Teoretyczny aspekt modelu Leontiefa

Ze względu na wielowątkowość badanego zjawiska, dużą trudnością okazało się znalezienie odpowiedniego narzędzia do analizy procesów informacyjnych zachodzących w Internecie. Zdecydowano się na zaadoptowanie jednej z dostępnych metod, wykorzystywanej w innej dziedzinie. Wybrano mechanizm przepływów międzygałęziowych Leontiefa. Pewne analogie tego modelu zostaną przeniesione do przestrzeni Internetu, który potraktowany zostanie jako globalna gospodarka kreująca produkcję informacji, jako najdroższego towaru w sieci. W klasycznej gospodarce narodowej występuje wiele różnych gałęzi wzajemnie ze sobą powiązanych. Dlatego też produkty jednych gałęzi zużywane są jako nakłady dla innych, które bez nich w ogóle nie mogłyby prowadzić działalności produkcyjnej. Na przykład przemysł odzieżowy nie może funkcjonować bez bawełny, hutniczy bez koksu, a farmaceutyczny bez odczynników. Istnieje więc ciągły przepływ produktów między poszczególnymi gałęziami. Dla ustalenia ogólnej równowagi rynkowej należy, ustalić ilościowe związki między poszczególnymi gałęziami produkcji²²⁷. Zasady funkcjonowania mechanizmu gospodarczego oraz jego wewnętrzne powiązania, jako jeden z pierwszych zauważył F. Quesnay²²⁸ (1758), nadworny lekarz Ludwika XV, który w formie tablicy ekonomicznej przedstawił przepływy dóbr między trzema działami gospodarki. Było to następujące gałęzie gospodarki: rolnictwo jako klasa produkcyjna, sfera pozarolnicza jako klasa jałowa, właściciele jak władza świecka i duchowna. Przedstawiono wówczas współzależności sfery wytwórczej gospodarki, podziału wytworzonego produktu społecznego

227 A. Czyżewski, [1997]: Przepływy międzygałęziowe jako makroekonomiczny model gospodarki, Materiały dydaktyczne Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, MD Nr 14, Wyd. AE, Poznań, s. 4 – 5.

228 F. Quesnay, [1928]: Pisma wybrane (tłum. B.J. Pietkiewiczówna), Gebethnber i Wolf, Warszawa, s. 303.

- 115 -

oraz sfery dochodowej, oraz odpowiedziano na pytanie kto i jakie otrzymuje dochody.

W języku przepływów międzygałęziowych przedstawiana jest także marksowska analiza procesów reprodukcji. Wskazuje ona na zależności pomiędzy dwoma działami gospodarki:

produkcją środków wytwórczych (I) i produkcją środków spożycia (II) i na tej podstawie formułuje zasadnicze równania ogólnej równowagi w gospodarce. Ideę prezentacji teorii równowagi ogólnej, przez przedstawienie powiązanych układów równań, skonkretyzował także L. Walras²²⁹ (1874). W czterech układach równań produkcji w warunkach cen wolnokonkurencyjnych, przedstawił model równowagi ogólnej.

Najbardziej jednak przejrzysty model związków typu dostawca – odbiorca w postaci przepływów międzygałęziowych przedstawił W. Leontief (1936) ²³⁰. Jego istota sprowadza się do założenia, iż gospodarka narodowa stanowi agregat zasobów i strumieni składających się z kilku sprzężonych ze sobą układów: produkcyjnego i usług oraz zagranicy, gospodarstw domowych, budżetu i banków, które opisano metodą nakładów i wyników (input-output) w formie tabelarycznej ²³¹ . Mechanizm znany także pod nazwami: model przepływów międzygałęziowych, model “input-output” czy model nakładów i wyników. Jego twórcą jest amerykański uczony Wassily Leontief, laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii w 1973 roku za pracę pt. “For the development of the input-output method and for its application to important economic problems”. Model ten daje możliwość opisywania i analizy złożonych systemów gospodarczych. Opiera się na założeniu, że w skład gospodarki wchodzi wiele gałęzi produkcyjnych, których działalność jest wzajemnie powiązana. Powiązania te wynikają z faktu, ze produkcja jednych gałęzi jest zużywana jako nakład w innych gałęziach.

Dodatkowo część produkcji zostaje przeznaczona na zaspokojenie potrzeb odbiorców końcowych (sektora gospodarstw domowych czy tworzenie zapasów). Model Leontiefa umożliwia odpowiedz na pytanie jaka powinna być produkcja każdej gałęzi gospodarki, aby zrównoważyć popyt zgłaszany zarówno przez same gałęzie jak i sektor gospodarstw domowych. Pozwala również na analizę zmian w strukturze produkcji, które są wywołane zamianami zapotrzebowania ze strony sektora gospodarstw domowych lub wielkości produkcji jednej z gałęzi. Zwykle analiza obejmuje wiele gałęzi i ma dość skomplikowana strukturę, wiec aby uprościć zagadnienie, przyjmujemy pewne założenia:

− poziom produkcji całkowitej (globalnej) każdej gałęzi jest uzależniony od wzajemnych powiązań w całej gospodarce,

229 L. Walras, [1926]: Elements d`economie politique pure, Paris, s. XX, 491.

230 W. Leontief, [1936]: Quantitative input and output relations in the economic system of the United States,

„The Review of Economics and Statistics”, vol. XVIII, August 1936, s. 105-125.

231 A. Czyżewski, [1997]: Przepływy międzygałęziowe jako makroekonomiczny model gospodarki, Materiały dydaktyczne Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, MD Nr 14, Wyd. AE, Poznań, s. 5.

- 116 -

− każda gałąź wytwarza jeden produkt lub grupę produktów w stałych proporcjach i w tym celu zużywa jeden lub grupę produktów również w stałych proporcjach (gdyby któraś z gałęzi wytwarzała dwa różne produkty lub stosowała dwie różne kombinacje czynników produkcji, to można te gałąź podzielić na dwie osobne gałęzie),

− sektor gospodarstw domowych nie jest uwzględniony jako jedna z gałęzi gospodarki.

Załóżmy, ze gospodarka składa się z n gałęzi produkcyjnych ( mogą to być również sektory czy działy pojedynczej firmy). Wprowadzamy następujące oznaczenia wyrażone w jednostkach pieniężnych:

− X_i (i = 1, 2, ..., n) wielkość produkcji całkowitej (globalnej) i−tej gałęzi,

− x_ij (i, j = 1, 2, ..., n) część produkcji i−tej gałęzi, która jest zużywana (przepływa) na potrzeby produkcji gałęzi j−tej,

− d_i (i = 1, 2, ..., n) produkt końcowy i−tej gałęzi (różnica miedzy produkcja całkowita i−tej gałęzi a jej przepływami do wszystkich gałęzi).

Punktem wyjścia modelu Leontiefa jest bilans gospodarczy w postaci tablicy przepływów międzygałęziowych (zob. poniższa tabela) przygotowany w sposób umożliwiający kwantyfikacje wzajemnych powiązań miedzy wyodrębnionymi częściami systemu. Tablica ta zawiera dane liczbowe charakteryzujące działalność gospodarczą w pewnym okresie czasu.

Tabela 7. Tablica przepływów międzygałęziowych.

Źródło: Kacprzak D., [2007]: Analiza modelu Leontiefa z użyciem skierowanych liczb rozmytych, praca nr S/WI/1/07, Politechnika Białostockiej, Wydział Informatyki, Białystok, s. 2.

Ponieważ produkcja całkowita gałęzi i−tej, jest suma przepływów międzygałęziowych oraz produktu końcowego, otrzymujemy układ równań bilansowych postaci:

Na mocy założenia o stałych proporcjach zużywanej produkcji gałęzi i−tej przez gałąź j−tą możemy określić współczynniki a_ij , nazywane współczynnikami kosztów:

(

^{i j n}

)

X a x

j ij

ij = , , =1,2,..., (2)

- 117 -

Macierz A = [aij] nazywamy macierzą współczynników kosztów. Współczynniki aij przyjmują wartości ze zbioru [0, 1] i są interpretowane następująco: aby w j−tej gałęzi uzyskać produkcje całkowitą o wartości jednej jednostki pieniężnej, należy zużyć produkcje gałęzi i−tej o wartości a_ij jednostek pieniężnych. Z zależności (2) otrzymujemy:

x_ij = a_ij X_j , ( i, j = 1, 2, …, n ), (3) co pozwala zapisać układ (1) w postaci:

To z kolei umożliwia zapisanie układu równań bilansowych (4) w postaci macierzowej:

lub w postaci skróconej:

X = AX + d

(6) gdzie X oznacza macierz (wektor) produkcji całkowitej (globalnej), A macierz współczynników kosztów, d macierz (wektor) produktu końcowego. Równanie (6) zapisujemy w postaci tzw. modelu Leontiefa, gdzie I oznacza macierz jednostkowa stopnia n.

X – AX = d ⇔ (I − A)X = d (7) Macierz (I −A) nosi nazwę macierzy Leontiefa i przekształca wektor produkcji całkowitej X w wektor produktu końcowego d. Powstaje natychmiast pytanie czy znając wektor produktu końcowego d możemy odwrócić sytuacje i wyznaczyć wektor produkcji całkowitej X ? Aby na nie odpowiedzieć wprowadzamy pojecie macierzy produktywnej.

Macierz A współczynników kosztów jest produktywna, jeżeli istnieje nieujemny wektor produkcji całkowitej X, taki ze X > AX. Z ekonomicznego punktu widzenia oznacza to, ze musi istnieć chociaż jeden wektor produkcji całkowitej, przy którym produkcja całkowita przewyższa zużycie produkcyjne (przepływy międzygałęziowe). Gdyby taki wektor nie istniał to by oznaczało, że gospodarka nie jest w stanie wytworzyć w każdej gałęzi więcej niż zużywa na potrzeby bieżącej produkcji, czyli byłaby to gospodarka ”zjadająca sama siebie”. Z tego względu w realnej gospodarce możemy założyć, ze macierz A jest produktywna. Dalej zastosowanie mają dwa następujące twierdzenia.

- 118 -

Twierdzenie 1. Jeżeli macierz A jest produktywna, to macierz Leontiefa (I − A) jest macierzą nieosobliwa^∗.

Twierdzenie 2. Jeżeli macierz A jest produktywna, to wszystkie elementy macierzy (I − A)⁻¹ są nieujemne.

Z twierdzenia 1 wynika bezpośrednio, że w realnej gospodarce produkt końcowy d wyznacza w sposób jednoznaczny produkcje całkowita X zgodnie z regułą:

X = (I – A)^-1d (8) Dodatkowo z Twierdzenia 2 otrzymujemy, ze dla dowolnego nieujemnego wektora produktu końcowego d otrzymamy również nieujemny wektor produkcji całkowitej X ²³².

Znajomość modelu przepływów międzygałęziowych pozwoli zrozumieć filozofię wykorzystania tego mechanizmu do analizy informacji w grafie Internetu, która zostanie zaproponowana w dalszej części. Globalna sieć zostanie porównana do globalnej gospodarki, gdzie gałęzie przemysłu reprezentowane będą przez centra informacji skupione wokół określonych słów kluczowych. Ważniejsze słowa kluczowe będą tworzyły większe centra informacyjne, tak jak ważne dla gospodarki gałęzie przemysłu. Mniej ważne słowa kluczowe będą tworzyły mniejsze centra informacyjne, ponieważ jest ich mniej w sieci, a w hierarchii ważności znajdują się niżej. W dalszej części opracowania podane zostaną również przykłady liczbowe.

3.2. Zastosowanie metody przepływów międzygałęziowych do analizy

W dokumencie Zarządzanie procesem pozycjonowania informacji w Internecie dla potrzeb organizacji (Stron 114-118)