Zbieżność szeregów niezależnych zmiennych losowych – teoria
Twierdzenie 1 (o dwóch szeregach) Niech Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych. Jeśli szeregi
∞
X
n=1
EXn,
∞
X
n=1
Var Xn
są zbieżne, to szereg
∞
P
n=1
Xn jest zbieżny p.w.
Oznaczenie 2 Niech X(c) oznacza obcięcie zmiennej losowej X na poziomie c, tzn.
X(c) =
(X, |X| 6 c, 0, |X| > c.
Twierdzenie 3 (kołmogorowa o trzech szeregach) Warunkiem koniecznym zbieżności p.w. szeregu niezależnych zmiennych losowych
∞
P
n=1
Xnjest zbieżność dla każdego c > 0 szeregów
∞
X
n=1
EXn(c),
∞
X
n=1
Var Xn(c),
∞
X
n=1
P (|Xn| > c),
a warunkiem dostatecznym jest zbieżność tych szeregów dla pewnego c > 0.
