Aktualne Problemy Biomechaniki, nr 4/2010
Stefan BUCKO, Marcin WIKŁACZ, Zakład Mechaniki Doświadczalnej i Biomechaniki, Politechnika Krakowska, Kraków
ANALITYCZNO-EKSPERYMENTALNA METODA WYZNACZANIA
SZTYWNOŚCI OSIOWEJ APARATU ILIZAROWA
Streszczenie. Praca prezentuje nietypowe ujęcie problemu wyznaczania sztywności aparatu Ilizarowa zawierającego druty Kirschnera oraz wkręty Schanza. Opracowana metoda obliczeń nie wymaga zastosowania metody elementów skończonych, a jedynie wykonania prostych eksperymentów i obliczeń. Niezbędne w analizie parametry opisujące podatność pierścieni Ilizarowa wyznaczano eksperymentalnie. Istotnym rozwinięciem, w stosunku do wcześniejszych prac jest opracowanie analitycznej metody opisu współpracy pierścieni Ilizarowa z wkrętami Schanza uwzględniającej podatność wszystkich elementów aparatu.
1. WSTĘP
Wyznaczanie sztywności aparatu Ilizarowa zawierającego druty Kirschnera oraz grotowkręty Schanza jest ważnym zagadnieniem przy stosowaniu tej metody leczenia. Współcześnie dość często rozwiązuje się ten problem przy zastosowaniu metody elementów skończonych. Należy jednak pamiętać, że możliwe jest również opracowanie analityczno-eksperymentalnego podejścia do wyznaczania sztywności aparatu Ilizarowa, co zostało zaprezentowane dla układu z drutami Kirschnera w pracy [1]. Niezbędne w analizie, a trudne do wyznaczenia teoretycznego wielkości charakteryzujące podatność pierścieni Ilizarowa, liczby wpływowe umożliwiające wyznaczanie przemieszczeń liniowych i kątowych przekrojów pierścieni, można wyznaczać eksperymentalnie. Istotnym rozwinięciem, w stosunku do wspomnianej wyżej pracy [1], jest opracowanie analizy współpracy pierścienia Ilizarowa z grotowkrętami Schanza uwzględniającej podatność obu elementów. Opracowano ogólne zasady formułowania równań opisujących rozkład sił i przemieszczeń w układzie zawierającym druty Kirschnera w różnych położeniach oraz grotowkręty Schanza. Przedstawiona w pracy metodyka postępowania przy wyznaczaniu liczb wpływowych dla pierścienia oraz formułowania warunków zgodności odkształceń zespołu elementów są ogólne i mogą być stosowane dla szerokiej gamy układów aparatu Ilizarowa.
2. ANALIZA WSPÓŁPRACY PIERŚCIENIA Z DRUTAMI KIRSCHNERA I GROTOWKRĘTAMI SCHANZA
2.1. Współpraca pierścienia z drutami Kirschnera leżącymi w płaszczyźnie pierścienia Poniżej przytoczono skrócony fragment koncepcji współdziałania drutów Kirschnera z pierścieniem Ilizarowa według pracy [1], Ułatwi to czytanie dalszych analiz w niniejszej pracy. Podstawowe założenia tych analiz: odkształcenia pierścieni i drutów Kirschnera są
S. Bucko, M. Wikłacz liniowo - sprężyste, pomija się wpływ odkształceń giętych drutów Kirschnera, pomija się osiowe przemieszczenia punktów zamocowania drutów Kirschnera (pierścienie podparte są teleskopami), przemieszczenia wywołane napięciem wstępnym, oraz ich przyrosty wywołane obciążeniem osiowym kości mają taki sam kierunek, oddziaływanie pierścienia w modelu obliczeniowym zastąpiono sprężynami o odpowiedniej sztywności, odrzucono również zasadę zesztywnienia. \ h - V k H g] \ h 'j V e i 4 — 7 V k
Rys. 1. Schemat odkształceń drutu Kirschnera
Przyrost siły osiowej w drucie Kirschnera od siły pionowej Qk wynosi wg rys. 1:
Tk=Ask-EF =
h2 A
2V 1 EF = - EF^r- — EF (1) 2 1 1
A* = SkTk (2)
Z warunków równowagi siła przenoszona przez jeden drut:
Qk = 2Tok - + 2———^ (3)
4 l 2(1 + Kk) /
FF
Kk= 8k- y (4)
gdzie TOK - napięcie wstępne drutu, EF - sztywność rozciągania drutu Kirschnera, SK
-liczby wpływowe pierścienia.
Dla układu złożonego z pierścienia oraz „n" drutów Kirschnera umieszczonych w punktach 1,2,3, ...,n pierścienia konieczne jest wprowadzenie liczb wpływowych w ogólniejszej formie:
W
gdzie: ul - przemieszczenie punktu „i" od siły P .Dla i- tego drutu można zapisać równanie:
ą , Tx + S.2T2 +.... + + jr„ = l-l{jj ,gdzie :i = 1,2,3, n. (6)
W rezultacie otrzymuje się układ równań liniowych z uwagi na T,. Po jego rozwiązaniu:
2/7^.
" ) (7) e = Z a = — Z 2(To k +Tk
k=1 ' k=1
Ponieważ punkty środkowe drutów Kirschnera przemieszczają się tak samo jak kość, przemieszczenia ich są równe. Zatem wzór ten określa zależność pomiędzy siłą pionową Q a przemieszczeniem pionowym środka drutu h.
2.2. Współpraca grotowkrętów Schanza z pierścieniem Ilizarowa
Jak pokazano wyżej druty Kirschnera realizują przenoszenie siły osiowej, przy czym istotną rolę odgrywają siły napięcia wstępnego w drutach. Grotowkręty Schanza wspierają się na pierścieniu tylko w jednym „punkcie" i przenoszą siłę osiową w aparacie wskutek zginania. Zapewnieniu odpowiedniego udziału grotowkręta w przenoszeniu siły osiowej służy
31 jego znacząco większy przekrój poprzeczny. Przyłożenie obciążenia kości do grotowkręta
Schanza wymusza jego zginanie oraz skręcanie pierścienia. Wobec wkręcenia pręta Schanza w kość, koniec tego pręta przemieszcza się razem z kością przy czym można założyć, że kąt między prętem a kością nie ulegnie zmianie w procesie odkształcenia układu. Odpowiada to założeniu, że kąt obrotu końca grotowkręta związanego z kością równy jest zero. Oznacza to równocześnie konieczność przyłożenia na końcu grotowkręta momentu M o wartości zapewniającej zerowanie kąta obrotu końcowego przekroju (rys. 2).
Rys. 2. Przyjęty schemat odkształceń grotowkręta Schanza
Przemieszczenie końca grotowkręta wywołane działaniem siły O, (rys. 2) można wyznaczyć wykorzystując równanie różniczkowe odkształconej osi belki (grotowkręta) z odpowiednimi warunkami brzegowymi:
EJw" = QJl-x)- M; przy warun kach : vv(0) = 0, w'(0) = <p,, w'(l) = 0 (8)
Istotnym parametrem w rozpatrywanym zagadnieniu jest kąt obrotu związany z pierścieniem końca grotowkręta Schanza - (p, związany z obciążeniami oraz sztywnością pierścienia z uwagi na skręcanie. Wielkości niezbędne do wyznaczenia kąta ę , można wyznaczyć na podstawie danych z eksperymentu pozwalających na wyznaczenie liczby wpływowej związanej ze sztywnością skrętną pierścienia, a mianowicie Ssj j zdefiniowanej
dla jednego grotowkręta umieszczonego w punkcie i jako:
= <h- (9)
Mu \ n i EJ V '
Sposób doświadczalnego wyznaczania liczb wpływowych S' zostanie opisany w dalszych rozdziałach. Po wykonaniu całkowania równania linii ugięcia oraz wykorzystaniu warunków brzegowych można uzyskać związek między siłą pionową, a przemieszczeniem końca grotowkręta:
2 4 (1 + EJS;.) MEJ
Należy tutaj zaznaczyć, że w przypadku występowania innych elementów jak np. druty Kirschnera będzie to rzutować istotnie na wartości kąta obrotu oznaczonego jako cp,.
3. PRZYPADEK DOWOLNEGO POŁOŻENIA DRUTÓW I PRĘTÓW W PŁASZCZYZNACH RÓWNOLEGŁYCH
Całkowita siła ( Q ) działająca prostopadle do płaszczyzny pierścienia jest sumą sił przenoszonych przez druty Kirschnera (Qx, Q2) i wkręt Schanza ( Q}) .
Rys. 3. Zamocowanie oraz odkształcenia dwóch drutów Kirschnera i grotowkręta Schanza Środek drutu Kirschnera i koniec grota Schanza przemieszczają się o tą samą odległość „a" (rys. 3). Przemieszczenie to wyznaczono dla wkrętu Schanza i opisane jest zależnością:
li S SJT , SJ T , ' ^13,1303 1 , ^13,1363^ , QJ3
a = L(ó,,,ą di, + o . ,7 aJ\ 4 ) + b — — (12)
13-19 1 1 13'7 2 2 2(l + S^EJ) A(l + S'xnEJ) 12EJ
We wzorze zostały uwzględnione przemieszczenia i obroty pierścienia wywołane przez druty Kirschnera. Sposób wyznaczenia przyrostów sił osiowych przedstawiono w rozdziale 2.1. W
tym przypadku przyrosty sił osiowych wynoszą:
EF(a2 -21S]97T2 - IW^dĄ Q3l - ~ J ^ l , . ) \EF = / 2(/ + <?13J3£/) ( 1 3 ) Tt = ¿T A, lF~T 21 + 2!EFdl9ig ,2 rr ~,ss , Am EJ 1 Sm}Q} 7,19 1 7.19 (1 + 5° EJY T2 = ^ (14) 21 +21EFS1J
Z przytoczonych wyżej równań (11), (12), (13) i (14), po ich rozwiązaniu możliwe jest wyznaczenie: TX,T2,Q^,Q2, Qi, a.
4. DOŚWIADCZALNE WYZNACZENIE LICZB WPŁYWOWYCH
Rys. 4. Punkty pomiaru przemieszczeń, w celu wyznaczenia liczb wpływowych Jak wspomniano w p. 1 niezbędne do metody analitycznej parametry charakteryzujące podatność pierścienia - liczby wpływowe - wyznaczano doświadczalnie podobnie do sposobu stosowanego w pracy [1]. Dla wyznaczenia macierzy liczb wpływowych pierścienia konieczne jest wykonanie dwóch serii pomiarów przemieszczeń przy odpowiednio dobranych warunkach obciążenia. Pierwsza seria pomiarów obejmowała wyznaczenie (pomiar)
przemieszczeń uf w płaszczyźnie środkowej pierścienia wynikających ze zginania siłami działającymi wzdłuż średnicy w płaszczyźnie środkowej - co pokazano na rys.4a. W technice pomiarów można wykorzystać zależności wynikające z twierdzenia Maxwella.
W drugiej serii pomiarów obciążano pierścień siłami przyłożonymi do wsporników sztywno z nim połączonych, wzdłuż linii równoległej do średnicy i odległej od powierzchni środkowej o wielkość di (d- =11 mm) (rys.4b). Mierzono w tym przypadku przemieszczenia z/,. w
odległości d; (d; = dt =11 mm) będące sumami przemieszczeń uf oraz przemieszczeń u•
wynikających z obrotu przekroju poprzecznego pierścienia wskutek działania momentu
M = Pidi. Powyższe dwie serie pomiarów pozwalają na wyznaczenie niezbędnych w analizie
sztywności liczb wpływowych 8 fj oraz . (15),(16).
Przemieszczenie radialne punktu Aj odległego o od płaszczyzny środkowej pierścienia,
wywołane siłą Pt działającą równolegle do średnicy, w odległości dj od płaszczyzny
środkowej, można określić wzorem:
Af =uf +u°=Pi5*j +(Pd,)Sljdj = />(*£ ;S:idldl) = P:-c\i (15)
dzięki czemu możemy sformułować zależność:
= S f j + SF j • dt • d j (16)
Liczby wpływowe 8tj wyznaczone zostały dla przypadku, gdy siła przykładana jest
równolegle do średnicy pierścienia na odległości d0 = 11 [mm\.
¥ im 1,2 7.0 2.0 3.0 8.0
Rys. 5. Wykresy zmierzonych wartości przemieszczeń pierścienia wj, uSj ,Uj oraz
us us 1
obliczonych na tej podstawie liczb wpływowych SFS = , S. J =
5. PRZYKŁAD LICZBOWY
Powyższy sposób rozumowania zastosowano do obliczenia sztywności pierścienia Ilizarowa z zamocowanymi dwoma drutami Kirschnera oraz grotowkrętem Schanza, w trzech różnych odległościach od płaszczyzny pierścienia. Otrzymano następujące wyniki: przemieszczenie końca kości a « 2 , 5 [ m m ] , rozkładu sił osiowych w drutach Kirschnera
Ta =997[ArJ,'f( 2 = 9 8 4 , 2 [ i ¥ ] ; Rozkład sił działających prostopadle do powierzchni pierścienia Ql ~ 64,8[,V], Q2 « 64[ATj, Qi a 71,1[7V].
Rys. 6. Sposób zamontowania dwóch drutów Kirschnera i grotowkręta Schanza w odległościach: dx =10[mm~\,d2 = 2 0 [ m m ] , d} =15[mm]
Model z dwoma drutami Kirschnera i
grotowkrętem Schanza.
Pierwszy drut Kirschnera
Drogi drut Kirschncra
Grotou-krei Schanza
Schemat odkształcenia pierścienia i grotowkręta Schanza są zbliżone do rzeczywistego (rys. 6). Analizując wyniki można stwierdzić, że wkręt Schanza może w dużym stopniu zastąpić drut Kirschnera, co ma niemałe znaczenie w zastosowaniu praktycznym.
LITERATURA
[1] Bućko S., Mazurkiewicz S.: Teoretyczna i doświadczalna analiza podatności aparatu Ilizarowa, XIII Sympozjum Mechaniki Eksperymentalnej Ciała Stałego, Jachranka, 1998. [2] Bućko S., Mazurkiewicz S.: Metoda uzyskiwania wymaganych sił napięcia wstępnego
drutów Kirschnera, 4 Seminarium Mechanika w Medycynie, Rzeszów, 1998.
[3] Bućko S., Forma K., Herdzina M.: System szybkiej numerycznej analizy podatności wybranych układów aparatu Ilizarowa, Aktualne Problemy Biomechaniki, Gliwice, 2009. [4] Wikłacz M.: Analiza współpracy drutów Kirschnera i grotowkrętów Schanza w aparacie
Ilizarowa, praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, 2007.
ANALYTICAL-EXPERIMENTAL METHOD FOR EVALUATING
AXIAL STIFFNESS OF THE ILIZAROW APPARATUS
Summary. This paper presents an uncommon solution to the problem of acquiring the value of stiffness of the Ilizarow apparatus that consists of Kirschner wires and Schanz screws. The proposed method does not require the application of the Finite Element Method, as the only necessary requirement is the execution of a few basic experiments and calculations. The parameters defining the sensibility of the Ilizarow rings are acquired through the experimental means. A significant improvement in comparison to the earlier works in this field is the derivation of the analytical method for describing the cooperation of Ilizarow rings and the Schanz screws, with regard to the sensibility of all the apparatus' elements.
