Parametryczne testy statystyczne

(1)

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna dr Jan Malinowski jmalinowski@uni.lodz.pl

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Testy statystyczne

cz.I

(2)

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski jmalinowski@uni.lodz.pl

Testy średniej

(3)

Testy średniej – M 1

(4)

Testy średniej – M 1

(5)

Testy średniej – M 1

(6)

(7)

Testy średniej – M 2

(nieznana średnia i dyspersja)

Z normalnej,

n

-elementowej próby otrzymujemy

x

_sˆ

testujemy hipotezę,

że średnia w populacji generalnej jest równa pewnej ustalonej á priori wartości

µ

₀

czyli

H

₀

:

µ

=

µ

₀

1 ˆ

0 0

−

=

−

=

n

s

x

n

s

x

t

µ

Tak otrzymane

t

ma rozkład Studenta o

r = n

– 1

stopniach swobody.

Dla dużych

n

(zwykle >30), zmienna t ma rozkład bliski

N

( 0, 1 )

niezależnie od rozkładu populacji generalnej.

Przybliżenie jest dobre zwłaszcza dla rozkładów symetrycznych i dla

t ≤

2 oraz

(8)

Dla poziomu istotności α,

gdy hipotezą alternatywną do

H

₀

:

µ

=

µ

₀

jest

• H

₁

:

µ

≠

µ

₀

- odrzucamy

H

₀

,

gdy | t |

jest większe od kwantyla rzędu (1 –

α

)/2

odpowiedniego rozkładu (

t

lub

N

)

• H

₁

:

µ

>

µ

₀

- odrzucamy

H

₀

, gdy

t

przekroczy wartość kwantyla rzędu 1 –

α

• H

₁

:

µ

<

µ

₀

- odrzucamy

H

₀

, gdy

t

przekroczy wartość kwantyla rzędu

α

Testy średniej – M 2

(9)

Testy średniej – M 2

(10)

(11)

Testy średniej – M 3

(12)

Testy średniej – M 3

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Testy dwóch średnich

(19)

Testy dwóch średnich – M 1

(20)

Testy dwóch średnich – M 1

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Testy dwóch średnich –

nieznane wariancje

– M 3

Zdwu prób normalnych o liczebnościach

n

1 i

n

2 otrzymano średnie <x1>, <x2>

oraz dyspersje

s

1 i

s

2 – bez zakładania równości wariancji.

Hipoteza

H

₀

: <x

₁

> = <x

₂

>

Stosujemy jedno z podanych przybliżeń, których dokładność wzrasta ze wzrostem

liczebności prób:

Przybliżenie Welcha: zmienna

2

1

2

1 δ

δ

+

−

=

x

t

ma rozkład bliski rozkładowi Studenta

o ilości stopni swobody

r

obliczonej ze wzoru:

(

)

1

₂ 4 2 1 4 1 2 2 2 2 1

−

+

−

+

≈

n

r

δ

1 1 1

ˆ

n

s

=

δ

2 2 2

ˆ

n

s

=

δ

gdzie

są średnimi kwadratowymi błędami

estymatorów µ

₁

i µ

₂

(26)

Testy dwóch średnich –

nieznane wariancje

– M 3

Używane jest też inne wyrażenie na

r

– liczbę stopni swobody:

(

)

2

1

₂ 4 2 1 4 1 2 2 2 2 1

−

+

−

+

≈

n

r

δ

Wartość

r

zaokrągla się do najbliższej całkowitej lub, zwłaszcza gdy

r ≤

10 stosuje

się interpolację wartości krytycznych

t

(27)

Testy dwóch średnich –

nieznane wariancje

– M 3

Przybliżenie Cochrana-Coxa:

zmienną testową

t

liczymy jak poprzednio

2

1

2

1 δ

δ

+

−

=

x

t

₁

i

t

₂

są wartościami krytycznymi rozkładu Studenta

dla poziomu istotności α

przy

n

₁

– 1

i

n

₂

– 2

stopniach swobody

dla dużych

n

₁

i

n

₂

( ≥

≥

≥ 30

) zmienna

t

w przybliżeniu Welcha

ma rozkład dążący do

N

( 0, 1 ), niezależnie od rozkładu populacji generalnej.

Przy δ

_i

są znacząco różne, test ten jest równoważny testowi jednej średniej (M 2)

2 2 2 1 2 2 2 1 2 1

δ

+

≈

t

r

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Testy wariancji

(35)

Test istotności dla wariancji – M 1

(

)

∑

=

−

=

−

=

n i i

x

s

n

ns

1 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2

(

1 )

ˆ

1 σ

σ

χ

Populacja generalna ma rozkład

N(

µ

,σ)

o nieznanych parametrach

µ

i σ.

σ

₀

jest hipotetyczną wartością wariancji.

Wylosowano

n

elementów do próby.

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

Test istotności dla wariancji

Zadania – J. Greń

(44)

(45)

Testy dwóch wariancji

(46)

Z dwu prób o liczebnościach

n

₁

i

n

₂ policzono dyspersje S1 i S2; (numerację 1 i 2 mamy taką, abyS₁ ≥ S₂)

Dla poziomu istotności α testujemy hipotezę

H

₀

: σ

₁

= σ

₂

przy hipotezie alternatywnej

H

₁

: σ

₁

≠ σ

₂

Test istotności dla dwóch wariancji

2 2 2 1

ˆ

S

F

₌

Jeśli

H

₀ jest prawdziwa, to zmienna

F

:

ma rozkład FSnedecora o (n₁ – 1, n₂– 1) stopniach swobody; obszar krytyczny prawostronny: odrzucamy hipotezęH₀,

gdy wartośćF jest większa od kwantyla rzędu 1 – α

F

> F

_α

(

)

∑

−

=

k n i k ki k k

x

n

S

2 2

1

k = 1, 2

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

Test wskaźnika struktury

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

Test dwóch wskaźników struktury

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)