λ 1/2
dla dowolnego λ > K. Przechodząc do granicy w powyższych nierównościch otrzymujemy (2.8). Teraz wykażemy, że jeśli istnieje x0 ∈ (0, 1) i n ∈ N takie, że θ∗(x0) ∈ (πn, π(n + 1)), to θ∗(x0 + 0) π(n + 1) i θ∗(x0 − 0) ¬ πn. Istotnie, dla każdej dostatecznie małej wartości δ > 0 istnieje K > 0 takie, że spełniona jest nierówność πn + δ ¬ θ(x0; λ) < π(n + 1) − δ dla każdej wartości λ > K. Oznaczmy przez x−(λ), x+(λ)
największy, otwarty podprzedział przedziału [0, 1] zawierający punkt x0 o tej własności, że
θ(x; λ) ∈ (πn + δ; π(n + 1) − δ)
dla każdego x ∈ x−(λ), x+(λ)
. Jak wynika z (2.1), dla λ > K, otrzymujemy
π − 2δ θ(x+(λ); λ) − θ(x−(λ); λ) λ(x+(λ) − x−(λ)) sin2δ.
Ponadto jeśli λ → +∞, to
x+(λ) − x−(λ) ¬ π − 2δ λ sin2δ → 0.
Zatem x+(λ) → x0, gdy λ → +∞ oraz dla dostatecznie dużych wartości λ mamy równość θ(x+(λ); λ) = π(n + 1) − δ. Dla dowolnego ε > 0 obliczamy
θ∗(x0+ ε) = lim
λ→+∞θ(x0+ ε, λ) lim
λ→+∞θ(x+(λ); λ) = π(n + 1) − δ;
w rezultacie θ∗(x0 + 0) π(n + 1) − δ. Przeprowadzając podobne rozumowanie wykazujemy
θ∗(x0− 0) ¬ πn + δ. Z dowolności wyboru δ > 0 otrzymujemy żądaną własność.
Załóżmy teraz, że istnieje x0 ∈ (0, 1] takie, że θ∗(x0) < ∞. Łącząc wykazane wcześniej dwie własności funkcji θ∗ otrzymujemy, że θ∗(x2) − θ∗(x1) π, gdy tylko 0 < x1< x2 ¬ x0, co daje sprzeczność. Stąd θ∗(x) ≡ +∞ dla każdego x ∈ (0, 1], co kończy dowód.
2.2 Twierdzenia porównawcze i oscylacyjne Sturma
Udowodnimy twierdzenie porównawcze Sturma dla singularnego równania różniczkowego Sturma–Liouville’a wykorzystując monotoniczność kąta Pr¨ufera omówioną w lemacie 2.1.
Twierdzenie 2.4. Załóżmy, że y(·; λj), j = 1, 2, są rozwiązaniami rzeczywistymi równań
τ y = λjy oraz λ1 < λ2. Wówczas y(·; λ2) posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe pomiędzy
Dowód. Niech x0 < x1 będą dwoma kolejnymi miejscami zerowymi rozwiązania y(·; λ1). Bez straty ogólności zakładamy, że y(x; λ1) > 0 dla x ∈ (x0, x1). Na mocy lematu 1.2 wniosku-jemy, że y[1](x0; λ1) > 0 i y[1](x1; λ1) < 0, tak więc
y[1](x; λ1)
y(x; λ1) → +∞, gdy x → x0+,
y[1](x; λ1)
y(x; λ1) → −∞, gdy x → x1−.
Ustalamy wartość kąta Pr¨ufera θ(·, λ1) odpowiadającego rozwiązaniu y(·; λ1) poprzez warunek
θ(x0; λ1) = 0. Na mocy stwierdzenia 2.1 wartość θ(x; λ1) > 0 dla x > x0 oraz nie przyjmuje wartości πn, n ∈ Z, dla x ∈ (x0, x1). Stąd θ(x; λ1) ∈ (0, π) dla każdego x ∈ (x0, x1) oraz
θ(x1, λ1) = π.
Niech θ(·; λ2) będzie kątem Pr¨ufera odpowiadającym rozwiązaniu y(·; λ2) z ustaloną war-tością w punkcie x0 poprzez warunek θ(x0; λ2) ∈ [0, π). Z lematu 2.1 otrzymujemy nierówność
θ(x1; λ2) > θ(x1; λ1) = π, z której wnioskujemy istnienie x∗ ∈ (x0, x1) takiego, że θ(x∗; λ2) = π. Stąd y(x∗; λ2) = 0, co kończy dowód.
Rozważmy operator Sturma–Liouville’a T określony na przestrzeni L2(0, 1) poprzez wyra-żenie różniczkowe τ i warunki brzegowe
sin α y[1](0) − cos α y(0) = sin β y[1](1) − cos β y(1) = 0
dla pewnego α ∈ [0, π) i β ∈ (0, π]. W pracach [73, 74] zostało udowodnione, że operator T jest samosprzężony oraz jego widmo składa się wyłącznie z prostych wartości własnych.
Oznaczenie 3. Niech y(·; λ) będzie rozwiązaniem równania τ y = λy unormowanym przez
warunki początkowe y(0) = sin α i y[1](0) = cos α, natomiast θ(·; λ) oznacza kąt Pr¨ufera odpo-wiadający temu rozwiązaniu, zgodny z warunkiem początkowym θ(0; λ) = α.
Lemat 2.2. Rozwiązanie y(·; λ) posiada n, n ∈ N, miejsc zerowych wewnątrz
przedzia-łu (0, 1) wtedy i tylko wtedy, gdy πn < θ(1; λ) ¬ π(n + 1). W szczególności liczba miejsc zero-wych y(·; λ) jest niemalejącą funkcją zmiennej λ.
Dowód. Liczba wewnętrznych miejsc zerowych rozwiązania y(·; λ) jest równa liczbie punk-tów wewnętrznych x dla których θ(x; λ) = 0 mod π. Funkcja θ(·; λ) jest rosnąca w każdym punkcie, gdzie spełniona jest powyższa równość, więc na mocy stwierdzenia 2.1 zachodzi teza lematu.
Z powyższego lematu wynika, że rozwiązanie y(·; λ) posiada co najmniej n wewnętrznych miejsc zerowych dla każdego λ > λ∗n, gdzie λ∗n oznacza jednoznaczne rozwiązanie równania
θ(1; λ) = πn. Jeśli przez xn oznaczymy n–te miejsce zerowe funkcji y(·; λ), to xn stanie się funkcją zmiennej λ ∈ (λ∗n, +∞). Analogicznie jak w klasycznej teorii Sturma–Liouville’a
wnio-skujemy, że
Lemat 2.3. xn jest funkcją ciągłą i ściśle malejącą jako funkcja parametru λ ∈ (λ∗n, +∞).
Dowód. Z własności kąta Pr¨ufera wynika, że θ(xn(λ); λ) = πn dla każdego λ > λ∗n. Funkcja
θ jako funkcja parametru λ jest ściśle rosnąca, więc dla dowolnych λ1i λ2takich, że λ2 > λ1 > λ∗n
spełniona jest nierówność θ(xn(λ1), λ2) > θ(xn(λ1), λ1) = πn. Z lematu 2.2 wnioskujemy, że
y(x; λ2) posiada co najmniej n miejsc zerowych na przedziale (0, xn(λ1)), więc xn(λ2) < xn(λ1). Z równania (2.6) kąt Pr¨ufera θ(·; λ) zależy w sposób ciągły od λ w topologii przestrze-ni C[0, 1], stąd jest to funkcja ciągła względem zmiennych x i λ. Bierzemy dowolne λ∗ > λ∗n
i ustalamy x∗ = xn(λ∗). Wówczas najprostsza forma twierdzenia o funkcji uwikłanej [27, Roz-dział VI, §2, Twierdzenie I] głosi, że istnieje otoczenie O punktu x∗ oraz funkcja ciągła λ(x) określona na O taka, że λ(x∗) = λ∗ oraz θ(x; λ(x)) = πn dla każdego x ∈ O. Ze względu na stwierdzenie 2.1 funkcja λ(x) jest ściśle malejąca na O. Tak więc istnieje otoczenie O0 punktu
λ∗ i funkcja ciągła x(λ), która jest odwrotną do funkcji λ(x). W szczególności θ(x(λ), λ) = πn dla każdego λ ∈ O0. Zatem xn(λ) = x(λ) na O0 oraz xn jest ciągła na O0, więc jest ciągła dla wszystkich λ > λ∗n.
W pracy [77] pokazano, że wykorzystując powyższą monotoniczność miejsc zerowych funkcji
xn(λ) można udowodnić zasadę oscylacyjną Sturma. Jednakże w dowodzie poniższego twierdze-nia przedstawimy inny sposób dowodu wspomtwierdze-nianej własności, opierający się bezpośrednio na własnościach kąta Pr¨ufera.
Twierdzenie 2.5. Operator T jest ograniczony z dołu, a jego wartości własne można
upo-rządkować w sposób następujący
λ0< λ1 < · · · < λn< λn+1< . . .
z jednym punktem skupienia w +∞. Niech yn będzie rzeczywistą funkcją własną odpowiadającą wartości własnej λn. Wówczas yn posiada n wewnętrznych miejsc zerowych, które przeplatają się z miejscami zerowymi funkcji własnej yn+1.
Dowód. Niech λ ∈ R. Jak wiemy λ jest wartością własną operatora T wtedy i tylko wtedy, gdy θ(1; λ) = β mod π. Zauważmy, że θ(1; λ) > 0 dla każdego λ ∈ R. Wówczas na mocy twierdzenia 2.3 otrzymujemy θ(1; λ) → 0, gdy λ → −∞. Zatem wnioskujemy, że istnieje K > 0 takie, że θ(1; λ) 6= β mod π, gdy λ < −K. Stąd mamy ograniczenie λ0> −K.
Jeśli λ rośnie od −∞ do +∞, to θ(1; λ) jest funkcją ściśle rosnącą od 0 do +∞. Stąd, dla każdego n ∈ Z+, istnieje wartość λn wyznaczona w sposób jednoznaczny i spełniająca równość θ(1; λn) = β + πn. W szczególności θ(1; λ0) = β ¬ π oraz na mocy lematu 2.2 funkcja własna y0 := y(·; λ0), odpowiadająca pierwszej wartości własnej λ0, nie posiada miejsc zerowych wewnątrz (0, 1). Podobnie, dla θ(1; λn) ∈ (πn, πn + π], funkcja θ(·; λn) posiada dokładnie n wewnętrznych punktów xk, k = 1, . . . , n, dla których θ(xk, λn) = πk, czyli ynposiada dokładnie
n wewnętrznych miejsc zerowych.
Następnie z twierdzenia 2.4 wnioskujemy, że każdy z przedziałów (x1, x2), . . . , (xn−1, xn) zawiera co najmniej jedno miejsce zerowe funkcji yn+1. Na mocy lematu 2.1 mamy θ(x1; λn+1) >
θ(x1; λn) = π, więc θ(·, λn+1) przyjmuje wartość równą π wewnątrz przedziału (0, x1), tzn. yn+1 posiada miejsce zerowe w (0, x1). Następnie zauważmy, że θ(1; λn) + π = θ(1; λn+1). Stosując wniosek 2.2 z lematu 2.1 dla rozwiązań θ(·; λn)+π i θ(·; λn+1) na przedziale (xn, 1) wnioskujemy,
że θ(xn; λn) + π > θ(xn; λn+1), czyli θ(xn; λn+1) < π(n + 1). Z uwagi na nierówność θ(1; λn+1) >
π(n + 1) funkcja θ(·; λn+1) przyjmuje wartość π(n + 1) w pewnym punkcie przedziału (xn, 1),
a tym samym jest to miejsce zerowe funkcji yn+1.
Ostatecznie wiemy, że funkcja własna yn+1 posiada dokładnie n + 1 wewnętrznych miejsc zerowych, stąd każdy z przedziałów (0, x1), (x1, x2), . . . , (xn, 1) zawiera dokładnie jedno z nich,
tzn. miejsca zerowe funkcji własnych yni yn+1 przeplatają się w sposób ścisły.
Połączenie twierdzenia 2.3 oraz lematu 2.2 daje inną zasadę oscylacyjną Sturma, a miano-wicie
Stwierdzenie 2.2. Załóżmy, że β = π. Wówczas liczba wartości własnych operatora T
Rozdział 3
Teoria oscylacyjna Sturma dla singularnych drzew
kwantowych
Uzyskane wyniki w poprzednim rozdziale dla operatora Sturma–Liouville’a o potencjale będącym funkcją dystrybucyjną uogólnimy na przypadek singularnego drzewa kwantowego, a mianowicie podamy singularne odpowiedniki twierdzeń porównawczych i oscylacyjnych na tych strukturach i zbadamy własności kąta Pr¨ufera.
3.1 Kąt Pr¨ufera dla drzew kwantowych
W odróżnieniu od zagadnienia Sturma–Liouville’a zdefiniowanego na przedziale, nietrywial-ne rozwiązanie zagadnienia Sturma–Liouville’a `y = λy na grafie Γ może przyjmować wartość tożsamościowo równą zero na kilku krawędziach.
Przykład 3.1. Rozważmy graf gwiazdkowy z trzema krawędziami γ1, γ2, γ3, każda o
długo-ści 1, połączonymi we wierzchołku v∗, zob. rysunek 3.1. Przyjmujemy q ≡ 0, λ = π2, α(v∗) = 0 oraz w każdym wierzchołku brzegowym zadajemy warunki brzegowe Dirichleta. Wówczas dla każdej krawędzi γj, istnieje nietrywialne rozwiązanie równania `y = π2y przyjmujące w sposób
tożsamościowy wartoś równą zero na γj, na przykład yγ1 ≡ 0, yγ2 = sin(πx), yγ3 = − sin(πx). Istotnie, dla tak skonstruowanego rozwiązania liczba λ = π2 jest jego wartością własną. Ponad-to rozwiązanie y spełnia warunki brzegowe Dirichleta we wierzchołkach brzegowych yγ1(v1) =
yγ2(v2) = yγ3(v3) = 0, co więcej jest ono ciągłe we wierzchołku wewnętrznym v∗oraz spełnia wa-runek dopasowania Kirchhoffa. Istotnie y(v∗) = 0 oraz yγ[1]1(v∗) = yγ[1]1(1) = 0, y[1]γ2(v∗) = yγ[1]2(1) =
π cos π = −π, yγ[1]3(v∗) = yγ[1]3(1) = −π cos π = π. Wówczas y[1]γ1(v∗) − yγ[1]2(v∗) − y[1]γ3(v∗) = 0.
Definicja 3.1. Rozwiązanie równania `y = λy nazywamy niezdegenerowanym, jeśli zbiór
nul(y) jego wewnętrznych miejsc zerowych jest dyskretny.
Definicja 3.2. Niech y będzie rzeczywistym, niezdegenerowanym rozwiązaniem równania
t v1 γ1 vt∗ Q Q Q QQ t v2 γ2 t v3 γ3
Rysunek 3.1. Graf kwantowy posiadający zdegenerowane funkcje własne
w sposób następujący
y(x) = r(x) sin θ(x), y[1](x) = r(x) cos θ(x), x ∈ (x2k−1, x2k), gdzie r(x), θ(x) są funkcjami rzeczywistymi, wówczas
cot θ(x) = y[1](x)
y(x) . (3.1)
Podobnie jak w przypadku odcinka (zob. uwaga 2.1) θ jest zdefiniowane z dokładnością do modulo π. Możemy jednak ustalić ciągłą gałęź θ przypisując jej wartość w jednym punkcie (np.
θ(x2k) ∈ (0, π] w punkcie końcowym x2k). W ten sposób definiujemy kąt Pr¨ufera θ na całym drzewie Γ. Przez θγ oznaczamy zawężenie θ do krawędzi γ. Zauważmy, że mimo tego, iż funkcja
y, jako rozwiązanie równania `y = λy, jest ciągła w każdym wierzchołku wewnętrznym v (fakt
ten gwarantuje warunek (1.14)), to jednak θ nie musi posiadać tej własności. Podyktowane jest to faktem, że wartości graniczne quasi–pochodnej y[1] we wierzchołku v wzdłuż przyległych krawędzi mogą być różne, wtedy różne są wartości graniczne cot θ, a więc i θ. Dzieląc waru-nek dopasowania (1.15) przez wartość y(v), dla y(v) 6= 0, otrzymujemy następujący waruwaru-nek dopasowania dla wartości granicznych θ wzdłuż przyległyh krawędzi:
cot θγ+(v) = X
e∈B(v)
cot θe(v) (3.2)
(przypominamy, że α(v) = 0 dla v ∈ I(Γ)). Natomiast jeśli y(v) = 0, to θγ+(v) = π oraz
θe(v) = 0 mod π dla e ∈ B(v).
Różniczkując obie strony równania (3.1) otrzymujemy równanie Riccatiego dla cot θ
d cot θ
dx = −(u + cot θ)
2− λ,
lub równoważnie mnożąc przez sin2θ
θ0 = (u sin θ + cos θ)2+ λ sin2θ. (3.3)
Uwaga 3.1. Podobnie jak w przypadku odcinka (stwierdzenie 2.1) θ jest funkcją ściśle
ro-snącą w każdym punkcie, gdzie przyjmuje wartość πn, n ∈ Z, (tzn. w każdym miejscu zerowym rozwiązania y na krawędzi γ).
Rozwiązując równanie (3.3) odczytujemy postać kąta Pr¨ufera θ. Następnie rozwiązując rów-nanie różniczkowe r0 = r1 − λ − u 2 2 sin 2θ − u cos 2θ uzyskujemy funkcję r.