Przykłady znajdowania rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Przykłady znajdowania

rozwiązania ogólnego

równania quasiliniowego o

dwóch zmiennych

niezależnych

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

2019

(1)

Przykłady znajdowania rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Przykłady znajdowania rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Autor: Vsevolod Vladimirov

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

1. Identyfikujemy współrzędne pola wektorowego:

2. Przechodzimy do postaci charakterystycznej:

3. Całkując równość otrzymujemy pierwszą charakterystykę Całkując równość

otrzymujemy drugą charakterystykę: 4. Obliczamy macierz Jacobiego

Widać zatem, że ma rząd stały równy 2. Wynika to z tego, że główne minory (odpowiednio rzędu 1 i 2 ) są niezerowe. 5. Zakładając że jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły, przedstawiamy rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej:

Zakładając dodatkowo, że możemy rozwikłać tę funkcję względem drugiego argumentu, zapisując rozwiązanie w jawnej postaci:

gdzie jest dowolną gładką funkcją jednej zmiennej.

6. Podstawiając rozwiązanie jawne do lewej strony równania, otrzymujemy:

Zatem uzyskana funkcja spełnia rzeczywiście równanie wyjściowe, a ponieważ jest dowolną funkcją różniczkowalną, jest ona rozwiązaniem ogólnym wskazanego problemu.

ZADANIE

Zadanie 1:

Zadanie 1:

+

= 1.

P = Q = R = 1.

dx = dy = dz.

dx = dy,

ψ

: x − y = .

_C

dy = dz

ψ

: z − y = .

_C

J =

= (

) .

1

₀

−1

₋₁

0

₁

J

Φ( , )

t

t

Φ(x − y, z − y) = 0.

∂ Φ( , )/∂ ≠ 0,

t

t

t

z − y = φ(x − y) ⇒ z = y + φ(x − y),

φ(t)

(y + φ(x − y)) +

(y + φ(x − y)) = φ(x − y) + 1 − φ(x − y) = 1.

φ(t)

(2)

(3)

Treść zadania: Treść zadania:

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

1. Identyfikujemy współrzędne pola wektorowego:

2. Przechodzimy do postaci charakterystycznej:

3. Całkując równość otrzymujemy charakterystykę

Używając oznaczenia można tę całkę przedstawić w postaci

Całkowanie drugiej równości o postaci wymaga komentarza. Jak wiadomo, dzielenie przez zero jest operacją niewłaściwą i dlatego, ściśle rzecz biorąc, prawa strona równości nie ma sensu. Możemy jednak napisać układ

charakterystyczny w postaci równoważnego mu ukladu dynamicznego

Ostatnie równanie całkuje się bezpośrednio, dając drugą charakterystykę

Drugą charakterystykę można również uzyskać, mnożac lewą i prawą stronę równości przez zero. Otrzymamy przy tym równość

Zera występujące w liczniku oraz mianowniku prawej strony możemy formalnie skrócić (pamiętajmy, że jest to ogólnie rzecz ujmując operaja niewłaściwa), natomiast lewa strona przy daje nam zero. Wtedy otrzymujemy równanie , które daje charakterystykę Zatem w tym oraz analogicznych przypadkach, niewłaściwa operacja dzielenia zera przez zero pozwala uzyskać poprawny wynik.

4. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, obliczamy macierz Jakobiego

Rząd tej macierzy jest równy 2 wszędzie za wyjątkiem osi , na której macierz staje się nieokreślona. W pozostałych punktach przestrzeni charakterystyki są niezależne.

5. Zatem rozwiązanie ogólne ma postać

6. Ze względu na to, że jedną z charakterystyk można uzyskać poprzez zastosowanie niewłasciwej operacji dzielenia zera przez zero, warto i w tym przypadku sprawdzić, czy uzyskana funkcja spełnia równanie ( 2 ). Podstawiając do lewej strony tego równania funkcję ( 3 ) otrzymamy:

tak więc funkcja ( 3 ) jest ogólnym rozwiązaniem równania ( 2 ).

x

+ y

= 0.

P = x,

Q = y,

R = 0.

=

=

.

=

,

: log x = log y + .

ψ~

C

~

= log ,

C

~

C

ψ

: x/y = .

C

=

= x,

= y,

= 0.

: z = .

ψ

_C

=

0 ⋅

= 0 ⋅ .

x ≠ 0

dz = 0

.

ψ

J =

= (

1/y

) .

0

−x/y

0

0

1

OY

R

z = φ ( ) .

(x + y ) φ ( ) = ( ) (x + y

∂

∂

φ

) = 0,

(4) (5)

ZADANIE

Zadanie 2:

Zadanie 2:

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

1. Identyfikujemy współrzędne pola wektorowego:

2. Przechodzimy do postaci charakterystycznej:

3. W tym przykładzie ważna jest kolejność całkowania. Najpierw musimy rozpatrzeć równanie zawierające różniczkę funkcji Mnożąc lewą i prawą stronę przez zero, a następnie skracając formalnie zera w liczniku i mianowniku prawej strony, otrzymamy przy równanie , które daje pierwszą charakterystykę

4. Rozpatrzmy teraz równanie . Nie możemy go bezpośrednio scałkować, gdyż nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Możemy natomiast skorzystać z tego, że na poszukiwanej powierzchni całkowej równania zmienna jest wielkością stałą. Wykorzystując to, otrzymujemy równanie Całkując je dostaniemy charakterystykę

. 5. Obliczamy macierz Jacobiego

Rząd macierzy wynosi 2 wszędzie, za wyjątkiem osi współrzędnych. Ogólne rozwiązanie równania ( 2 ) przedstawia się zatem w postaci uwikłanej za pomocą wzoru

6. Sprawdzamy, czy funkcja spełnia równanie

równoważne równaniu wyjściowemu ( 4 ). Podstawiając ( 5 ) do powyższego równania otrzymujemy:

gdzie symbol oznacza pochodną cząstkową funkcji względem pierwszego argumentu. Przekonaliśmy się więc, że dowolna gładka funkcja postaci ( 5 ) rzeczywiście spełnia równanie ( 4 ).

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne

z

− y

= 0.

P = z,

Q = −y,

R = 0.

=

=

.

z :

=

.

y ≠ 0,

dz = 0

ψ

: z = .

_C

=

z

=

.

: x/z + log y =

ψ

_C

J =

= (

0

) .

0

1

−

J

Φ( + log y, z) = 0.

(z − y + 0 ) Φ = 0,

∂

∂

∂

(z − y + 0 ) Φ( + log y, z) =

∂

∂

∂

Φ

⋅ (z − y ) = 0,

Φ

Φ

prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:26:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=1de742f0839ea1bb0f25beb6de23afba