Granice pewnych ciągów specjalnych

Granice pewnych ciągów

specjalnych

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

Twierdzenie 1: o granicy ciągu stałego

Twierdzenie 1: o granicy ciągu stałego

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Granicą ciągu stałego jest liczba będąca wartością każdego wyrazu tego ciągu.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Przekształcimy wyraz ciągu zapisując mianownik w postaci iloczynowej

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o granicy ciągu geometrycznego

o granicy ciągu geometrycznego

UWAGA

Uwaga 2:

Uwaga 2:

Ciąg geometryczny jest zbieżny jedynie dla .

a = a

lim

n→∞

lim

n→∞ (3n−9)(n+1)_n2_−2n−3

=

=

3 = 3

lim

n→∞ (3n−9)(n+1)_n2_−2n−3

lim

n→∞ 3(n−3)(n+1)_(n−3)(n+1)

lim

n→∞

=

lim

n→∞

q

n

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

0,

1,

+∞

nie istnieje,

dla

dla

dla

dla

|q| < 1

q = 1

q > 1

q ≤ −1

q

n

_{q ∈ (−1, 1]}

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Oblicz granicę .

Rozwiązanie:

Na początek rozpiszemy wszystkie potęgi w liczniku i mianowniku ułamka będącego wyrazem ciągu tak, aby w wykładnikach nie było sum, ani różnic

. z twierdzenia o granicy ciągu geometrycznego wiemy, że

oraz , więc musimy przekształcić wyrażenie tak, aby w liczniku i mianowniku pojawiły się ciągi zbieżne. W tym celu wyłączymy potęgę o najwyższej podstawie z licznika i mianownika otrzymując

Znów korzystamy z twierdzenia o granicy ciągu geometrycznego otrzymując . Zatem

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Oblicz granicę . Rozwiązanie:

Skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach i ograniczenia prawdziwego dla wszystkich naturalnych. Wyraz badanego ciągu ograniczamy od dołu

.

Wiemy, że , a zatem ciąg o wyrazach mniejszych jest rozbieżny do , czyli .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 3: o granicy pierwiastka stopnia

o granicy pierwiastka stopnia -tego ze stałej

-tego ze stałej

dla

lim

n→∞ 2⋅₅n−13n+1₊+₄n+241−n_+3⋅+2₈3n+2n−1

=

lim

n→∞ 2⋅3 + + n+1 ₄1−n ₂3n+2 + +3⋅ 5n−1 ₄n+2 ₈n−1

lim

n→∞ 6⋅ +4⋅3n _{( )}1 +4⋅ 4 n 8n ⋅ +16⋅ + ⋅ 1 55n 4n 388n

=

=

=

= +∞

lim

n→∞

3

n

lim

n→∞

4

n

lim

n→∞

5

n

lim

n→∞

8

n

= 0

lim

n→∞

( )

1₄ n

=

lim

n→∞ 6⋅ +4⋅3n _{( )}1 +4⋅ 4 n 8n ⋅ +16⋅ + ⋅ 1 55n 4n 388n

lim

n→∞ (6⋅ +4⋅ +4) 8n _{( )}3 8 n ( )1 32 n ( ⋅ +16⋅ + ) 8n 1 5( )58 n ( )1 2 n ₃ 8

=

=

=

= 0

lim

n→∞

( )

3₈ n

lim

n→∞

( )

₃₂1 n

lim

n→∞

( )

5₈ n

lim

n→∞

( )

1₂ n

= [

] =

lim

n→∞ 8 (6⋅ +4⋅ +4) n _{( )}3 8 n ( )1 32 n ( ⋅ +16⋅ + ) 8n 1 5( )58 n ( )1 2 n ₃ 8 6⋅0+4⋅0+4 ⋅0+16⋅0+ 1 5 38 32 3

[ + (−1 ]

lim

n→∞

4

n

)

n

(−1 ≥ −1

)

n

_n

− 1 ≤

+ (−1

4

n

₄

n

₎

n

[ − 1] = [+∞ − 1] = +∞

lim

n→∞

4

n

+∞

[ + (−1 ] = +∞

lim

n→∞

4

n

)

n

n

= 1,

lim

n→∞

√

n

q

q > 0

Oblicz granicę . Rozwiązanie:

Na początek rozpiszemy wszystkie potęgi występujące pod pierwiastkiem tak, aby w wykładnikach nie było sum, ani różnic

Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach, gdzie przy ograniczeniu od góry wszystkie potęgi o niższych podstawach zastępujemy potęgą o podstawie największej , traktując stałą jako , a przy ograniczaniu od dołu opuszczamy wszystkie wyrażenia zawierające potęgi o podstawach mniejszych niż

Obliczamy granice ciągów skrajnych korzystając z twierdzenia o granicy pierwiastka stopnia -tego ze stałej

oraz

. Ponieważ ciągi skrajne mają taką samą granicę, to .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 4:

Twierdzenie 4: o granicy pierwiastka stopnia

o granicy pierwiastka stopnia -tego z liczby

-tego z liczby

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Przykład 5:

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Z twierdzenia o granicy pierwiastka stopnia -tego z liczby wiemy, że i zauważamy, że dla .

Zatem z odpowiedniego symbolu oznaczonego otrzymujemy .

lim

n→∞

√

n

−

2 +

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

3

n+1

+

4

n−1

+ 2 ⋅

5

1−n

−

=

.

2 +

3

n+1

+

₄

n−1

+ 2 ⋅

₅

1−n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

_{2 + ⋅ 3 + ⋅ + 10 ⋅}

₃

_n

₄

_{n 1} 4

( )

15 n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

4

n

₂

_{2 ⋅ 1}

n

4

≤

≤

⋅

1 4

4

n

− −

−−−

√

n

2 + ⋅ 3 + ⋅ + 10 ⋅

3

n

4

n 1 4

( )

15 n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

2 ⋅ + ⋅ 3 + ⋅ + 10 ⋅

4

n

4

n

4

n 1 4

4

n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

n

=

4 ⋅

= [4 ⋅ 1] = 4

lim

n→∞ 1₄

⋅

4

n

− −

−−−

√

n

lim

n→∞

√

n 1₄

=

=

4 ⋅

= [4 ⋅ 1] = 4

lim

n→∞

√

n

2 ⋅ + ⋅ 3 + ⋅ + 10 ⋅

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

4

n

4

n

4

n 1₄

4

n

−

lim

n→∞

√

n

−

15 ⋅

−−−−−

₄1

4

−

n

lim

n→∞

√

n

− −

15

−

1₄

= 4

lim

n→∞

√

n

−

2 +

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

3

n+1

+

4

n−1

+ 2 ⋅

5

1−n

−

n

n

= 1

lim

n→∞

√

n

n

.

lim

n→∞ _√n_n1₋₁

n

n

lim

n→∞

(

√

n

n

− 1) = [1 − 1] = 0

− 1 > 0

n

√

n

_{n ≥ 2}

= [ ] = +∞.

lim

n→∞ _√n_n1_{−1 0}1+

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Przykład 6:

Oblicz granicę . Rozwiązanie:

Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach ograniczając wyraz badanego ciągu od góry i od dołu tak, aby można było skorzystać z twierdzenia o granicy pierwiastka stopnia -tego z liczby

Zauważmy, że oraz

Oczywiście granica jest taka sama jak granica , gdyż wystarczy podstawić za nową zmienną też będącą liczbą naturalną i skorzystać z tw. o granicy pierwiastka stopnia -tego z liczby .

Ponieważ skrajne ciągi mają taką sama granicę, to .

Rysunek 1: Wykres ciągu

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu . Zauważamy, że jest to ciąg rosnący, ograniczony od dołu przez liczbę , a od góry przez liczbę . Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wnioskujemy, że jest to ciąg zbieżny.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 5:

Twierdzenie 5: o własnościach ciągu

o własnościach ciągu

Ciąg jest rosnący i ograniczony.

UWAGA

Uwaga 3:

Uwaga 3:

Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym możemy wywnioskować, że ciąg jest zbieżny.

lim

n→∞2n+1

√

− −

n

−−−

2

+ 1

n

n

≤

≤

.

1

√

2n+1

_{+ 1}

n

2

− −

−−−

√

2n+1

_{4 + 4n + 1}

n

2

−

−−−−−−−−

−

√

2n+1

=

1 = 1

lim

n→∞2n+1

√

1

lim

n→∞

=

=

= [ ] = 1

lim

n→∞2n+1

√

−

4 + 4n + 1

−−−−−−−−

n

2

−

lim

n→∞2n+1

√

−

(2n + 1)

−−−−−−

−

2

lim

n→∞2n+1

√

2n + 1

− −

−−−

2

1

2

lim

n→∞2n+1

√

2n + 1

− −

−−−

lim

n→∞

√

n

n

2n + 1

k

k

k

= 1

lim

n→∞2n+1

√

− −

n

−−−

2

+ 1

= an (1 + )n1 n

=

a

n

(1 + )

n1 n

2

2, 8

(1 + )

1

n

n

=

a

n

(1 + )

n1 n

(1 + )

1 n n

Granicę ciągu nazywamy liczbą Eulera lub Nepera.

UWAGA

Uwaga 4: Oznaczenie liczby Eulera

Uwaga 4: Oznaczenie liczby Eulera

Liczbę Eulera oznaczmy przez i w przybliżeniu ma ona wartość liczbową

Komentarz Komentarz

Liczba Eulera, znana również pod nazwą liczby Nepera, pojawia się jako jedna z podstawowych wielkości w fizyce, a także ekonomii, naukach społecznych itp. Liczba jest wykorzystywana w wielu zagadnieniach matematycznych, widzimy ją w podstawie tzw. logarytmu naturalnego oraz jako podstawę funkcji wykładniczej , która jest niezastąpiona w równaniach różniczkowych, wystepuje we wzorach funkcji specjalnych, liczbach zespolonych itd.

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Przykład 7:

Oblicz granicę ciągu Rozwiązanie:

Ponieważ , to .

Przekształcimy wyraz badanego ciągu tak, aby pozbyć się symbolu nieoznaczonego i w granicy odnaleźć liczbę Eulera

Czyli .

PRZYKŁAD

Przykład 8:

Przykład 8:

Oblicz granicę dla .

Rozwiązanie:

Ponieważ , gdzie znak w wykładnku zależy od znaku liczby , spróbujemy wykorzystać liczbę Eulera Obliczamy granicę

=

a

n

(1 + )

_n1 n

e = lim

n→∞

(1 + )

1_n n

e = 2, 71828.

e

e

x

(

n

)

n+1 n

= 1

lim

n→∞ _n+1n

lim

n→∞

(

_n+1n

)

= [ ]

n

1

∞

=

=

(

n

)

n+1 n

(

n+1

)

n −n

[

(1 + )

1

]

n n −1

=

lim

n→∞

(

_n+1n

)

n

e

−1

lim

n→∞

(1 + )

_n1 an+b

a ∈ R ∖ {0}

= [

]

lim

n→∞

(1 + )

n1 an+b

1

±∞

a

=

⋅

.

(1 + )

1 n an+b

_[

_{(1 + )}

₁

_]

n n a

_{(1 + )}

₁ n b

= [ ⋅ ] =

lim

n→∞

(1 + )

1_n an+b

e

a

1

b

e

a

PRZYKŁAD

Przykład 9:

Przykład 9:

Oblicz .

Rozwiązanie:

Ponieważ to przekształcimy wyraz ciągu tak, aby skorzystać z liczby Eulera

Zauważamy że warunek równoważny jest warunkowi , czyli obliczamy granicę

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 05:06:28

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=87eed63c0d090288c891ce7af45ed88d

Autor: Katarzyna Czyżewska

lim

n→∞

(1 − )

_n1 n

= [ ]

lim

n→∞

(1 − )

_n1 n

1

∞

=

=

=

⋅

(1 − )

1 n n

₍

_n

₎

n−1 −n

(

n−1+1n−1

)

−n

(1 +

1

)

n−1 −nk=n−1

=

(1 + )

1k −k−1

[

(1 + )

1k

]

k −1

_{(1 + )}

₁ k −1

n → ∞

k → ∞

=

⋅

= [

⋅

] =

lim

n→∞

(1 − )

1_n n

lim

k→∞

[

(1 + )

_k1 k −1

]

(1 + )

1_k −1

e

−1

1

−1 1_e