ALGEBRA 2 = wykład 2004/5 (matematyka II) Prowadzący: Andrzej Szczepański
Pisał Skrypt: Sławomir Tryc v.04
# - nie dzieli
[1] Grupa G jest rozwiązalna o ile istnieje ciąg podgrup {e} = Gn ⊂ Gn-1 ⊂...⊂ G1 ⊂ G gdzie G1=[G,G]=G’<|G ,..., Gn=[Gn-1, Gn-1] ; ∀i Gi+1 <| Gi oraz Gi/Gi+1 jest abelowa.
Grupa G jest nilpotetna, o ile istnieje ciąg podrup {e} = Gn ⊂...⊂ G1⊂G⊂Go gdzie Gn=[G,Gn-1], t.ż ∀i Gi <| G oraz Gi / Gi+1 ⊂ (G / Gi+1).
[2] Niech IR będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach w IR nazywać będziemy każdy nieskończony ciąg (ao, a1, a2, ...) poczynając od pewnego wskaźnika n wszystkie wyrazy am sa równe 0, t.j. am=0 dla m≥n. Wyrazy ao, a1, a2,.. naz.ws.wiel. Współczynnik ao nazywamy wyrazem wolnym wielomianu. Wielomianem ktorgo wszystkie współczynniki są równe 0 nazywamy zerowym i ozn. symbolem 0. Wielomian (1,0,0,0) nazywamy jedynkowym i oznaczamy 1. Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z pierścienia IR z działaniami dodawania i mnożenia oraz wyróżnionymi wielomianami 0 i 1 jest pierścieniem wielomianów. Oznaczamy jako IR[x].
[3] ciała skończone – jest to ciało o skończonej ilości el. Mają rzad p ^i
...Ciało Galois to ciało zawierające skończoną liczbę elementów. Przykładem ciała o dwóch elementach jest zbiór {0, 1} z dodawaniem i mnożeniem określonymi następująco:
* 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0, 1+0=1 * 0•0=0•1=1•0=0, 1•1=1. W ciele skończonym suma pewnej liczby jedynek ciała musi być równa 0. Najmniejszą liczbę o tej własności nazywamy
charakterystyką ciała. Charakterystyka ciała skończonego jest zawsze liczbą pierwszą. Stąd wniosek, że każde ciało
charakterystyki p>0 zawiera jako podciało ciało Zp i dalej, istnieją tylko ciała skończone o liczbie elementów będącej liczbą pierwszą lub pewną jej potęgą.
Jeżeli F jest ciałem o pr elementach, to: dla Jeśli F ma wymiar n, to F musi mieć pn elementów.
Ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne. Ciała o p^n elementów oznaczamy przez Zp^n,
[4] Algorytm Euklidesa (NWD) zał. f,g∈IR[x],
g-unormowany ; Teza: Istnieją q,r∈IR[x] takie że f = gq+r i degr < degg. dowód: indukcja po stopniu f: g- unormowany => g≠0. ; 2 przypadki: 1’ I krok indukcyjny: a) f- zerowy => 0 = g*0+r => q i r = 0 ; -∞ = degr < 0 ≤ degg ; b) f-niezerowy, ale stopnia 0; f=ao <=> degf=0=degg => g=bo=1 ; ao = 1 ao = 1*ao+0 ; q=ao+f ; r=0. ; c) degf < degg. ; 2’ II krok
indukcyjny: degf ≥ degg ( i że stw. jest prawdziwe. dla stopni f<n) ; n≥degg. ; fo=ao+a1x+...+anx^n ; Wprowadzamy nowy wielomian : f1 = f-anx^(n-degg) *g ; (degf1<n!!) ; stad: f=anx^(n-degg) *g+f1 (*) ; Ponieważ stopień wielomianu f1<n, możemy stosować indukcję. ∃q,r∈IR[x] f1=gq+r (**)
degr<degg ; f=(*)=f1+anx^(n-degg) *g=(**)= q*g +r+anx^(n-degg) *g = (q+anx^(n-degg) )*g+r ; z (**) degr<degg. [] ; Wniosek: wystepuje powyżej wielomian q,r wyznaczone są jednoznacznie. ; Uwaga: Jeżeli IR jest ciałem, to zakładam ze stwierdzenie // zawsze zachodzi.
Tw. Bazaute’a ; IR-ciało. f∈IR[x]. ; a - pierwiastek f <=> (x-a)/f. Dowód: (=>) z alg. Euklidesa ; f=q(x-a)+r , degr<deg(x-a)=1 ; 0=f(a)=r => r=0. ; (<=) (x-a)/f => ∃f1∈IR[x] f=(x-a)f1 => f(a) = 0 [].
[5] def. Niech f:IR1-->IR2 bedzie homomorfizmem pierscieni. Jądrem homomorfizmu f nazywamy zbiór: Ker f = {r∈IR1 | f(r) = 0}.
f:IR1-->IR2 – homomorfizm pierscieni. Ker f jest ideałem pierscienia IR1. dowód: 1’ x1,x2∈Ker f => f(x1-x2) = f(x1) – f(x2) = 0-0 = 0, x1-x2∈Ker f. ; 2’ x1∈Ker f1 ∀r∈IR1 f(x1*r) = f(x1)*f(r) = 0 * f(r) = 0 [].
[6] Każde ciało jest pierścieniem. Nie każdy pierścień jest ciałem. Pierścieniem IR nazywamy grupę abelową z
dodatkowym działaniem * , IRxIR-->IR łącznym i rozłącznym względem + (tzn. wzg. działania w grupie abelowej). Jeżeli to dodatkowe działanie (zwykle nazwane mnożeniem ) ma element naturalny, to oznaczamy go przez 1 i pierścień jest tzw.
pierścieniem z 1. Jeżeli mnożenie jest przemienne, to pierścień nazywamy przemiennym. Ciało – to pierścień przemienny z jedynką, w którym wszystkie elementy różne od zera są odwracalne, 0≠1).
el. x∈IR jest dzielnikiem zera, o ile x≠0 i y≠0, t.że xy=0 ; Odwracalnym ... x≠0, y≠0; xy=yx=1, ozn.IR*. Pierścień P jest ciałem, gdy ∀a∈P\{e,(+)} ∃b∈P a (*) b = e
[7] (Rs,0,1) nazywamy lokalizacją pierścienia IR względem systemu multiplikatywnego S. ; Rs jest pierscieniem. Przykład: IZ=IR, S=IZ\{0} to IZs = IQ
System multiplikatywny S pierscienia przem z 1, IR nazywamy dowolny podzb. IR spełniający war: 0∉S, 1∈S, x,y∈S => x,y∈S Ciało ułamków: Rozpatrzmy zbiór wszystkich par (a,b), gdzie a i b∈IR oraz b≠0. Dwie pary (a1,b1) i (a2,b2) nazywamy przystającymi ((a1,b1)~(a2,b2)), gdy a1b2 = b1a2. ; Relacja przystawania par jest relacją równoważności: 1’ zwrotna dla b=1: ab=ab. ; 2’ symetryczna ; 3’ przech.
Klasę abstrakcji relacji przystawania par zawierającą parę (a,b) oznaczamy zwykle a/b i nazywamy ułamkiem. Z def. rel. przystawania wynika, że para(a,b) przystaje do pary (ad,bd) dla kazdego d≠0, a więc a/b = ad/bd ; def + i * ; 0/1 – uł.zerowy ; 1/1 –uł.jedynkowy. ; ułamki z tak dobranymi el. i dział. tworzą pierscień. ; Przemienność i łączność * i +. ; element przeciwny a/b + (-a/b) = 0/1 ; Otrzymany pierscień jest ciałem, bo : 0/1 ≠ 1/1, gdyż 0≠1 w pier.IR ; Zatem każdy różny od uł. zerowego el. jest odwracalny co oznacza, że jest ciałem. ; a/b * b/a =1/1 [8] Ideał I pierścienia R nazywa się ideałem pierwszym, jeśli z tego, że iloczyn dwóch elementów pierścienia R wynika, że przynajmniej jeden z nich należy do ideału I. Zatem I jest ideałem pierwszym w R , jeżeli ∀a,b∈IR [(ab∈I) => (a∈I \/ b∈I)] Powyższa definicja jest uogólnieniem następującej własności liczb pierwszych: jeśli liczba pierwsza p dzieli iloczyn ab dwóch liczb całkowitych, to p dzieli a lub p dzieli b. Możemy więc powiedzieć, że liczba naturalna p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ideał nIZ jest ideałem pierwszym pierścienia liczb całkowitych IZ. Zbiór wszystkich ideałów pierwszych pierścienia R nazywa się spektrum pierwszym pierścienia R i oz. Spec R
Przykłady: *] W pierścieniu C[X, Y] wielomianów dwu zmiennych o współczynnikach zespolonych ideał generowany przez wielomian Y2 − X3 − X − 1 jest ideałem pierwszym. *] W pierścieniu Z[X] wszystkich wielomianów o
współczynnikach całkowitych ideał generowany przez 2 i X jest ideałem pierwszym. Składa się on z wszystkich tych
wielomianów, w których wyraz wolny jest parzysty.
*] W pierścieniu przemiennym z jednością różna od zera każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym. Jeśli dodatkowo pierścień jest skończony, to każdy ideał jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalny.
Właściwości: *] Ideał I pierścienia R jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy R/I nie zawiera dzielników zera.
*] Każdy niezerowy pierścień przemienny zawiera przynajmniej jeden ideał pierwszy.
*] Pierścien przemienny jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy {0} (ideał zerowy) jest jedynym jego ideałem pierwszym (lub
równoważnie, wtw gdy {0} jest ideałem maksymalnym). W algebrze abstrakcyjnej ideałem maksymalnym pierścienia IR nazywa się taki ideał a różny od całego pierścienia IR , który spełnia warunek: (a⊂b /\ b⊂IR) => (b=a \/ b=IR) dla
dowolnego ideału b.
m⊂IR jest maksymalny <=> IR/m⊂IR jest ciałem. Wniosek: Każdy ideał maksymalny jest pierwszy.
[9] dziedzina – pierścień przemienny z 1 bez dzielników zera. Mówimy, ze dziedzina IR jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, o ile są spełnione następujące warunki: 1’ Każdy, różny od zera, nieodwracalny element jest iloczynem elementów ; 1’ z równości p1p2...ps = q1 q2...qr, gdzie pi (i=1,...,s), qj (j=1,...,r) sa elementami odwracalnymi, wynika, że r=s, i po ewentualnej zamianie kolejności czynników p1~q1, p2~q2 ... pr~qr (~ - stowarzyszone)
[10] Tw. Jeżeli IR jest pierscieniem ideałów gł., to IR[x] jest dziedziną z jednoznacznym rozkładem. Udowodnię najpierw, że jeżeli IR jest dzidziną ideałów gł., to IR jest dz. z jedn.r. Ponieważ IR-dziedzina ideałów gł., to ∀0≠a∈IR gdzie a-nierozkładalny, można przedstawić jako iloczyn el. nierozkł. Pozostało tylko do ud., że każdy el. nierozkładalny jest pierwszy. Niech p/a*b (p-nierozkładalny) Badamy ideały (p*a)=(a1) i (p*b)=(a2). Stąd, że (p*a)=(a1) mamy, że a1/p, ponieważ p-nierozkładalny, bo a1~p lub a1~1 ; Jeśli a1~p to p/a1 a1=p*c ; a=a1*h=p*c*h. stad p/a (koniec) ; Jeśli a1~1 to (p,a)=1. Stąd ∃ x,y∈IR, t.że x*p*r*y*a = 1 /*b => p/b. Mamy zatem dowód Jeżeli IR jest dziedziną ideałów gł. to IR dziedziną z jedn.rozkł. na mocy Tw. Gaussa... [].
[11] Tw. Gaussa. Jeżeli IR jest dziedzina z jednoznacznością rozkładu, to IR[x] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Dowód.0≠f=anx^n +...+ao∈IR[x] ; NWD(ao,...,an) = c(f) – Zawartość wielomianu f ; c(f) – wyznaczyć z dokładnością do relacji stowarzyszenia ~(a~b <=> a/b /\ b/a) ; f⊂c(f)*f ’ ; f ’- pierwotny ; f=a*f ‘ , f ‘ – pierwotny, to a – zawartość
wielomianu f.
[12] Kryterium Einsteina (wn. z Tw. Gausa) IR-dziedzina ideałów gł., K=IR(o) – ciało ułamków tej dziedziny ideałów gł. niech f = an x^n + an-1 x^n-1 +...+ a1x+ao∈IR[x]. Załóżmy ze ∃ nierozkładalny element p∈IR, t.że: p (niedzieli) an i p\ai, i=0,1,...,n-1, p^2 (niedzieli) an. wówczas f-nierozkładalny w K[x], a gdy pierwotny, to f-nierozkładalny w IR[x].
[13] Tw. Lagrange’a (dla gr. skonczonych) Niech G bedzie gr. skończoną, H⊂G podgrupa /*H zawierajace G*/ w tedy: |G| = |H|*[G:H] /* H⊂G, ilosc warstw lewo(p) stronnych
naz. ideksem H w G ; | | - rząd */
dowód: Odwzorowanie H--∅->g*H jest odwzorowaniem jednoznaczym. *„jednoznacznie”: gh = gh’ => h=h’. wobec tego: ∀g mamy : |gH| = |H| . W G mamy [G:H] warstw lewostronnych i każda warstwa ma |H| elementów, wiec: |G|=|H|*[G:H] [].
Dodatki *] Jeżeli rząd grupy G wynosi p gdzie p jest liczbą pierwszą to grupa G jest cykliczna! ; *] Ważne jest również to, że twierdzenie Lagrange'a nie gwarantuje nam, że taka
podgrupa dla danej grupy istnieje. Porównaj twierdzenie Sylowa. [14] sfurmułowac i udowodnic wzory Cordano. x3+px+q=0 ; z2+qz –(p3/27) ; /\ > 0 => 3p. 3xIR różne ; /\ < 0 => 3p. 2xC /\ 1xIR ; /\ =0 => 3p. 1xIR w tym nonajmiej 1 pierwiastek dwukrotny.(...)
[15] Sylowa. Niech G będzie grupą skończoną rzędu p^n *m, gdzie NWD(m,p)=1; i p-l.p
1.grupa G zawiera podgr.rzedu p^n
2. wszystkie p-podgrupy sylowa(rzedu p^n) sa ze soba sprezone. 3. kazda p-podgrupa grupy G rzedu p^l gla 1≤l≤m jest zawarta w podgrupie sylowa. 4. Jeżeli H1 oraz H2 są p-podgrupami Sylowa grupy G, to ∃ automorfizm wewnętrzny ϕ grupy G taki, że ϕ(H1) = H2.
Dowód.
(1) indukcja po |G| (rzedzie grupy).
1’ |Z(G)|≡0(mod p). To oznacza, ze Zp<|G, tzn ze jest gr. rzedu p^k. 2’ |Z(G)| ≡/≡0 (mod p). 1’ |G/Zp| ≤ |G| + indukcja (|G/Zp| {z ind.} = p^(n-1) *m<|G|) ; Sp^(n-1) ⊂G/Zp ; |Spn-1|=p^n-1 ; 0 --> Zp {=Ker p} --> G^P --> G/Zp --> 0 ; -->p^-1 1) -->Sp^n-1 ; 0--> p-1 (Spn-1){=Zp} ∩Zp ; 0--> Zp --> p^-1 (Sp^n-1){szukana podgrupa sylowa} --> Sp^n-1 --> 0 ; |P^-1 (Spn-1)/Zp | = H = = |p^-1 (Sp^n-1)| |Zp| = p^n ; Zp<|G.
Wnioski *] Jeżeli liczba pierwsza p dzieli rząd grupy G, to istnieje w G element rzędu p.
*] Jeżeli p i q są liczbami pierwszymi, p > q oraz |G|=pq, to istnieje w G dzielnik normalny rzędu p. Jeśli ponadto q nie jest dzielnikiem liczby p-1, to grupa G jest cykliczna.
*] Jeżeli liczba pierwsza p dzieli rząd grupy G to liczba p-podgrup Sylowa grupy G jest dzielnikiem rzędu G.
Def. Niech |G| = pn , gdzie (|G| oznacza rząd grupy G), n ≥ 1 oraz p jest liczbą pierwszą, to grupę G nazywamy p-grupą. Niech |G| = pkm , gdzie p nie dzieli m oraz p jest liczbą pierwszą, wówczas każdą grupę H zawartą w G nazywamy p-podgrupą grupy G.
Jeśli |H| = pk , to H nazywamy podgrupą maksymalną lub p-podgrupą Sylowa grupy G.
[16] Co to jest suma prosta grup abelowych? A- grupa abelowa. A jest sumą prostą swoich podgrup A1⊂A, A2⊂A, jeżeli A1+A2=A, A1∩A2={0}; Oznaczamy A=A1(+)A2. [17] Sformułować tw. o postaci skończonych grup abelowych. Każda grupa abelowa jest sumą prostą
(produktem kartezjanskim) skończonej ilości grup cyklicznych skończonych i grup cyklicznych nieskończonych.
dowód: wiemy, że ao=bo*co, p/ao, p2#ao, stąd: p/bo lub p/co. Poniewaz jest to sytuacjia symetryczna, więc możemy załozyć, że p/co . Z zał. p#an = ba*cm => p#cm. Niech cr bedzie współczynnikiem wielomianu h „najdalczymi na prawo“ i takim, że p#cr. ; ar = bo cr + b1 cr-1 +...+ br co ; ponieważ p#bo cr i jednoczesnie p/b1cr-1 +...+ brco, wiec p#ar. []
[18] Pierwiastek wielokrotny. Pierwiastki róznania szesciennego x^3 +px+q=0 sa dane wzorami: x1=y1+y1’ ; x2=Ey1+E^2 y1’ ; x3=E^2 y1 + Ey1’. Liczby y1, y1’ spełniające równość y1^3 =z, y1’^3=z’, gdzie z, z’ są pierwiastkami rezolwenty (r-nia rozwiazującego). z^2 +qz –p^3 /27=0, a y1, y1’ sa tak dobrane, ze y1 * y1’ = -p/3 ;;; x=y-(P/(3)y). Stw. Na to by równanie x3 +px+q mialo pierwiastki wielokrotne
potrzeba i wystarcza, zeby /\=0. (rownanie ma pierwiastki wielokrotne <=> /\=0)
[19] Grupa permutacji Sn n-elem. zb. X – zb. wszystkich 1-1 i na odwzorowań tego zbioru w siebie. Działanie grupowym jest składania odwzorowań. Elementem neutralnym jest
odwzaorowanie identyczniowe f(x)=x. Elem.odwrotnym, odwzorow. odwrotne do niego. Rzad grupy wynosi n, każda permutacjie mozna przedstawic za pomoca iloczynu cykli rozłacznych. Każdy n-elementowy cykl można zapisać za pomocą n-1 cykli transponowanych.
[20] Def. H⊂G podgrupa nazywa sie podgrupą normalną grupy G, jezeli ∀g∈G, gH=Hg piszemy H <| G.
