Statystyka i eksploracja danych
6. Testy statystyczne — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 6.1 Dzienne zużycie wody w fabryce podlega wahaniom losowym zgodnie z rozkła- dem normalnym o wariancji σ2 = 196 m6. Na podstawie obserwacji n = 315 dni roku stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi ¯x = 1029 m3. Zweryfi- kuj hipotezę H0 : a = 1000 m3, przyjmując poziom istotności α = 0, 01 i hipotezę alternatywną H1 : a > 1000 m3.
Zad. 6.2 (K. B. D. K. M., t.2, Zad. 3.49 str. 136) Zbadano 10 kawałków stali ze względu na granicę plastyczności (w kG/cm2) i otrzymano następujące wyniki: 3570, 3700, 3650, 3590, 3720, 3710, 3550, 3720, 3580, 3630. Zakładając, że granica plastyczności stali ma rozkład normalny, zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0, że wartość przeciętna granicy plastyczności jest równa 3600, jeśli hipotezą alternatywną jest H1 : a 6= 3600.
Zad. 6.3 (B. M. M. W., t. II, Zad. 2.2.6 str. 123) Utargi dzienne firmy mają rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną i nieznaną wariancją. Sprawdź hipotezę H0 : a = 1000 na poziomie istotności 0,01. Próba losowa o liczebności n = 101 dni dała średnią arytmetyczną utargów 999 zł i wariancję ˆs2 rzędu 25 zł2.
Zad. 6.4 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.15 str. 126) Na losowo dobranej próbie 150 samo- chodów marki „Seat Ibiza” zbadano zużycie benzyny po przejechaniu na szosie trasy 100 km. Średnie zużycie benzyny dla tej próby samochodów wynosiło 7,5 litra przy odchyleniu standardowym 0,9 litra. Norma fabryczna wynosi 7,01 litra na 100 km.
Czy rzeczywiste zużycie benzyny różni się istotnie od normy fabrycznej na poziomie istotności 0,03?
Zad. 6.5 (K. B. D. K. M., t.2, Zad. 3.10 str. 93) Na dwóch różnych wagach zważono po 10 odcinków 100 m przędzy i uzyskano rezultaty w g na 1. wadze: 5,25; 5,98; 5,83; 5,58;
5,35; 5,59; 5,41; 5,81; 5,95; 5,72, na 2. wadze: 5,31; 5,13; 5,64; 5,89; 5,17; 5,18; 5,27;
5,73; 5,08; 5,24. Wiadomo, że wariancja mas stumetrowych odcinków przędzy dla 1.
wagi jest równa σ12 = 0, 06, a dla 2. wagi σ22 = 0, 07. Zakładając, że rozpatrywana cecha (masa stumetrowego odcinka) ma rozkład normalny, na poziomie istotności α= 0, 05 zweryfikuj hipotezę, że wartości przeciętne mas odcinków przędzy uzyski- wane przez te wagi są jednakowe, wobec hipotezy alternatywnej, że są różne.
Zad. 6.6 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.30 str. 131) Spośród firm handlowych zatrudnia- jących do 5 pracowników, funkcjonujących na terenie Szczecina w 1992 roku, wy- losowano niezależnie 10 firm. Otrzymano następujące dane statystyczne dotyczące całorocznych kosztów i obrotów (w tys. zł):
Koszty 53,93 61,29 24,61 30,31 9,51 35,40 54,61 68,64 3,18 13,05 Obroty 58,59 59,53 24,26 35,83 10,30 41,79 58,05 71,97 3,11 13,55
1
Zakładając, że koszty i obroty mają rozkład normalny, sprawdź, czy można uogólnić tezę, że firmy te były dochodowe, przyjmując poziom istotności 0,02.
Zad. 6.7 (K. B. D. K. M., t.2, Zad. 3.73 str. 140) Na egzaminie wstępnym z matematyki na wyższą uczelnię spośród 705 absolwentów techników 450 nie rozwiązało pewnego zadania, natomiast na 1320 absolwentów liceów ogólnokształcących nie rozwiązało tego zadania 517 kandydatów. Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę o jednakowym stopniu opracowania tej części materiału, której dotyczyło zadanie, przez absolwentów obu typów szkół, jeżeli hipotezą alternatywną jest, że absolwenci techników byli słabiej przygotowani z tej partii materiału.
Zad. 6.8 W celu zbadania popularności pewnego teleturnieju telewizyjnego przeprowa- dzono ankietę wśród widzów. Wybrano 1600 osób i zapytano je, czy oglądają teletur- niej. Spośród ankietowanych 500 osób udzieliło odpowiedzi twierdzącej, a pozostałe zaprzeczyły. Na podstawie tych danych, na poziomie istotności 0,02, przetestować hi- potezę, że teleturniej ogląda 30% widzów przeciw hipotezie, że odsetek oglądających jest inny, używając najpierw testu t dla jednej średniej, a następnie testu chi-kwadrat.
Zad. 6.9 Przeprowadzono badanie jakości jajek kurzych pochodzących z pewnej fermy.
Zakłada się z góry, że 2% jajek jest złej jakości. Wylosowano 1200 jajek do zbadania i wśród nich 16 okazało się złej jakości. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że frakcja jajek złej jakości jest równa zakładanej, przeciw hipotezie, że frakcja ta jest inna, używając najpierw testu t dla jednej średniej, a następnie testu chi-kwadrat.
Zad. 6.10 Wykonano 100 prób polegających na rzucaniu monetą do chwili otrzymania pierwszego orła. Poniższa tabela przedstawia otrzymane wyniki.
Liczba rzutów 1 2 3 4 5 6 7 i więcej Liczba prób 44 27 10 9 3 4 3
Wykaż, że otrzymane wyniki potwierdzają hipotezę, że czas oczekiwania na pierwszy sukces w schemacie prób Bernoulliego polegających na rzucie monetą ma rozkład geometryczny z parametrem p = 12. Przyjmij poziom istotności α = 0, 01.
Zad. 6.11 W 1995 roku badanie liczby osób objęło 14 067 gospodarstw domowych. Otrzy- mane wyniki przedstawione są w poniższej tabeli.
Liczba osób 0 1 2 3 4 5 6 i więcej
Liczba gospodarstw domowych 0 701 2218 3690 4682 1827 949 Na poziomie istotności 0,01 testem chi-kwadrat zweryfikuj hipotezę, że rozkład osób w gospodarstwach domowych w 1995 roku był rozkładem Poissona z parametrem 3,6.
2
Zad. 6.12 (K. B. D. K. W., t.2, Zad. 3.20 str. 105) Z populacji, w której badana cecha ma nieznaną dystrybuantę F , pobrano próbkę o liczności 200. Otrzymane wyniki po podziale na 10 równych klas podano poniżej. Na poziomie istotności α = 0, 05, korzystając z testu chi-kwadrat, zweryfikuj hipotezę, że F jest dystrybuantą rozkładu jednostajnego na przedziale (45, 50).
Środek klasy 45,25 45,75 46,25 46,75 47,25 47,75 48,25 48,75 49,25 49,75
Liczebność 23 19 25 18 17 24 16 22 20 16
Zad. 6.13 Korzystając z testu Kołmogorowa, zweryfikuj hipotezę, że następujące dane:
x1 = 0, 18, x2 = 0, 56, x3 = 0, 87, x4 = 1, 37, x5 = 2, 46
pochodzą z rozkładu wykładniczego E(2). Przyjmij poziom istotności α = 0, 05.
Zad. 6.14 Ekonomista analizujący dochody supermarketu zakłada, że są one zgodne z roz- kładem Pareto P a(2, 2) o dystrybuancie 1 − (2/x)2 dla x > 2. Przyjmując poziom istotności 0,1, sprawdź jego założenie o modelu na podstawie danych:
5, 2 8, 8 12, 9 5, 3 9, 5 13, 2 3, 1 15, 3 4, 1 2, 4 11, 0 2, 9.
Zad. 6.15 W pewnym przedsiębiorstwie zbadano rozkład wieku pracowników (w latach) i otrzymano wyniki
Wiek [0,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) [55,∞)
Liczba 6 40 24 25 18 28 25 20 14
Na poziomie istotności 0, 01 testem Kołmogorowa zweryfikować hipotezę, że próba pochodzi z rozkładu jednostajnego na przedziale (18, 65).
Zad. 6.16 (B. M. M. W., t.II, Zad. 3.2.41 str. 222) Struktura ankietowanych według celu podróży w zależności od płci przedstawia się następująco:
Cel podróży Płeć prywatny służbowy
Kobiety 276 117
Mężczyźni 283 247
Czy słuszne jest stwierdzenie, że cel podróży można wytłumaczyć płcią ankietowa- nych (α = 0, 01)?
Zad. 6.17 (B. M. M. W., t.II, Zad. 3.2.43 str. 223) W pewnym szpitalu w celu zbadania, czy okres trwania dolegliwości u pacjentów przed operacją wpływa na sposób opero- wania wyrostka robaczkowego, wylosowano 100 pacjentów operowanych konwencjo- nalnie oraz 100 pacjentów operowanych laparoskopią. Wyniki badań przedstawiono w tabeli:
3
Sposób operowania Czas trwania dolegliwości laparoskopia konwencjonalny
jednodniowe 48 65
dłuższe 52 35
Na poziomie istotności 0,02 sprawdź, czy sposób operowania wyrostka robaczkowego zależy od okresu trwania dolegliwości pacjenta.
Zad. 6.18 (B. M. M. W., t.II, Zad. 3.2.44 str. 224) Firma X w celu dokonania selekcji kandydatów ubiegających się o pracę przeprowadziła test kwalifikacyjny, na podsta- wie którego stwierdzano, czy kandydat nadaje się do pracy, czy nie. Dla 100 losowo wybranych kandydatów wyniki testu były następujące:
Ukończone studia wyższe Wynik testu techniczne ekonomiczne prawnicze
Nadaje się do pracy 14 10 16
Nie nadaje się do pracy 16 25 19
Na podstawie tych wyników sprawdź hipotezę, że między rodzajem wykształcenia a wynikiem testu nie ma związku (α = 0, 05).
Zad. 6.19 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.32 str. 131) Chcąc sprawdzić skuteczność no- wej reklamy, zbadano dzienne utargi (w zł) ze sprzedaży reklamowanego czasopisma w wylosowanych 10 kioskach rozmieszczonych w różnych punktach miasta
Przed emisją reklamy 60 7,5 75 36 37,5 97,5 108 18 15 48 Po emisji reklamy 63 6 82,5 34,5 45 93 120 18 13,5 49,5 Przy α = 0, 02 sprawdź, czy nastąpiła istotna zmiana w wielkości utargów.
Zad. 6.20 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.33 str. 132) Na pewnym straganie warzywnym zbadano średnie ceny 6 produktów (w zł za jednostkę sprzedaży) w maju i czerwcu 1996 roku. Otrzymano następujące wyniki:
Maj 1,80 1,00 0,55 4,60 3,20 0,20 Czerwiec 2,00 1,00 0,50 2,80 3,00 0,15
Czy można powiedzieć, że średnie ceny na tym straganie istotnie zmalały w ciągu tego okresu (α = 0, 01)?
4
