rozwiązania równania τ y = λy, które związane jest z wartością θ). Dowód. Z części (ii) i (iii) lematu 1.2 wnioskujemy, że cot θ = y [1] /y < 0 w pewnym lewostronnym otoczeniu punktu x∗ oraz cot θ = y [1] /y > 0 w pewnym prawostronnym otoczeniu punktu x∗ . Stąd θ jest funkcją ściśle rosnącą w każdym punkcie x∗ . Uwaga 2.3. Prawa strona równości (2.1) jest funkcją rosnącą parametru λ, więc naturalnym wydaje się fakt zachowania tej własności dla rozwiązania θ(x, λ). Jednakże standardowy dowód tego faktu opiera się na założeniu ciągłości funkcji f, więc nie może być stosowany w przypadku równań typu Carathéodory’ego. Przedstawimy słabszą własność monotoniczności, którą następnie wykorzystamy dla szczególnego przypadku równania (2.1). Twierdzenie 2.2. Niech D = [0, 1] × K ⊂ R2 , gdzie K = [a, b], −∞ < a < b < ∞, będzie dziedziną prostokątną. Zakładamy, że funkcje f1 i f2 określone na D spełniają warunki (i)–(iv) oraz f1 (x, y) ¬ f2 (x, y) p.w. na D. Niech y1 i y2 będą odpowiednio globalnymi rozwiązaniami równań Carathéodory’ego yj0 = fj x, yj (x) , j = 1, 2, spełniającymi warunki początkowe a < . y1 (0) ¬ y2 (0) < b. Wówczas y1 (x) ¬ y2 (x) dla każdego x ∈ [0, 1]. Dowód. Powyższy lemat jest dobrze znany dla funkcji ciagłych fj , zob. [22, Corollary III.4.2]. Uogólnienie lematu na przypadek funkcji Carathéodory’ego fj uzyskamy aproksymując je funkcjami ciągłymi oraz wykorzystując fakt ciągłej zależności rozwiązań yj od funkcji fj . Dowód został podzielony na kilka etapów. – 28 –.

(29) Krok 1. Niech x∗ := sup{x0 ∈ [0, 1] : y1 (x) ¬ y2 (x). [0, x0 ]}.. na. Chcemy udowodnić, że x∗ = 1. Ponieważ x∗ 0 i y1 (x∗ ) ¬ y2 (x∗ ), więc wygodniejsze będzie udowodnienie lokalnej wersji powyższego lematu: dla każdego x0 ∈ [0, 1) spełniającego nierówność a < y1 (x0 ) ¬ y2 (x0 ) < b istnieje d > 0 takie, że y1 (x) ¬ y2 (x) dla każdego x ∈ [x0 , x0 + d]. Krok 2. W pierwszej kolejności udowodnimy, że istnieje jedyne rozwiązanie równania (2.2) spełniające założenia (i)–(iv) zgodne z warunkiem początkowym y(x0 ) = y0 dla (x0 , y0 ) ∈ [0, 1) × (a, b). Lokalna konstrukcja tego rozwiąznia opiera się na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym. Niech c := min{y0 − a, b − y0 } oraz wybieramy wartość d > 0 taką, że Z x0 +d x0. Z x0 +d. c m(x) dx < , 2. x0. 1 l(x) dx < . 2. (2.4). Określamy przestrzeń C := C[x0 , x0 + d] funkcji ciągłych na przedziale [x0 , x0 + d] z normą kykC :=. max. x∈[x0 ,x0 +d]. |y(x)|.. Następnie rozważamy operator nieliniowy T nad przestrzenią C zdefiniowany jako Z x. f (t, y(t)) dt. T y(x) := y0 +. (2.5). x0. dla y ∈ C takiego, że dla każdego t ∈ [x0 , x0 + d] punkt (t, y(t)) ∈ D. Wówczas rozwiązanie równania y 0 = f (x, y) na [x0 , x0 + d], z określonym warunkiem początkowym y(x0 ) = y0 , jest punktem stałym operatora T. Z oszacowania |T y1 (x) − T y2 (x)| ¬. Z x x0. l(t)|y1 (t) − y2 (t)| dt ¬ 21 ky1 − y2 kC. wnioskujemy, że operator T jest kontrakcją (odwzorowaniem zwężającym). Ponadto kula1 B(y0 ) := {y ∈ C : ky − y0 kC ¬ c} należy do dziedziny operatora T i jest odwzorowywana w siebie, tzn. T B ⊂ B. Istotnie, kT y0 − y0 kC ¬. Z x0 +d. m(t) dt < x0. c 2. oraz dla każdego y ∈ B(y0 ) kT y − y0 kC ¬ kT y − T y0 kC + kT y0 − y0 kC < 21 ky − y0 kC + 1. c 2. ¬ c.. Notację y0 stosujemy zarówno do oznaczenia liczby rzeczywistej związanej z warunkiem początkowym jak. i funkcji stałej równej wartości y0 .. – 29 –.

(30) Wykorzystując twierdzenie Banacha o punkcie stałym otrzymujemy jednoznaczne rozwiązanie równania y = T y na C = C[x0 , x0 + d] jako granicę ciągu T n y0 , gdy n → ∞. Punkt stały spełnia warunek (2.3), więc jest rozwiązaniem równania Carathéodory’ego (2.2) spełniającym wymagany warunek początkowy. Krok 3. Następnie wykażemy, że wspomniany punkt stały operatora T zależy w sposób ciągły od f w pewnym sensie. Zakładamy, że funkcje f1 i f2 określone na dziedzinie D spełniają warunki (i)–(iv) z funkcjami całkowalnymi mj i lj , j = 1, 2. Niech x0 ∈ [0, 1) i y0 ∈ (a, b). Definiujemy wartość c tak jak w kroku 2 oraz wybieramy δ ∈ (0, 1−x0 ] tak, aby warunek (2.4) był spełniony z funkcjami m i l zastąpionymi odpowiednio przez mj i lj , j = 1, 2. Niech T1 i T2 będą operatorami definiowanymi w ten sam sposób jak operator T w kroku 2, ale z funkcjami f1 i f2 oraz niech y1 i y2 oznaczają punkty stałe dla tych operatorów na odcinku [x0 , x0 + d]. Wówczas różnicę y1 − y2 na przestrzeni C := C[x0 , x0 + δ] możemy oszacować w sposób następujący: ky1 − y2 kC = kT1 y1 − T2 y2 kC ¬ kT1 y1 − T1 y2 kC + kT1 y2 − T2 y2 kC ¬. 1 2 ky1. Z x0 +d. − y2 kC +. |f1 (t, y2 (t)) − f2 (t, y2 (t))| dt.. x0. Zatem ky1 − y2 kC ¬ 2. Z x0 +d x0. sup |f1 (t, y) − f2 (t, y)| dt.. (2.6). y∈K. Krok 4. Następnie wykażemy, że dla funkcji Carathéodory’ego f określonej na zbiorze D i spełniającej warunki (i)–(iv) istnieje ciąg fε funkcji ciągłych na D spełniających (i)–(iv) oraz takich, że Z 1. sup |fε (t, y) − f (t, y)| dt → 0,. ε → 0.. (2.7). 0 y∈K. Bierzemy dowolną funkcję ciągłą φ o nośniku zwartym taką, że 0 ¬ φ(x) ¬ 1 dla każdego x ∈ R oraz. R. φ = 1. Definiujemy φε (x) := ε−1 φ(x/ε). Następnie wygładzamy f poprzez φε. i otrzymujemy fε jako Z. fε (x, y) :=. φε (x − ξ)f (ξ, y) dξ.. R. Dodatkowo niech mε i lε oznaczają funkcje skonstruowane analogicznie do m i l. Wówczas mε oraz lε są ciągłe na [0, 1] (stąd całkowalne) i zbieżne odpowiednio do m i l w sensie topologii przestrzeni L1 (0, 1) [48, Theorem VI.1.10]. Następnie otrzymujemy oszacowanie |fε (x, y)| ¬. Z. φε (x − ξ)m(ξ) dξ = mε (x). R. oraz |fε (x, y1 ) − fε (x, y2 )| ¬ |y1 − y2 |. Z. φε (x − ξ)l(ξ) dx = |y1 − y2 |lε (x).. R. – 30 –.

(31) Tak więc fε spełnia warunki Carathéodory’ego (iii) i (iv). Ponadto funkcje fε są ciągłe na D, bowiem z nierówności |fε (x1 , y1 ) − fε (x2 , y2 )| ¬ |fε (x1 , y1 ) − fε (x2 , y1 )| + |fε (x2 , y1 ) − fε (x2 , y2 )| ¬. Z. |φε (x1 − ξ) − φε (x2 − ξ)|m(ξ) dξ + |y1 − y2 |. R. Z. φε (x2 − ξ)l(ξ) dξ. R. otrzymujemy, że pierwszy składnik w powyższym oszacowaniu zmierza do zera w sposób jednostajny z y1 , y2 ∈ K, gdy |x1 −x2 | → 0, co wynika z jednostajnej ciągłości funkcji φε . Z kolei drugi składnik jest ograniczony przez wyrażenie ε−1 klkL1 |y1 − y2 |, gdzie klkL1 oznacza normę funkcji l w przestrzeni L1 (0, 1), i zmierza do zera w sposób jednostajny z x2 ∈ [0, 1], gdy |y1 − y2 | → 0. Stąd wnioskujemy, że fε spełnia również warunki (i) i (ii). Niech gε := fε − f. Wówczas dla każdego ustalonego y ∈ K otrzymujemy Z 1. |gε (x, y)| dx → 0,. 0. gdy ε → 0 [48, Theorem VI.1.10]. Ze zwartości zbioru K wnioskujemy, że dla każdego δ > 0 istnieje skończona δ–sieć zbioru Kδ . Stąd, dla każdego y ∈ K istnieje y ∗ ∈ Kδ takie, że |y−y ∗ | ¬ δ oraz |gε (x, y)| ¬ |gε (x, y ∗ )| + |gε (x, y) − gε (x, y ∗ )| ¬. X. |gε (x, y 0 )| + δ(l(x) + lε (x)).. y 0 ∈Kδ. Ponadto Z 1. lim sup ε→0. sup |gε (x, y)| dx ¬ lim. 0 y∈K. h X Z 1. ε→0. 0. y 0 ∈Kδ. i. |gε (x, y 0 )| dx + δklkL1 + δklε kL1 = 2δklkL1 .. Z dowolności wyboru δ > 0 wnioskujemy, że warunek (2.7) jest spełniony. Krok 5. Niech f1 i f2 będą funkcjami występującymi w założeniach lematu. Powołując się na krok 4 konstruujemy dla nich wygładzenia f1,ε i f2,ε . Przez yj,ε , j = 1, 2, oznaczamy rozwiązania równań y 0 = fj,ε x, y(x). . zgodne z warunkami początkowymi yj,ε (x0 ) = yj (x0 ). Wówczas z warunku (2.6) otrzymujemy oszacowanie kyj,ε − yj kC ¬ 2. Z x0 +d x0. sup |fj,ε (x, y) − fj (x, y)| dx, y∈K. następnie z (2.7) wnioskujemy, że prawa strona tego oszacowania zmierza do zera, gdy ε → 0. Ponadto spełniona jest następująca nierówność f2,ε (x, y) − f1,ε (x, y) =. Z. φε (x − ξ)[f2 (ξ, y) − f1 (ξ, y)] dξ 0. R. – 31 –.

(32) p.w. na D. Na podstawie [22, Corollary III.4.2] dostajemy, że y1,ε (x) ¬ y2,ε (x) dla każdego x ∈ [x0 , x0 + d]. Stąd y1 (x) = lim y1,ε (x) ¬ lim y2,ε (x) = y2 (x), ε→0. x ∈ [x0 , x0 + d],. ε→0. co kończy dowód. Uwaga 2.4. Podobne stwierdzenie (możemy go uzyskać zmieniając kierunek x tzn. zastepując x przez 1 − x) uzyskamy ustalając wartości y1 (1) y2 (1) w punktach końcowych globalnych rozwiązań y1 , y2 równań Carathéodory’ego. Wówczas otrzymamy y1 (x) y2 (x) dla x ∈ [0, 1). Przechodzimy do udowodnienia własności monotoniczności kąta Pr¨ ufera względem parametru λ. Lemat 2.1. Niech λ1 < λ2 oraz θ(·; λ1 ), θ(·; λ2 ) będą rozwiązaniami równania (2.1) spełniającymi warunek θ(0; λ1 ) ¬ θ(0; λ2 ). Wówczas zachodzi następująca nierówność θ(x; λ1 ) < θ(x; λ2 ) dla dowolnego x ∈ (0, 1]. Dowód. Niech K = [0, π]. Funkcje fj (x, y) := u(x) sin y + cos y. 2. + λj sin2 y,. j = 1, 2,. spełniają założenia twierdzenia 2.2 na zwartym zbiorze K. W dowodzie twierdzenia 2.2 założenie o zwartości zbioru K wykorzystywane było tylko przy dowodzie (2.7). Ponieważ funkcje fj (oraz ich wygładzenia fj,ε ) są funkcjami okresowymi zmiennej y, o okresie π, więc teza twierdzenia 2.2 jest spełniona dla powyższych funkcji fj na niezwartym zbiorze K = R. Skutkuje to brakiem konieczności nakładania ograniczeń na wartość początkową θ. Otrzymujemy nierówność θ(x; λ1 ) ¬ θ(x; λ2 ) dla każdego x ∈ [0, 1]. Pozostała do udowodnienia nierówność ostra, czyli θ(x; λ1 ) < θ(x; λ2 ) dla każdego x ∈ (0, 1]. Rozpoczniemy od wykazania, że zbiór S := {x ∈ [0, 1] : θ(x; λ1 ) = θ(x; λ2 )} jest zbiorem nigdziegęstym w [0, 1]. Dla dowodu niewprost załóżmy, że S nie jest zbiorem nigdziegęstym. Wówczas S jako zbiór domknięty powinien zawierać pewien przedział [a, b], więc dla każdego elementu x z tego przedziału mamy θ(x; λ1 ) = θ(x; λ2 ). Ponadto θ(x; λ1 ) = θ(a; λ1 ) + Rx 0 Rx 0 a θ (t; θ(t; λ1 )) dt oraz θ(x; λ2 ) = θ(a; λ2 ) + a θ (t; θ(t; λ2 )) dt. W szczególności dla x = b ma-. my równość θ(b; λ1 ) = θ(b; λ2 ), czyli Z b. θ(a; λ1 ) +. Z b. 0. θ (t; θ(t; λ1 )) dt = θ(a; λ2 ) + a. θ0 (t; θ(t; λ2 )) dt,. a. co z uwagi na θ(x; λ1 ) = θ(x; λ2 ) jest równoważne Z b. Z b. f1 (t, θ(t; λ1 )) dt = a. f2 (t, θ(t; λ1 )) dt. a. – 32 –.