3.3.1 Ogólne własności spektralne drzew kwantowych
Przypomnijmy, że L oznacza operator na przestrzeni L2(Γ) zdefiniowany jako zawężenie wyrażenia różniczkowego τ z (1.13) do zbioru funkcji z dziedziny dom τ spełniających warunki dopasowania (1.14)–(1.15) oraz warunki brzegowe (1.16). Ponadto przez ` oznaczyliśmy zawęże-nie τ do zbioru funkcji spełniających warunki dopasowania (1.14)–(1.15) w każdym wierzchołku wewnętrznym v ∈ I(Γ).
Dowód. Zauważmy, że warunki dopasowania (1.14)–(1.15) oraz warunki brzegowe (1.16) czynią operatorL symetrycznym, co można bezpośrednio sprawdzić całkując przez części wy-rażenieR
Γ`(y)y dx, czyliR
Γ`(y)y dx =P
γ∈E(Γ)
R
`(yγ)yγdx. Obliczając dla γ = (aγ, bγ) Z γ `(yγ)yγdx = − Z bγ aγ y[1]0+ uy[1]+ u2y y dx = = − Z bγ aγ y[1]0 y dx − Z bγ aγ u y[1]y dx − Z bγ aγ u2y y dx = = −y[1]y bγ aγ + Z bγ aγ y[1] 2 dx − Z bγ aγ u2 |y|2 dx | {z } ∈R otrzymujemy, że Z Γ `(y)y dx = Z Γ |y[1]|2− u2|y|2 dx −X γ y[1]y bγ aγ . (3.5)
Udowodnimy teraz, że prawa strona powyższej rowności jest liczbą rzeczywistą. Istotnie, jeśli v jest wierzchołkiem wewnętrznym, to niech γ−(v) oznacza krawędź do niego wchodzącą, natomiast B(v) zbiór krawędzi z niego wychodzących. Wtedy
X γ y[1]y bγ aγ = X v∈∂Γ\{v0} y[1](v) y(v) − y[1](v0)y(v0)+ + X v∈I(Γ) yγ[1] −(v)(v)yγ −(v)(v) − X γ∈B(v) yγ[1](v)yγ(v) .
Uwzględniając fakt, że dla wierzchołka wewnętrznego zachodzi warunek dopasownia Kirchhoffa otrzymujemy, że y[1]γ −(v)(v)yγ −(v)(v) − X γ∈B(v) yγ[1](v)yγ(v) = y(v) y[1]γ −(v)(v) − X γ∈B(v) yγ[1](v) = 0.
Natomiast jeśli v jest wierzchołkiem brzegowym, to rozwiązanie y spełnia w nim warunek brze-gowy Robina cos αy(v) + sin αy[1](v) = 0. Rozważmy przypadki:
(i) jeśli sin α 6= 0, to y[1](v) = − cot α y(v). Wtedy y[1](v)y(v) = − cot α|y(v)|2, czyli jest to wartość rzeczywista;
(ii) jeśli sin α = 0, to y(v) = 0, a więc y[1](v)y(v) = 0. Zatem y[1](v)y(v) =
− cot α|y(v)|2, gdy sin α 6= 0;
0, gdy sin α = 0.
(3.6)
StądR
Γ`(y)y dx ∈ R, czyli operator L jest symetryczny.
Operator symetryczny i minimalny Lmin związany z (1.13) jest to domknięcie zawężenia operatora L do zbioru funkcji, których nośnik zawarty jest w zbiorze Γ \ V . Ściślej mówiąc,
operatorLmin jest sumą prostą operatorów minimalnych związanych z zawężeniami ` do poje-dynczych krawędzi. Stąd indeksy defektu operatoraLmin są skończone oraz jego dziedzina skła-da się z wszystkich funkcji z dziedziny operatoraL spełniających warunki yγ(v) = yγ[1](v) = 0 w każdym wierzchołku v i każdej krawędzi γ przyległej do niego.
Wśród samosprzężonych rozszerzeń operatora Lmin istnieje operator LD określony przez warunek ciągłości (1.14) oraz warunek Dirichleta y(v) = 0 w każdym wierzchołku v ∈ V . Ope-ratorLDjest samosprzężony jako suma prosta operatorów samosprzężonych Sturma–Liouville’a pierwszego zagadnienia brzegowego na pojedynczych krawędziach. Ponieważ są to operato-ry ograniczone z dołu o widmach dyskretnych, więc takie same własności możemy wniosko-wać dla operatora LD. Zauważmy, że indeksy defektu operatora Lmin wynoszą (n, n), gdzie
n = dim domLD/ domLmin
jest wymiarem przestrzeni ilorazowej domLD/ domLmin. Innymi słowy dziedzinę operatoraLDuzyskujemy z dziedziny operatoraLmin przez usunię-cie n ograniczeń. W każdym wierzchołku wewnętrznym v ∈ I(Γ) o stopniu d, dziedzina domLmin
posiada 2d ograniczeń, z których tylko d pozostaje w dziedzinie domLD. Natomiast warunki (1.14)–(1.15) generują d ograniczeń dla funkcji i ich quasi–pochodnych z dziedziny operato-raL wzdłuż krawędzi mających swój początek lub koniec w v. Funkcje z dziedziny operatora domLmin spełniają w każdym wierzchołku brzegowym v ∈ ∂Γ dwa warunki y(v) = y[1](v) = 0, podczas gdy w domLD i domL dla każdego wierzchołka brzegowego v przypisany jest tyl-ko tyltyl-ko warunek brzegowy Dirichleta y(v) = 0 lub warunek brzegowy Robina (1.16). Zatem dim domL / dom Lmin= n, stąd powołując się na [60, P. IV, Ch. XIV, §6–8] wnioskujemy, że L jest operatorem samosprzężonym.
Udowodniliśmy, że L oraz LD są to rozszerzenia samosprzężone minimalnego operato-ra Lmin o skończonych indeksach defektu. Ponieważ LD posiada widmo dyskretne oraz jest ograniczony z dołu, na podstawie [60, P. IV, Ch. XIV, Th. 9, Th. 16], wnioskujemy również te własności dlaL .
Wartości własne operatora L wyliczamy względem ich wielokrotności
λ0¬ λ1 ¬ λ2¬ · · ·
oraz przez n(λ), dla każdego λ ∈ R, oznaczamy liczbę wartości własnych (liczoną co do wielo-krotności) operatoraL nie przekraczających λ. Twierdzenie Couranta o dziedzinie węzłowej [23, Ch. VI, §6, str. 451–465] jest wykorzystywane w teorii grafów kwantowych m.in. przy dowodzie poniższego lematu.
Lemat 3.3. Niech λ będzie wartością własną operatoraL oraz y odpowiadającą jej funkcją
szcze-gólności, jeśli λ = λn jest prostą wartością własną, to funkcja własna y posiada co najwyżej n izolowanych miejsc zerowych w zbiorze int(Γ), i dzieli drzewo Γ na co najwyżej n + 1 dziedzin węzłowych.
Dowód. Niech l oznacza formę kwadratową odpowiadającą operatorowi L . Jest ona do-mknięciem formy kwadratowej
l0[y] := (L y, y)L2(Γ)= Z
Γ
`(y)y dx
określonej początkowo na domL . Z uwagi na (3.5) i (3.6) powyższa równość przybiera postać:
l0[y] = Z Γ `(y)y dx = Z Γ |y[1]|2− u2|y|2dx − X v∈∂Γ, sin α(v)6=0 cot α(v) |y(v)|2.
Dziedzina dom l składa się z funkcji z przestrzeni W21(Γ), które są ciągłe na int(Γ) oraz spełniają warunki brzegowe (1.16) we wierzchołkach v ∈ ∂Γ wtedy i tylko wtedy, gdy α(v) = 0 mod π, tzn. tylko warunki brzegowe Dirichleta pozostają w definicji dom l. Jest to klasyczny wynik roz-szerzania, prowadzonego w języku form kwadratowych, operatora symetrycznego i dodatniego do operatora samosprzężonego (tzw. rozszerzenie Friedrichsa), [47, Ch. VI, §2.3].
Z zasady minimaksu Couranta – Fischera – Weyla [69, Th.XIII.1] liczba n(λ) jest równa maksymalnemu wymiarowi podprzestrzeni liniowej M zbioru dom l takiej, że l[f ] ¬ λkf k2 dla każdego f ∈ M .
Załóżmy, że funkcja własna y operatora L , odpowiadająca wartości własnej λ, generuje
k dziedzin węzłowych Γ1, . . . , Γk na wnętrzu int(Γ). Oznaczmy przez yj funkcję zgodną z y na Γj i równą zero poza nią. Niech M będzie powłoką liniową zbioru {y1, . . . , yk}. Wówczas M ⊂ dom l oraz całkując przez części całkę R
Γj`(y)y dx otrzymujemy l[f ] = λkf k2 dla każdego
f ∈ M . Stąd wynika, że k ¬ n(λ). Pozostałe stwierdzenia są prostymi wnioskami z powyższych
rozumowań.
3.3.2 Teoria oscylacji Sturma w przypadku drzewa ogólnego
Twierdzenie porównawcze Sturma zdefiniowane na odcinku [0, 1] posiada swój odpowiednik w przypadku drzew kwantowych. Inne znane twierdzenie Sturma tj. twierdzenie oscylacyjne nie ma już swojego bezpośredniego odpowiednika w przypadku drzew kwantowych. Możliwe jest jednak jego uogólnienie, aby to uczynić potrzebujemy pojęcia drzewa ogólnego.
Definicja 3.4. Drzewo kwantowe (Γ,L ) nazywamy ogólnym jeśli L nie posiada żadnych zdegenerowanych funkcji własnych.
Dowód. Załóżmy, że drzewo ogólne (Γ, L ) posiada wartość własną λ, która nie jest prosta. Wówczas istnieją dwie niezdegenerowane i liniowo niezależne funkcje własne y1i y2 odpowiadają-ce wartości własnej λ i spełniająodpowiadają-ce ten sam warunek brzegowy (1.16) w korzeniu v0. Rozwiązania
y1 i y2 są liniowo niezależne, więc istnieje nietrywialna kombinacja liniowa y = c1y1+ c2y2 taka, że y(v0) = y[1](v0) = 0. Oznaczmy przez γ0 krawędź o wierzchołku początkowym w korzeniu v0. Wtedy yγ0 ≡ 0, więc y jest zdegenerowaną funkcją własną dla wartości własnej λ, co przeczy
założeniu, że (Γ,L ) jest ogólne. Zatem wartości własne operatora L nie posiadają krotności większej niż 1, co kończy dowód.
Lemat 3.5. Niech (Γ,L ) będzie drzewem ogólnym. Wówczas żadna funkcja własna nie
posiada miejsca zerowego we wierzchołkach wewnętrznych.
Dowód. Załóżmy, że y jest funkcją własną drzewa ogólnego (Γ, L ), która posiada miejsce zerowe w wierzchołku wewnętrznym v. Pokażemy, że wartość własna λ odpowiadająca funkcji y nie jest prosta.
Przypomnijmy, że walencyjność d(v) wierzchołka v wynosi co najmniej trzy (zob. uwaga 1.9), dlatego istnieje jedna krawędź γ0 mająca swój koniec we wierzchołku v oraz m := d(v) − 1 2 krawędzi γ1, . . . , γmo początku w punkcie v. Oznaczmy przez Γj, j = 0, 1, . . . , m, maksymalny, spójny komponent drzewa Γ \ {v} zawierający krawędź γj oraz przez yΓj zawężenie funkcji własnej y na drzewie Γj. Z założenia wiemy, że funkcja yΓj, dla każdego j = 0, 1, . . . , m, jest rozwiązaniem niezdegenerowanym równania τ y = λy na Γj oraz yΓj(v) = 0.
Dla każdego wektora c := (c0, c1, . . . , cm) ∈ Cm+1 oznaczamy przez y(c) funkcję pokry-wającą się z funkcją cjyΓj na drzewie Γj. Z tak opisanej konstrukcji wynika, że funkcja y(c) jest rozwiązaniem równania τ y = λy na każdej krawędzi Γ, spełnia warunki brzegowe (1.16) w każdym wierzchołku brzegowym oraz warunki dopasowania (1.14)–(1.15) w każdym wierz-chołku wewnętrznym oprócz v. Natomiast we wierzwierz-chołku v funkcja y(c) spełnia warunek cią-głości (1.14), a (1.15) przybiera postać
c0yγ[1]0(v) =
m
X
j=1
cjyγ[1]j(v).
Zauważmy, że żadna z funkcji yγ[1]j(v) nie przyjmuje wartości zero, w przeciwnym razie y przybie-rałoby wartość tożsamościowo równą zero na całej krawędzi γj. Zatem istnieje m–wymiarowa podprzestrzeń wektorowa złożona z wektorów c = (c0, c1, . . . , cm) ∈ Cm+1 rozwiązująca po-wyższe równanie. Dla każdego takiego wektora funkcja y(c) jest funkcją własną operatora L dla wartości własnej λ. Tym samym jej krotność wynosi co najmniej m 2, co jest sprzeczne z lematem 3.4. Stąd założenie o posiadaniu przez funkcję y miejsca zerowego we wierzchołku wewnętrznym było błędne, co kończy dowód.
Po wprowadzeniu powyższych, pomocniczych lematów możemy sformułować twierdzenie oscylacyjne Sturma w przypadku drzewa ogólnego.
Twierdzenie 3.2. Załóżmy, że drzewo kwantowe (Γ,L ) jest ogólne. Oznaczmy przez yn, n ∈
N, funkcję własną (wyznaczoną w sposób jednoznaczny z dokładnością do stałej
multiplikatyw-nej) odpowiadającą wartości własnej λn. Wówczas yn posiada n wewnętrznych miejsc zerowych oraz każda jego dziedzina węzłowa zawiera dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji własnej yn+1.
Dowód. Dowód przeprowadzimy metodą indukcji matematycznej.
Z lematu 3.4 wynika, że wartości własne drzewa (Γ,L ) są proste, więc λ0 < λ1. Z le-matu 3.3 wiemy, że funkcja własna y0 posiada dokładnie jedną dziedzinę węzłową, stąd nie posiada wewnętrznych miejsc zerowych. Stosując twierdzenie porównawcze 3.1 do funkcji y0 i y1 (odpowiadających rozwiązaniu y(·, λ) z λ = λ0 i λ = λ1 > λ0) otrzymujemy, że y1 posiada co najmniej jedno wewnętrzne miejsce zerowe, natomiast lemat 3.3 gwarantuje, że liczba tych miejsc zerowych wynosi dokładnie 1. Stąd pierwszy krok indukcyjny został udowodniony.
Załóżmy teraz, że twierdzenie zostało udowodnione dla każdego n < l, n, l ∈ N. W szczegól-ności yl posiada dokładnie l wewnętrznych miejsc zerowych (jedno w każdej dziedzinie węzłowej rozwiązania yl−1), które różnią się od wierzchołków wewnętrznych, a więc dzielą drzewo Γ na
l + 1 dziedzin węzłowych. Na mocy twierdzenia porównawczego 3.1 każda z dziedzin węzłowych
rozwiązania yl posiada co najmniej jedno miejsce zerowe rozwiązania yl+1. Z lematu 3.3 wnio-skujemy, że łączna liczba wewnętrznych miejsc zerowych rozwiązania yl+1 nie może przekraczać wartości l + 1, więc rozwiązanie to ma dokładnie l + 1 miejsc zerowych. Stąd teza indukcyjna jest prawdziwa dla n = l, co kończy dowód drugiego kroku indukcyjnego. Na mocy indukcji matematycznej twierdzenie pozostaje prawdziwe dla dowolnej funkcji własnej yn, n ∈ N.