Statystyka matematyczna 2. Modele statystyczne
Ćw. 2.1 Przedmiotem badania jest zbiór sześciuset wyprodukowanych przez pewien za- kład żarówek, zawierający nieznaną nam liczbę M żarówek wybrakowanych. W celu jej oszacowania, pobrano losowo 150 żarówek do zbadania. Sformułuj model staty- styczny tego eksperymentu.
Ćw. 2.2 Gracz rzuca piłką do kosza, trafiając do niego z nieznanym prawdopodobień- stwem θ. Zakładamy, że wynik każdego z rzutów nie ma wpływu na wynik pozo- stałych. Gracz rzuca dopóty, dopóki nie uzyska piętnastu trafień. Sformułuj model statystyczny tego eksperymentu.
Ćw. 2.3 Ulubioną książką a% czytelników w kraju jest książka A, b% czytelników preferuje książkę B, zaś pozostali mieszkańcy kraju nie mają swoich preferencji czytelniczych.
Pewien wydawca, chcąc poznać ogólne preferencje czytelników w kraju, postanowił zrobić ankietę. W ankiecie poprosił dwieście losowo wybranych osób o wyjawienie swoich preferencji czytelniczych. Opisz model statystyczny sondażu.
Ćw. 2.4 Pewne urządzenie pracuje dopóty, dopóki nie uszkodzi się któryś z n elementów typu A lub któryś z m elementów typu B. Czas życia każdego elementu typu A jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym E(α), zaś czas życia każdego elementu typu B jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym E(β). Wszystkie te elementy pracują niezależnie od siebie. Obserwujemy czas życia T całego urządzenia. Sformułuj model statystyczny tej obserwacji.
Ćw. 2.5 (Skrypt, Zad. 2.5.2 i 2.5.3) Niech X1, X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1). Wyznacz rozkłady statystyk Y1 = X12 oraz Y2 = X12+ X22.
Ćw. 2.6 (Skrypt, Zad. 2.5.11) Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą z rozkładu Poissona o śred- niej θ > 0. Wyznacz rozkład warunkowy pod warunkiem, że T = t, gdzie T =Pni=1Xi. Wykaż, że T jest statystyką dostateczną.
Ćw. 2.7 (Zieliński, Zad. 4 str. 31) Wyznacz statystykę dostateczną z próby X1, . . . , Xn dla rodziny rozkładów U (θ − 12, θ + 12), θ ∈ R.
