Prostowanie pola wektorowego 1
Lokalne prostowanie pola wektorowego
1
Przypomnienie: potok lokalny
Zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem Rn
, i F : U → Rn
jest polem wektorowym klasy C1
.
Pole wektorowe F generuje potok lokalny ϕ: dla x0 ∈ U, ϕ(t, x0) oznacza
wartość, w chwili t, rozwiązania układu równań różniczkowych x′ = F(x)
spełniającego warunek początkowy x(0) = x0.
Przypomnijmy definicję: potok lokalny ϕ : dom ϕ → U jest odwzorowa-niem ciągłym spełniającym następujące warunki:
(PL0) dziedzina dom ϕ ⊂ R × U jest zbiorem otwartym zawierającym {0} × U; ponadto, dla każdego x ∈ U dziedzina odwzorowania [ t 7→ ϕ(t, x) ] jest przedziałem otwartym (τmin(x), τmax(x)), gdzie τmin(x) < 0 < τmax(x),
(PL1) ϕ(0, x) = x, dla każdego x ∈ U,
(PL2) jeżeli ϕ(t, ϕ(s, x)) jest określone, to ϕ(t + s, x) też jest określone i zachodzi równość ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x),
(PL3) jeżeli ϕ(t, x) jest określone, to ϕ(−t, ϕ(t, x)) też jest określone i za-chodzi równość ϕ(−t, ϕ(t, x)) = x.
Od tej pory, zamiast ϕ(t, x) będziemy pisali ϕt(x).
2
Transwersala pola wektorowego w punkcie
regular-nym
Przypomnijmy, że x ∈ U jest punktem regularnym pola wektorowego F, gdy F(x) 6= 0.
Hiperpłaszczyzną nazywamy zbiór H postaci G + a, gdzie G jest podprze-strzenią liniową wymiaru n − 1, zaś a ∈ Rn
. Mówimy, że (niezerowy) wektor w ∈ Rn
jest transwersalny do hiperpłasz-czyzny H = G + a, gdy w /∈ G.
Niech b ∈ Rn
będzie wektorem niezerowym takim, że G = { x ∈ RN
: hx, bi = 0 }. Wówczas w ∈ Rn
jest transwersalny do hiperpłaszczyzny H = G + a wtedy i tylko wtedy, gdy hw, bi 6= 0.
Dla x ∈ Rn
i r > 0, oznaczmy przez B(x; r) kulę otwartą w Rn
o środku w x i promieniu r, i przez ¯B(x; r) kulę domkniętą w Rn
o środku w x i promieniu r.
2 Skompilował Janusz Mierczyński
Transwersalą (lub przekrojem Poincar´ego) pola wektorowego F w punkcie regularnym x ∈ U nazywamy zbiór L ⊂ U postaci H ∩ B(x; r), gdzie H jest hiperpłaszczyzną zawierającą punkt x, o następującej własności:
(T) W każdym punkcie ξ ∈ L wektor pola F(ξ) jest transwersalny do hi-perpłaszczyzny H.
Warunek (T) można sformułować geometrycznie w następujący sposób: W żadnym punkcie ξ ∈ L wektor pola F(ξ) nie jest styczny do hiperpłasz-czyzny H.
Lemat 1. Niech x będzie punktem regularnym pola wektorowego F. Wówczas istnieje transwersala L pola wektorowego F w punkcie x.
Dowód. Rozpatrzmy hiperpłaszczyznę H przechodzącą przez x i taką, że (niezerowy) wektor F(x) jest transwersalny do H. Ponieważ U jest zbiorem otwartym, można znaleźć takie r0 > 0, że H ∩ B(x; r0) ⊂ U. Z ciągłości
pola wektorowego wynika istnienie 0 < r ¬ r0 takiego, że dla każdego ξ ∈
H ∩ B(x; r) wektor F(ξ) jest transwersalny do hiperpłaszczyzny H.
3
Przypomnienie: twierdzenie o funkcji odwrotnej
Niech U1 i U2 będą otwartymi podzbiorami przestrzeni Rn. Homeomorfizm
h : U1 → U2 nazywamy dyfeomorfizmem klasy C
l
, l = 1, 2, . . . , ∞, gdy za-równo odwzorowanie h jak i odwzorowanie doń odwrotne h−1: U2 → U1 są
klasy Cl
.
Niech U1 będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Rn. Odwzorowanie
h : U1 −−→ R1−1 ndyfeomorfizmem klasy Cl na swój obraz , gdy h : U1 −−→1−1 na h(U1)
jest dyfeomorfizmem klasy Cl
.
Wykorzystywana przez nas w następnym podrozdziale wersja twierdzenia o funkcji odwrotnej ma, w powyższym języku, następującą postać:
Twierdzenie 1. Załóżmy, że odwzorowanie h : ˜U → Rn
klasy C1
, gdzie ˜
U ⊂ Rn
jest otwartym otoczeniem zera, ma tę własność, że h(0) = 0 oraz że jego pochodna w zerze, Dh(0), jest izomorfizmem liniowym. Wówczas istnieje otoczenie otwarte U1 ⊂ ˜U takie, że obcięcie h do U1 ⊂ ˜U jest dyfeomorfizmem
klasy C1
na swój obraz. Ponadto, D(h|U1)−1(0) = (Dh(0))−1.
4
Twierdzenie o prostowaniu pola wektorowego
Twierdzenie o lokalnym prostowaniu pola wektorowego.Niech F : U → Rn
będzie polem wektorowym klasy C1
i niech x ∈ U będzie punktem regular-nym pola F. Wówczas istnieją:
Prostowanie pola wektorowego 3
• transwersala L pola F w punkcie x, • otoczenie otwarte V punktu x,
• liczby dodatnie ε, δ, oraz dyfeomorfizm M : V −−→1−1 na I × (−ε, ε) klasy C1 , gdzie I = { (ξ1, . . . , ξn−1) ∈ Rn−1 : q (ξ1)2+ · · · + (ξn−1)2 < δ }, o następujących własnościach: (i) M(L) = I × {0}; ponadto M(x) = (0, . . . , 0, 0),
(ii) dla każdego y ∈ V istnieje dokładnie jedna para (z, t) ∈ L × (−ε, ε) taka, że y = ϕt(z); ponadto, M(y) = (ξ1, . . . , ξn−1, t), gdzie M(z) =
(ξ1, . . . , ξn−1, 0).
Otoczenie V , o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nazywane jest otoczeniem prostującym, otoczeniem równoległym. Nawy angielskie, to paral-lel neighbo(u)rhood ), lub flow-box.
Dowód. Na podstawie Lematu 1 istnieje transwersala pola wektorowego w punkcie regularnym x (oznaczmy tę transwersalę przez L1 = H ∩ B(x; r1);
ponadto, H = G + x, gdzie G jest (n − 1)-wymiarową podprzestrzenią linio-wą).
Jako że dziedzina dom ϕ potoku lokalnego ϕ jest zbiorem otwartym zawie-rającym {0}×U, dla każdego z ∈ L1można znaleźć εz> 0 i r(z) > 0 takie, że
(−εz, εz) × B(z; r(z)) ⊂ dom ϕ. Z otwartego pokrycia {B(z; r(z)) : z ∈ L1}
zbioru zwartego ˜L = H ∩ ¯B(x; r1/2) można wybrać podpokrycie
skończo-ne {B(z1; r(z1)), . . . , B(zk; r(zk))}. Weźmy ε′ := min {εz1, . . . , εzk}. Wynika
stąd, że (−ε′, ε′) × L ⊂ dom ϕ, gdzie L = H ∩ B(x; r
1/2)
Weźmy izomorfizm afiniczny R (to znaczy, złożenie izomorfizmu liniowe-go i przesunięcia) przestrzeni Rn
na siebie, który przeprowadza L na zbiór { (ξ1, . . . , ξn−1, 0) ∈ Rn :
q
(ξ1)2+ · · · + (ξn−1)2 < δ′} i przeprowadza x w
punkt (0, . . . , 0).
Definiujemy odwzorowanie Q : I′×(−ε′, ε′) → U, gdzie I′ = { (ξ
1, . . . , ξn−1) ∈
Rn−1 :q(ξ1)2+ · · · + (ξn−1)2 < δ′}, wzorem
4 Skompilował Janusz Mierczyński
Na podstawie
twierdzenia o różniczkowalnej zależności rozwiązania od warunków początkowych Q jest odwzorowaniem klasy C1
.
Zbadajmy pochodną D odwzorowania Q w punkcie ((0, . . . , 0), 0), inter-pretowaną jako odwzorowanie liniowe z { (ξ1, . . . , ξn−1) : ξi ∈ R } ⊕ lin{1} w
Rn
. Odwzorowanie D
• przeprowadza wektor ((ξ1, . . . , ξn−1), 0) na wektor A(ξ1, . . . , ξn−1, 0),
gdzie A jest pochodną odwzorowania afinicznego R−1 (zatem
izomorfi-zmem liniowym),
• przeprowadza wektor ((0, . . . , 0), 1) na niezerowy wektor F(x).
Dalej, zbiór { A(ξ1, . . . , ξn−1, 0) : ξi∈ R } to (n−1)-wymiarowa podprzestrzeń
liniowa G występująca w definicji transwersali L. Lecz G wraz z F(x) rozpina całą Rn
. Wykazaliśmy więc, że pochodna D odwzorowania Q w zerze jest izomorfizmem liniowym.
Na podstawie twierdzenia o funkcji odwrotnej (Tw. 1) otrzymujemy, że Q obcięte do pewnego otoczenia zera postaci I × (−ε, ε) jest dyfeomorfizmem na swój obraz. Oznaczmy ten obraz przez V , i zdefiniujmy M jako Q−1.
Oznaczmy przez ψ potok lokalny generowany na zbiorze I × (−ε, ε) przez pole wektorowe G(ξ) ≡ ((0, . . . , 0), 1).
Z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego wynika, że M ◦ ϕt= ψt◦ M,
gdzie powyższy wzór należy rozumieć w ten sposób, że jeśli dla pewnego y ∈ V i pewnego t ∈ (−ε, ε) określona jest jedna strona, to określona jest druga strona i zachodzi równość.
Mówimy niekiedy, że dyfeomorfizm M zadaje sprzężenie między potokiem lokalnym ϕ obciętym do otoczenia prostującego V a potokiem lokalnym ψ.
