§ 6 . M eto d a o b lic z a n ia r o z m ia r ó w z ie m i. § 7 . R e z u lta ty o b lic z e ń w ie lk o ś c i z ie m i. § 8 . Z a d a n ia .
§ 6. Metoda obliczania rozm iarów ziem i.
P o n iew aż ziem ia m a k s z t a ł t p ra w ie k u listy , obliczanie jej w y m ia ró w czyli obw odu, p ro m ien ia, powierzchni i o b jęto ści opiera się n a obliczeniu jed n eg o s to p n ia wielkiego k o ła n a ziemi, t. j. jednego s to p n ia ró w n ik a lub ja kiegokolw iek p o łu d n ik a. A ż e b y obliczyć wiel
kość s to p n ia p o łu d n ik a , p o w in n iś m y u m ieć obliczyć: 1) ile stopni za w ie ra łu k np. W M p o m ię d z y p u n k t a m i W i M, p ołożonem i n a ty m s a m y m p o łu d n ik u ^ b2 r2 ( r y s . 12) lub o d p o w ia d a ją c y t e
KAIOWKE
R y s . 12.
p o łu d n ik a z p o d s t a w ą W A. N a s tę p n ie z p u n k t u E o b lic z a m y w szy stk ie k ą t y z sąsiedniem i sta n o w isk a m i; później stopniow o p rze
c h o d z im y n a inne stan o w isk a, p rzy czy n i o b liczam y te ż o d p o w ied n ie k ą t y . M ając wielkość k ątó w , m o ż e m y n a ry so w a ć całą sieć t r ó j k ą tów, k t ó r y c h boki ła tw o d a ją obliczyć tr y g o n o m e try c z n ie . W t r ó j k ącie bow iem W A E z n a m y b o k W A (p o d sta w a ) oraz k ą t y p rz y le g ające; wielkość więc boków W E i A E t e ż m o ż n a obliczyć. W t r ó j k ącie A E B z n a m y bok A E i k ą t y przylegające; w ia d o m e więc są n a m i inne boki tego t r ó j k ą t a . T a k r o z u m u ją c , m o ż e m y obliczyć b oki w sz y stk ic h tró jk ą tó w .
L in ja W M , k tó rej długość m a m y obliczyć, s k ła d a się z od cin ków W T , T S , S R , R P , P O , O N , N M . M u sim y obliczyć k a ż d y z t y c h odcinków , żeby ro zw iązać n asze zad an ie. O dcinek W T obli
c z a m y z t r ó j k ą t a W T A , któ reg o z n a m y b o k W A i k ą t y T W A i W A T . O d cin ek T S obliczam y z t r ó j k ą t a E T S , którego k ą t T E S je st w iad o m y ; k ą t E T S = k ą t o w i W T A (jako przeciwległy); k ą t z a ś W T A z n a m y z t r ó j k ą t a W T A . B ok E T p rz y le g a ją c y do znanych, j u ż n a m k ą tó w T E S i E T S ró w n a się E A — A T ; E A z n a m y z t r ó j k ą t a W A E , A T z a ś z t r ó j k ą t a W T A . Z ty c h d a n y c h tr ó jk ą ta . E T S m o ż e m y obliczyć długość odcin k a T S . T a k ro zu m u jąc, s to pniow o o b lic z a m y z t r ó j k ą t ó w S B R , R F P , P C O, O G N , N D M w sz y stk ie odcinki linji W M.
S u m ę ty c h od cin k ó w czyli długość linji W M dzielim y przez ilość s to p n i p o m ię d z y p u n k t a m i M i W ; o t r z y m a n y iloraz da n a m wielkość jed n eg o s to p n ia p o łu d n ik a p o m ię d z y t e m i p u n k t a m i .
U W A G A . P r z y o b lic z a n ia c h ś c is ły c h p o w in n iś m y p a m ię ta ć , ż e lin ja W M i w s z y s t k ie lin je n a sz e g o r y s u n k u n ie s ą lin ja m i p r o s te m i, le c z k r z y w e m i. M y z a ś d la p o g lą d o w o ś c i o z n a c z y liś m y lin ja m i p r o s t e m i, k tó r e p r z y w y lic z a n iu n ie z n a c z n e j c z ę ś c i p o łu d n ik a m a ło się r ó ż n ią o d o d p o w ie d n ic h lin ji k r z y w y c h .
§ 7. R ezultaty obliczań wielkości ziem i.
W ielkość jed n eg o s to p n ia p o łu d n ik a przeciętn ie w ynosi 111 k i
lom etró w . P r z y b ieg u n a c h s to p ie ń p o łu d n ik a je s t nieco w iększy, niż koło ró w n ik a (o czym j u ż m ó w iliśm y p r z y dow odach kulistości ziemi).
P r z y ró w n ik u s to p ie ń p o łu d n ik a r ó w n a się 1 1 0 .5 k ilo m ., n a śr e d n ic h s z e r o k o ś c ia c h w y n o s i 111 k ilo m ., k o ło b ie g u n a p r z e k r a c z a 1 1 1 ,5 k ilo m .
P o łu d n ik i a t a k ż e rów nik m a j ą kolo 4 0 t y s i ę c y kilometrów,, co łatw o obliczyć, m n o ż ą c p rz e c ię tn ą wielkość jednego s to p n ia przez.
360. P r z y t y m ró w n ik je s t nieco w ię k s z y od p o łu d n ik ó w z p o w o d u spłaszczenia ziem i p rz y b ieg u n ach .
S to p n ie ró w n o leżn ik ó w są mniejsze, n i ż s to p n ie p o łu d n ik ó w i ró w n ik a, p r z y c z y m stopniow o się z m n ie js z a ją k u b ie g u n o m ( n p . n a 45° szerok. gieogr. s to p ie ń r ó w n o le ż n ik a ró w n a się 79 kilom ., na 5 2 ° — 68,5 kilom ., n a 60° w ynosi ty lk o 56 kilom.).
Z e s p r a w ą p o m ia r ó w p o łu d n ik a j e s t z w ią z a n a s p r a w a z n a le z ie n ia n a tu r a ln e j m ia r y . Z a m ia r ę n a tu r a ln ą p r z y j ę t y z o s ta ł w r. 1 7 9 9 -y m p r z e z n a r o d o w e z g r o m a d z e n ie fr a n c u sk ie m e t r c z y li d z ie s ię c io m iljo n o w a c z ę ś ć ć w ie r c i p o łu d n ik a . J a k k o lw ie k m ia r a t a o k a z a ła s ię w e d łu g p ó ź n ie j s z y c h p o m ia r ó w , d o k o n a n y c h p r z e z S t r u v e g o w R o s ji, B e s s e 1 ’ a w P r u s a c h i in n y c h u c z o n y c h , m n ie js z ą n i ż d z ie s ię c io m iljo n o w a c z ę ś ć p o łu d n ik a , j e d n a k ż e z y s k a ła o n a i z y s k u j e co ra z w ię k s z e z n a c z e n ie — ja k o m ia r a m ię d z y n a r o d o w a .
P r o m ie ń ziem i m a przeciętn ie koło 6 3 7 0 kil., co się oblicza z f o r m u ły 2 U R. P r z y t y m z p o w o d u spłaszczenia ziem i p r o m ie ń r ó w n ik o w y m a 6 3 7 7 k i l , p ro m ie ń z a ś bie g u n o w y — 6 3 5 6 kil. ( p a t r z str. 6).
D la obliczenia o b ję to ś c i ziemi p o s łu g u je m y s ię f o r m u ł k ą 4 / 3 H R 3; ziem ia m a przeszło t r y l j o n k i l o m e t r ó w s z e ś c i e n n y c h .
Dla o bliczenia pow ierzchni ziemi k o r z y s t a m y z f o r m u ły 4 I I R 2;
p o w ie rz c h n ia jej m a przeszło p ó ł b i l j o n a k i l o m , k w a d r a t o w y c h .
Z t y c h d a n y c h liczbow ych m o ż e m y w y w n io sk o w a ć j a k o lb rz y m i ą je st b ry ła, z a m ie s z k a n a p rzez ró d ludzki. R o z u m ie m y teraz,
■dlaczego skrzyw ienie ziemi nie d a je się t a k ła tw o z a u w a ż y ć i d la czego n a pierw szy rz u t oka w y d a j e się o n a p ła sk a . A j e d n a k n ie r a z b ę d z ie m y musieli w y o b r a ż a ć sobie t ę o lb rz y m ią z i e m i ę — j a ko p u n k c ik we wszechświecie, g d y ż je s t o n a ty lk o a t o m e m b e z g ra n ic z n e go p rz e stw o rz a .
§ 8. Z A D A N I A .
1) O k r e ś lić c z y n n o ś ć u c z o n e g o z a j ę t e g o o b lic z e n ie m p r z e c ię tn e j w ie lk o ś c i
■stopnia te j c z ę ś c i p o łu d n ik a W a r s z a w y , k tó r a p r z e c h o d z i p r z e z K r ó le s tw o P o ls k ie . 2 ) O b lic z y ć (z m a p y ) w s t o p n ia c h i k ilo m e tr a c h o d le g ło ś ć T a r n o w a i L i- t ia w y o d W a r sz a w y ? K ijo w a o d P e te r sb u r g a ?
3 ) J a k ie są o d le g ło ś c i w s to p n ia c h i k ilo m e tr a c h r ó w n ik a i b ie g u n a od W a r sz a w y ?
4) W ie m y , że s to p ie ń p o łu d n ik a p r z e c ię tn ie w y n o s i 111 k il.. O b lic z y ć s a m o d z ie ln ie w p r z y b liż e n iu w ie lk o ś ć r ó w n ik a , p o w ie r z c h n ię i o b j ę t o ś ć z ie m i.
5 ) J a k ie b ę d ą w y m ia r y r ó w n ik a , p o w ie r z c h n i i o b ję to ś c i z ie m i n a g lo b u sie
•o p r o m ie n iu m e tr o w y m .
6 ) S t a r o ż y t n y u c z o n y E r a th o s t e n e s z a u w a ż y ł, ż e w S ie n n ie ( A s s u a n ) 2 2 c z e r w c a s ło ń c e z n a jd u je się w z e n ic ie , g d y ty m c z a s e m w A le k sa n d r ji (p o ło ż o n e j n a t y m s a m y m p o łu d n ik u ) j e s t o n o o d d a lo n e od z e n itu o 7° 1 2 ’. W ja k i s p o s ó b E r a th o s te n e s o b lic z y ł w ie lk o ś ć je d n e g o s to p n ia p o łu d n ik a p o m ię d z y te m i m ia sta m i?
( O d le g ło ś ć p o m ię d z y t e m i m ia s ta m i b y ła w ia d o m a i o b lic z o n a w ó w c z e s n y c h m ia
ra ch d łu g o ś c i). ^ / •
"5 ~ t? 'j>,
* <3 t ć y s
-ł/> f" / a . ■-/ /. . ; . / " - .1- ł
III. §
9.Gęstość ziemi.
G ę sto ść ziemi, d a ją c a pojęcie, j a k ą m a s ę zaw iera ziem ia w j e d n o stc e o b ję to śc i, m o ż e m y obliczyć w te d y , g d y z n a m y m a s ę całej ziemi oraz jej o b ję to ś ć . O m e to d a c h i r e z u l t a t a c h obliczania w y m ia ró w ziemi m ó w iliśm y j u ż w p o p rz e d n ic h rozdziałach, w s k a ż m y w ięc t e ra z m e t o d y i r e z u l t a t y o k reślan ia m a s y ziemi.
O bliczanie m a s y ziemi o p a r te je s t n a z n a n y m n a m praw ie
„ c ią ż e n ia p o w szech n eg o ” N ew to n a : S i ł y p r z y c i ą g a n i a d w u c h c i a ł s ą w s t o s u n k u p r o s t y m d o i c h m a s i w s t o s u n k u o d w r o t n y m d o k w a d r a t ó w o d l e g ł o ś c i p o m i ę d z y n i e m i .
Siła p rz y c ią g a n ia ziemi je s t w ia d o m a . D a je się ona obliczyć i stw ierdzić z szybkości i obszerności w a h a ń w a h a d ła oraz z p r z y śpieszonego r u c h u ciał, s p a d a ją c y c h n a ziemię; w ciągu pierwszej s e k u n d y p r z e b y w a ją ciała (w przestrzeni bezpow ietrznej w pobliżu ziemi) p rz e strz e ń około 5 m etró w , a n a s tę p n ie w ciągu k a ż d e j se
k u n d y , j a k w y k a z a ł Galileusz, szybkość się zw iększa praw ie o 1 0 m e tr.
Do obliczenia z a ś siły p rzy c ią g a n ia ciał zn an ej m a s y m a m y k ilk a sposobów, z k t ó r y c h p a r ę wyszczególnim y.
n) K ła d z ie m y n a szalki czułych w a g po m a ły m je d n a k o w y m c ię ż a rk u . U m ieszczam y n a s tę p n ie dwie olbrzym ie b ry ły ołowiane z n a n e j m a s y , j e d n ą n a d j e d n ą szalką, d ru g ą — pod d ru g ą szalką, w s k u te k czego szalki w y c h o d z ą z rów now agi; z wagi ciężarków , jak ie trz e b a dołożyć n a j e d n ą z szalek, b y je z ró w n o w aży ć, w n io s k u je m y o sile p rz y c ią g a n ia d a n y c h brył.
h) Do obliczania siły p rzy c ią g a n ia ciał znanej m a s y u ż y w a ją często wagi C avendisha ( r y s . 14).
Kosm ografja. 2
W a g a t a s k ła d a się z cienkiej n itk i i p rzy m o c o w a n e g o doń d r ą ż k a , z a o p a trz o n e g o na k o ń c a c h w m ałe kulki A i B. U m o c o w u je m y na sta łe nasz p r z y r z ą d w p u n k cie C; n i t k a CM p rz y b ie r a w ów czas k ie ru n e k pio now y, a d r ą ż e k D E k ie r u n e k poziom y; b ie rz e m y n a s tę p n ie dwie olbrzym ie kule (P i R ) z n a n e j m asy ; j e d n ą z nich (P) s t a w i a m y przed k u l k ą B, d r u g ą (R) u m ie s z c z a m y po za k u l k ą A.
D r ą ż e k w ów czas s k rę c a i w y k o n y w a w a h a n ia w płaszczyźnie pozio
m ej. S z y b k o ść i obszerność w a h a ń w agi C a v e n d ish a w s k a z u ją n a wiel
kość p r z y c ią g a n ia kul P i R.
C en tra p r z y c ią g a n ia k u l P , R , A i B z n a j d u j ą się w c e n tr a c h g ie o m e tr y c z - n y c h t y c h k u l.
Z n a m y j u ż t e ra z siłę p rz y c ią g a n ia d a n y c h ciał, odległość ś ro d k ów ich ciężkości, oraz ich m asę; w ia d o m e te ż n a m je s t p rz y c ią g a n ie ziem i i odległość śro d k a jej ciężkości od środków ciężkości ciał p r z y c ią g a n y c h przez nią. O p ie ra ją c się n a t y c h d a n y c h , m o ż e m y obliczyć n ie z n a n ą n a m je d y n ie m a s ę ziemi. P o r ó w n y w a ją c p rz y c ią g anie ciał przez ziem ię z p rz y c ią g a n ie m ciał z n an ej m a s y i biorąc p o d u w a g ę odległości śro d k ó w ciężkości ciał, na siebie o d d z ia ły w a ją cych, m o ż e m y dro g ą dość s k o m p lik o w a n y c h w p r a k t y c e obliczeń m a te m a t y c z n y c h określić w e d łu g p r a w a N e w to n a („ siły p rz y c ią g a n ia d w u c h ciał są w s t o s u n k u p r o s t y m do ich m as i o d w r o t n y m do k w a d r a tó w odległości p o m ię d z y n i e m i ” ) m asę ziemi.
Ziem ia w a ż y koło 6 s e p t u a ł j o n ó w k i l o g r a m ó w , g d y w o d a tej sam ej o b ję to śc i w a ż y ł a b y nieco więcej, niż je d e n se p tu a ljo n kilogr.. G ę sto ść więc ziemi p rz e c ię tn a w ynosi 5 72 w s t o s u n k u do g ęstości w o d y , k t ó r ą p r z y j m u j e m y zw ykle za 1. P o n ie w a ż gęsto ść z e w n ę trz n ej powłoki z b a d a n e j .p rzez nas s k o r u p y ziemskiej w ynosi
2 7 2, g ę sto ść zaś w ody, p o k ry w a ją c e j p o w ie rz c h n ię ziemi — 1, d o c h o d z im y do w niosku, że w n ę tr z e ziemi m a g ę s to ś ć w ię k sz ą niż p rz e c ię tn a g ęsto ść całej ziemi t. j. w ię k sz ą niż 5 1/2
-Z A D A N I A .
1) W c ią g u ilu s e k u n d s p a d n ie c ia ło n a z ie m i? z w y s o k o ś c i 2 0 m etr .? 4 5 m e tr .? 180 m etr .?
2 ) J a k ą p r z e str z e ń p r z e b y w a c ia ło , s p a d a ją c e n a z ie m ię w c ią g u 5 se k .?
8 sek.?
U W A G A . W p o w y ż s z y c h z a d a n ia c h n a le ż y p r z y p u s z c z a ć , ż e s p a d e k c ia ł o d b y w a się w p r z e str z e n i b e z p o w ie tr z n e j.