Wykad nr 3 (Twierdzenia o istnieniu, jednoznacznoci i przeduaniu rozwiza)

(1)

3 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczno±ci i

prze-dªu»aniu rozwi¡za« dla równa« ró»niczkowych

zwyczajnych

3.1 Twierdzenie Picarda

Przez P b¦dziemy (w tym podrozdziale) oznacza¢ prostok¡t [t0− δ, t0+ δ] ×

[x0− ε, x0+ ε], gdzie δ > 0, ε > 0.

Denicja. Funkcja f : P → R speªnia na P warunek Lipschitza1 _wzgl¦dem x (jednostajnie po t), je»eli istnieje L > 0 takie, »e

|f (t, x1) − f (t, x2)| ¬ L|x1− x2|

dla wszystkich t ∈ [t0− δ, t0+ δ] i wszystkich x1, x2 ∈ [x0− ε, x0+ ε].

Fakt 3.1. Zaªó»my, »e pochodna cz¡stkowa ∂f/∂x istnieje i jest ci¡gªa na

P. Wówczas f speªnia na P warunek Lipschitza wzgl¦dem x, ze staª¡ L =

sup{ |∂f_∂x| : (t, x) ∈ P }.

Twierdzenie 3.2 (Twierdzenie Picarda2_(Lindelöfa3_{)). Niech f : P → R}

b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ speªniaj¡c¡ na P warunek Lipschitza wzgl¦dem x ze staª¡ L. Wówczas istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie ϕ: [t0− η, t0+ η] → R

zagadnienia pocz¡tkowego (ZP)    x0 = f (t, x) x(t0) = x0, gdzie η = min{δ, ε M}, M = sup{ |f(t, x)| : (t, x) ∈ P }.

Dowód. I) Zauwa»my, »e je»eli ϕ: [t0 − ˜η, t0 + ˜η] → [x0 − ε, x0 + ε] (gdzie

zakªadamy, »e 0 < ˜η ¬ δ) jest rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego (ZP), to jest rozwi¡zaniem równania caªkowego

(3.1) x(t) = x0+

t

Z

t0

f (s, x(s)) ds ∀t ∈ [t0− ˜η, t0 + ˜η].

Na odwrót, ka»de ci¡gªe rozwi¡zanie równania caªkowego (3.1) jest rozwi¡-zaniem zagadnienia pocz¡tkowego (ZP).

1_{Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832 1903), matematyk niemiecki} 2_{(Charles) Émile Picard (1856 1941), matematyk francuski}

(2)

II) Zaªó»my, »e ϕ: [t0 − ˜η, t0+ ˜η] → [x0− ε, x0+ ε] jest ci¡gªym

rozwi¡-zaniem równania caªkowego (3.1). Zachodzi nast¦puj¡ce oszacowanie

(3.2) |ϕ(t) − x0| = t Z t0 f (s, ϕ(s)) ds ¬ t Z t0 |f (s, ϕ(s))| ds ¬ M |t − t0| ∀t ∈ [t0− ˜η, t0+ ˜η].

W szczególno±ci, |ϕ(t) − x0| ¬ M ˜η dla ka»dego t ∈ [t0 − ˜η, t0 + ˜η]. St¡d

wynika, »e je»eli we¹miemy ˜η ¬ ε

M, b¦dziemy mieli zagwarantowane to, »e

wykres rozwi¡zania nie wyjdzie poza dziedzin¦ P funkcji f.

Nierówno±¢ (3.2) jest przykªadem bardzo cz¦sto wyst¦puj¡cych w teorii równa« ró»niczkowych oszacowa« a priori: nie wiemy, czy rozwi¡zanie istnie-je, lecz je»eli istnieistnie-je, to musi speªnia¢ oszacowanie.

Oszacowanie (3.2) gwarantuje nam, »e wykres rozwi¡zania znajdzie si¦ w obszarze zacieniowanym na ró»owo na poni»szych rysunkach.

t0 − δ t0 − δ t0+ δ t0+ δ Przypadek δ < ε M

(3)

x0+_Mε x0− _Mε x0+ _Mε x0− _Mε Przypadek δ > ε M

III) Ustalamy teraz η := min{δ, ε

M}. Oznaczmy J := [t0− η, t0+ η]. Niech

C oznacza zbiór wszystkich funkcji ci¡gªych y : J → R. C jest przestrzeni¡

Banacha z norm¡

kyk∼_∞:= sup { e−L|t−t0|_{|y(t)| : t ∈ J }}

(norma Bieleckiego4_{). Normy k·k}∼

∞ i standardowa norma supremum k·k∞ s¡

równowa»ne na C w tym sensie, »e istniej¡ staªe 0 < c1 ¬ c2 takie, »e c1kyk∼∞¬ kyk∞ ¬ c2kyk∼∞

dla wszystkich y ∈ C. Oznaczmy przezdemetryk¦ na C odpowiadaj¡c¡ normie

Bieleckiego,

e

d(y1, y2) = sup { e−L|t−t0||y1(t) − y2(t)| : t ∈ J }.

Deniujemy

K := { y ∈ C : y(t0) = x0 oraz |y(t) − x0| ¬ M |t − t0| ∀t ∈ J }.

Kjest domkni¦tym podzbiorem przestrzeni metrycznej zupeªnej (C,d)e, zatem

(K,d)e jest przestrzeni¡ metryczn¡ zupeªn¡.

4_{Adam (Feliks Franciszek) Bielecki (1910 2003), matematyk polski, profesor}

(4)

IV) Deniujemy odwzorowanie F: K → C wzorem F(y)(t) := x0+ t Z t0 f (s, y(s)) ds, t ∈ J.

Odwzorowanie F przeprowadza K w K. Istotnie, F(y)(t0) = x0, oraz zachodzi

|F(y)(t) − x0| = t Z t0 f (s, y(s)) ds ¬ t Z t0 |f (s, y(s))| ds ¬ M |t − t0| ∀t ∈ [t0− η, t0+ η].

Znalezienie ci¡gªego rozwi¡zania równania caªkowego (3.1) zast¦pujemy na-st¦puj¡cym zagadnieniem: znale¹¢ punkt staªy odwzorowania F: K → K.

V) Rozpatrzmy y1, y2 ∈ K.

e

d(F(y1), F(y2)) = sup

W analogiczny sposób dowodzimy, »e dla t0− η ¬ t ¬ t0 zachodzi

e−L|t−t0| t Z t0 |f (s, y1(s)) − f (s, y2(s))| ds ¬ (1 − e−Lη)d(ye ₁, y₂).

(5)

Wynika st¡d, »e

e

d(F(y1), F(y2)) ¬ (1 − e−Lη)d(ye ₁, y₂).

Poniewa» 0 < 1−e−Lη _{< 1}_{, odwzorowanie F: K → K jest zw¦»aj¡ce. Na}

pod-stawie twierdzenia Banacha istnieje jedyny punkt staªy tego odwzorowania, a co za tym idzie, jedyne rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (ZP).

Przypomnijmy sobie dowód twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zw¦»a-j¡cym. Dowodzi si¦ tam, »e jedyny punkt staªy jest granic¡ (w metryce de)

ci¡gu iterat Fk_(y)_{, gdzie y ∈ K jest dowolny. W szczególno±ci, za y}

mo»e-my wzi¡¢ funkcj¦ stale równ¡ x0. Tªumacz¡c to na j¦zyk zbie»no±ci

jedno-stajnej, mo»emy powiedzie¢: niech (ϕk) b¦dzie ci¡giem funkcji ci¡gªych na

[t0− η, t0+ η]okre±lonym w sposób rekurencyjny:

ϕ0(t) = x0 ∀t ∈ [t0− η, t0+ η] ϕk+1(t) = x0+ t Z t0 f (s, ϕk(s)) ds ∀t ∈ [t0− η, t0+ η]

(ci¡giem kolejnych przybli»e« dla zagadnienia (ZP)); ci¡g ten jest zbie»ny jednostajnie na przedziale [t0− η, t0+ η]do rozwi¡zania ϕ.

3.2 Twierdzenie Peano. Niejednoznaczno±¢

Podobnie jak w poprzednim podrozdziale, P oznacza prostok¡t [t0 − δ, t0+ δ] × [x0− ε, x0+ ε], gdzie δ > 0, ε > 0.

Je»eli o prawej stronie f równania ró»niczkowego zakªadamy tylko, »e jest ci¡gªa, zachodzi nast¦puj¡ce twierdzenie:

Twierdzenie 3.3 (Twierdzenie Peano5_{). Niech f : P → R b¦dzie funkcj¡}

ci¡gª¡. Wówczas istnieje rozwi¡zanie ϕ: [t0 − η, t0 + η] → R zagadnienia

pocz¡tkowego (ZP)    x0 = f (t, x) x(t0) = x0, gdzie η = min{δ, ε M}, M = sup{ |f(t, x)| : (t, x) ∈ P }.

W twierdzeniu Peano nic nie mówi si¦ o jednoznaczno±ci, i nie jest to przypadek, co pokazuje nast¦puj¡cy

(6)

Przykªad. Rozpatrzmy zagadnienie pocz¡tkowe (3.3)    x0 = 2q|x| x(0) = 0.

atwo zauwa»y¢, »e funkcja ϕ1(t) ≡ 0 jest rozwi¡zaniem zagadnienia

po-cz¡tkowego (3.3). Spróbujmy zastosowa¢ metod¦ rozdzielania zmiennych do rozwi¡zania samego równania (bez warunków pocz¡tkowych). Dla x > 0 ma-my dx 2√x = dt, Z dx 2√x = Z dt, √x = t + C, x = (t + C)2.

Bior¡c C = 0 otrzymujemy x = t2_{. Zdeniujmy}

ϕ2(t) =    0, t < 0 t2 t 0.

Funkcja ϕ2 te» jest rozwi¡zaniem zagadnienia (3.3).

Stosuj¡c metod¦ rozdzielania zmiennych dla x < 0 otrzymujemy, »e funk-cja ϕ3(t) =    −t2_, _{t < 0} 0 t 0.

jest rozwi¡zaniem zagadnienia (3.3).

Lecz podane wy»ej funkcje nie wyczerpuj¡ wszystkich rozwi¡za«. Dla ka»-dego C 0 funkcja ψC(t) =    0, t < C (t − C)2 _{t C}

jest rozwi¡zaniem. Dla ka»dego D ¬ 0 funkcja

ψD(t) =    −(t − D)2_, _{t < D} 0 t D

jest rozwi¡zaniem. I wreszcie, dla ka»dej pary D ¬ 0 ¬ C funkcja

ψD,C(t) =        −(t − D)2_, _{t < D} 0 D ¬ t ¬ C (t − C)2 t > D

(7)

3.3 Przedªu»anie rozwi¡za«

W bie»¡cym podrozdziale zakªadamy, »e −∞ ¬ a < b ¬ ∞, −∞ ¬ c < d ¬

∞.

Denicja. Rozwi¡zanie ϕ: (α, β) → R równania ró»niczkowego x0 _{= f (t, x)}

nazywamy nieprzedªu»alnym w prawo, gdy nie istnieje rozwi¡zanieϕ : (α, ˜e β) →

R równania, takie, »e β > β˜ oraz ϕ ≡ ϕe na (α, β).

Analogicznie, rozwi¡zanie ϕ: (α, β) → R jest nieprzedªu»alne w lewo, gdy nie istnieje rozwi¡zanieϕ : ( ˜e α, β) → R równania, takie, »e ˜α < α oraz ϕ ≡ϕe

na (α, β).

Rozwi¡zanie nieprzedªu»alne to rozwi¡zanie równocze±nie nieprzedªu»al-ne w prawo i nieprzedªu»alnieprzedªu»al-ne w lewo. Rozwi¡zania nieprzedªu»alnieprzedªu»al-ne zwanieprzedªu»al-ne s¡ te» w literaturze rozwi¡zaniami wysyconymi (patrz np.: A. Palczewski, Rów-nania ró»niczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu oblicze« symbolicznych, WNT, Warszawa, 1999). Twierdzenie 3.4 (Twierdzenie o przedªu»aniu rozwi¡za« dla równania ró»-niczkowego pierwszego rz¦du). Zaªó»my, »e f : (a, b)×(c, d) → R jest funkcj¡ ci¡gª¡. Niech ϕ: (α, β) → R b¦dzie nieprzedªu»alnym w prawo rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego x0 = f (t, x). Wówczas a) β = b, lub b) lim t→β−ϕ(t) = c albo lim_t→β−ϕ(t) = d.

Niech ϕ: (α, β) → R b¦dzie nieprzedªu»alnym w lewo rozwi¡zaniem rów-nania ró»niczkowego x0 _{= f (t, x)}_{. Wówczas}

a) α = a, lub

b) lim

t→α+ϕ(t) = c albo lim_t→α+ϕ(t) = d.

Dowód. Udowodnimy tylko pierwsz¡ cz¦±¢ twierdzenia. Zauwa»my, »e gdy

β = b, to nie ma czego wykazywa¢. Zaªó»my zatem, »e β < b.

I) Na pocz¡tek wyka»emy, »e nie jest mo»liwe, by lim inf

t→β− ϕ(t) < lim sup

t→β− ϕ(t).

Zaªó»my nie wprost, »e tak jest. Wynika st¡d istnienie (a) liczb rzeczywistych ¯c, ¯d takich, »e

c ¬ lim inf

t→β− ϕ(t) < ¯c < ¯d < lim sup

t→β−

(8)

oraz

(b) ci¡gów (tk)∞k=1, (ϑk)∞k=1 zbie»nych do β−, i takich, »e lim

k→∞ϕ(tk) = ¯c i

lim

k→∞ϕ(ϑk) = ¯d.

Poprzez przej±cie do podci¡gów i przenumerowanie mo»emy zaªo»y¢, »e

t1 < ϑ1 < t2 < ϑ2 < · · · < tk< ϑk < tk+1 < ϑk+1 < · · · → β−.

Wykorzystuj¡c twierdzenie Darboux otrzymujemy istnienie dwóch ci¡gów (sk)∞k=1 i (σk)∞k=1 takich, »e

tk ¬ sk < σk ¬ ϑk < tk+1 ¬ sk+1 < σk+1 ¬ ϑk+1

oraz ϕ(t) ∈ [¯c, ¯d]dla ka»dego t ∈ [sk, σk](wystarczy wzi¡¢ sk := sup { t ∈ [tk, ϑk] : ϕ(t) ¬ ¯c },

σk:= inf { t ∈ [tk, ϑk] : ϕ(t) ¯d }). Rozpatrzmy prostok¡t zwarty R := [¯a, β]×

[¯c, ¯d], gdzie a < ¯a < β, i poªó»my M := sup { |f(t, x)| : (t, x) ∈ R }.

Na podstawie twierdzenia Lagrange'a dla ka»dego k istnieje τk∈ (sk, σk)

takie, »e ϕ0(τk) = ϕ(σk) − ϕ(sk) σk− sk = ¯ d − ¯c σk− tk → ∞ gdy k → ∞.

Lecz z konstrukcji ci¡gów (sk) i (σk) wynika, »e (τk, ϕ(τk)) ∈ R, zatem

|ϕ0_(τ

k)| ¬ M, sprzeczno±¢.

II) Wykazali±my zatem, »e istnieje granica lewostronna lim

t→β−ϕ(t).

Zaªó»-my nie wprost, »e granica ta nale»y do (c, d). ZdeniujZaªó»-my funkcj¦ ci¡gª¡ ¯ ϕ : (α, β] → (c, d) wzorem ¯ ϕ(t) =    ϕ(t) t ∈ (α, β) lim t→β−ϕ(t) t = β.

Liczymy, korzystaj¡c z twierdzenia Lagrange'a, pochodn¡ lewostronn¡ funk-cji ¯ϕ w β: lim t→β− ¯ ϕ(β) − ¯ϕ(t) β − t = limt→β− ¯ ϕ0(ϑ(t)) · (β − t) β − t ,

gdzie ϑ(t) ∈ (t, β). Wyra»enie powy»sze jest równe lim

t→β−f (ϑ(t), ¯ϕ(ϑ(t))) = f (β, ¯ϕ(β)).

(9)

Niech ˜Rb¦dzie prostok¡tem domkni¦tym o ±rodku w (β, ¯ϕ(β)), zawartym

w (a, b) × (c, d). Z twierdzenia Peano (Tw. 3.3) wynika istnienie η > 0 takiej, »e zagadnienie pocz¡tkowe

  

x0 = f (t, x)

x(β) = ¯ϕ(β)

ma rozwi¡zanie ψ : [β − η, β + η]. Zatem funkcja

˜ ϕ(t) =    ¯ ϕ(t) t ∈ (α, β] ψ(t) t ∈ [β, β + ˜η)

jest rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego x0 _{= f (t, x)}_{, oraz ϕ jest istotnym}

obci¦ciem funkcji ˜ϕ, co przeczy nieprzedªu»alno±ci w prawo rozwi¡zania ϕ.

W przypadku, gdy ϕ: (α, b) → R jest nieprzedªu»alnym w prawo roz-wi¡zaniem równania ró»niczkowego x0 _{= f (t, x)}_{, gdzie f jest okre±lone na}

(a, b) × (c, d), granica lim

t→b−ϕ(t) mo»e nie istnie¢, co pokazuje przykªad

roz-wi¡zania ϕ(t) = sin1 t, t ∈ (−∞, 0), równania x 0 _{= −}1 t2 cos 1 t, t ∈ (−∞, 0).

Twierdzenie 3.5. Zaªó»my, »e f : (a, b) × (c, d) → R jest funkcj¡ ci¡gª¡. Niech t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje nieprzedªu»alne rozwi¡zanie

zagadnienia pocz¡tkowego (ZP)    x0 = f (t, x) x(t0) = x0.

Dowód powy»szego twierdzenia wykorzystuje lemat Zorna (patrz np.: A. Pelczar i J. Szarski, Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych, cz¦±¢ I: Wst¦p do teorii równa« zwyczajnych i równa« cz¡stkowych pierwszego rz¦du, PWN, Warszawa, 1987, str. 8485).

Wyka»emy teraz jedno z najbardziej podstawowych twierdze« w teorii równa« ró»niczkowych zwyczajnych.

Twierdzenie 3.6. Zaªó»my, »e f : (a, b) × (c, d) → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ speªniaj¡c¡ na ka»dym prostok¡cie domkni¦tym P ⊂ (a, b) × (c, d) waru-nek Lipschitza wzgl¦dem x (staªa L mo»e zale»e¢ od prostok¡ta P ). Niech

t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje dokªadnie jedno nieprzedªu»alne

rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (ZP)    x0 = f (t, x) x(t0) = x0.

(10)

Zanim udowodnimy twierdzenie, zauwa»my »e zaªo»enia s¡ speªnione na przy-kªad, gdy f i jej pochodna cz¡stkowa ∂f/∂x s¡ ci¡gªe na (a, b) × (c, d).

Dowód. Oznaczmy przez R rodzin¦ wszystkich rozwi¡za« ϕ: (αϕ, βϕ) → R

zagadnienia pocz¡tkowego (ZP). Z twierdzenia Picarda (Tw. 3.2) wynika, »e rodzina ta jest niepusta. Oznaczmy przez ψ funkcj¦, której wykres jest sum¡ wykresów wszystkich rozwi¡za« z rodziny R. Pierwszym krokiem jest wyka-zanie, »e suma tych wykresów rzeczywi±cie jest wykresem pewnej funkcji. Za-ªó»my nie wprost, »e istniej¡ rozwi¡zania ϕ1: (α1, β1) → R i ϕ2: (α2, β2) → R

takie, »e ϕ1(ϑ) 6= ϕ2(ϑ) dla pewnego ϑ ∈ (α1, β1) ∩ (α2, β2). Zaªó»my (dla

ustalenia uwagi), »e ϑ > t0. Oznaczmy τ := inf{ ϑ > t0 : ϕ1(ϑ) 6= ϕ2(ϑ) }.

Z ci¡gªo±ci mamy ϕ1(τ ) = ϕ2(ϑ) =: x1. Rozpatrzmy prostok¡t R := [τ − δ1, τ + δ1] × [x1− ε1, x1+ ε1] zawarty w (a, b) × (c, d). Stosuj¡c twierdzenie

Picarda (Tw. 3.2) do zagadnienia pocz¡tkowego x0 _{= f (t, x)}_{, x(τ) = x}

1, na

prostok¡cie R otrzymujemy, »e ϕ1(t) = ϕ2(t)te» dla wszystkich t ∈ [τ, τ +ε1],

co przeczy wyborowi τ. Analogicznie rozpatrujemy przypadek, gdy istnieje

ϑ < t0 takie, »e ϕ1(ϑ) 6= ϕ2(ϑ).

Wykazali±my wi¦c, »e funkcja ψ jest dobrze okre±lona. Niemal oczywiste jest, »e jest to rozwi¡zanie wyj±ciowego zagadnienia pocz¡tkowego, i »e jest to rozwi¡zanie nieprzedªu»alne.

Niekiedy jednoznaczno±¢ nieprzedªu»alnego rozwi¡zania zachodzi te» dla innych równa«. Rozpatrzmy dla przykªadu równanie

x0 = 1 −√3

x.

Z Tw. 3.5 wynika, »e dla ka»dego t0 ∈ (−∞, ∞) i ka»dego rzeczywistego x0

istnieje nieprzedªu»alne rozwi¡zanie ϕ: (α, β) → R zagadnienia pocz¡tkowe-go    x0 = 1 −√3_x x(t0) = x0.

Wyka»emy teraz, »e to rozwi¡zanie jest jedyne. Istotnie, zaªó»my nie wprost, »e ϕ1: (α1, β1) → R i ϕ2: (α2, β2) → R s¡ rozwi¡zaniami powy»szego

zagad-nienia takimi, »e ϕ1(ϑ) 6= ϕ2(ϑ)dla pewnego ϑ ∈ (α1, β1) ∩ (α2, β2). Zaªó»my

dla ustalenia uwagi, »e ϑ < t0. Oznaczmy τ := sup{ ϑ ∈ (α1, β1) ∩ (α2, β2) ∩

(−∞, t0) : ϕ1(ϑ) 6= ϕ2(ϑ) }. Z ci¡gªo±ci wynika, »e ϕ1(τ ) = ϕ2(τ ) =: x1.

Je±li x1 6= 0, to istnieje prostok¡t R = [τ − δ, τ + δ] × [x1 − ε, x1 + ε], na którym f speªnia warunek Lipschitza wzgl¦dem x jednostajnie po t

(wystarczy wzi¡¢ 0 < ε < |x1|). Z twierdzenia Picarda (Tw. 3.2) wnioskujemy,

»e istnieje η > 0 takie, i» ϕ1(t) = ϕ2(t) dla ka»dego t ∈ [τ − η, τ], co przeczy

(11)

Je»eli x1 = 0, to stosujemy twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno±ci

roz-wi¡zania dla równania o rozdzielonych zmiennych (Tw. 2.1) do zagadnienia pocz¡tkowego x0 _{= 1−}√3 _x, x(τ) = x

1na zbiorze (τ −1, τ +1)×(−1₂,1₂),

otrzy-muj¡c istnienie przedziaªu otwartego zawieraj¡cego τ, na którym rozwi¡zania

ϕ1 i ϕ2 sie pokrywaj¡, co przeczy wyborowi τ.

Zastosujmy powy»sze wyniki do przeanalizowania pewnych znanych nam ju» klas równa« ró»niczkowych pierwszego rz¦du.

Przykªad. Równanie ró»niczkowe liniowe I-go rz¦du

x0+ a(t)x = h(t),

gdzie a, h: (a, b) → R s¡ funkcjami ci¡gªymi. Z twierdzenia o istnieniu i jed-noznaczno±ci rozwi¡zania dla równania liniowego I-go rz¦du (Tw. 1.1) wynika, »e ka»de nieprzedªu»alne rozwi¡zanie powy»szego równania jest okre±lone na caªym przedziale (a, b).

Przykªad. Równanie ró»niczkowe

x0 = x2.

Stosujemy metod¦ rozdzielania zmiennych do rozwi¡zania powy»szego rów-nania: Z dx x2 = Z dt [x 6= 0], czyli −1 x = t + C i x = − 1 t + C,

gdzie C jest dowoln¡ staª¡. Ponadto, funkcja x ≡ 0 te» jest rozwi¡zaniem równania. Otrzymane do tej pory wnioski streszczamy mówi¡c, »e rodzina funkcji    x = − 1 t+C x ≡ 0

jest rozwi¡zaniem ogólnym równania x0 _{= x}2. Istotnie, rozwa»my warunek

pocz¡tkowy x(t0) = x0. Gdy x0 = 0, funkcja x ≡ 0 jest rozwi¡zaniem

równania speªniaj¡cym warunek pocz¡tkowy. Gdy x0 6= 0, podstawiaj¡c C = −1/x0 − t0 otrzymujemy rozwi¡zanie naszego zagadnienia

pocz¡tko-wego. Twierdzenie Picarda (Tw. 3.2) gwarantuje nam, »e w obu przypadkach s¡ to jedyne rozwi¡zania.

(12)

3.4 Porównywanie rozwi¡za« równa« ró»niczkowych

W teorii równa« ró»niczkowych wa»n¡ rol¦ odgrywa porównywanie rozwi¡za« dwóch równa« ró»niczkowych. B¦dziemy porównywali rozwi¡zania równa« ró»niczkowych

x0 = f (t, x) i

x0 = g(t, x),

gdzie f : (a, b)×(c, d) → R i g : (a, b)×(c, d) → R s¡ funkcjami ci¡gªymi. Dla

t0 ∈ (a, b)i x0 ∈ (c, d)oznaczmy przez ϕ(·) [ψ(·)] nieprzedªu»alne rozwi¡zanie

zagadnienia pocz¡tkowego x0 _{= f (t, x)}_{, x(t}

0) = x0 [x0 = g(t, x), x(t0) = x0].

Twierdzenie 3.7 (Twierdzenie o porównywaniu rozwi¡za« równa« ró»nicz-kowych). Zaªó»my, »e f(t, x) < g(t, x) dla ka»dego (t, x) ∈ (a, b) × (c, d). Wówczas

(1)

ϕ(t) < ψ(t)

dla ka»dego t > t0 zawartego w przekroju dziedzin rozwi¡za« ϕ i ψ.

(2)

ϕ(t) > ψ(t)

dla ka»dego t < t0 zawartego w przekroju dziedzin rozwi¡za« ϕ i ψ.

Dowód. Poniewa» ϕ0

(t0) < ψ0(t0), mamy ϕ(t) < ψ(t) dla t z pewnego

pra-wostronnego s¡siedztwa punktu t0. Zaªó»my nie wprost, »e zbiór { t > t0 : ϕ(t) ψ(t) } jest niepusty. Oznaczmy kres dolny tego zbioru przez τ.

Ma-my t0 < τ, ϕ(τ) = ψ(τ) oraz ϕ(t) < ψ(t) dla wszystkich t ∈ (t0, τ ). Ale ϕ0(τ ) = f (τ, ϕ(τ )) < g(τ, ψ(τ )) = ψ0(τ ), sk¡d wynika, »e ϕ(t) > ψ(t) dla t z pewnego lewostronnego s¡siedztwa punktu τ, co przeczy denicji τ. Udo-wodnili±my cz¦±¢ (1) twierdzenia. Dowód cz¦±ci (2) przebiega w analogiczny sposób.

Przykªad 1. Rozpatrzmy zagadnienie pocz¡tkowe

  

x0 = t2+ x2

x(0) = 0

Oznaczmy przez ϕ: (α, β) → R rozwi¡zanie nieprzedªu»alne zagadnienia. Poniewa» ϕ0 _{jest dodatnie (za wyj¡tkiem ϕ}0_{(0) = 0}_{), wi¦c funkcja ϕ jest}

(13)

(−∞, ∞) zachodzi t + x > x . Zauwa»my, »e funkcja ψ : (−∞, ¯t+ _x_¯_{) → R}

okre±lona wzorem ψ(t) = 1/(1 ¯

x + ¯t − t) jest nieprzedªu»alnym rozwi¡zaniem

zagadnienia pocz¡tkowego x0 _{= x}2, x(¯t) = ¯x. Z Tw. 3.7 wynika, »e ψ(t) > ϕ(t)

dla tych wszystkich t > t0, dla których oba rozwi¡zania s¡ okre±lone. Wynika

st¡d, »e limt→β−ϕ(t) = ∞ i β ¬ ¯t+ 1 ¯

x).

Przykªad 2. Zaªó»my, »e f : R → R jest funkcj¡ klasy C1 _{tak¡, »e f(0) = 0}

i f0

(0) < 0. Rozwa»my równanie ró»niczkowe

x0 = f (x).

Funkcja stale równa 0 jest rozwi¡zaniem równania. Przeanalizujemy teraz zachowanie si¦ rozwi¡za« powy»szego równania speªniaj¡cych warunek po-cz¡tkowy x(0) = x0, gdzie x0 > 0 jest bliskie 0. Oznaczmy A := −f0(0).

Niech ε0 > 0 b¦dzie takie, »e f(x) < −A₂x dla wszystkich 0 < x < ε0 (z

twierdzenia Lagrange'a, wystarczy wzi¡¢ ε0 > 0 tak maªe, »e f0(x) < −A/2

dla ka»dego x ∈ (0, ε0)). Ustalmy x0 ∈ (0, ε0), i oznaczmy nieprzedªu»alne

rozwi¡zanie równania x0 _{= f (x)} _{z warunkiem pocz¡tkowym x(0) = x}

0 przez ϕ : (α, β) → R. Porównuj¡c to rozwi¡zanie (na zbiorze (−∞, ∞) × (0, ε0)) z rozwi¡zaniem równania x0 _{= −}A

2x (z tym samym warunkiem

pocz¡tko-wym) widzimy, »e ϕ(t) < x0e−At/2 dla t ∈ (0, β). Dalej, ϕ(t) > 0 dla

ka»-dego t ∈ (0, β) (gdyby ϕ(τ) = 0 dla pewnego τ ∈ (0, β), zarówno funkcja

ϕ jak i funkcja stale równa zeru byªyby rozwi¡zaniami zagadnienia

pocz¡t-kowego x0 _{= f (x)}_{, x(τ) = 0). Zatem 0 < ϕ(t) < x}

0e−At/2 dla wszystkich t ∈ (0, β). Stosuj¡c twierdzenie o przedªu»aniu rozwi¡za« (Tw. 3.4) do

równa-nia x0 _{= f (x)}_{na obszarze (−∞, ∞) × (−∞, ∞) otrzymujemy, »e nierówno±¢}

β < ∞ poci¡gn¦ªaby za sob¡ limt→β−ϕ(t) = −∞ lub lim_t→β−ϕ(t) = ∞, co

jest niemo»liwe. W konsekwencji, β = ∞, i, co za tym idzie, limt→∞ϕ(t) = 0.

Ponadto, f0_{(x) < 0} _{dla x ∈ (0, ε}

0), zatem, skoro 0 < ϕ(t) < x0 < ε0 dla t ∈ (0, ∞), zachodzi ϕ0(t) < 0dla t ∈ (0, ∞), czyli ϕ jest malej¡ca na (0, ∞). W analogiczny sposób mo»na wykaza¢, »e rozwi¡zanie zagadnienia po-cz¡tkowego x0 _{= f (x)}_{, x(0) = x}

0, gdzie x0 < 0 jest dostatecznie bliskie zeru,