Warunki brzegowe i warunki dopasowania

Warunki brzegowe i dopasowania określamy odpowiednio we wierzchołkach brzegowych

v ∈ ∂Γ i wewnętrznych v ∈ I(Γ) w taki sposób, aby pozostawały one zgodne ze strukturą

Definicja 1.19. Zakładamy, że v ∈ I(Γ) jest wierzchołkiem wewnętrznym. Niech γ₊ ozna-cza jedyną krawędź mającą swój koniec we wierzchołku v, natomiast przez B(v) oznaozna-czamy (niepusty) zbiór krawędzi mających swój początek w punkcie v. Określamy warunki

dopasowa-nia typu δ jako

y jest ciągła w v; (1.14) (y^[1])_γ+(v) − ^X

e∈B(v)

(y^[1])_e(v) = α(v)y(v), (1.15)

gdzie y(v) oznacza wspólną wartość funkcji y we wierzchołku v.

Uwaga 1.7. Bez straty ogólności zakładamy, że α(v) = 0. Istotnie, wartość α(v) = 0

możemy uzyskać zastępując funkcję pierwotną u_γ z q na krawędzi γ₊ przez sumę u_γ+ + α(v).

Takie postępowanie powinno być kolejno przeprowadzone w każdym wierzchołku startując od wierzchołka wewnętrznego o najniższym poziomie.

Uwaga 1.8. Dla α(v) = 0 równanie (1.15) oznacza zachowanie całkowitego strumienia

przechodzącego przez wierzchołek v. Wobec tego faktu warunki (1.14)–(1.15) są singularnym odpowiednikiem standardowych warunków dopasowania Kirchhoffa.

Przykład 1.3. Niech v ∈ I(Γ) oraz d(v) = 2. Wówczas zbiór B(v) = {γ−} składa się

z jednej krawędzi mającej swój początek w v. Warunek (1.15) z α(v) = 0 (patrz na uwagę 1.8) przybiera postać

(y^[1])_γ+(v) − (y^[1])_γ−(v) = 0,

a tym samym oznacza, że zarówno funkcja y jak i jej quasi–pochodna y[1] są ciągłe w punkcie v. Możemy zatem scalić krawędzie γ₊ i γ₋ formując pojedynczą krawędź γ₊∪ {v} ∪ γ₋.

t ^γ+ ^vt ^γ− t

Rysunek 1.5. Wierzchołek v o walencyjności 2

Uwaga 1.9. Wobec powyższego przykładu, bez straty ogólności, zakładamy, że drzewo nie

posiada wierzchołków o stopniu 2.

Definicja 1.20. Zawężenie wyrażenia różniczkowego τ do zbioru funkcji spełniających

Definicja 1.21. Niech v ∈ ∂Γ \ {v₀} i γ ∈ E(Γ) będzie krawędzią mającą swój koniec

we wierzchołku v. Dla każdego wierzchołka brzegowego, z wyjątkiem korzenia, wprowadzamy

warunki brzegowe Robina jako

(y^[1])_γ(v) sin α(v) = y_γ(v) cos α(v), (1.16)

dla α(v) ∈ [0, π]. Warunek brzegowy dla korzenia v₀ jest wprowadzany w sposób analogiczny.

Uwaga 1.10. Dla α(v) = 0 lub α(v) = π warunek (1.16) przyjmuje postać warunku

brzego-wego Dirichleta. W przeciwnym razie, tzn. gdy sin α(v) 6= 0, wartość α(v) można wziąć równą

π

2, jeśli funkcję u zastąpimy przez u₁ = u + cot α(v) wzdłuż krawędzi γ. Wtedy warunek (1.16)

stanie się warunkiem brzegowym Neumanna.

Definicja 1.22. Wyrażenie różniczkowe ` spełniające warunki brzegowe (1.16) dla

wszyst-kich v ∈ ∂Γ oznaczamyL .

Uwaga 1.11. Operator L jest samosprzężony na przestrzeni L2(Γ) (zob. rozdział 3.3.1,

lemat 3.2).

Po wprowadzeniu podstawowych definicji i oznaczeń możemy przystąpić do określenia ter-minu drzewa kwantowego.

Definicja 1.23. Drzewo metryczne z określonym na jego krawędziach symetrycznym

wyra-żeniem różniczkowym τ , gdzie funkcje z dziedziny operatora τ spełniają warunki (1.14)–(1.15) we wierzchołkach wewnętrznych oraz warunek (1.16) w każdym wierzchołku brzegowym, nazy-wamy drzewem kwantowym.

Innymi słowy, drzewo kwantowe to drzewo metryczne Γ z określonym na jego krawędziach operatorem samosprzężonym L z przestrzeni L2(Γ).

Rozdział 2

Teoria oscylacji dla singularnego zagadnienia

Sturma–Liouville’a na [0, 1]

W rozdziale tym udowodnimy klasyczne twierdzenia porównawcze i oscylacyjne Sturma na skończonym przedziale [0, 1] dla operatorów Sturma–Liouville’a z potencjałami będącymi rze-czywistymi funkcjami uogólnionymi. Główną motywacją do rozważania tego typu zagadnienia jest możliwość późniejszego (zob. rozdział 3) wykorzystania otrzymanych wyników do opisa-nia tego problemu na grafach kwantowych. W literaturze niejednokrotnie redagowano już takie zagadnienie dla singularnych operatorów na pojedynczej krawędzi, m.in. w [75]. Jednakże przed-stawione w tym artykule podejście do tego typu zagadnienia nie pozwala na jego uogólnienie na grafy. W celu możliwości przeniesienia otrzymanych wyników na grafy kwantowe wykorzy-stamy technikę kątów Pr¨ufera – podobnie jak w pracy [75], ale samą definicję kąta Pr¨ufera wprowadzimy w inny sposób.

2.1 Kąt Pr¨ufera i jego własności

Przypomnijmy, że w przypadku singularnego zagadnienia Sturma–Liouville’a na odcinku [0, 1] zakładamy, że q ∈ W₂⁻¹(0, 1) jest potencjałem singularnym o funkcji pierwotnej u ∈

L₂(0, 1), natomaist τ jest określone poprzez (1.5)–(1.6). Nasze rozważania rozpoczynamy od wprowadzenia definicji kąta Pr¨ufera.

Definicja 2.1. Niech λ ∈ R i y(·) = y(· ; λ) będzie rzeczywistym rozwiązaniem równania

− y[1]
0

−uy[1]−u2y = λy. Wprowadzamy współrzędne biegunowe r i θ jako y(x) = r(x) sin θ(x)

i y^[1](x) = r(x) cos θ(x). Współrzędną θ nazywamy kątem Pr¨ufera dla rozwiązania y.

Uwaga 2.1. Funkcja θ jest zdefiniowana tylko z dokładnością do modulo 2π. Jednakże,

możemy wybrać ciągłą gałęź θ wyznaczoną na przykład przez wartość θ(0) ∈ [0, 2π). Dzieląc wyrażenie y^[1](x) przez y(x) otrzymujemy cot θ = y^[1]/y, a nastepnie różniczkując dostajemy równanie różniczkowe

Zauważmy, że jeśli θ spełania warunek (2.1), to własność tę zachowuje również wartość θ + π, ponieważ jest to kąt Pr¨ufera dla rozwiązania −y, tak więc wartości θ i θ + π utożsamiamy. Ostatecznie θ jest definiowane z dokładnością do modulo π.

Funkcja u występująca po prawej stronie równania (2.1) należy do klasy funkcji L₂(0, 1) i nie posiada dodatkowo żadnej gładkości, więc funkcja (u sin θ + cos θ)²+ λ sin²θ nie jest ciągła.

Tym samym wyrażenie (2.1) należy do klasy równań Carath´eodory’ego.

Przedstawiona w tym rozdziale teoria istnienia rozwiązania równania Carath´eodory’ego zo-stała zaczerpnięta z [28, Ch. 1]. Więcej szczegółów można zanleźć w następujących pozycjach literatury [3],[22, Ch. 2], [36, Ch. 2], [70, Ch. 2].

Definicja 2.2. Równanie różniczkowe postaci

y⁰(x) = f (x, y(x)) (2.2)

nazywamy równaniem Carath´eodory’ego na dziedzinie D ∈ R², gdy funkcja f spełnia

następu-jące warunki:

(i) dla prawie wszystkich x funkcja f (x, y) jest poprawnie określona i zależy w sposób ciągły od y;

(ii) dla każdego y funkcja f (x, y) jest mierzalna względem x;

(iii) istnieje funkcja całkowalna m(x) taka, że spełniona jest nierówność |f (x, y)| ¬ m(x) dla każdych (x, y) ∈ D.

Twierdzenie 2.1. [28, Theorem 1.1] Równanie (2.2) z określonym warunkiem początkowym

y(x₀) = y₀ posiada rozwiązanie lokalne postaci y(x) = y₀+

Z x x0

f t, y(t)

dt (2.3)

dla każdego punktu (x₀, y₀) ∈ int D. Innymi słowy, rozwiązanie to jest rozumiane w sensie

całkowym; jest to funkcja ciągła spełniająca powyższą równość. Jeśli dodatkowo f spełnia warunek

(iv) istnieje funkcja całkowalna l(x) taka, że dla każdych (x, y₁), (x, y₂) ∈ D spełniona jest

nierówność |f (x, y₁) − f (x, y₂)| ¬ l(x)|y₁− y₂|,

Prawa strona równania (2.1)

f (x, y) := u(x) sin y + cos y
2

+ λ sin²y

spełnia warunki (i)–(iv) na dziedzinie D := [0, 1] × R z funkcjami m(x) = (|u(x)| + 1)²+ |λ| i l(x) = 2m(x).

Wniosek 2.1. [28, Ch. 1] Każde rozwiązanie równania (2.1) jest określone na całym

prze-dziale (tzn. jest to rozwiązanie globalne) i jest to funkcja absolutnie ciągła.

Uwaga 2.2. Zauważmy, że dla θ(x∗) = 0 mod π, (tzn., sin θ(x∗) = 0), równanie (2.1)

przybiera postać θ⁰(x_∗) = 1. Niestety fakt ten nie świadczy o tym, że θ jest funkcją ściśle rosnącą

w punkcie x∗ (tak jak to bywa w przypadku, gdy potencjał q jest funkcją całkowalną), ponieważ f (x, θ) nie jest funkcją ciągłą.

Jednakże prawdziwe jest następujące

Stwierdzenie 2.1. Funkcja θ jest funkcją ściśle rosnącą w każdym punkcie x∗, gdzie θ(x∗) = 0 mod π, (tzn. w każdym miejscu zerowym rozwiązania równania τ y = λy, które związane jest

z wartością θ).

Dowód. Z części (ii) i (iii) lematu 1.2 wnioskujemy, że cot θ = y^[1]/y < 0 w pewnym

lewostronnym otoczeniu punktu x∗ oraz cot θ = y^[1]/y > 0 w pewnym prawostronnym otoczeniu

punktu x_∗. Stąd θ jest funkcją ściśle rosnącą w każdym punkcie x∗.

Uwaga 2.3. Prawa strona równości (2.1) jest funkcją rosnącą parametru λ, więc naturalnym

wydaje się fakt zachowania tej własności dla rozwiązania θ(x, λ). Jednakże standardowy dowód tego faktu opiera się na założeniu ciągłości funkcji f, więc nie może być stosowany w przypadku równań typu Carath´eodory’ego. Przedstawimy słabszą własność monotoniczności, którą następ-nie wykorzystamy dla szczególnego przypadku równania (2.1).

Twierdzenie 2.2. Niech D = [0, 1] × K ⊂ R², gdzie K = [a, b], −∞ < a < b < ∞, będzie dziedziną prostokątną. Zakładamy, że funkcje f₁ i f₂ określone na D spełniają warunki (i)–(iv) oraz f₁(x, y) ¬ f₂(x, y) p.w. na D. Niech y₁ i y₂ będą odpowiednio globalnymi rozwiązaniami równań Carath´eodory’ego y_j⁰ = f_j x, y_j(x)

, j = 1, 2, spełniającymi warunki początkowe a < y1(0) ¬ y₂(0) < b. Wówczas y₁(x) ¬ y₂(x) dla każdego x ∈ [0, 1].

Dowód. Powyższy lemat jest dobrze znany dla funkcji ciagłych fj, zob. [22, Corollary III.4.2].

Uogólnienie lematu na przypadek funkcji Carath´eodory’ego f_j uzyskamy aproksymując je funk-cjami ciągłymi oraz wykorzystując fakt ciągłej zależności rozwiązań y_j od funkcji f_j. Dowód

Krok 1. Niech

x^∗ := sup{x⁰∈ [0, 1] : y₁(x) ¬ y₂(x) na [0, x⁰]}.

Chcemy udowodnić, że x^∗ = 1. Ponieważ x^∗ ­ 0 i y₁(x^∗) ¬ y₂(x^∗), więc wygodniejsze będzie udowodnienie lokalnej wersji powyższego lematu: dla każdego x₀ ∈ [0, 1) spełniającego

nierów-ność a < y₁(x₀) ¬ y₂(x₀) < b istnieje d > 0 takie, że y₁(x) ¬ y₂(x) dla każdego x ∈ [x₀, x₀+ d].

Krok 2. W pierwszej kolejności udowodnimy, że istnieje jedyne rozwiązanie równania (2.2)

spełniające założenia (i)–(iv) zgodne z warunkiem początkowym y(x₀) = y₀ dla (x₀, y0) ∈ [0, 1) × (a, b). Lokalna konstrukcja tego rozwiąznia opiera się na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym. Niech c := min{y₀− a, b − y₀} oraz wybieramy wartość d > 0 taką, że

Z x0+d x0 m(x) dx < ^c 2, Z x0+d x0 l(x) dx < ¹ 2. (2.4)

Określamy przestrzeń C := C[x₀, x0+ d] funkcji ciągłych na przedziale [x₀, x0+ d] z normą

kyk_C := max

x∈[x0,x0+d]|y(x)|.

Następnie rozważamy operator nieliniowy T nad przestrzenią C zdefiniowany jako

T y(x) := y0+ Z x

x0

f (t, y(t)) dt (2.5)

dla y ∈ C takiego, że dla każdego t ∈ [x₀, x₀+ d] punkt (t, y(t)) ∈ D. Wówczas rozwiązanie równania y⁰ = f (x, y) na [x₀, x0 + d], z określonym warunkiem początkowym y(x₀) = y₀, jest punktem stałym operatora T. Z oszacowania

|T y₁(x) − T y₂(x)| ¬ Z x

x0

l(t)|y₁(t) − y₂(t)| dt ¬ ¹₂ky₁− y₂k_C

wnioskujemy, że operator T jest kontrakcją (odwzorowaniem zwężającym). Ponadto kula¹

B(y₀) := {y ∈ C : ky − y₀k_C ¬ c}

należy do dziedziny operatora T i jest odwzorowywana w siebie, tzn. T B ⊂ B. Istotnie,

kT y₀− y₀k_C ¬ Z x0+d

x0

m(t) dt < ^c

2 oraz dla każdego y ∈ B(y₀)

kT y − y₀k_C ¬ kT y − T y₀k_C+ kT y₀− y₀k_C < ¹₂ky − y₀k_C +^c₂ ¬ c.

1

Notację y0 stosujemy zarówno do oznaczenia liczby rzeczywistej związanej z warunkiem początkowym jak i funkcji stałej równej wartości y0.

Wykorzystując twierdzenie Banacha o punkcie stałym otrzymujemy jednoznaczne rozwiązanie równania y = T y na C = C[x₀, x0 + d] jako granicę ciągu Tⁿy0, gdy n → ∞. Punkt stały

spełnia warunek (2.3), więc jest rozwiązaniem równania Carath´eodory’ego (2.2) spełniającym wymagany warunek początkowy.

Krok 3. Następnie wykażemy, że wspomniany punkt stały operatora T zależy w sposób

ciągły od f w pewnym sensie. Zakładamy, że funkcje f₁ i f₂ określone na dziedzinie D spełniają warunki (i)–(iv) z funkcjami całkowalnymi m_j i l_j, j = 1, 2. Niech x₀ ∈ [0, 1) i y₀ ∈ (a, b).

Definiujemy wartość c tak jak w kroku 2 oraz wybieramy δ ∈ (0, 1−x₀] tak, aby warunek (2.4) był spełniony z funkcjami m i l zastąpionymi odpowiednio przez m_j i l_j, j = 1, 2. Niech T₁ i T₂ będą operatorami definiowanymi w ten sam sposób jak operator T w kroku 2, ale z funkcjami f₁ i f₂ oraz niech y₁ i y₂ oznaczają punkty stałe dla tych operatorów na odcinku [x₀, x₀+ d]. Wówczas różnicę y₁− y₂ na przestrzeni C := C[x₀, x₀+ δ] możemy oszacować w sposób następujący:

ky₁− y₂k_C = kT₁y₁− T₂y₂k_C ¬ kT₁y₁− T₁y₂k_C+ kT₁y₂− T₂y₂k_C ¬ ¹₂ky₁− y₂k_C+ Z x0+d x0 |f₁(t, y₂(t)) − f₂(t, y₂(t))| dt. Zatem ky₁− y₂k_C ¬ 2 Z x0+d x0 sup y∈K |f₁(t, y) − f₂(t, y)| dt. (2.6)

Krok 4. Następnie wykażemy, że dla funkcji Carath´eodory’ego f określonej na zbiorze D i spełniającej warunki (i)–(iv) istnieje ciąg f_ε funkcji ciągłych na D spełniających (i)–(iv) oraz takich, że Z 1 0 sup y∈K |f_ε(t, y) − f (t, y)| dt → 0, ε → 0. (2.7)

Bierzemy dowolną funkcję ciągłą φ o nośniku zwartym taką, że 0 ¬ φ(x) ¬ 1 dla każdego

x ∈ R oraz R

φ = 1. Definiujemy φε(x) := ε⁻¹φ(x/ε). Następnie wygładzamy f poprzez φε

i otrzymujemy f_ε jako

f_ε(x, y) := Z

R

φ_ε(x − ξ)f (ξ, y) dξ.

Dodatkowo niech m_ε i l_ε oznaczają funkcje skonstruowane analogicznie do m i l. Wówczas m_ε oraz l_ε są ciągłe na [0, 1] (stąd całkowalne) i zbieżne odpowiednio do m i l w sensie topologii przestrzeni L₁(0, 1) [48, Theorem VI.1.10]. Następnie otrzymujemy oszacowanie

|f_ε(x, y)| ¬ Z R φε(x − ξ)m(ξ) dξ = m_ε(x) oraz |f_ε(x, y₁) − f_ε(x, y₂)| ¬ |y₁− y₂| Z R φ_ε(x − ξ)l(ξ) dx = |y₁− y₂|l_ε(x).

Tak więc f_ε spełnia warunki Carath´eodory’ego (iii) i (iv). Ponadto funkcje f_ε są ciągłe na D, bowiem z nierówności |f_ε(x₁, y1) − f_ε(x₂, y2)| ¬ |f_ε(x₁, y1) − f_ε(x₂, y1)| + |f_ε(x₂, y1) − f_ε(x₂, y2)| ¬ Z R |φ_ε(x₁− ξ) − φ_ε(x₂− ξ)|m(ξ) dξ + |y₁− y₂| Z R φε(x₂− ξ)l(ξ) dξ

otrzymujemy, że pierwszy składnik w powyższym oszacowaniu zmierza do zera w sposób jedno-stajny z y₁, y2 ∈ K, gdy |x₁−x₂| → 0, co wynika z jednostajnej ciągłości funkcji φ_ε. Z kolei drugi

składnik jest ograniczony przez wyrażenie ε⁻¹klk_L1|y₁− y₂|, gdzie klk_L1 oznacza normę funkcji l w przestrzeni L₁(0, 1), i zmierza do zera w sposób jednostajny z x₂ ∈ [0, 1], gdy |y₁− y₂| → 0.

Stąd wnioskujemy, że f_ε spełnia również warunki (i) i (ii).

Niech g_ε:= f_ε− f. Wówczas dla każdego ustalonego y ∈ K otrzymujemy Z 1

0

|g_ε(x, y)| dx → 0,

gdy ε → 0 [48, Theorem VI.1.10]. Ze zwartości zbioru K wnioskujemy, że dla każdego δ > 0 istnieje skończona δ–sieć zbioru K_δ. Stąd, dla każdego y ∈ K istnieje y^∗ ∈ K_δtakie, że |y−y^∗| ¬ δ

oraz |g_ε(x, y)| ¬ |g_ε(x, y^∗)| + |g_ε(x, y) − g_ε(x, y^∗)| ¬ ^X y0∈K_δ |g_ε(x, y⁰)| + δ(l(x) + l_ε(x)). Ponadto lim sup ε→0 Z 1 0 sup y∈K |g_ε(x, y)| dx ¬ lim ε→0 h _X y0∈K_δ Z 1 0 |g_ε(x, y⁰)| dx + δklk_L1 + δkl_εk_L1ⁱ= 2δklk_L1.

Z dowolności wyboru δ > 0 wnioskujemy, że warunek (2.7) jest spełniony.

Krok 5. Niech f1 i f₂ będą funkcjami występującymi w założeniach lematu. Powołując się na krok 4 konstruujemy dla nich wygładzenia f_1,ε i f_2,ε. Przez y_j,ε, j = 1, 2, oznaczamy rozwiązania równań

y⁰= f_j,ε x, y(x)

zgodne z warunkami początkowymi y_j,ε(x₀) = y_j(x₀). Wówczas z warunku (2.6) otrzymujemy oszacowanie ky_j,ε− y_jk_C ¬ 2 Z x0+d x0 sup y∈K |f_j,ε(x, y) − f_j(x, y)| dx,

następnie z (2.7) wnioskujemy, że prawa strona tego oszacowania zmierza do zera, gdy ε → 0. Ponadto spełniona jest następująca nierówność

f2,ε(x, y) − f_1,ε(x, y) = Z

R

p.w. na D. Na podstawie [22, Corollary III.4.2] dostajemy, że y_1,ε(x) ¬ y_2,ε(x) dla każdego x ∈ [x0, x0+ d]. Stąd y1(x) = lim ε→0y1,ε(x) ¬ lim ε→0y2,ε(x) = y₂(x), x ∈ [x0, x0+ d], co kończy dowód.

Uwaga 2.4. Podobne stwierdzenie (możemy go uzyskać zmieniając kierunek x tzn.

zastepu-jąc x przez 1 − x) uzyskamy ustalazastepu-jąc wartości y₁(1) ­ y₂(1) w punktach końcowych globalnych

rozwiązań y₁, y₂ równań Carath´eodory’ego. Wówczas otrzymamy y₁(x) ­ y₂(x) dla x ∈ [0, 1). Przechodzimy do udowodnienia własności monotoniczności kąta Pr¨ufera względem parame-tru λ.

Lemat 2.1. Niech λ1 < λ2 oraz θ(·; λ₁), θ(·; λ₂) będą rozwiązaniami równania (2.1)

speł-niającymi warunek θ(0; λ₁) ¬ θ(0; λ₂). Wówczas zachodzi następująca nierówność θ(x; λ₁) <

θ(x; λ2) dla dowolnego x ∈ (0, 1]. Dowód. Niech K = [0, π]. Funkcje

fj(x, y) := u(x) sin y + cos y
2

+ λ_jsin²y, j = 1, 2,

spełniają założenia twierdzenia 2.2 na zwartym zbiorze K. W dowodzie twierdzenia 2.2 założe-nie o zwartości zbioru K wykorzystywane było tylko przy dowodzie (2.7). Pozałoże-nieważ funkcje f_j (oraz ich wygładzenia f_j,ε) są funkcjami okresowymi zmiennej y, o okresie π, więc teza twier-dzenia 2.2 jest spełniona dla powyższych funkcji f_j na niezwartym zbiorze K = R. Skutkuje to brakiem konieczności nakładania ograniczeń na wartość początkową θ. Otrzymujemy nierów-ność θ(x; λ₁) ¬ θ(x; λ₂) dla każdego x ∈ [0, 1]. Pozostała do udowodnienia nierówność ostra, czyli θ(x; λ₁) < θ(x; λ₂) dla każdego x ∈ (0, 1].

Rozpoczniemy od wykazania, że zbiór S := {x ∈ [0, 1] : θ(x; λ₁) = θ(x; λ₂)} jest zbiorem nigdziegęstym w [0, 1]. Dla dowodu niewprost załóżmy, że S nie jest zbiorem nigdziegęstym. Wówczas S jako zbiór domknięty powinien zawierać pewien przedział [a, b], więc dla każde-go elementu x z tekażde-go przedziału mamy θ(x; λ₁) = θ(x; λ₂). Ponadto θ(x; λ₁) = θ(a; λ₁) + Rx

a θ⁰(t; θ(t; λ₁)) dt oraz θ(x; λ₂) = θ(a; λ₂) +Rx

a θ⁰(t; θ(t; λ₂)) dt. W szczególności dla x = b ma-my równość θ(b; λ₁) = θ(b; λ₂), czyli θ(a; λ₁) + Z b a θ⁰(t; θ(t; λ₁)) dt = θ(a; λ₂) + Z b a θ⁰(t; θ(t; λ₂)) dt, co z uwagi na θ(x; λ₁) = θ(x; λ₂) jest równoważne

Z b a f₁(t, θ(t; λ₁)) dt = Z b a f₂(t, θ(t; λ₁)) dt.

Zatem

(λ₁− λ₂) Z b

a

sin²θ(t; λ1) dt = 0

Stąd wnioskujemy, że sin θ(t; λ₁) ≡ 0 dla każdego t ∈ [x₁, x0], więc dla takich x, θ(t; λ₁) ≡ πk,

k ∈ Z. Jednak ze względu na stwierdzenie 2.1 otrzymujemy sprzeczność.

Załóżmy, że istnieje x₀ ∈ S takie, że x₀ > 0. Ustalamy wartość θ(x0; λ₁) = θ(x₀; λ₂) =: θ₀ i przez x₁ < x₀ oznaczamy punkt, dla którego θ(x₁; λ₂) > θ(x₁; λ₁), zobacz rysunek 2.1.

-x 6 λ 0 1 t λ₁ t λ₂ t θ₀ x₀ x₁ θ(x, λ2) θ(x, λ₁)

Rysunek 2.1. Ilustracja pomocnicza do dowodu lematu 2.1

Dodatkowo niech

θ1 := ¹₂ θ(x1; λ₂) + θ(x₁; λ₁)

oraz θ₁(·; λ₂) będzie rozwiązaniem równania (2.1) dla λ = λ₂, zgodnym z warunkiem

początko-wym θ(x₁) = θ₁. Z twierdzenia 2.2 otrzymujemy θ₁(x; λ₂) ­ θ(x, λ₁) dla każdego x ∈ [x₁, x0]. W szczególności θ₁(x₀; λ₂) ­ θ(x₀, λ₁) = θ₀ = θ(x₀, λ₂) > θ₁(x₀, λ₂). Wykorzystując jedno-znaczność rozwiązania, dla λ = λ₂, wnioskujemy, że wykresy różnych rozwiązań równania (2.1) nie mogą się przecinać, więc θ(x₀; λ₂) > θ₁(x₀; λ₂) ­ θ₀, co daje sprzeczność. Zatem zbiór S nie zawiera żadnego punktu z przedziału (0, 1].

Wniosek 2.2. Jeśli λ₁ < λ₂ oraz θ(·; λ₁), θ(·; λ₂) są rozwiązaniami równania (2.1)

spełnia-jącymi warunek θ(0; λ₁) ­ θ(0; λ₂), to dla dowolnego x ∈ (0, 1] zachodzi nierówność θ(x; λ₁) >

θ(x; λ₂).

Dodatkowe własności kąta Pr¨ufera otrzymamy ustalając jego wartość w punkcie x = 0.

Twierdzenie 2.3. Niech x ∈ (0, 1] oraz y(·; λ) będzie rozwiązaniem równania τ y = λy

z odpowiadającym mu kątem Pr¨ufera θ(·; λ) spełniającym warunek θ(0, λ) ≡ α ∈ [0, π) dla każdego λ ∈ R. Wówczas θ(x; λ) → 0, gdy λ → −∞ oraz θ(x; λ) → +∞, gdy λ → +∞.

Krok 1. Pokażemy, że istnieje K > 0 i δ > 0 takie, że θ(x; λ) < π − δ dla każdego x ∈ [0, 1]

i dla wszystkich λ ¬ −K.

Niech δ := ¹₂min{π − α,^π₂}. Ponieważ funkcja F (x) := Rx

0 |u(t)| + 1
2

dt jest jednostajnie

ciągła na [0, 1], więc istnieje δ₁> 0 takie, że F (x2) − F (x₁) =

Z x2

x1

|u(x)| + 1
2

dx < δ,

o ile 0 < x₂− x₁ < δ₁. Następnie ustalamy

K := ^kukL2 + 1
2

δ₁sin²δ ^,

gdzie kuk_L2 oznacza normę funkcji u w przestrzeni L₂(0, 1). Twierdzimy, że θ(x; −K) < π − δ dla każdego x ∈ [0, 1].

Rzeczywiście, załóżmy, że x₁ < x₂ są takie, że θ(x; −K) ∈ [δ, π −δ] dla dowolnego x ∈ [x₁, x₂] oraz dodatkowo θ(x₁; −K) ¬ π − 2δ. Całkując wyrażenie (2.1) od x₁ do x₂ otrzymujemy

θ(x2; −K) ¬ θ(x₁; −K) + Z x2

x1

|u(x)| + 1
2

dx − K(x2− x₁) sin²δ.

Jeśli x₂− x₁ < δ1, to powyższa całka jest mniejsza od δ. Fakt ten implikuje następującą nie-równość θ(x2; −K) < θ(x₁; −K) + δ ¬ π − δ. W przypadku, gdy x₂− x₁ ­ δ₁ Z x2 x1 |u(x)| + 1
2 dx − K(x2− x₁) sin²δ ¬ 0, więc θ(x₂; −K) ¬ θ(x₁; −K) < π − δ.

Ponieważ θ(0; −K) = α ¬ π − 2δ, na podstawie powyższych rozumowań wnioskujemy, że funkcja θ(·; −K) nigdy nie osiągnie wartości π − δ.

Krok 2. Niech x ∈ (0, 1]. Funkcja θ(x; λ) przyjmuje wartości dodatnie i jest rosnąca

wzglę-dem λ, więc granica θ∗(x) := lim_λ→−∞θ(x; λ) istnieje i jest nieujemna, a z kroku 1 wiemy, że θ∗(x) < π. Twierdzimy, że θ_∗ jest funkcją nierosnąca na (0, 1].

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas istnieją x₁ i x₂, x₁ < x₂, takie że θ_∗(x₁) < θ_∗(x₂). Wybieramy δ > 0 tak, aby θ_∗(x₂) − θ_∗(x₁) ­ 3δ oraz wprowadzmy δ₁ i K w taki sam sposób jak w kroku 1. Bez straty ogólności możemy założyć, że δ jest wartością na tyle dostatecznie małą, natomiast K na tyle dostatecznie dużą, że spełnione są oszacowania

θ(x₁; λ) < θ∗(x₁) + δ i θ(x, λ) < π − δ, x ∈ [0, 1], jak tylko λ < −K (zob. krok 1).

Wówczas dla każdego λ < −K istnieje x_∗ ∈ [x₁, x2] takie, że θ(x₂; λ) − θ(x_∗; λ) ­ δ oraz

nierówność δ ¬ θ(x₂, λ) − θ(x∗; λ) ¬ Z x2 x∗ |u(x)| + 1
2 dx − |λ|(x₂− x_∗) sin²δ

dla każdego λ < −K, która mimo wszystko nie jest spełniona ani gdy x₂− x_∗ < δ₁, z powodu wyboru δ₁, ani gdy x2 − x∗ ­ δ₁, z powodu wyboru wartości K. Przedstawione rozumowa-nie doprowadziło do sprzeczności. Zatem rozumowa-nie istrozumowa-nieją punkty x₁, x₂ spełniające opisane wyżej założenie o funkcji θ∗, więc jest to funkcja nierosnąca.

Założmy, że istnieje x₀ ∈ (0, 1] takie, że θ_∗(x₀) > 0. Wtedy θ_∗(x) ­ θ_∗(x₀) dla każdego

x ∈ [0, x₀]. Wybieramy δ ∈ (0, θ∗(x₀)) i K > 0 tak, aby θ(x; λ) < π − δ dla każdego x ∈ [0, x₀] i każdego λ < −K. Ponadto dla dowolnego x ∈ [0, x₀] i każdego λ < −K zachodzą następujące oszacowania θ(x; λ) ­ θ∗(x₀) ­ δ. Stąd wnioskujemy, że dla każdego takiego λ mamy

δ ¬ θ(x₀; λ) ¬ α + kuk_L2 + 1
2

− |λ|x₀sin²δ,

co daje sprzeczność. Zatem θ_∗(x) = 0 dla x ∈ (0, 1].

Krok 3. Dla dowolnie ustalonego x ∈ (0, 1] funkcja θ(x; λ) jest rosnąca względem λ, zatem

granica

θ^∗(x) := lim

λ→∞θ(x; λ)

istnieje w sensie rozszerzonym, tzn. jest wartością skończoną lub wynosi +∞. Zauważmy, że dla

λ > 0 funkcja θ(x; λ) jest rosnąca względem x ∈ [0, 1], a więc θ^∗ jest funkcją niemalejącą. W pierwszej kolejności pokażemy, że θ^∗musi ściśle rosnąć na każdym przedziale, gdzie przyj-muje wartość skończoną. W tym celu załóżmy, że istnieje x₂ ∈ (0, 1] takie, że θ^∗(x₂) < ∞. Pokażemy następujące oszacowanie

θ^∗(x₂) − θ^∗(x₁) ­ x₂− x₁ (2.8)

dla dowolnego x₁ ∈ [0, x₂). Niech δ > 0 będzie takie, że θ^∗(x₂) − θ^∗(x₁) ¬ δ. Wówczas istnieje

K > 0 takie, że dla każdego λ > K mamy θ(x2; λ) − θ(x₁; λ) < 2δ. Z uwagi na równanie (2.1) otrzymujemy Z x2 x1 (u sin θ + cos θ)²dx + λ Z x2 x1 sin²θ dx < 2δ.

W szczególności dla takich λ

Z x2 x1 sin²θ dx < ^2δ λ^, tak więc Z x2 x1 cos²θ dx > x₂− x₁− ^2δ λ^.

Wykorzystując nierówność Cauchy’ego – Buniakowskiego – Schwarza otrzymujemy Z x2 x1  u sin θ cos θ dx ¬ kukL2 2δ λ 1/2 .

Zatem θ(x2; λ) − θ(x₁; λ) ­ Z x2 x1 cos²θ dx − 2 Z x2 x1 |u sin θ cos θ| dx > x2− x₁− ^2δ λ ^{− 2kukL}2

W dokumencie Index of /rozprawy2/11275 (Stron 23-36)