5. Metody i techniki wykorzystywane w zarządzaniu ryzykiem
5.2. Szacowanie ryzyka
Jedną z często stosowanych metod oceny ryzyka jest metoda Monte Carlo. Nazwa metody miała wskazywać na losowy (przypadkowy, hazardowy) charakter zja-wisk. Sama nazwa metody – Monte Carlo – została ukuta przez N. Metropolisa i nawiązuje oczywiście do stolicy gier hazardowych – Monako. Często podkreśla się tu również związek ducha metody z zainteresowaniem S. Ulama gra w pokera i stawianiem pasjansa 29.
Historia metody Monte Carlo sięga XVIII wieku, kiedy to francuski matematyk Georges-Louis Leclerc próbował zastosować próbkowanie losowe do obliczania całki przez rzucanie igły na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi liniami prosty-mi. W XX wieku z rachunków na liczbach losowych korzystali m.in. Enrico Fermi przy eksperymentach dotyczących dyfuzji i transportu neutronów w reaktorach jądrowych oraz polski matematyk Stanisław Ulam wraz z Richardem Feynmanem i Nicholasem Metropolisem podczas prac nad projektem bomby jądrowej Manhattan.
Pojawienie się szybkich komputerów przeliczających olbrzymie ilości danych w bardzo krótkim czasie przyczyniło się do zwiększenia zainteresowania tą metodą.
Dziś wachlarz jej zastosowań jest bardzo szeroki. Zaczynając od socjologii, poprzez nauki przyrodnicze i techniczne, a kończąc na ekonomii i finansach. Największe
29 The beginning of the Monte Carlo Method, Metropolis. N, Los Alamos Science, Numer 15, 1987, s. 126-127.
sukcesy odnosi jednak w działach matematyki numerycznej30. Służy do matema-tycznego modelowania procesów zbyt złożonych (obliczenia całek, łańcuchów pro-cesów statystycznych), aby można było przewidzieć ich wyniki za pomocą podej-ścia analitycznego31. Istotą w metodzie Monte Carlo jest losowanie przypadkowe wielkości charakteryzujących proces, dotyczy to rozkładów procesów prostych lub złożonych. Składa się ona z następujących głównych części: sformułowanie modeli stochastycznych badanych procesów realnych, modelowania zmiennych losowych o danym rozkładzie prawdopodobieństwa, rozwiązywania problemu statystyczne-go z zakresu teorii estymacji32.
Monte Carlo zaliczane jest do metod statystycznych, ponieważ wielkości wy-znaczane są w postaci wartości oczekiwanych pewnych rozkładów prawdopodo-bieństwa. W celu zobrazowania metody został wykorzystany arkusz kalkulacyjny przygotowany przez Krzysztofa Czobę33, wykorzystujący normalny rozkład praw-dopodobieństwa.
Pierwszy arkusz zawiera tabelę zwaną macierzą kwantyfikacji ryzyk. Zawiera ona dwanaście ryzyk oraz cztery szanse, na jakie narażeni mogą być obywatele w założonym scenariuszu. Scenariuszem może być np: powódź, pożar, karambol czy groźny wypadek samochodowy. Każdemu zagrożeniu z danego scenariusza przypisane jest prawdopodobieństwo wystąpienia zagrożenia, ewentualny sku-tek jego wystąpienia, oraz poziom zagrożenia, czyli iloczyn prawdopodobieństwa i skutku. Wszystkie uporządkowane wartości przedstawia poniższa tabela.
Tabela 5.4. Macierz kwalifikacji ryzyka i szans RBS Opis ryzyka Prawdop. Skutek
(Koszt) Poziom LOS() SKUTEK
Z-1 Zagrożenie nr 1 0,10 200 20 0,595213
Z-2 Zagrożenie nr 2 0,05 300 15 0,707888
Z-3 Zagrożenie nr 3 0,10 50 5 0,425584
Z-4 Zagrożenie nr 4 0,50 10 5 0,157022 10
Z-5 Zagrożenie nr 5 0,20 20 4 0,215453
Z-6 Zagrożenie nr 6 0,30 100 30 0,268335 100
Z-7 Zagrożenie nr 7 0,08 600 48 0,821064
Z-8 Zagrożenie nr 8 0,50 25 12,5 0,351598 25
Z-9 Zagrożenie nr 9 0,60 5 3 0,968542
Z-10 Zagrożenie nr 10 0,37 42 15,54 0,46431
Z-11 Zagrożenie nr 11 0,70 45 31,5 0,211827 45
Z-12 Zagrożenie nr 12 0,80 80 64 0,912578
30 K. Ziętek-Kwaśniewska, Symulacje Monte Carlo jako metoda wyceny opcji.
31 A. Chyliński, Metoda Monte Carlo w bankowości, s. 148.
32 Tamże, s. 149.
33 Arkusz można pobrać ze strony: http://dotproject.net.pl/node/227.
RBS Opis ryzyka Prawdop. Skutek
(Koszt) Poziom LOS() SKUTEK
S-1 Szansa nr 1 0,05 -50 -2,5 0,849958
S-2 Szansa nr 2 0,10 -150 -15 0,239693
S-3 Szansa nr 3 0,30 -15 -4,5 0,048584 -15
S-4 Szansa nr 4 0,66 -5 -3,3 0,91442
Gdzie :
RBS – oznacza kod ryzyka (Risk Breakdown Structure);
Opis ryzyka – hasłowy opis ryzyka;
Prawdop. – prawdopodobieństwo wystąpienia, np. 0,10 oznacza 10%,
Skutek (koszt) – wpływ ryzyka, skutek, jeśli ryzyko się ziści, ujemne, gdy konsekwencje są pozytywne
Poziom = prawdop. * skutek - oczekiwana wartość ryzyka Źródo: opracowanie własne
Kolejne dwie kolumny zostały wprowadzone, aby można było zastosować me-todę Monte Carlo. Pierwsza z nich LOS() generuje dowolną liczbę losową z prze-działu od 0 do 0,99. Nowe liczby generowane są przy wprowadzaniu jakiejkolwiek zmiany w arkuszu lub przy odświeżaniu (F9). Każdorazowe odświeżenie utożsa-miane jest z wprowadzeniem nowego scenariusza dla wymienionych zagrożeń.
Natomiast ostatnia kolumna SKUTEK jest zapełniana, gdy spełniony będzie warunek prawdopodobieństwa dla danego zagrożenia. Pola tej kolumny korzysta-ją z funkcji JEŻELI, która sprawdza, czy wartość z poprzedniej kolumny jest mniej-sza od prawdopodobieństwa ryzyka, jeśli tak, to przepisuję kwotę z pola Skutek (Koszt).
Generując nowe scenariusze (F9), można zauważyć, że prawdopodobieństwo przepisania kwoty z kolumny Skutek (Koszt) do SKUTEK jest takie, jak wartość prawdopodobieństwa dla ryzyka podana w kolumnie Prawdopodobieństwo. Wynika to z faktu liniowego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa funkcji LOS().
W powyższej tabeli widać, że scenariusz obejmuje Zagrożenie nr 4, Zagrożenie nr 6, Zagrożenie nr 8, Zagrożenie nr 11 oraz Szansę nr 3 (wartość LOS() jest mniejsza niż wartość Prawdopodobieństwo). Wartość oczekiwana ryzyka wynosi 228,24 i jest sumą Po-ziomu wszystkich ryzyk w projekcie. W powyższym przykładzie wynosi więc 228,24 PLN. Jest to najprostszy sposób wyliczenia budżetu rezerwowego dla zakładanego sce-nariusza, czyli kwoty, którą należy wydać, aby zabezpieczyć się przed zagrożeniami.
Oczywiście przy wystąpieniu wszystkich zagrożeń budżet rezerwowy będzie niewystarczający. Jedyną pewną metodą zabezpieczenia budżetu byłoby zgromadze-nie kwoty równej sumie poziomu wszystkich ryzyk w projekcie, ale w takim wypad-ku bufor finansowy znacznie przekroczyłby wysokość budżetu całego scenariusza.
Na podstawie pojedynczego scenariusza nie da się określić budżetu rezerwo-wego. Inaczej jest w przypadku, gdy scenariuszy jest o wiele więcej. Za pomocą Makr w programie Excel można wygenerować 100, 1000, 20000 lub 50000 scena-riusz, a następnie zapisać ich wyniki, a także przedstawić w postaci wykresu
sku-5. Metody i techniki wykorzystywane w zarządzaniu ryzykiem 179 mulowanego prawdopodobieństwa – dystrybuanty. Im większa jest liczba scena-riuszy, tym dokładniejsze jest uśrednienie wszystkich kwot34.
Program po wciśnięciu przycisku Licz wyświetli formatkę, do której należy wpisać, ile scenariuszy zostanie policzonych w poleceniu Makro. Wyniki obliczeń zostaną wyświetlone w kolejnym arkuszu.
25
kwoty, która należy wydąć aby zabezpieczyć się przed zagrożeniami.
Oczywiście przy wystąpieniu wszystkich zagrożeń budżet rezerwowy będzie niewystarczający. Jedyną pewna metoda zabezpieczenia budżetu byłoby zgromadzenie kwoty równej sumie Poziomu wszystkich ryzyk w projekcie ale w takim wypadku bufor finansowy znacznie by przekroczył wysokość budżetu całego scenariusza.
Na podstawie pojedynczego scenariusza nie da się określić budżetu rezerwowego. Inaczej jest w przypadku gdy scenariuszy jest o wiele więcej. Za pomocą Makr w programie Excel można wygenerować 100, 1000, 20000 lub 50000 scenariusz, a następnie zapisać ich wyniki, a także przedstawić w postaci wykresu skumulowanego prawdopodobieństwa- dystrybuanty. Im większa jest liczba scenariuszy tym dokładniejsze jest uśrednienie wszystkich kwot.34 Program po wciśnięciu przycisku „Licz” wyświetli formatkę do której należy wpisać ile scenariuszy zostanie policzonych w poleceniu Makro. Wyniki obliczeń zostaną wyświetlone w kolejnym arkuszu.
Rysunek 1. Ilość scenariuszy jaki należy wpisać w formatce
Kolejny arkusz „Wyniki” przedstawia koszty jakie należy ponieść aby zagwarantować bezpieczeństwo scenariusza na danym poziomie (procentowym) prawdopodobieństwa. Dla różnej liczby wygenerowanych scenariuszy przypisywane inna kwota dla każdego poziomu prawdopodobieństwa.
Trzeci arkusz zatytułowany „Wykres” przedstawia skumulowany wykres prawdopodobieństwa czyli dystrybuantę. Jest to graficzne przedstawienie wyników z arkusza
„Wyniki”.
34 Raport ze szkolenia BSI z dnia 11-15 listopada 2013
Rysunek 5.6. Liczba scenariuszy, jaką należy wpisać w formatce Źródło: dotproject.net.pl/node/227
Kolejny arkusz Wyniki przedstawia koszty, jakie należy ponieść, aby zagwaran-tować bezpieczeństwo scenariusza na danym poziomie (procentowym) prawdo-podobieństwa. Dla różnej liczby wygenerowanych scenariuszy przypisywana jest inna kwota dla każdego poziomu prawdopodobieństwa.
Trzeci arkusz zatytułowany Wykres przedstawia skumulowany wykres praw-dopodobieństwa, czyli dystrybuantę. Jest to graficzne przedstawienie wyników z arkusza Wyniki.
26
Rysunek 2: Wykres dystrybuanty dla 32000 scenariuszy dla prawdopodobieństw z tabeli Wyniki powyższego wykresu można interpretować w następujący sposób:
Na wykresie na osi x znajdują się koszty ryzyka dla poszczególnych scenariuszy. Oś Y liczebność populacji scenariuszy, liczona w procencie (udziale) wszystkich możliwych sytuacji. Dla najkorzystniejszego scenariusza koszt ryzyka będzie ujemny i wyniku szansy przy uda się zarobić 180 PLN a w najmniej korzystnym wariancie straty wyniosą 1360 PLN.
Przy gwarancji nieprzekroczenia na poziomie 25%, trzeba założyć kwotę na ryzyko w wysokości 120 PLN. Gdy gwarancja wzrośnie do 75% kwota na ryzyko wzrośnie do 280 PLN. Dla 95% koszt będzie wynosić aż 800 PLN.
W 5 % koszty wydane na ryzyko nie przekroczą 0 PLN. Jest to spowodowane tym, że oprócz zagrożeń występuje Szansa.
Powyżej otrzymany w drodze symulacji wynik jest jedynie wynikiem przybliżonym.
Jednakże w wielu sytuacjach, gdy zastosowanie podejścia analitycznego jest niemożliwe bądź mogłoby się okazać zbyt czasochłonne, metody Monte Carlo są nieocenione.35
Ostatni arkusz „Porównanie wyników” daje użytkownikowi możliwość porównania kosztów oraz gwarancji nie przekroczenia budżetu w pięciu różnych wariantach. Wariantem może być
35 „Symulacje Monte Carlo jako metoda wyceny opcji” Ziętek-Kwaśniewska, K.,
Rysunek 5.7. Wykres dystrybuanty dla 32 000 scenariuszy dla prawdopodobieństw z tabeli Źródło: dotproject.net.pl/node/227
34 Raport ze szkolenia BSI z 11–15 listopada 2013 r.
Wyniki powyższego wykresu można interpretować w następujący sposób:
• Na wykresie na osi x znajdują się koszty ryzyka dla poszczególnych scenariu-szy. Oś y to liczebność populacji scenariuszy, liczona w procencie (udziale) wszystkich możliwych sytuacji. Dla najkorzystniejszego scenariusza koszt ryzy-ka będzie ujemny i wyniku szansy przy uda się zarobić 180 PLN, a w najmniej korzystnym wariancie straty wyniosą 1360 PLN.
• Przy gwarancji nieprzekroczenia na poziomie 25% trzeba założyć kwotę na ry-zyko w wysokości 120 PLN. Gdy gwarancja wzrośnie do 75%, kwota na ryry-zyko wzrośnie do 280 PLN. Dla 95% koszt będzie wynosić aż 800 PLN.
• W 5% koszty wydane na ryzyko nie przekroczą 0 PLN. Jest to spowodowane tym, że oprócz zagrożeń występuje Szansa.
Otrzymany w drodze symulacji wynik jest jedynie wynikiem przybliżonym.
Jednakże w wielu sytuacjach, gdy zastosowanie podejścia analitycznego jest możliwe, bądź mogłoby się okazać zbyt czasochłonne, metody Monte Carlo są nie-ocenione35.
Ostatni arkusz Porównanie wyników daje użytkownikowi możliwość porów-nania kosztów oraz gwarancji nieprzekroczenia budżetu w pięciu różnych wa-riantach. Wariantem może być różna ilość zagrożeń i szans, różna liczba sce-nariuszy lub też różne wartości prawdopodobieństwa oraz skutków. Do zapa-miętania aktualnie wygenerowanego scenariusza wykresu służy prawe menu z numerami wykresów od 1 do 6. Aby do istniejącego już wykresu dodać nowy wariant scenariusza, należy stworzyć w arkuszu 1 nową macierz kwantyfikacji ryzyk. Może ona zostać wypełniona według dowolnie wybranych kryteriów.
Po naciśnięciu przycisku Licz i wygenerowaniu przez program nowych wyni-ków, można dodać nowy wykres w zakładce Porównanie wyników. Należy jed-nak uważać, aby nie nadpisać nowego wykresu na poprzednim. Aby uniknąć ewentualnej pomyłki, każdy wariant scenariusza oraz przyciski do tworzenia wykresów zostały zaznaczone innym kolorem. Jednorazowo program pozwala na porównanie pięciu różnych wariantów jednocześnie. Jeżeli porównywanych jest pięć wariantów, a istnieje potrzeba dodania kolejnego wariantu, należy usu-nąć najgorszy z istniejących wariantów, po czym dodać nowy. Do tego celu słu-żą przyciski po prawej stronie wykresu. One również zaznaczone są tym samym kolorem co narysowany wykres, aby uniknąć skasowania niezamierzonego kresu. Powyższy opis zilustrowany jest na rysunku 5.8. przedstawiającym wy-kres z arkusza kalkulacyjnego.
Wykorzystując metodę Monte Carlo, można tworzyć i porównywać różne wa-rianty scenariuszy zagrożeń. Dzięki temu możliwe jest:
• skalkulowanie wpływu ryzyka na bezpieczeństwo powszechne w danym scena-riuszu zagrożenia,
• utworzenie budżetu rezerwowego związanego z wydatkami powstałymi wsku-tek wystąpienia zagrożeń,
35 K. Ziętek-Kwaśniewska, Symulacje Monte Carlo jako metoda wyceny opcji, Lublin 2006.
5. Metody i techniki wykorzystywane w zarządzaniu ryzykiem 181
• przybliżenie buforu budżetu potrzebnego do zagwarantowania na ustalonym poziomie (wyrażonym w %) niewystąpienia danego zagrożenia.