Analiza Fouriera

(1)

Przetwarzanie i Kompresja Obrazów. Analiza

Fouriera

Aleksander Denisiuk (denisjuk@pja.edu.pl)

Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdańsku

ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk

(2)

Analiza Fouriera

Szeregi Fouriera Transformacja Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera Dwuwymiarowa Transformacja Fouriera Transformacja Kosinusowa

2 / 29

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

(3)

Szeregi Fouriera

Szeregi Fouriera Motywacja Szereg trygono-metryczny Transformacja Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera Dwuwymiarowa Transformacja Fouriera Transformacja Kosinusowa

(4)

Motywacja

4 / 29

Rozmowa telefoniczna

Sygnał:

−3.5

−2.5

−1.5

−0.5

0.5

1.5

2.5

3.5 −π

−

1₂

π

1₂

π

0 x

y

(5)

Suma syngałów „elementarnych”

3 sin x + 0,5 sin 16x

−3.5

−2.5

−1.5

−0.5

0.5

1.5

2.5

3.5 −π

−

1₂

π

1₂

π

0 x

y

3 sin x + 0,5 sin 16x

3 sin x

0,5 sin 16x

(6)

Prawdziwy Sygnał

6 / 29

Wymaga nieskończenie wiele „funkcji elementarnych”:

f (t) =

∞

X

n

=0

(7)

Szereg trygonometryczny

Dana jest okresowa funkcja f (t), t ∈ [−π, π]

funkcja, określona na okręgu

Szereg Fouriera

funkcji f

f (t) ∼

∞

X

n

=0

b

n

sin nt + c

n

cos nt

Szereg w postaci wykładniczej

cos t =

e

it

+e

_2i

−it

sin t =

e

it

−e

_2i

−it

f (t) =

∞

P

n

_=−∞

(8)

Współczynnniki Fouriera

8 / 29

a

n

= ˆ

f (n) =

1 2π

Z

π

−π

f (x)e

−inx

_dx

f (t) ∼

∞

P

n

_=−∞

ˆ

f (n)e

nt

(9)

Przykład

f (t) = t

−3.5

−2.5

−1.5

−0.5

0.5

1.5

2.5

3.5 −π

−

1₂

π

1₂

π

0 x

y

(10)

Funkcje z okresem 1

10 / 29

f (t) ∼

∞

P

n

_=−∞

ˆ

f (n)e

2πint

f (n) =

ˆ

1 R

0 f (x)e

−2πinx

_dx

Odwzorowania:

1. f (t) 7→ ˆ

f (n)

2. _{f (n) 7→ f(t)}

ˆ

(11)

Właściwości współczynników Fouriera

Liniowość: αf (t) + βg(t) 7→ α ˆ

f (n) + βˆ

g(n)

Przesunięcie (cykliczne) w domenie ﬁzycznej

f (x − a) 7→ ˆ

f (n)e

−2πi an

Przesunięcie w domenie widmowej f (x)e

2πi lx

7→ ˆ

f (n − l)

Jeżeli szereg jest zbieżny, to ˆ

f (n) → 0

Różniczkowanie: f

′

(x) 7→ 2πin ˆ

f (n)

Splot (cykliczny) funkcji (ﬁltracja)

f ∗ g(t) =

R

1

0 f (x)g(t − x) dx

f ∗ g 7→ ˆ

f (n)ˆ

g(n)

Twierdzenie Parsevala:

1 R

0 |f(t)|

2 _{dt =}

P

∞

n

_=−∞

| ˆ

f (n)|

2

(12)

Transformacja Fouriera

Szeregi Fouriera Transformacja Fouriera Deﬁnicja Właściwości Dyskretna Transformacja Fouriera Dwuwymiarowa Transformacja Fouriera Transformacja Kosinusowa

12 / 29

(13)

Deﬁnicja

Dana jest funkcja f (x), x ∈ R

n

Odwzorowania:

1. f (x) 7→ ˆ

f (ξ) =

+∞

R

−∞

f (x)e

−2πixξ

_dx

2. _{f (ξ) 7→ f(x) =}

ˆ

+∞

R

−∞

ˆ

f (ξ)e

2πixξ

dξ

(14)

Właściwości Transformacji Fouriera

14 / 29

Liniowość: αf (t) + βg(t) 7→ α ˆ

f (ξ) + βˆ

g(ξ)

Przesunięcie w domenie ﬁzycznej f (x − a) 7→ ˆ

f (ξ)e

2πiaξ

Przesunięcie w domenie widmowej f (x)e

−2πi ax

7→ ˆ

f (ξ − a)

Różniczkowanie: f

′

(x) 7→ 2πiξ ˆ

f (ξ)

Splot funkcji (ﬁltracja) f ∗ g(t) =

+∞

R

−∞

f (x)g(t − x) dx

f ∗ g 7→ ˆ

f (ξ)ˆ

g(ξ)

Twierdzenie Parsevala:

+∞

R

−∞

|f(t)|

2 dt =

∞

R

−∞

| ˆ

f (ξ)|

2 dξ

(15)

Dyskretna Transformacja Fouriera

Szeregi Fouriera Transformacja Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera Motywacja i deﬁnicja Właściwości FFT Dwuwymiarowa Transformacja Fouriera Transformacja Kosinusowa

(16)

Motywacja i deﬁnicja

16 / 29

Dyskretyzacja szeregu Fouriera

f (t) ∼

∞

P

n

_=−∞

ˆ

f (n)e

2πint

_≈

N −1

P

n

=0

ˆ

f (n)e

2πint

f (n) =

ˆ

1 R

0 f (x)e

−2πix

_{dx ≈}

1 N

N −1

P

k

=0

f (k/N )e

−2πi

kn_N

Dyskretna transformacja Fouriera

dany jest ciąg a

0 , . . . , a

_{N −1}

DTF to jest ciąg ˆ

a

0 , . . . , ˆ

a

_{N −1}

, gdzie

ˆ

a

n

=

√

1 _N

N −1

P

k

=0

a

k

e

−2πi

kn N

transformacja odwrotna: a

k

=

√

1 _N

N −1

P

n

=0

ˆ

a

n

e

2πi

nk N

(17)

Właściwości DTF

Liniowość: αa

n

+ βb

n

7→ αˆa

n

+ βˆb

n

Przesunięcie (cykliczne) w domenie ﬁzycznej

a

_n−l

_{7→ ˆa}

n

e

−2πi

nl N

Przesunięcie (cykliczne) w domenie widmowej

a

n

e

2πi

nl

N

7→ ˆa

n−l

Splot ciągów (ﬁltracja) a

n

∗ b

n

=

N −1

P

k

=0

a

k

b

_k−n

a

n

∗ b

n

7→ ˆa

n

ˆb

n

Twierdzenie Parsevala:

N −1

P

n

=0

|a

n

|

2 ₌

N −1

P

n

=0

|ˆa

n

|

2

(18)

DTF jako przekształcenie liniowe

18 / 29

F : R

n

→ R

n

Macierz przekształcenia: a 7→

√

1 N

F a, gdzie macierz Fouriera

F

N

=







1

1 . . .

1

1 ω

ω

2 . . .

ω

N −1

1 ω

2 ω

4 . . .

ω

2(N −1)

1 ω

3 ω

6 . . .

ω

3(N −1)

. . . .

1 ω

N −1

ω

2(N −1)

. . .

ω

(N −1)(N−1)







,

ω = e

−

2_Nπi

_{jest pierwiastkiem z jedynki}

Przekształcenie odwrotne, F

−1

: R

n

→ R

n

ma macierz

o współczynnikach sprzężonych

F

_N

−1

= F

N

(19)

Szybka transformacja Fouriera

n log

₂

n działań

Dla n = 4:

F

₄

=







1 0

1

0 0 1

0 _−i

1 0 −1

0 0 1

0 i













1

0

0 1 −1 0

0

1

0

0 _{1 −1}













1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1







(20)

Ogólny przypadek, N = 2

k

20 / 29

a

ˆ

m

=

√

1 _N

N 2

−1

P

n

=0

a

_2n

e

−2πi

N/2mn

+

_√

1 N

e

−2πi

m_N N 2

−1

P

n

=0

a

_2n+1

e

−2πi

N/2mn

a

ˆ

_m

₊

N 2

=

1 √

N

N 2

−1

P

n

=0

a

_2n

e

−2πi

N/2mn

−

_√

1 N

e

−2πi

m_N N 2

−1

P

n

=0

a

_2n+1

e

−2πi

N/2mn

F

N

= D

₁

N

B

₁

N

S

₁

N

, gdzie

D

₁

N

=

I

N2

D

N 2

I

N 2

−D

N 2

!

, B

₁

N

=

F

N2

0

N 2

0

N 2

F

N 2

!

, S

₁

N

=

Even

N2

Odd

N 2

!

etc. . .

(21)

Szybki splot

Splot a

n

∗ b

n

=

P

N −1

_k

₌₀

a

k

b

_n−k

jest mnożeniem przez macierz,

N

2 działań

Z zastosowaniem FFT trzeba tylko N log

₂

N działań

a

n

7→ ˆa

n

= Fa

n

b

n

7→ ˆb

n

= Fb

n

ˆ

a

n

, ˆb

n

7→ ˆc

n

= ˆ

a

n

ˆb

n

(22)

Dwuwymiarowa Transformacja

Fouriera

Szeregi Fouriera Transformacja Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera Dwuwymiarowa Transformacja Fouriera Deﬁnicja Właściwości Transformacja Kosinusowa

22 / 29

(23)

Deﬁnicja

Dana jest tablica a

m,n

, m = 1, . . . , M − 1 n = 1, . . . , N − 1

DTF to jest tablica ˆ

a

m,n

, m = 1, . . . , M − 1

n = 1, . . . , N − 1, gdzie

ˆ

a

m,n

=

√

_{M N}

1 M −1

P

k

=0

N −1

P

l

=0

a

_k,l

e

−2πi

km_M

_e

−2πi

ln_N

Fransformacja odwrotna:

a

k,l

=

√

_{M N}

1 M −1

P

m

=0

N −1

P

n

=0

ˆ

a

m,n

e

2πi

km M

e

−2πi

ln N

(24)

Właściwości

24 / 29

Rozdzialczość: F

2 (a

m,n

) = F

1 F

2 (a

m,n

)

Liniowość: αa

m,n

+ βb

m.n

7→ αˆa

m,n

+ βˆb

m,n

Przesunięcie (cykliczne) w domenie ﬁzycznej

a

_m−k,n−l

_{7→ ˆa}

m,n

e

−2πi

mk

N

e

−2πi

nl N

Przesunięcie (cykliczne) w domenie widmowej

a

m,n

e

2πi

mk M

e

2πi

nl N

7→ ˆa

m−k,n−l

Splot ciągów (ﬁltracja) a

m,n

∗ b

m,n

=

M −1

P

k

=0

N −1

P

l

=0

a

k,l

b

_k−m,l−n

a

m,n

∗ b

m,n

7→ ˆa

m,n

ˆb

m,n

Twierdzenie Parsevala:

M −1

P

m

=0

N −1

P

n

=0

|a

m.n

|

2 ₌

M −1

P

m

=0

N −1

P

n

=0

|ˆa

m,n

|

2

(25)

Transformacja Kosinusowa

Szeregi Fouriera Transformacja Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera Dwuwymiarowa Transformacja Fouriera Transformacja Kosinusowa Motywacja i deﬁnicja DCT DCT 2D

(26)

Szereg Fouriera funkcji parzystej

26 / 29

Dana jest parzysta okresowa funkcja f (t), t ∈ [−π, π]

f (n) =

ˆ

_2π

1 π

R

−π

f (x)e

−inx

_{dx =}

1 π

π

R

0 f (x) cos nx dx

f (−n) =

ˆ

_2π

1 π

R

−π

f (x)e

inx

dx =

_π

1 π

R

0 f (x) cos nx dx

∞

P

n

_=−∞

ˆ

f (n)e

int

= ˆ

f (0) + 2

P

∞

n

=1

ˆ

f (n) cos nt

Szereg kosinusowy:

f (t) 7→ ¯

f (n) =

_π

2 π

R

0 f (x) cos nx dx, n = 0, 1, . . .

f (n) 7→

¯

1 ₂

f (0) +

¯

∞

P

n

=1

¯

f (n) cos nt

(27)

Dyskretna trasnformacja kosinusowa

Dyskretyzacja szeregu kosinuswego

Dany jest ciąg a

0 , . . . , a

_{N −1}

Dyskretną trasnformacją kosinusową jest ciąg ¯

a

0 , . . . , ¯

a

_{N −1}

,

gdzie

¯

a

0 =

√

1 _N

N −1

P

k

=0

a

n

¯

a

n

=

q

2 N

N −1

P

k

=0

a

n

cos

πn

(2k+1)

_2N

, n = 1, 2, . . . , N − 1

Odwrócenie:

a

n

=

√

1 _N

¯

a

0 +

q

2 N

N −1

P

k

=1

¯

a

k

cos

πk

(2n+1)

_2N

,

n = 0, 1, . . . , N − 1

(28)

Dwuwymiarowa dyskretna trasnformacja kosinusowa

28 / 29

Dana jest tablica a

m,n

, m, n = 0, . . . , N − 1

Dyskretną trasnformacją kosinusową jest tablica ¯

a

m,n

,

m, n = 0 . . . , N − 1, gdzie

¯

a

0,0

=

_N

1 N −1

P

k

=0

N −1

P

l

=0

a

_k,l

¯

a

0,n

=

√

2 N

N −1

P

k

=0

N −1

P

l

=0

a

k,l

cos

πn

(2l+1)

_2N

¯

a

m,

0 =

√

2 N

N −1

P

k

=0

N −1

P

l

=0

a

k,l

cos

πm

(2k+1)

_2N

¯

a

m,n

=

_N

2 N −1

P

k

=0

N −1

P

l

=0

a

_k,l

cos

πm

(2k+1)

_2N

cos

πn

(2l+1)

_2N

(29)

Odwrócenie 2D DCT

a

m,n

=

1 √

N

a

¯

0,0

+

√

2 N

N −1

X

l

=1

¯

a

_0,l

cos

πl(2n + 1)

2N

+

√

2 N

N −1

X

k

=1

¯

a

k,

0 cos

πk(2m + 1)

2N

+

2 N

N −1

X

k

=1

N −1

X

l

=1

¯

a

k,l

cos

πk(2m + 1)

2N

cos

πl(2n + 1)

2N