3.5 Zasady wariacyjne dla drzew nieogólnych
3.5.2 Teoria oscylacyjna Sturma w przypadku nieogólnym
n(e0; λ), gdy φe0(v0) = α(v0) mod π;
n0(e0; λ), gdy φe0(v0) 6= α(v0) mod π.
3.5.2 Teoria oscylacyjna Sturma w przypadku nieogólnym
W przypadku, gdy λ jest wartością własną o krotności większej niż jeden istnieje kilka funkcji własnych mających różną liczbę miejsc zerowych oraz dziedzin węzłowych. Wówczas notacja określająca zliczanie dziedzin węzłowych (nodal count) nie jest dobrze zdefiniowana. Niemniej jednak, istnieje odpowiednik twierdzenia oscylacyjnego Sturma dla prostych wartości własnych.
Twierdzenie 3.5. Wyliczamy wartości własne drzewa kwantowego (Γ,L ) w sposób
niema-lejący
λ0 < λ1¬ λ2 ¬ . . . ,
powtarzając każdą wartość własną zgodnie z liczbą jej krotności. Załóżmy, że λ = λn jest war-tością własną prostą. Wówczas odpowiadająca jej funkcja własna yn posiada n wewnętrznych miejsc zerowych, dzielących Γ na n + 1 dziedzin węzłowych. Każda z tych dziedzin węzłowych zawiera co najmniej jedno miejsce zerowe każdej funkcji własnej odpowiadającej wartości wła-snej λn+1.
Dowód. Dowód opiera się na następujących obserwacjach.
Oznaczmy przez ν(λ) liczbę wewnętrznych punktów x drzewa Γ, gdzie φ(x; λ) = 0 mod π; jeśli x jest wierzchołkiem Γ, to liczymy je zgodnie z liczbą krawędzi e wchodzących do x, takich że φe(x; λ) = 0 mod π. Punkty te nazywamy uogólnionymi miejscami zerowymi φ. Następnie zauważmy, że dla λ 6∈ Λ, ν(λ) zwraca liczbę miejsc zerowych rozwiązania specjalnego z(·; λ) na int(Γ) ∪ {v0}.
Niech µ0 < µ1 ¬ µ2· · · oznaczają wartości własne operatora LD := L (e0) (tzn. operato-raL z warunkiem brzegowym Dirichleta w korzeniu v0). Wówczas supλ<λ∗ν(λ) zwraca liczbę
wartości własnych operatora LD mniejszych od λ∗ oraz ν(λ∗) jest liczbą wartości własnych operatora LD nie mniejszą niż λ∗. Wynika to z następujących faktów 1) uogólnione miejsca zerowe funkcji φ na zewnątrz wierzchołków zależą w sposób ciągły od λ; 2) uogólnione miejsce zerowe funkcji φ mogą tylko wejść do zbioru int(Γ) z wierzchołka v0, co zdarza się za każdym razem, gdy λ spełnia warunek φe0(v0; λ) = 0 mod π; 3) uogólnione miejsca zerowe funkcji φ mogą rozdzielić się na kilka następnych, gdy znajdą się we wierzchołkach wewnętrznych; mia-nowicie kiedy a ∈ I(Γ) jest uogólnionym miejscem zerowym funkcji φ o krotności m dla λ = λ∗, to dla λ < λ∗ dostatecznie bliskich wartości λ∗ istniało jedno miejsce zerowe na γ = (a, b) startujące z a, podczas gdy dla λ > λ∗ będzie miejsce zerowe „wychodziło” z a na każdą z m krawędzi spośród γjwchodzących do a takich, że φγj(a; λ∗) = 0 mod π; co wynika z twierdzenia porównawczego zastosowanego do poddrzew Γ(γj).
Rozdział 4
Spektralne zagadnienia odwrotne dla singularnych
drzew kwantowych
W rozdziale tym przedstawimy drugą tematykę, której poświęcona jest rozprawa doktorska, czyli zbadamy zagadnienie odwrotne dla singularnych grafów kwantowych. W celu uproszcze-nia notacji rozważamy przypadek warunków brzegowych Dirichleta we wszystkich punktach brzegowych.
4.1 Rozwiązanie Weyla i m–funkcje Weyla–Titchmarsha
Załóżmy, że v1, . . . , vn, n ∈ N, są wierzchołkami brzegowymi drzewa Γ. W celu wprowadzenia
m–funkcji Weyla–Titchmarsha dla wierzchołka vj, j = 1, . . . , n weźmy vj jako korzeń drzewa Γ. Dla każdego λ ∈ C nie będącego punktem widma operatora L (λ /∈ σ(L )) oznaczmy przez ψj
rozwiązanie równania `y = λy spełniające warunki brzegowe y(vk) = δjk, k = 1, . . . , n.
Definicja 4.1. Rozwiązanie ψj opisane wyżej, analogicznie jak w przypadku jednowymia-rowym, nazywamy rozwiązaniem Weyla oraz
mj(λ) := −ψ[1]j (vj, λ) ψj(vj, λ)
nazywamy uogólnioną m–funkcją Weyla–Titchmarsha dla wierzchołka vj.
Uwaga 4.1. Zauważmy, że przeciwne znaki w powyższej definicji oraz w definicji
rozdzia-łu 1.3 wynikają z różnych kierunków w korzeniu drzewa i pozostałych jego wierzchołkach brze-gowych.
Wartości mj, j = 1, . . . , n, są diagonalnymi wyrazami macierzy M (λ) [19] odpowiadającej odwzorowaniu przekształcającemu warunki brzegowe Dirichleta w warunki brzegowe Neumanna, ozn. odwzorowanie D–N (ang. Dirichlet to Neumann map) lub m–macierz Weyla–Titchmarsha. Odpowiednik singularny tego odwzorowania definiujemy w następujący sposób.
Definicja 4.2. Niech a = (a1, . . . , an)>będzie elementem przestrzeni Cn, a y rozwiązaniem zagadnienia `(y) = λy spełniającym warunki brzegowe y(vk) = ak na drzewie Γ. Ustalamy wektor b = (b1, . . . , bn)>, gdzie bk:= y[1](vk), i kładziemy M (λ)a = b.
Uwaga 4.2. Łatwo zauważyć, że j–ta kolumna macierzy M (λ) jest równa
(ψj[1](v1, λ), . . . , −ψj[1](vj, λ), . . . , ψj[1](vn, λ))>, gdzie znak „−” j–tej współrzędnej wynika z przeciwnego kierunku.
Zanim przejdziemy do przedstawienia głównego twierdzenia dotyczącego spektralnego za-gadnienia odwrotnego na drzewach kwantowych omówimy kilka wlasności rozwiązań Weyla i m–funkcji Weyla–Titchmarsha w poniższych lematach.
Lemat 4.1. Dla λ /∈ σ(L ) rozwiązanie Weyla ψj, j = 1, . . . , n, istnieje i jest wyznaczone w sposób jednoznaczny.
Dowód. Dla dowodu istnienia rozwiązania Weyla oznaczmy przez ej = [vj, b] krawędź
mającą swój początek we wierzchołku brzegowym vj oraz jako z funkcję z dziedziny operatora `, której nośnik jest zawarty w [vj, b) i taką, że z(vj) = 1. Następnie definiujemy g := `(z) − λz. Wtedy y := z − (L − λ)−1g jest szukanym rozwiązaniem. Istotnie y rozwiązuje równanie
`(y) − λy = `(z) − λz − g = 0
i spełnia warunki brzegowe y(vk) = δjk.
Załóżmy, że istnieją dwa różne rozwiązania y1i y2 spełniające powyższe założenia. Wówczas
y1−y2jest funkcją własną operatoraL odpowiadającą wartości własnej λ, co wnosi sprzeczność z założeniem, że λ /∈ σ(L ) i dowodzi jednoznaczności rozwiązania Weyla.
Istnieje prosta zależność pomiędzy rozwiązaniem Weyla, m–funkcją Weyla–Titchmarsha oraz rozwiązaniami standardowymi sj i cj typu sinus i cosinus na krawędzi ej startującej z vj,
j = 1, . . . , n (rozdział 1.3). Mianowicie istnieją stałe a i b takie, że ψj,j(t, λ) = acj(t, λ)+bsj(t, λ). Porównując wartości funkcji ψj oraz jej quasi–pochodnej we wierzchołku vj otrzymujemy, że
a = 1, b = −mj(λ). Stąd
ψj,j(t, λ) = cj(t, λ) − mj(λ)sj(t, λ). (4.1)
Teraz zbadamy asymptotykę funkcji Weyla na zewnątrz sektora Sε := {z ∈ C : | arg z| ¬ ε}, dla dowolnie ustalonego ε ∈ (0, π).
Lemat 4.2. Dla dowolnego j = 1, . . . , n
mj(λ) = −i√
λ + o(√λ),
Dowód. Do przeprowadzenia dowodu powyższej własności, podobnie jak w pracy [19], za-stosujemy metodę indukcji matematycznej względem wysokości drzewa mierzonej w stosunku do wierzchołka vj.
Drzewo o wysokości jeden jest przedziałem, więc oszacowanie wynika wprost z lematu 1.4. Załóżmy, że lemat został udowodniony dla wszystkich drzew o wysokości mniejszej niż h (h > 1). Niech Γ będzie drzewem o wysokości h. Wierzchołek vj traktujemy jako korzeń drzewa, a krawędź z niego wychodzącą ej = [vj, b] nazywamy trzonem drzewa. Z wierzchołka b wychodzi k > 1 krawędzi γ1, . . . , γk, które są trzonami dla poddrzew Γ1, . . . , Γk. Wysokość każdego z tych poddrzew jest mniejsza niż h.
Oznaczmy przez ψj,l zawężenie rozwiązania Weyla ψj na podgraf Γl, l = 1, . . . , k, oraz przez
ψj,0 jego zawężenie do trzonu ej. Bez straty ogólności możemy założyć, że λ nie jest wartością własną żadnego z operatorów L1, . . . ,Lk, gdzie Ll jest operatorem na drzewie Γl zgenerowa-nym przez zawężenie wzoru ` oraz warunki Dirichleta we wszystkich wierzchołkach brzegowych drzewa Γl. W takim razie ψj,l spełnia warunek ψj,l(b) 6= 0, a więc ψj,l jest rozwiązaniem Weyla (z dokładnością do stałej multiplikatywnej) na podgrafie Γj względem wierzchołka b.
Warunki dopasowania we wierzchołku b implikują
ψj,0(b) = ψj,1(b) = · · · = ψj,k(b) =: α,
ψ[1]j,0(b) = ψ[1]j,1(b) + · · · + ψ[1]j,k(b) =: β.
Wykorzystując założenie indukcyjne otrzymujemy, że β/α = ikρ(1 + o(1)), o ile tylko λ = ρ2 → ∞ na zewnątrz sektora Sε.
Rozwiązanie ψj,0 jest kombinacją liniową ξsj(·, λ) + ωcj(·, λ) rozwiązań sj(·, λ) i cj(·, λ), która spełnia powyższe warunki graniczne. Uogólniony Wronskian W [f, g] := f (x)g[1](x) −
f[1](x)g(x) rozwiązań sj(·, λ) i cj(·, λ) nie zależy od x, określając jego wartość we wierzchołku vj otrzymujemy, że wynosi ona −1. Wnioskujemy, że
ξ = βcj(b, λ) − αc[1]j (b, λ), ω = −βsj(b, λ) + αs[1]j (b, λ). Zatem mj(λ) = −ψj,0[1](vj, λ) ψj,0(vj, λ) = − ξ ω = βcj(b, λ) − αc[1]j (b, λ) βsj(b, λ) − αs[1]j (b, λ).
otrzymujemy, przy λ → ∞ na zewnątrz sektora Sε, że sj(b, λ) = ie−iρdj 2ρ 1 + o(1) , cj(b, λ) = e−iρdj 2 1 + o(1) , s[1]j (b, λ) = e−iρdj 2 1 + o(1) , c[1]j (b, λ) = −ρie−iρdj 2 1 + o(1) .
Wnioskujemy, że dla takich λ zachodzi
mj(λ) = ρβ + iαρ
βi − αρ 1 + o(1)
.
Ponieważ granica β/(αρ) wynosi ik dostajemy, że jeśli λ → ∞ na zewnątrz Sε, to
lim λ→∞ mj(λ) √ λ = limλ→∞ ik + i −k − 1 = −i,
co kończy dowód drugiej części indukcyjnej. Na mocy indukcji matematycznej oszacowanie jest prawdziwe dla dowolnego drzewa o wysokości h, h ∈ N, liczonej względem wierzchołka vj,
j = 1, . . . , n.
W poniższym lemacie określimy związek m–funkcji Weyla–Titchmarsha z potencjałem na krawędzi.
Lemat 4.3. Funkcja Weyla–Titchmarsha mj, j = 1, . . . , n, wyznacza potencjał na krawę-dzi ej w sposób jednoznaczny.
Dowód. Załóżmy, że ˜q jest drugim potencjałem na drzewie. W związku z tym faktem
wpro-wadzamy rozwiązania bazowe ˜sj, ˜cj, rozwiązanie Weyla ˜ψj, oraz ˜mj–funkcję Weyla–Titchmarsha związane z ˜q i wierzchołkiem vj. Załóżmy, że dla pewnego j ∈ {1, . . . , n} zachodzi ˜mj(λ) ≡
mj(λ).
Niech x ∈ ej będzie ustalone przez pozostałą część dowodu. Zauważmy, że sj(x, λ)ψj,j(x, λ) zmierza do zera, gdy λ → ∞ dąży do nieskończoności na zewnątrz Sε. Istotnie, ponieważ uogólniony Wronskian W [ψk,j, sj] przyjmuje wartość równą 1, otrzymujemy
1 sj(x, λ)ψj,j(x, λ) = s[1]j (x, λ) sj(x, λ) −ψ [1] j,j(x, λ) ψj,j(x, λ) = −2i √ λ 1 + o(1)
gdy λ → ∞ na zewnątrz Sε, co utrzymuje, że sj(x, λ)ψj,j(x, λ) → 0.
Ze względu na reprezentację całkową rozwiązań sj i ˜sj (patrz rozdział 1.3) na krawędzi ej otrzymujemy, że sj(x, λ)/˜sj(x, λ) → 1, gdy λ → ∞ na zewnątrz Sε. Stąd
g(λ) := ˜sj(x, λ)ψj,j(x, λ) − sj(x, λ) ˜ψj,j(x, λ) → 0,
gdy λ → ∞ na zewnątrz Sε. Wykorzystując (4.1) i analogiczną zależność dla ˜ψk,j(x, λ) mamy
g(λ) = ˜sj(x, λ)cj(x, λ) − ˜sj(x, λ)mj(λ)sj(x, λ)
a z uwagi na mj(λ) ≡ ˜mj(λ) otrzymujemy
g(λ) = ˜sj(x, λ)cj(x, λ) − sj(x, λ)˜cj(x, λ).
Reprezentacje całkowe rozwiązań sj i cj zamieszczone w rozdziale 1.3 pokazują, że g jest funkcją całkowitą rzędu co najwyżej 12. Ponieważ g dąży do zera, gdy λ zmierza do nieskoń-czoności wzdłuż osi urojonej, więc na mocy twierdzenia Phragm´ena–Lindel¨ofa [54, Roz. XIV, §17*] wnioskujemy, że jest to funkcja ograniczona. Z kolei twierdzenie Liouville’a [54, Roz. VI, §6] pozwala wnioskować, że g ≡ 0. Stąd mamy równość
cj(x, λ) sj(x, λ) = ˜ cj(x, λ) ˜ sj(x, λ) dla każdej nierzeczywistej wartości λ i dowolnego x ∈ ej.
Różniczkując powyższą równość i zauważając, że
c0j(x, λ)sj(x, λ) − s0j(x, λ)cj(x, λ) = c[1]j (x, λ)sj(x, λ) − s[1]j (x, λ)cj(x, λ) = W [sj, cj] ≡ −1,
otrzymujemy s2j(x, λ) = ˜s2j(x, λ), co z uwagi na asymptotykę dla dużych λ daje sj(x, λ) = ˜
sj(x, λ) dla dowolnego niezerowego λ. W przypadku regularnym, gdy q jest funkcją całkowalną moglibyśmy wnioskować, że
qj(x) − λ = s00j(x, λ) sj(x, λ) = ˜ s00j(x, λ) ˜ sj(x, λ) = ˜qj(x) − λ, co kończyłoby dowód.
Jednakże w przypadku singularnego potencjału dystrybucyjnego q rozwiązania sj nie mo-gą zostać dwukrotnie zróżniczkowane, co więcej powinniśmy rekonstruować funkcję pierwotną
uj ∈ L2(0, dj) potencjału qj, ponieważ wyznacza ona quasi–pochodną zarówno w równaniu różniczkowym jak i warunkach brzegowych. W takim przypadku musimy posłużyć się innymi technikami. Po pierwsze zauważmy, że równość sj(x, λ) = ˜sj(x, λ), dla dowolnego niezerowego λ, wnosi Z x 0 k(x, t) − ˜k(x, t) sin(ρt) dt = 0, dla dowolnego ρ = √
λ z górnej półpłaszczyzny. To z kolei świadczy o tym, że dla dowolnego x ∈ (0, dj), jądra k(x, ·), ˜k(x, ·) pokrywają się jako funkcje z przestrzeni L2(0, x). Z uwagi na [41] w przypadku singularnym funkcja pierwotna u potencjału q może zostać zapisana wzorem
u(x) = 2φ(2x) + 2 Z x
0
k(x, t)f (t, x) dt,
gdzie k(x, t) i f (x, t) spełniają równanie Gelfanda–Levitana–Marchenki
k(x, t) + f (x, t) + Z x
0
Ponadto φ ∈ L2(0, dj) jest określona przy użyciu danych spektralnych operatora Sturma– Liouville’a na przedziale [0, dj) i powiązana z f za pomocą wzoru f (x, t) = φ(x + t) − φ(|x − t|). Ponieważ jądro przekształcenia operatorowego wyznacza potencjał uogólniony q w sposób jednoznaczny (w celu poznania szczegółów zob. [41]), to kończy dowód.
Pokażemy jak powyższy wynik wpływa na ogólną jednoznaczność dla drzewa kwantowego. Idea uogólnienia przedstawionego wyżej rozumowania na całe drzewo polega na „obcinaniu” krawędzi brzegowych, na których potencjał jest już znany oraz obliczeniu m–funkcji dla otrzy-manego drzewa. Taką procedurę opisuje następujący
Lemat 4.4. Niech Γ będzie drzewem o liczbie krawędzi brzegowych równej n, q potencjałem
singularnym na Γ, a M (λ) odpowiadającą m–macierzą Weyla–Titchmarsha. Niech v∗ będzie wierzchołkiem o stopniu d = k + 1 takim, że wszystkie krawędzie do niego przyległe, poza jedną, są krawędziami brzegowymi. Oznaczmy je jako en−k+1, . . . , en oraz Γ∗ drzewo powstałe przez ich usunięcie. Wówczas m–macierz Weyla–Titchmarsha dla drzewa Γ∗ jest jednoznacznie wy-znaczona za pomocą m–macierzy dla Γ oraz zawężenie potencjału q do krawędzi brzegowych en−k+1, . . . , en.
Dowód. Wierzchołek wewnętrzny v∗ łączy poddrzewo Γ∗ i k > 1 krawędzi brzegowych
en−k+1, . . . , en. Niech L∗ i Ln−k+1, . . . ,Ln oznaczają odpowiednio operatory Sturma–Liouvi-lle’a na poddrzewie Γ∗ i en−k+1, . . . , en wyrażone za pomocą ` i warunków brzegowych Diri-chleta we wierzchołkach brzegowych. Na potrzeby dowodu niech λ będzie ustaloną wartością nierzeczywistą, nie będącą wartością własną żadnego z operatorów L , L∗,Ln−k+1, . . . ,Ln.
Oznaczmy przez ψ1, . . . , ψnrozwiązania Weyla dla drzewa Γ oraz skonstruujmy rozwiązania Weyla
ψ1∗, ψ∗2, . . . , ψn−k∗ , ψ∗∗
dla drzewa Γ∗ odpowiadające wierzchołkom v1, v2, . . . , vn−k, v∗. Pokażemy, że ψnspełnia waru-nek ψn(v∗) 6= 0. Istotnie, załóżmy, że ψn(v∗) = 0. Gdyby ψn nie było identycznie równe zero na Γ∗ lub krawędziach brzegowych en−k+1, . . . , en−1, to byłoby funkcją własną odpowiadającego operatora Sturma–Liouville’a L∗ lubLn−k+1, . . . ,Ln−1 z wartością własną λ, co jest niemoż-liwe. Z warunku dopasowania otrzymujemy teraz, że zawężenie ψn,n funkcji ψn do krawędzi brzegowej en spełnia warunki początkowe ψn,n(v∗) = ψ[1]n,n(v∗) = 0, co przeczy założeniu, że
ψn,n(vn) = 1.
Niech e∗ będzie krawędzią przyległą do wierzchołka v∗ różną od en−k+1, . . . , en. Wtedy e∗ jest krawędzią brzegową dla poddrzewa Γ∗z wierzchołkiem brzegowym v∗. Ponieważ ψn(v∗) 6= 0, funkcja ψn(·)/ψn(v∗) zawężona do Γ∗ jest rozwiązaniem Weyla na Γ∗ dla nowego wierzchołka
brzegowego v∗. Ponieważ q jest znany na en, więc również ψn,n(x, λ) = cn(x, λ) − mn(λ)sn(x, λ) jest znane na krawędzi en. Tak więc ψn,n(v∗, λ) = ψn(v∗, λ) jest znane. Wnioskujemy, że ostatnia
kolumna m-macierzy M∗(λ) jest jednoznacznie wyznaczona poprzez równości
m∗j,∗(λ) = ψ[1]n (vj, λ) ψn(v∗, λ) = mj,n(λ) ψn(v∗, λ), j = 1, 2, . . . , n − k oraz m∗∗,∗(λ) = ψn,∗[1](v∗, λ) ψn(v∗, λ) = ψn,n−k+1[1] (v∗, λ) ψn(v∗, λ) + · · · + ψ[1]n,n(v∗, λ) ψn(v∗, λ) .
Ponieważ potencjał q na krawędziach en−k+1, . . . , en jest znany, więc zawężenia ψn,n−k+1, . . . ,
ψn,nna te krawędzie są ustalone jednoznacznie przez odpowiadające warunki początkowe ψn(vj, λ) = δj,n oraz ψn[1](vj, λ) = mn(λ); tym samym powyższa formuła jednoznacznie określa m∗∗,∗(λ).
Pozostało wyznaczenie m–funkcji m∗j,l na Γ∗ odpowiadających pozostałym wierzchołkom brzegowym vj, j = 1, . . . , n − k. Dla ustalenia uwagi rozważmy m∗j,1, pozostałe wierzchołki traktujemy w podobny sposób. Połóżmy η1(λ) := ψ1(v∗, λ)/ψn(v∗, λ) oraz
ψ1∗(x, λ) := ψ1(x, λ) − η1(λ)ψn(x, λ).
Powyższa równość określa rozwiązanie Weyla dla poddrzewa Γ∗ odpowiadające wierzchołko-wi v1; wtedy
m∗j,1(λ) = mj,1(λ) − η1(λ)mj,n(λ)
są elementami j-tej kolumny macierzy M∗(λ). Zauważmy, że rozwiązanie ψ1,njest jednoznacznie wyznaczone poprzez warunki końcowe ψ1,n(vn, λ) = 0 oraz ψ[1]1,n(vn, λ) = mn,1(λ) oraz zadanie
q na krawędzi en. Tak więc η1 jest znane, a tym samym i funkcje m∗j,1. Ostatecznie,
m∗∗,1(λ) = ψ[1]1,∗(v∗, λ) − η1(λ)ψ[1]n,∗(v∗, λ).
Wartości ψ1,∗[1](v∗, λ) oraz ψn,∗[1](v∗, λ) są znane z warunków dopasowania we wierzchołku v∗
oraz tego, że q jest ustalone na krawędziach en−k+1, . . . , en. Istotnie, z faktu, że warunki dopa-sowania we wierzchołku v∗ są zachowane, otrzymujemy
ψ1,∗[1](v∗, λ) =
n
X
j=n−k+1
ψ[1]1,j(v∗, λ).
Znajomość potencjału q na krawędziach en−k+1, . . . , en implikuje następującą zależność dla rozwiązania Weyla
ψ1,j(x, λ) = αjsj(x, λ). Stąd otrzymujemy
Z uwagi na ψ1,j[1](vj, λ) = mj,1(λ) oraz s[1]j (vj, λ) = 1 mamy mj,1(λ) = αj. Zatem
ψ[1]1,j(v∗, λ) = mj,1(λ)s[1]j (v∗, λ).
W podobny sposób wykazujemy znajomość wartości ψn,∗[1](v∗, λ). Tak więc wszystkie wyrazy
macierzy M∗(λ) są znane, co kończy dowód.
Twierdzenie 4.1. Niech (Γ,L ) będzie drzewem kwantowym o wierzchołkach brzegowych
v1, . . . , vn, n ∈ N, a M (λ) macierzą Weyla–Titchmarsha. Wówczas macierz ta rekonstruuje potencjał q na drzewie Γ w sposób jednoznaczny.
Dowód. Ponieważ macierz Weyla–Titchmarsha dla drzewa Γ jest znana, więc na mocy le-matu 4.3 możemy rekonstruować potencjał q na krawędziach brzegowych w sposób jednoznaczny. Następnie bierzemy wierzchołek v∗ odpowiadający założeniom z powyższego lematu, aby móc otrzymać poddrzewo Γ∗ ze znaną macierzą Weyla–Titchmarsha. W tym celu wybieramy wierz-chołek brzegowy v0 drzewa Γ traktując go jako korzeń i oznaczamy przez h wysokość drzewa Γ względem v0. Wtedy dowolny wierzchołek, którego odległość od v0 wynosi h − 1 możemy traktować jako v∗, a wszystkie krawędzie z niego wychodzące są krawędziami brzegowymi.
Stosując opisaną wyżej procedurę kilka razy, redukujemy drzewo do odcinka, dla którego wyniki są już znane, to kończy dowód.
Podsumowanie
Celem tej części pracy jest streszczenie najważniejszych nowych wyników przedstawionych w rozprawie. Dla lepszej czytelności podajemy je w punktach.
• W rozdziale 2 przedstawiono uogólnienie klasycznej teorii Sturma na przedziale (0, 1) dla operatorów o potencjałach będących funkcjami uogólnionymi z przestrzeni W2−1(0, 1). Najważniejszym wynikiem zamieszczonym w tej części pracy jest dowód twierdzenia po-równawczego (twierdzenie 2.4) i oscylacyjnego (twierdzenie 2.5) Sturma, które w tak przedstawionej formie nie zostały podane w znanej autorce literaturze. Do przeprowa-dzenia dowodów wyżej wymienionych twierdzeń zastosowano technikę kątów Pr¨ufera oraz równań Carath´eodory’ego. Podobne podejście było już rozpatrywane w pracy [75], jed-nak metoda tam przedstawiona uniemożliwia późniejsze uogólnienie na drzewa kwantowe. Wprowadzona definicja kąta Pr¨ufera (definicja 2.1) oraz bardzo szcegółowe zbadanie jego własności (twierdzenia 2.2, 2.3 oraz stwierdzenia i wnioski z nich wynikające) pozwali-ły na podanie dowodów singularnych twierdzeń porównawczych i oscylacyjnych Sturma na [0, 1], w taki sposób, aby móc je później wykorzystać w przypadku drzew kwantowych. • W rozdziale 3 odpowiedziano na pytanie, które z własności oscylacyjnych, udowodnionych w rozdziale 2, mogą zostać rozszerzone dla operatorów Sturma–Liouville’a na singularne drzewa kwantowe. Jak się okazało, twierdzenie porównawcze zachodzi dla singularnych drzew kwantowych, natomiast własności oscylacyjne zachodzą w przypadku, gdy opera-tor nie posiada nieprostych wartości własnych. Jednakże wykazano, że mimo obecności nieprostych wartości własnych, własności oscylacyjne pozostają prawdziwe dla prostych wartości własnych.
• Wprowadzono (rozdział 3.1) krawędziową notację kątów Pr¨ufera, a następnie w podroz-dziale 3.2 rozszerzono twierdzenie porównawcze Sturma na singularne drzewa kwantowe. • Omówiono własności spektralne singularnych drzew kwantowych (sekcja 3.3.1) oraz zde-finiowano ogólne drzewo kwantowe. Następnie podano charakterystykę widma (widmo proste) operatora określonego na drzewie i wykazano, że funkcje własne odpowiadające
prostym wartościom własnym nie posiadają miejsc zerowych we wierzchołkach wewnętrz-nych.
• Sformułowano i udowodniono (twierdzenie 3.2) odpowiednik twierdzenia oscylacyjnego Sturma dla drzew kwantowych ogólnych.
• W rozdziale 3.4 skonstruowano rozwiązanie specjalne oraz odpowiadający mu kąt Pr¨ufera, a następnie w kilku lematach (lemat 3.6, stwierdzenie 3.1, lemat 3.7) podano jego charak-terystykę.
• Przedstawiono sposób (podrozdział 3.5.1 twierdzenie 3.4) zliczania nieprostych wartości własnych.
• W rozdziale 3.5.2 wykazano prawdziwość teorii oscylacyjnej Sturma w przypadku drzewa nieogólnego.
Warto zaznaczyć, że wyniki prezentowane w rozdziale 3 są na ogół nowe. Twierdzenia porównawcze i oscylacyjne na drzewach kwantowych były badane, ale w przypadku po-tencjałów mierzalnych. Zbadana własność oscylacyjna w przypadku drzew nieogólnych jest wynikiem zupełnie nowym.
• W rozdziale 4 zbadano spektralne zagadnienie odwrotne w przypadku singularnych drzew kwantowych, zdefiniowano uogólnioną m–funkcję Weyla–Titchmarsha oraz w lemacie 4.2 podano jej asymptotykę.
• Udowodniono istnienie i jednoznaczność rozwiązania Weyla na singularnym drzewie kwan-towym (lemat 4.1).
• Główny wynik rozdziału 4, tj. twierdzenie 4.1, odpowiada na pytanie w jaki sposób przeprowadzić jednoznaczną rekonstrukcję potencjału, będącego funkcją uogólnioną, na drzewie kwantowym wykorzystując informację z odpowiadającej mu m–macierzy Weyla– Titchmarsha.
Bibliografia
[1] M. Aizenman, R. Sims, S. Warzel, Absolutely continuous spectra of quantum tree graphs
with weak disorder, Commun, Math. Phys. 264 (2006), 371–389.
[2] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, H. Holden, Solvable Models in Quantum
Me-chanics, 2nd revised ed., Springer–Verlag, New–York Inc., 1988.
[3] A. Alexiewicz, W. Orlicz, On a theorem of C. Carath´eodory, Ann. Polon. Math. 1 (1955),
414–417.
[4] Analysis on Graphs and its Applications. Papers from the program held in Cambridge, January 8–June 29, 2007. Edited by Pavel Exner, Jonathan P. Keating, Peter Kuchment, Toshikazu Sunada and Alexander Teplyaev. Proceedings of Symposia in Pure Mathema-tics, 77, American Mathematical Society, Providence, RI, 2008.
[5] F. Atkinson, W. Everitt, A. Zettl, Regularization of a Sturm–Liouville problem with an
interior singularity using quasi-derivatives, Diff. Integr. Equat. 1 (1988), no. 2, 213–221.
[6] S. Avdonin, P. Kurasov, Inverse problems for quantum trees, Inverse Probl. Imag., 2 (2008), no. 1, 1–21.
[7] S. Avdonin, P. Kurasov, M. Nowaczyk, On reconstruction of the boundary conditions for
star graphs, Proceedings of Quantum Graphs, their Spectra and Applications, 2–5 April
2007, Cambridge.
[8] R. Band, G. Berkolaiko, U. Smilansky, Dynamics of nodal points and the nodal count on
a family of quantum graphs, Ann. Henri Poincar´e 13 (2012), 145–184.
[9] M. Belishev, Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by BC method, Inverse Problems 20 (2004), 647–672.
[10] J. Ben Amara, Sturm theory for the equation of vibrating beam, J. Math. Anal. Appl. 349 (2009), no. 1, 1–9.
[11] G. Berkolaiko, A lower bound for nodal count on discrete and metric graphs, Commun. Math. Phys. 278 (2008), 803–819.
[12] B. Bodenstorfer, A. Dijksma, H. Langer, Dissipative eigenvalue problems for a Sturm–
Liouville operator with a singular potencial, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 130A (2000),
1237–1257.
[13] N. Bondarenko, A 2–edge partial inverse problem for the Sturm–Liouville operators with
singular potentials on a star–shaped graph, eprint arXiv: 1702.08293v1 [math.SP] (2017).
[14] N. Bondarenko, A partial inverse problem for the Sturm–Liouville operators on a star–
shaped graph, arXiv:1701.00219v1 [math.SP] (2017).
[15] N. Bondarenko, C.–T. Shieh, Partial inverse problems for the Sturm–Liouville operators
on trees, arXiv:1509.01534v2 [math.SP] (2016).
[16] G. Borg, Eine Umkehrung der Sturm–Liouvilleschen Eigenwertaufgabe. Bestimmung der
Differentialgleichung durch die Eigenwerte, Acta Math. 78 (1946), 1–96.
[17] W. Boyce, R. Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc., New York–London–Sydney, 1965.
[18] J. Boyd, Sturm–Liouville eigenproblems with an interior pole, J. Math. Phys. 22 (1981), 1575–1590.
[19] B. Brown, R. Weikard, A Borg–Levinson theorem for trees, Proc. R. Soc. Lond. A 461 (2005), 3231–3243.
[20] B. Brown, R. Weikard, On inverse problems for finite trees, Operator Theory: Advances and Applications 186 (2008), 31–48.
[21] R. Carlson, Inverse eigenvalue problems on directed graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), no. 10, 4069–4088.
[22] E. Coddington, N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955.
[23] R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, New York Interscience, 1953, 451–465.
[24] S. Currie, B. Watson, M–matrix asymptotics for Sturm–Liouville problems on graphs, J. Comp. Appl. Math. 218 (2008), 568–578.
[25] S. Currie, B. Watson, The M–matrix inverse problem for Sturm–Liouville equation on
graphs, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 139A (2009), 775–796.
[26] J. Eckhardt, F. Gesztesy, R. Nichols, G. Teschl, Weyl–Titchmarsh theory for Sturm– Liouville operators with distributional potentials, Opuscula Math. 33 (2013), no. 3, 467–
563.
[27] G. Fichtenholz, Rachunek Różniczkowy i Całkowy, Tom I, Państwowe Wydawnictwo Na-ukowe, Warszawa, 1966.
[28] A. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Nauka Publ., Moscow, 1985 (w j. rosyjskim); tłumaczenie na j. angielski: Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1988.
[29] G. Freiling, M. Ignatiev, V. Yurko, An inverse spectral problems for Sturm–Liouville
ope-rators with singular potentials on star–type graphs, Proc. Symp. Pure Math. 77 (2008),
397–408.
[30] G. Freiling, V. Yurko, Inverse Sturm–Liouville Problems and their Applications, Hunting-ton NY: Nova Science Publishers, 2001.
[31] I. Gelfand, B. Levitan, On the determination of a differential equation from its spectral
function, Izves. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. 15 (1951), 309–360.
[32] N. Gerasimenko, B. Pavlov, Scattering problems on noncompact graphs, Teoret. Mat. Fiz.
74 (1988) 345–359; tłumaczenie na j. ang.: Theoret. and Math. Phys. 74 (1988) 230–240.
[33] S. Gnutzmann, U. Smilansky, J. Weber, Nodal counting on quantum graphs, Waves Ran-dom Media 14 (1) (2004), S61–S73.
[34] A. Goriunov and V. Mikhailets, Regularization of singular Sturm–Liouville equations, Methods Funct. Anal. Topology 16 (2010), no. 2, 120–130.
[35] A. Goriunov and V. Mikhailets, Regularization of binomial differential equations with
singular coefficients, Ukrainian Math. J. 63 (2011), no. 9, 1190–1205.
[36] P. Hartman, Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1964.
[37] D. Hinton, Sturm’s 1836 oscillation results. Evolution of the theory, in W. O. Amrein, A. M. Hintz, D. B. Hinton (eds), Sturm–Liouville Theory: Past and Present, Birkh¨auser Verlag, Basel, 2005; 1–27.
[38] M. Homa, R. Hryniv, Comparison and oscillation theorems for singular Sturm-Liouville
operators, Opuscula Math. 34 (2014), no. 1, 97–113.
[39] M. Homa, R. Hryniv, Oscillation properties of singular quantum trees, (złożony do druku). [40] M. Homa, R. Hryniv, Inverse spectral problems for quantum trees, (złożony do druku). [41] R. Hryniv, Ya. Mykytyuk, Inverse spectral problems for Sturm–Liouville operators with
singular potentials, Inverse Problems 19 (2003), 665–684.
[42] R. Hryniv, Ya. Mykytyuk, Inverse spectral problems for Sturm–Liouville operators with
singular potentials, II. Reconstruction by two spectra, in Functional Analysis and its
Ap-plications, V. Kadets and W. Zelazko eds., North–Holland Mathematics Studies 197, 97–114, Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 2004.
[43] R. Hryniv, Ya. Mykytyuk, Inverse spectral problems for Sturm–Liouville operators with
singular potentials, III. Reconstruction by three spectra, J. Math. Anal. Appl. 284 (2003),
no. 2, 626–646.
[44] R. Hryniv, Ya. Mykytyuk, Transformation operators for Sturm–Liouville operators with
singular potentials, Math. Phy., Anal. and Geom. 7 (2004), 119–149.
[45] A. Kamiński, S. Mincheva-Kamińska, Equivalence of the Mikusiński-Shiraishi-Itano
pro-ducts in S0 for various classes of delta-sequences, Integral Transforms Spec. Funct. 20
(2009), no. 3–4, 207–214.
[46] T. Kappeler, P. Perry, M. Shubin, P. Topalov, The Miura map on the line, Int. Math. Res. Not. 2005 (2005), no. 50, 3091–3133.
[47] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Reprint of the 1980 Edition, Classics
in Mathematics, Springer–Verlag, Berlin, 1995.
[48] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Third edition. Cambridge Mathe-matical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
[49] M. Krein, Solution of the inverse Sturm–Liouville problem, Dokl. Akad. Nauk SSSR 76 (1951), no. 1, 21–24 (w j. rosyjskim).
[50] P. Kuchment, Graph models for waves in thin structures, Waves Random Media 12(4) (2002), R1–R24.
[51] P. Kuchment, Quantum graphs. I. Some basic structures, Special section on quantum