7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar – przygotowanie
do sprawdzianu
Zad. 7.1 Udowodnij, że rodzina R = {[a, b); a, b ∈ R} jest półpierścieniem.
Zad. 7.2 Niech µ∗ będzie miarą zewnętrzną na Ω i niech A, B ⊂ Ω oraz µ∗(B) = 0. Udowodnij, że
µ∗(A ∪ B) = µ∗(A \ B) = µ∗(A).
Zad. 7.3 Udowodnij, że jeśli A, B ⊂ Ω, A ∩ B = ∅ oraz B jest µ∗-mierzalny, to
∀E∈Ω µ∗(E ∩ (A ∪ B)) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ B). Zad. 7.4 Niech Ω = {1, 2, 3}, C = {∅, {1}, {2, 3}}. Określamy:
η1(∅) = 0, η1({1}) = 0, η1({2, 3}) = a > 0; η2(∅) = 0, η2({1}) = b > 0, η2({2, 3}) = 0.
Tworzymy odpowiadające im miary zewnętrzne. Czy Fη∗ 1 = Fη
∗ 2?
Zad. 7.5 Niech µ będzie miarą na σ-algebrze F podzbiorów przestrzeni Ω i niech
µ∗(E) = inf{µ(A), E ⊂ A ∧ A ∈ F }
dla E ⊂ Ω. Udowodnij, że µ∗ jest miarą zewnętrzną na Ω i µ = µ∗|F. Zad. 7.6 Niech µ∗ będzie miarą zewnętrzną spełniającą warunek
∀x∈Ω µ∗({x}) = 0.
Udowodnij, że każdy zbiór jednopunktowy jest µ∗-mierzalny i przeliczalna suma zbio-rów jednopunktowych jest także µ∗-mierzalna.
