mgr in. Marcin Gbocki
Politechnika Biaostocka, Wydzia Mechaniczny, Katedra Automatyki i Robotyki prof. nzw. dr hab. in. Krzysztof Jaworek
Politechnika Biaostocka, Wydzia Mechaniczny, Katedra Automatyki i Robotyki
O ZAPASIE BEZPIECZESTWA PODCZAS KROCZENIA
DWUNONEGO ANTROPOMORFICZNEGO ROBOTA TYPU DAR
*W pracy opisano sposób regulacji prdkoci robota typu DAR i wyznaczenie dla niego krytycznej prdkoci kroczenia za pomoc (nigdzie dotychczas niepublikowanego) wskanika bezpieczestwa chodu (ang. gait safety faktory – GSF). Wskanik GSF bdzie wyznaczany w robocie DAR, w trybie on-line (tzn. na bieco) podczas kroczenia robota. W tym celu stosowana bdzie metoda funkcji regresji – zwanej w metodach identyfikacji metod MFR. W pracy podano równanie zmiennej zespolonej „kroczenia” robota typu DAR na paszczynie Gaussa. „Kroczenie” robota DAR na paszczynie Gaussa umoliwia wyznaczenie (w trybie on-line) wskanika bezpieczestwa kroczenia i prdko krytyczna chodu robota typu DAR, co zapobiegnie jego np. przewracania si podczas kroczenia w paszczynie strzakowej ruchu, po wzgldnie paskiej i utwardzonej powierzchni.
Sowa kluczowe: dwunony antropomorficzny robot typu DAR, paszczyzna Gaussa, wskanik bezpieczestwa chodu – GSF, moce chwilowe napdów maszyny – DAR, identyfikacja metod funkcji regresji – MFR
ABOUT GAIT SAFETY FACTOR OF TWO LEGGED ANTHROPOMORPHIC WALKING ROBOT – DAR
In this paper was described how to build two legged machine (robot), in domestic circumstances, called by authors two legged machine – DAR. The construction of robot has eight degrees of freedom and consists of trunk and two legs equipped with two big feet. Kinematics pairs of machine – DAR are propelled by DC motors, with regulated instantaneous power (similar from “servomotors” of human legs developed by a man muscles). Model of instantaneous power developed at three main “joints” at real the machine – DAR “were taken” from instantaneous power developed from normal of human walk, in sagittal plane, under laboratory condition. In machine – DAR is provided regulation of it’s speed and is calculated maximal speed by means of (nowhere published) Gait Safety Factor – GSF. Coefficient GSF will be calculated in the machine – DAR on-line by the (MFR) method well known from identification methods during “gait” of the two legged machine – DAR, on complex plane, named Gauss plane. Keywords: two legs anthropomorphic robot, the two legged machine – DAR, Froude number, Gait Safety Factor – GSF, instantaneous power developed by the two legged machine – DAR, identification method (MFR)
*
Done for Statute Work S/WM/03/06 at Chair of Automatics & Robotics Dept. Mechanics of Bialystok University of Technology.
1. WPROWADZENIE
Badanie antropomorficznego robota kroczcego typu – DAR wymaga poznania kroczenia czowieka. Od czasu E. Marey’a (1873 r.) [1], kiedy to zbudowano pierwsze kamery filmowe, a nastpnie platformy dynamometryczne (Lauru i Amara) [1,9] do (pomiaru i rejestracji si reakcji podoa – podczas kroczenia czowieka) udao si wyznaczy przebiegi mocy chwilowych rozwijanych przez siowniki miniowe obsugujce trzy gówne stawy nogi czowieka (tj. staw biodrowy, kolanowy i skokowo-goleniowy). W czci 1 tej pracy zostay przedstawione typowe takie przebiegi wyznaczone podczas normalnego kroczenia czowieka w paszczynie strzakowej ruchu. W proponowanym robocie typu – DAR zostan wykorzystane charakterystyki przyblione odcinkami prostymi, a to ze wzgldu na bardzo zmniejszon liczb stopni swobody robota typu – DAR, w porównaniu do liczby stopni swobody podczas normalnego kroczenia czowieka (t.j. z ~250 do 8).
Mimo tak ograniczonej liczby stopni swobody zostanie zachowane podobiestwo dynamiczne w przebiegach mocy chwilowej rozwijanej przez silniki prdu staego, bdce siownikami sztucznych stawów nóg robota typu – DAR. Sposób zachowania podobiestwa dynamicznego opisano w 1. czci niniejszej pracy.
Do tej pory nie udao si robotykom (zajmujcymi si konstrukcj i budow dwunonych robotów antropomorficznych) opracowa wskanik bezpieczestwa kroczenia i metod wyznaczenia maksymalnej prdkoci chodu tego typu robotów. W pracy proponuje si zastosowanie wybranych metod identyfikacji np. metody funkcji regresji (MFR) do [1, 5] identyfikacji przebiegów mocy chwilowych rozwijanych przez sztuczne siowniki (t.j. silniki prdu staego) napdzajce sztuczne stawy nóg robota typu – DAR. Identyfikacja tych mocy (podczas kroczenia robota typu – DAR) umoliwi wyznaczenie:
x wskanika bezpieczestwa kroczenia i jego maksymalnej prdkoci chodu robota, x maksymalnej prdkoci kroczenia robota.
Cz II niniejszej pracy jest powicona temu zagadnieniu, które jest nowoci nie tylko w Polsce.
2. IDENTYFIKACJA RÓWNA RÓNICOWYCH (METOD FUNKCJI REGRESJI – MFR) MOCY CHWILOWYCH ROZWIJANYCH PRZEZ IDEALN MASZYN TYPU – DAR
Rys. 1. Identyfikacja modelu rzeczywistej maszyny typu – DAR. a – wspóczynniki równa idealnej maszyny typu – DAR, D – wspóczynniki równa modelu rzeczywistej maszyny typu – DAR, H – sygna zakóce, Y – sygna wyjciowy z idealnej maszyny typu – DAR (moce chwilowe), y – sygna wyjciowy z modelu
Istota poszukiwania modelu matematycznego jest przedstawione na rys. 1 [1, 5]. Na rysunku uwzgldniono sygnay wejciowe Ux*, idealnej maszyny typu – DAR (x* – oznacza nieznan
dotychczas liczb sygnaów sterujcych pochodzcych z sieci neuronów idealnej maszyny typu – DAR). Liczba sygnaów sterujcych w modelu rzeczywistej maszyny typu – DAR jest równa liczbie stopni swobody jej mechanizmów (tzn. par kinematycznych).
Równanie opisujce idealn maszyn – DAR i jej model mona przedstawi dla n-tej chwili
czasowej w postaci równania rónicowego:
n k n k n n n n a Y a Y a Y Y 1 1 2 2 ... H , (1) n n n u a Y H , (2)
gdzie: a – wspóczynniki równa idealnej maszyny typu – DAR,
>
@
T k n a a a a 1 2 ... , (3) nu – macierz wielkoci wyjciowych z idealnej maszyny typu – DAR,
wn poprzednich chwilach czasowych,
>
n n n k@
n Y Y Y
u 1 2 ... , (4)
k – liczba wspóczynników identyfikacji idealnej maszyny typu – DAR, n
H – zakócenie n-tego pomiaru.
Model rzeczywistej maszyny – DAR mona przedstawi w postaci równania rónicowego dla
n-tego pomiaru (n-tej chwili czasowej) nastpujc zalenoci:
D
n n u
y , (5)
dla np. = 0, 1, 2 … gdzie: Np. – ostatni pomiar,
n
y – warto wielkoci wyjciowej z idealnej maszyny typu – DAR w n-tej chwili
pomiarowej,
D – macierz poszukiwanych wspóczynników równa modelu rzeczywistej maszyny typu – DAR,
>
@
T x D D D D 1 2 ... , (6) nu – macierz wielkoci wyjciowych z idealnej maszyny typu – DAR.
>
x@
n U U U
u 1 2 ... . (7)
Celem wyznaczenia wspóczynników identyfikacji D (6) modelu rzeczywistej maszyny typu – DAR (metod najmniejszej sumy kwadratów bdów [4, 5]) budujemy funkcjona o postaci:
¦
p p p N n n N e S 0 2 , (8)gdzie e – bd estymowanego modelu rzeczywistej maszyny typu – DAR w postaci: n n
n n Y y
e . (9)
W wyniku minimalizacji funkcjona
p
N
S (8) wzgldem wyrazów D otrzymuje si równanie algebraiczne umoliwiajce wyznaczenie wspóczynników D . Std macierz poszukiwanych wspóczynników identyfikacji poszukiwanego rzeczywistego modelu maszyny typu – DAR ma posta:
uT u 1uT Y D , (10) gdzie:
>
@
T K D D D D 1 2 ... , (11) dla 2dk Np,k – liczba wspóczynników identyfikacji modelu bioobiektu (maszyny typu – DAR).
Macierz u ma posta: » » » » » » » ¼ º « « « « « « « ¬ ª k k N k k N N k k k k k k k k k p p p Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y u ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( 1 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 1 0 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ... ... ... # # # ! . (12)
Macierz u ma k kolumn oraz (Np–k+2) wierszy. Macierz Y ma posta:
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
p N k kY
Y
Y
Y
#
1 . (13)W celu przeniesienia ruchu idealnej maszyny typu – DAR na rzeczywist maszyn naley pobra 51 próbek wielkoci mierzonych (tj. mocy chwilowych) z idealnej maszyny kroczcej, o okresie impulsowania Topt. = 0,02 s (przyjmuje si w badaniach nad ruchem idealnej jak i
rzeczywistej maszyny typu – DAR liczb wspóczynników identyfikacji k = 3 a macierze u i Y przyjmuj posta:
»» » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª 1 2 2 3 1 3 1 2 2 1 3 3 0 2 1 1 2 p p p N N N Y Y Y Y Y Y Y Y Y u # # # , (14)
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
p NY
Y
Y
Y
#
3 2 . (15)3. „KROCZENIE” IDEALNEJ MASZYNY TYPU – DAR NA PASZCZYNIE GAUSSA
Równanie sygnaów wyjciowych y z modelu rzeczywistego maszyny typu – DAR dla
liczby wspóczynników identyfikacji rzeczywistej maszyny typu – DAR, k = 3 przyjmuje
posta: D u y , (16) » » » ¼ º « « « ¬ ª » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 3 2 1 3 2 2 1 1 3 1 2 2 1 3 3 0 2 1 1 2 D D D p p p N N N Y Y Y Y Y Y Y Y Y y # # # , (17) gdzie:
y – macierz sygnaów wyjciowych z modelu rzeczywistego maszyny typu – DAR, D – macierz wspóczynników równania modelu rzeczywistego maszyny typu –
DAR,
Y – macierz prostoktna sygnaów wyjciowych z idealnej maszyny typu – DAR (moce chwilowe),
p
N – numer ostatniego pomiaru sygnau z idealnej maszyny typu – DAR.
W wyniku identyfikacji modelu kroczenia idealnej maszyny typu – DAR, uzyskano równanie rónicowe III rzdu postaci:
n 1y
n1
2y
n2
3y
n3
y D D D , (18)
gdzie: D1,D2,D3 – wspóczynniki modelu matematycznego kroczcej rzeczywistej maszyny typu – DAR.
Równanie rónicowe (18) poddajemy przeksztaceniu Z, (dyskretna transformata Laplace’a) [1], a wtedy otrzymujemy:
z z Y
z z Y
z z Y
z
Y D1 1 D2 2 D3 3 , (19)
gdzie:
z
Y – transformata Z sygnau z idealnej maszyny – DAR,
n
y – sygna dyskretny uzyskany w n-tej chwili pomiarowej.
Zakadajc, e transformata impulsowa Y
z z0, to równanie (19) przyjmuje na paszczynie Gaussa posta 0 3 2 2 1 3D z D zD z . (20)
Z równania (20), dla znanych wspóczynników równania modelu rzeczywistej maszyny typu – DAR D1,D2 i D3, otrzymujemy zawsze trzy róne pierwiastki z1,z2,z3, których liczba równa jest liczbie wspóczynników identyfikacji D . Pierwiastki te nanosimy na paszczyzn Gaussa.
Rys. 2. Pooenie pierwiastków na paszczynie Gaussa, na tle okrgu o promieniu jeden, dla pary kinematycznej („tuów”, „udo”) penicej funkcj stawu biodrowego rzeczywistej maszyny typu – DAR, podczas jej kroczenia w paszczynie strzakowej ruchu, po wzgldnie paskiej i utwardzonej powierzchni. Wspóczynniki identyfikacji to: D = 2,002649, 1 D = -1,371324, 2 D3= 0,286331
Pooenie pierwiastków dla inny par kinematycznych penicych funkcje stawu kolanowego i stawu skokowo-goleniowego rzeczywistej maszyny typu – DAR s podobne tzn. (dwa pierwiastki zespolone-sprzone i jeden rzeczywisty).
4. DEFINICJA WSKANIKA ZAPASU BEZPIECZESTWA PODCZAS KROCZENIA DWUNONEJ RZECZYWISTEJ MASZYNY TYPU – DAR
Definicja wskanika zapasu bezpieczestwa GSF kroczcej rzeczywistej maszyny typu – DAR na paszczynie Gaussa brzmi:
„Jest to najmniejsza odlego moduu pierwiastka rzeczywistego lub moduu jednego z dwóch pierwiastków zespolonych sprzonych równania zmiennej zespolonej na paszczynie Gaussa:
GSF=(1- Z
D )i MIN, niemianowane, (21)
gdzie: i = 1, 2, 3 – numery wspóczynników równa identyfikacji, Di – rzeczywistego modelu maszyny typu – DAR).”
GSFB
z1
z2
Z tej definicji tych wynika, e kroczenie rzeczywistej maszyny typu – DAR staje si mniej bezpieczne, jeeli pierwiastki jej równania zmiennej zespolonej (20) zbliaj si do brzegu okrgu o promieniu jeden, na paszczynie Gaussa.
Dla pary kinematycznej penicej funkcje stawu biodrowego rzeczywistej maszyny typu – DAR wskanik zapasu bezpieczestwa wg wzoru (21) wynosi GSF= 0,130091.
5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
Do tej pory badacze i konstruktorzy dwunonych antropomorficznych robotów kroczcych nie rozwizali zagadnienia dotyczcego wyznaczania krytycznej prdkoci jej kroczenia Vkr
(tzn. prdkoci maksymalnej) w paszczynie strzakowej ruchu.
W naszym przypadku, aby byo to moliwe naley zidentyfikowa model matematyczny mocy chwilowych rozwijanych przez napdy w poszczególnych parach kinematycznych nóg kroczcej rzeczywistej maszyny typu – DAR. Jest to moliwe po wykonaniu przez robota pierwszego kroku (w celu pozyskania niezbdnych danych do identyfikacji)! W pamici ukadu robota kroczcego zapisywane s dyskretne wartoci rozwijanych mocy chwilowych, w poszczególnych parach kinematycznych nóg robota. Z dowiadczenia wiadomo, e wraz ze wzrostem prdkoci i czstotliwoci chodu czowieka istnieje due prawdopodobiestwo wystpienia zdarze takich jak np. (upadek, potknicie si, zmiana wspóczynnika tarcia stopy robota o podoe, co wywouje zjawisko polizgu itp.). Podobne zdarzenia mog wystpi podczas kroczenia rzeczywistej maszyny typu–DAR, w warunkach laboratoryjnych i polowych. Wyznaczanie wspóczynnika bezpieczestwa GSF moe z duym prawdopodobiestwem uchroni rzeczywist maszyn typu–DAR przed wymienionymi niekorzystnymi zdarzeniami i umoliwi regulacj jej prdkoci kroczenia, w warunkach laboratoryjnych a nawet polowych.
5. BIBLIOGRAFIA
[1] K. Jaworek Metody oceny stanu aparatu ruchu czowieka na przykadzie chodu. Monografia (w przygotowaniu do druku 2009).
[2] Wilks S.: Mathematical Statistics. Ed. by John Wiley and Sons, New York, 1962.
[3] Fisher R.A.: Statistical Method for Research Workers, Olivier and Boyd, Edinburgh, 1925.
[4] Linnik J. W.: Metoda najmniejszych kwadratów i teoria opracowywania obserwacji, PWN, Warszawa, 1979.
[5] Manerowski J.: Identyfikacja modeli ruchu sterowanych obiektów latajcych, Wydawnictw Naukowe ASKON, Warszawa, 1999.
[6] Bubnicki Z.: Identyfikacja obiektów sterowania, PWN, Warszawa, 1974.
[7] Maczak K.: Metody identyfikacji wielowymiarowych obiektów sterowania, WNT, Warszawa, 1983.
[8] Maczak K., Nahorski Z.: Komputerowa identyfikacja obiektów dynamicznych, PWN, Warszawa, 1983.
[9] K. Jaworek: Metoda wskanikowej oceny lokomocji czowieka na przykadzie chodu i biegu. Rozprawa habilitacyjna. Wyd. IBiB-PAN, Zeszyt nr 32, Warszawa, 1992.
