Wybrane zagadnienie teorii grafów i topologii sieci

Graf to zbiór wierzchołków (węzłów) które mogą być połączone krawędziami w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Wierzchołki grafu zwykle są numerowane i czasem stanowią reprezentację jakichś obiektów, natomiast krawędzie obrazują relacje między tymi obiektami. Krawędzie mogą mieć wyznaczony kierunek (strzałki), a graf zawierający takie krawędzie jest grafem skierowanym. Krawędź może posiadać także wagę, to znaczy przypisaną liczbę określającą na przykład odległość między wierzchołkami. Wagi mogą reprezentować na przykład odległości między miastami, ilość połączeń lotniczych między lotniskami, ilość stron internetowych znalezionych przez wyszukiwarkę i tak dalej. Siecią nazywamy każdy system złożony z elementów połączonych relacjami. Graf jest zaś matematyczną reprezentacją sieci. Stopniem wierzchołka grafu określamy liczbę wychodzących lub kończących się w nim krawędzi. Centrum to wierzchołek mający stosunkowo znacznie więcej połączeń względem innych węzłów.

Usunięcie centrum powoduje duże rozspójnienie grafu. Wierzchołki które łączy krawędź nazywamy wierzchołkami incydentnymi. Stosowane oznaczenia dla grafów:

graf nieskierowany jako uporządkowana para G := (V, E),

graf skierowany inaczej digraf jako uporządkowana para G := (V, A).

Każdy graf nieskierowany G jest parą (V, E) dwóch rozłącznych zbiorów skończonych:

V={v₁, v₂, ..., v_n} gdzie n > 0 oraz E={e₁, e₂, ..., e_m} gdzie m > 0, przy czym dla każdego i e_i jest parą elementów ze zbioru V. Zbiór V nazywamy zbiorem wierzchołków, natomiast E zbiorem krawędzi.

Graf pełny jest grafem prostym, w którym dla każdej pary węzłów istnieje krawędź je łącząca. Graf pełny o n wierzchołkach oznacza się następująco: K_n. Stopień grafu ∆(G) jest to maksymalny stopień wierzchołka w grafie. Stopień wierzchołka V to liczba kończących się w nim krawędzi. Stosowane oznaczenia:

δ(G) - najmniejszy stopień wierzchołka w G,

∆(G) - największy stopień wierzchołka w G.

W zbiorze V={1, 2, 3, 4} oraz E={a, b, c, d} gdzie: a={1,2},b={2,3}, c={3,1}, d={1,3}, e={1,4}, f={4,4}. Każda krawędź (tutaj mała litera alfabetu} jest parą dwóch wierzchołków.

Tak zdefiniowany graf obrazuje poniższy rysunek:

- 107 - Rysunek 14. Przykładowy graf.

Źródło: Marecki J. [2003]: Grafy i rekurencje, Bielsko – Biała, s. 6,7.

Gdy mamy daną krawędź e={x, y} lub stosując inną notację: e=xy, mówi się, że x i y są krańcami e. Ponadto stosuje się oznaczenie: e łączy x i y, lub e jest krawędzią o krańcach x i y. Wtedy, gdy x=y mówi się, że e jest pętlą. Dwie krawędzie są zwane podobnymi, gdy mają takie same krańce. Zbiór krawędzi podobnych nazywany jest krawędzią powtórzoną.

W powyższym przykładzie krawędź f jest cyklem, natomiast d i c są krawędziami podobnymi. W informatyce największe zastosowanie ma analiza grafów prostych²¹³.

Definicja:

Graf nazywamy prostym, gdy nie posiada pętli oraz zbioru krawędzi powtórzonych.

Macierzą sąsiedztwa grafu nieskierowanego G = (V, E), gdzie V = {1, ..., n}, nazywamy macierz:

B(G) = [b

ij

]

i=1,...,n, j=1,...,n

,

w której (bij= bji = 1) ⇔ {i, j}∈E dla i,j=1...,n.

Rysunek 15. Przykładowy graf niekierowany i jego macierz sąsiedztwa.

Macierzą sąsiedztwa dla grafu skierowanego G = (V, A), gdzie V = {1, ..., n}, nazywamy macierz:

B(D) = [b

ij

]

i=1,...,n, j=1,...,n

,

213 J. Marecki, [2003]: Grafy i rekurencje, [w:] internetowe zasoby biblioteczne WSIZ w Bielsku – Białej, s. 6,7.

1 3

- 108 -

w której (b_ij= 1) ⇔ {i, j}∈A dla i,j=1...,n.

Rysunek 16. Przykładowy graf skierowany i jego macierz sąsiedztwa.

Macierzą incydencji grafu nieskierowanego G = (V, E), gdzie V = {1, ..., n} oraz E = {e1, ..., em}, nazywamy macierz :

I(G) = [a

ij

]

i=1,...,n, j=1,...,m

,

w której aij=1 ⇔ i∈ej dla i=1...,n, j=1,...,m.

Rysunek 17. Przykładowy graf nieskierowany i jego macierz incydencji.

Macierzą incydencji grafu skierowanego D = (V, A), gdzie V = {1, ..., n} oraz A = {a1, ..., am}, nazywamy macierz

I(D) = [a

ij

]

i=1,...,n, j=1,...,m

,

w której dla i=1...,n, j=1,...,m,

jeśli ai jest łukiem wychodzącym z wierzchołka i, jeśli ai jest łukiem wchodzącym do wierzchołka i, w innych przypadkach.

- 109 -

Rysunek 18. Przykładowy graf skierowany i jego macierz incydencji.

Przedstawiając graf w postaci macierzy sąsiedztwa można wyznaczać wartości własne tej macierzy. Jedną z podstawowych własności macierzy jest wartość własna oraz wektor własny macierzy. Według klasycznej definicji dowolny niezerowy wektor xr

jest wektorem własnym macierzy A, jeśli istnieje taki skalar λ , że zachodzi równanie:

x

macierzy A. Liczenie wartości oraz wektorów własnych macierzy jest fundamentem dla rozwiązywania wielu problemów w inżynierii związanych z systemami równań różniczkowych ²¹⁴ . Przedstawiając graf jako macierz sąsiedztwa, można zdefiniować ekspansję w terminach wartości własnych tej macierzy. Macierz ta jest z definicji symetryczna, posiada zatem n rzeczywistych wartości własnych . W przypadku grafu regularnego jest równa stopniowi grafu . Różnica

nazywana jest przerwą spektralną. Oprócz tych podstawowych typów występują inne szczególne przypadki bardziej skomplikowanych grafów, zawierające np. pętle. Grafy dające się narysować na płaszczyźnie zwane są grafami planarnymi. Zaprezentowano jedynie podstawowe własności grafów niezbędne do lepszego zrozumienia dalszej części pracy.

Teoria grafów jest obecnie szeroko prezentowana w bogatej literaturze przedmiotu. Na uwagę zasługują między innymi prace autorów takich jak: N. Deo ²¹⁵ , K. A. Ross i Ch. R. B. Wright²¹⁶, R. Wilson²¹⁷, J. Kulikowski²¹⁸ i innych. Grafy są najlepszą formą wizualizacji sieci w tym sieci Internet.

214 A. Ostoja – Ostaszewski, [1996]: Matematyka w ekonomii modele i metody, t. 1, Algebra elementarna, PWN, Warszawa, s. 228.

215 N. Deo, [1980]: “Teoria grafów i jej zastosowania w technice i informatyce”, PWN, Warszawa, s. 18-23.

216 A. Ross Kenneth, Ch. R. Wright, [1996]: Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, s. 22 – 78.

217 R. J. Wilson, [2007]: Wprowadzenie do teorii grafów, tytuł oryginału: Introduction To Graph Theory, Wyd.

PWN, Warszawa.

218 J. L. Kulikowski, [1986]: “Zarys teorii grafów”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

1

- 110 -

Analiza procesów informacyjnych zachodzących wewnątrz sieci wymaga poznania jej struktury i podstawowych właściwości. W wyniku wieloletnich badań wyodrębniono podstawowe typy sieci, które posiadają określone właściwości. Wśród najważniejszych struktur środowiska sieciowego wyróżnić możemy:

sieci regularne

sieci losowe

sieci małego świata

sieci bezskalowe

Sieci regularne. Jest to najprostszy model sieci, posiadający jednostajny rozkład połączeń. W rzeczywistości z takimi sieciami mamy do czynienia dość rzadko, ponieważ ogólnie idealne i równomierne struktury są rzadziej spotykane w naturze. Sieć regularna jest podobna do krystalicznej. Atomy w krysztale łączą się wiązaniami właśnie ze swymi najbliższymi sąsiadami. Fachowo mówi się o takiej sieci, że ma wysoki współczynnik gronowania. Niestety, sieć regularna ma jeden poważny defekt – długą średnią drogę między węzłami. Sieć regularna charakteryzuje się rozkładem jednostajnym stopnia węzłów. Sieć regularna charakteryzuje się: wysokim współczynnikiem gronowania i długą średnią odległością pomiędzy węzłami. Sieć regularna wyróżnia się stałą ilością połączeń między węzłami, wśród kolejnych sąsiadów. Ich budowa jest analogiczna do struktury spotykanej w sieciach krystalicznych.

Rysunek 19. Przykład sieci regularnej.

Źródło: opracowania własne

Sieci losowe (przypadkowe). Naukowcy Paul Erdős i Alfréd Rényi (1959) prowadzili badania nad sieciami w komunikacji i naukach przyrodniczych. Stwierdzili oni między innymi, że:

sieć losowa posiada węzły połączone w sposób losowy,

liczba połączeń dla wybranego węzła charakteryzuje się rozkładem Poissona,

wszystkie węzły mają średnio tę samą liczbę połączeń.

Sieć taką nazwano modelem Erdösa–Rényi (ER). Jest to sieć N węzłów, gdzie każda para węzłów jest połączona krawędzią z prawdopodobieństwem p, co daje graf o około pN(N-1)/2 losowo rozmieszonych krawędziach. Rozkład ilości połączeń tej sieci P(k), gdzie k jest stopniem wierzchołka, jest rozkładem Poissona co oznacza, że większość węzłów ma w

- 111 -

przybliżeniu tę samą liczbę odchodzących od niego krawędzi. Wierzchołki, które mają inny stopień niż k są bardzo rzadkie - im większe odchylenie od k, tym mniej takich wierzchołków.

Współczynnik gronowania danego węzła jest niezależny od stopnia węzła. Stąd funkcja C(k) (czyli zależność współczynnika gronowania od stopnia węzła) jest prostą poziomą, co oznacza, że posiada własności sieci Małego Świata. W sieci losowej węzły z liczbą połączeń znacząco różną od średniej trafiają się rzadko. Prawdopodobieństwo przyłączenia kolejnego węzła w sieci losowej maleje wykładniczo dla wierzchołków o coraz większym stopniu. Ze względu na tę własność centra (węzły o znacznie większej niż przeciętna liczbie połączeń) nie mają prawa istnieć w takiej sieci. Cechy charakterystyczne dla tego typu sieci to: krótka średnia droga między węzłami i niski współczynnik gronowania.

Rysunek 20. Przykład sieci losowej

Źródło: opracowania własne

Sieci małego świata o 6 stopniach separacji. Sieci małego świata (ang. smallworld) zostały matematycznie opisane przez naukowców Watts’a i Strogatz’a. Strukturalne właściwości modelu opartego na bazie okręgu dla takich sieci wykazały na krótkie trasy połączeń między dwoma dowolnymi wierzchołkami, oraz silną klasteryzację (grupowanie) takich struktur²¹⁹. Dokonywano też prób modelowania dla których podstawą był wykres siatki. W modelach tych losowo zaburzano regularne struktury okręgu lub siatki. Takie sposoby modelowna struktury Internetu czy sieci biologicznych nie były jednak ralistyczne²²⁰. W latach sześćdziesiątych XX wieku przeprowadzono badania na strukturze powiązań sieci społecznych. W roku 1967 amerykański psycholog społeczny Stanley Milgram rozesłał do kilkuset losowo wybranych ludzi z Nebraski i Kansas przesyłki z prośbą, by przekazali je dalej komuś ze swych znajomych, tak by możliwie najszybciej dotarły do pewnej osoby mieszkającej w Bostonie. Milgram śledził los przesyłek. Okazało się, że łańcuch dzielący losowo wybrane osoby od celu, miał średnią długość sześcu ogniw. Internet pozwala na zrobienie tego eksperymentu w znacznie większej skali. Taki "wielki eksperyment", przy użyciu e-mailowych przesyłek, został zaproponowany przez Wydział Socjologii Uniwersytetu Columbia. Wyników jeszcze nie opublikowano. Być może okaże się, że dzieli nas nie sześć, ale dwadzieścia "stopni separacji". Ze względu na grożący nam znów

219 D. Watts, S. Strogatz, [1998]: Collective dynamics of small-world networks, Nature, No. 363:202–204, 1998.

220 J. Kleinberg, [2000]: “The Small-World Phenomenon: An Algorithmic Perspec- tive.” In Proceedings of the Thirty-Second Annual ACM Symposium on Theory of Computing , pp. 163–170. New York: ACM Press.

- 112 -

wirus SARS tak byłoby dużo lepiej - epidemie rozprzestrzeniają się w sieci tym szybciej, im mniejsza jest średnia odległość pomiędzy węzłami²²¹.

Rysunek 21. Przykład sieci małego świata

Źródło: opracowania własne

Sieci bezskalowe charakteryzują się niejednorodną budową oraz spontanicznością w rozprzestrzenianiu się. Kluczowymi elementami są tzw. centra sieci tj. węzły o dużej ilości wierzchołków. Dzięki swej strukturze odporne są na przypadkowe ataki, ponieważ zawsze pozostaną połączenia utrzymujące sieć w aktywności. Sparaliżowanie działania sieci bezskalowych może jednak nastąpić w przypadku skoordynowanych ataków na centra sieci.

Centra (huby) są kluczowymi węzłami sieci, których usunięcie powoduje rozpad całej struktury. Pod koniec XX wieku węgierski fizyk A.-L. Barabási, zaproponował wzór sieci bezskalowych²²². Zauważono, iż sieci określane jako bezskalowe, mimo swojej złożonej struktury rozrastają się w sposób nieprzypadkowy. Kolejne węzły przyłączają się z większym prawdopodobieństwem do tych, które posiadają większą ilość połączeń. Stąd też szybko tworzą się tzw. centra czyli węzły o ilości wychodzących wiązań znacznie przewyższającej stopnie większości pozostałych ²²³. Sieć bezskalowa może rosnąć w nieskończoność, współczynnik gronowania jest średnio pięć razy większy niż w sieci losowej, a średnia odległość między węzłami jest dość krótka²²⁴. Taką architekturą rozmieszczenia w przestrzeni charakteryzują się społeczeństwa ale posiada ją również wiele innych układów: pajęczyna stron www połączona linkami, fizyczna struktura Internetu, routery połączone światłowodami, sieć poczty elektronicznej, sieć współpracy między naukowcami, powiązania gospodarcze, układy komunikacyjne między miastami, itp.

Rysunek 22. Przykład sieci bezskalowe

Źródło: opracowania własne

221 K. Sznajd - Weron, [2004]: W sieci małego świata, [w:] Wiedza i życie, Nr 2/2004, s. 68-69.

222 I. Simonsen, K. A. Eriksen, S. Maslov, K. Sneppen, [2004]: Diffusion on complex networks: a way to probe their large scale topological structures, www.sciencedirect.com, s. 163-173, dostęp 1. IV. 2009 r.

223 K. Sznajd - Weron, [2004]: (…), op. cit., s. 70.

224 R. Albert, A. L. Barabasi, [2002]: Statistical mechanics of complex networks, rev. mod. phys. 74 (2002) 47.

- 113 -

Przepływy informacyjne w sieci kontrolowane są przez pewne centra, które są zdolne koordynować, wynajdywać i zarządzać zazębiającymi się sieciami²²⁵. Centra te nazywane są niekiedy hubami, czyli węzłami grafu o dużej liczbie dochodzących do nich wierzchołków.

Zagęszczenie takich węzłów to obszary kluczowe sieci, charakteryzują się dużym współczynnikiem gronowania. Współczynnik gronowania (clustering coefficient) służy do szacowania, ilu sąsiadów danego wierzchołka jest połączonych każdy z każdym. Jest to iloraz liczby krawędzi pomiędzy sąsiadami danego wierzchołka oraz liczby krawędzi, jaki miałby graf pełny składający się z tych sąsiadów. Współczynnik mówi jak bardzo „znają się” sąsiedzi danego wierzchołka. Tak jak w realnym świecie – bliskie sobie osoby trzymają się zazwyczaj razem np. mieszkają blisko siebie. Wysoki współczynnik gronowania świadczy o tym, że obszar do którego należy wierzchołek jest „gęsty”. Większość wierzchołków w takim obszarze jest ze sobą połączona „każdy z każdym”. W naszym przypadku wierzchołkiem będzie słowo kluczowe, które wchodzi w interakcję z innymi słowami kluczowymi za pomocą dużej lub małej ilości linków. Współczynnik gronowania wyraża się wzorem²²⁶:

{ }

v v N e E k

k

C e _{i k i ij}

i i

jk

i ∈ ∈

= − : , ,

) 1 (

2 gdzie:

Ci – współczynnik gronowania

{e_jk} – zbiór krawędzi pomiędzy sąsiadami wierzchołka i k_i – stopień wierzchołka i

Inne często stosowane terminy to: średni współczynnik gronowania określający średni współczynnik klasteryzacji po wszystkich wierzchołkach grafu. Przyjmuje on wartości pomiędzy 0 i 1. Średnia odległość między węzłami to średnia długość ścieżki w sieci, mówi przez ile wierzchołków należy średnio przejść, aby dojść od jednego wierzchołka do dowolnego innego. Oznaczana jest literą l. Klaster (moduł) to rodzaj spójnej grupy w grafie, składającej się co najmniej z trzech węzłów gdzie występują połączenia każdy z każdym.

Klasteryzacja określa sposób grupowania i rozmieszczenia obiektów blisko siebie w takiej grupie. Powstała w ten sposób struktura fizyczna nazywana jest jako klaster lub grono.

W ostatnich latach przedmiotem intensywnych badań stały się tzw. sieci złożone.

Rozprzestrzenianie się Internetu jest dzisiaj samoorganizującym się procesem, zdeterminowanym przez bardzo wiele czynników. Internet zawiera zarówno elementy charakterystyczne dla sieci powiązań społecznych i sieci technologicznych, dlatego też żadna klasyczna definicja znana z teorii grafów nie spełnia wszystkich warunków dla realistycznego, matematycznego modelowania Internetu. Do zjawiska należy podejść

225 T. Goban-Klas, [2003]: Ontologia Internetu Społeczeństwo Informacyjne, Wyd. AGH, Kraków. s. 35.

226 A. Fronczak, P. Fronczak, J. A. Hołyst, [2003]: Mean-field theory for clustering coefficients in Barabasi-Albert networks, [w:] Physical Reviev E 68, 046126, 2003.

- 114 -

wielokryterialnie, uwzględniając zarówno aspekt techniczny jak i semantyczny sieci.

W aspekcie technicznym Web zawiera zarówno elementy małych światów jak i bezskalowości. Jest to analiza techniczna połączeń, linków, plików, natężenia przepływu danych, itp. W aspekcie semantycznym analiza struktury połączeń sieci w układzie słów kluczowych, może dać odpowiedzi jakie słowa kluczowe i jaka informacja jest dla użytkownika ważniejsza. W sieci jedna informacja czy usługa informacyjne powoduje powstawanie następnej. Analiza semantyczna danych pozwala określać zapotrzebowanie na określony typ informacji w przestrzeni. To zaspokajanie potrzeb informacyjnych internautów jest podstawowym czynnikiem determinującym rozbudowywanie się sieci wokół określonych sekwencji słów kluczowych. Centra informacyjne tworzą się szybciej wokół słów kluczowych na które jest większe zapotrzebowanie, ponieważ budują one bardziej wartościową informację dla użytkownika sieci.

W dokumencie Zarządzanie procesem pozycjonowania informacji w Internecie dla potrzeb organizacji (Stron 106-114)