Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych

Pełen tekst

(1)Wit Urban Katedra Informatyki. Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Streszczenie: Artykul przedstawia podstawowe aspekty analizy chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rlCczywi:;;tych z wykorzystaniem podejścia opartego na skalaryzacji wielowymiarowej przestrzeni obserwacji. W tym celu użyto wskainika skonstruowanego na bazie pola rzeczywistej liczby rozmytej. Celem sprawdzenia jego przydatnOŚci zostały przeprowndzone eksperymenty numeryczne z dwoma wybranymi matematycznymi modelami chaosu. Słowa kluczowe: tcoria zbiorów rozmytych, arytmetyka rozmyta, układy nieliniowe, chaos deterministyczny.. 1.. Wstęp. Wykorzystanie do badań nad problematyką chaosu deterministycznego metod teorii zbiorów rozmytych jest propozycją innego podejścia w analizie wskazanego zjawiska. Jest ono oparte na zastąpieniu skalarnych charakterystyk numerycznych w modelach matematycznych chaosu przetwarzaniem numerycznym przedzialów wartości. W ten sposób zadanie odwzorowania procesów rzeczywistych może zostać lepiej zrealizowane z punktu widzenia uwzględnienia wieloaspeklywności zjawisk ekonomicznych w eksperymentach z takimi modelami. Tym bardziej, jeśli w obrębie takich przedziałów zosIanie zdefiniowana gradacja stopnia, w którym elementy modelu wykazują dopasowanie do danych stanowiących podstawę opisu matematycznego. Są to oczywiście założenia stanowiące podstawę proponowanego podejścia i wymagają one weryfikacji w toku dalszych badań. W tym kontekście rzeczywiste liczby rozmyte, mimo heurystycznego kryterium konstrukcji funkcji przynależności, powinny stanowić istotny postęp w pracach nad opisem przebiegu procesów rzeczywistych, w tym także ekonomicznych..

(2) Wit Urban. Podobne zresztą zalety prezentuje sama teoria chaosu deterministycznego, proponująca wykorzystanie matematycznych modeli nieliniowych zamiast upraszczającego podejścia polegającego na Iinearyzacji.W ten sposób u podstaw obu teorii leży podobna filozofia zastosowania zaawansowanych struktur matematycznych do opisu zjawisk świata rzeczywistego, Jest ona ponadto zorientowana na odejście, w pewnym zakresie, od tradycyjnego podejścia wykorzystującego rachunek prawdopodobieństwa, Alternatywną są w takim wypadku deterministyczne modele matematyczne, Ze względu jednak na stopień skomplikowania świata rzeczywistego muszą one spełniać warunek nieliniowości (z punktu widzenia działań w numerycznej przestrzeni skalarnej) i reprezentować wlasność samogenerowania zachowań o charakterze chaotycznym [Kudrewicz 1993], [Schuster 1995], W obu aspektach teoria chaosu oraz teoria zbiorów rozmytych spelniają wskazane zalożenia, Jednak połączenie i wykorzystanie narzędzi obu teorii jest także źródłem istotnych problemów analitycznych, Dotyczą one przejścia z analizy skalarnej na bardziej zaawansowaną, ale i co za tym idzie bardziej skomplikowaną numerycznie analizę przedziałową. Możliwe są w takim przypadku dwa rozwiązania.. Pierwsze z nich wykorzystuje skalaryzację operacji upraszczającej analizę danych wielowymiarowych. Tego typu zabieg wiąże się z reguły z utratą czę ści informacji o przebiegu modelowanego zjawiska. Możliwa jest jednak konstrukcja wskaźnika, która minimalizuje te straty. Innym rozwiązan iem jest stworzenie narzędzi wielowymiarowej analizy chaosu deterministycznego w rozmytych szeregach czasowych. Jednym z narzędzi wspomagających ten proces jest konstrukcja odpowiednich metod prezentacji graficznej. . Celem niniejszego opracowania jest przedstawienie propozycji rozwiązania problemu skalaryzacji danych rozmytych w kontekście analizy zjawiska chaosu w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych.. 2. Założenia skalarnel analizy chaosu w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych W związku z badaniami zjawiska chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych zostały przeprowadzone eksperymenty numeryczne z dwoma wybranymi dla tego celu równaniami chaosu: XI + 1=. 2xt-1. xl + 1= kx/l-x). (1). (2). Równania te generują szeregi czasowe o charakterze zgodnym z definicją chaosu deterministycznego. Wedlug jednej z nich, przedstaw ionej w pracy [Inteligentne ... 2000], przez chaos należy rozumieć ruch nieregularny, otrzy-.

(3) ie do. chaosu. many z układu nieliniowego, w którym ewolucję stanu układu w czasie określa prawa dynamiki, przy czym znana jest wcześniejsza historia tego układu. Wybór określonych ukladów nieliniowych zostal spowodowany przez dążenie do uzyskania rozmytych szeregów czasowych, w których wartości odpowiadające największemu poziomowi funkcji przynależności dła kolejnych liczb tych szeregów należalyby do przedzialu <-l. I>. Takie założenie zostało przyjęte dla uproszczenia dalszej analizy. Przy wykonywaniu wspomnianych eksperymentów numerycznych zostały wykorzystane działania arytmetyki rozmytej w [Kaufman 1985] oraz opracowane dla tych działaIl algorytmy numeryczne przedstawione w pracy [Urban 1999]. Konsekwencją tego wyboru staly się również dalsze założenia dotyczące sposobu reprezentacji rzeczywistej liczby rozmytej odnośnie: - wierzchołkowego zapisu funkcji przynależności liczby, - aproksymacji funkcji przynależności liczby rozmytej poprzez złożenie funkcji liniowych, - zawężenie obszaru reprezentacji funkcji przynależności w działaniach arytmetycznych do przedziałów dziedziny, w których przyjmuje ona wartości różne od zera, określanych terminem przedziałów zdefiniowania funkcji przy-. ją. należności.. Ich wynikiem jest sposób zapisu liczby nałeżącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych (N(R )) oparty na ogólnej zasadzie wynikającej z definicji zbioru rozmytego według Zad eh a [1 977]. Przedstawia go wzór (3). x. N(R). ="/L:". 1. -'L '''N(R). (x. .)Ix. "N(Rj'. ,w(Ri. (3). gdzie:. W przyjętej zasadzie zapisu widoczne jest odwolanie do singletonów rzeczywistej liczby rozmytej na wzór zbioru rozmytego. Dla odróżnienia, zgodnie z zasadami zaproponowanymi w [Urban 1999], taką parę współrzędnych wierzchołka funkcji przynależności poprzedza znak tyldy. Wadą przyjętego podejścia są jednak ujawniające s ię w praktycznym wykorzystaniu istotne problemy numeryczne arytmetyki rozmytej, obejmujqcej w odniesieniu do przetwarzania komputerowego: - gwałtowny przyrost liczby wierzchołków opisujqcych rozmyte argumenty, w kolejnych iteracjach modelu matematycznego i wynikające z tego faktu utrudnienia dla operacji zmiennopozycyjnych oraz przekraczanie Ihnitów dostępnej pamięci operacyjnej, - szybkie osiąganie dopu szczalnych zakresów liczb rzeczywistych przez granice przedziałów zdefiniowania funkcji przy należności rozmytych argumentów iterowanych modeli ..

(4) Wit Urban. Z tego też względu wspomniane algorytmy numeryczne działań arytmetyki rozmytej zostały uzupełnione o wykorzystanie filtra aproksymująco-przeskalo wującego. Jego zadaniem w eksperymentach symulacyjnych było ograniczenie występowania wymienionych zjawisk. Szczegółowe zasady konstrukcji filtra zostały przedstawione w pracy [Wołoszyn, Urban 2001]. Wykonane eksperymenty numeryczne z modelami(l) i (2) pozwoliły na uzyskanie danych do analizy w formie rozmytych szeregów czasowych, zgodnie z definicją (l).. Definicja l. [Song i wsp.1995]. Niech Y(t) E N(R),gdzie t E T= { ... ,O, 1,2, ... } oraz na Y są zdefiniowane zbiory.f;(t) Ci = l, 2, ... ) tworzące szereg F(t), wówczas F(t) jest rozmytym szeregiem czasowym dla Y(t), t E T. Stały się one podstawą skalarnej analizy zjawiska chaosu w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. W celu zrealizowania takiego podejścia został skonstruowany wskaźnik umożliwiający skalaryzację wielowymiarowych danych rozmytych. Zasadę jego budowy oraz wykorzystania przedstawiono w następnym rozdziale.. 3. Skalarna analiza zlawlska chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Podstawowym problemem wykorzystania teorii zbiorów rozmytych jest wielowymiarowy charakter obiektów rozmytych. Przyjmuje on w odniesieniu do rzeczywistych liczb rozmytych nawet postać odwołania do całej przestrzeni liczb rzeczywistych. W takim układzie każda analiza tego typu danych zorientowana na postawienie konkretnych wniosków, z reguły operujących skalarami, musi rodzić istotne trudności. Pewną próbą ich rozwiązania jest skalaryzacja wyników eksperymentów numerycznych z wykorzystaniem liczb rozmytych przy pomocy konstrukcji odpowiedniego wskaźnika. Dla celów badań zjawiska chaosu w przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych wydaje się, że podstawą jego budowy powinno być pole obszaru pod funkcją przynależności dla całej liczby lub wybranego przedziału zdefiniowania, zwane dalej krótko polem liczby rozmytej. Ogólny wzór na pole obszaru Px pod funkcją przynależności przyjmuje następującą postać:. Pxt =. dla X, E. N(R). A. fil,.. •t. Ilx t : {x,. t. (4). (x,. / )dxxt. :x,. •t. E. R}. --7. < 0,1 >. Ze względu na przyjęte w opracowaniu założenia: - aproksymacji funkcji przynależności dowolnej rzeczywistej liczby rozmytej przy pomocy złożenia funkcji liniowych,.

(5) · do. allalizy chaosu deterministycZllego .... - zawężeniu obszanl zdefiniowania z calej przestrzeni liczb rzeczywistych do przedzialu, w którym funkcja przynależności przyjmuje wartości rÓżne od zera, powyższy. wzór ulega II-l. Px,._ =~( l_l. x. następującemu przekształceniu: Xt, N(R)i +. f. 1. _ XXt,N(R)i. (a X,.N(R)'.,XX,.N(R) + bX,.N(R)'.) d Xx,.N(R)). (5). dla x, E. N(R). "x"N(R). ". = i~l. -l1x,.N(R) (X" ,.N(R)i)lxx',N(R)1. gdzie:. oraz 'J (XX,.N(R) E < Xx,. N(R)i' XX,.N(Ri + I >, i = l , ... , II - l) I1x,.N(RF'x,.N(R») =. =ax'.N(R) IXx,.N(R) +bx /.N(R)'. Oczywiście wykorzystanie zlożenia funkcji liniowych do aproksymacji przynależności znakomicie redukuje problemy numeryczne. Podstawową zaletą pola obszaru pod funkcją przynależności jako wskaźnika umożliwiającego skalarną analizę rozmytych szeregów czasowych jest objęcie. funkcji. swym zakresem calej liczby, a nie tylko wybranych jej aspektów Uak to jest np. Z wartościami liczby rozmytej, dla których funkcja przynależności przyjmuje określony poziom). W przypadku badalI nad chaosem deterministycznym w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych wskaźnik oparty na polu liczby tworzy skalarny szereg czasowy jako uproszczony obraz rozmytego szeregu czasowego. Jest on o tyle istotny, że pokazuje dynamikę obszaru , w którym funkcja przynależności charakterystyki rozmytej przyjmuje wartości różne od zera. W ten sposób można analizować rozwój liczby rozmytej w przestrzeni liczb rzeczywistych i zwiększający się wraz z nim przedział dopuszczalnych wartości (wedlug kryterium funkcji przynależności) reprezentowanego przez nhl parametru. Jest to oczywiście naturalny przejaw chaosu dotyczący każdej badunej wielkości, a związany ze zwiększaniem się liczby iteracji eksperymentu numerycznego z wybranym modelem matematycznym. Należy przy tym zwrócić uwagę, że liczby rozmyte są z tego powodu w sposób naturalny predestynowane do rejestracji chaosu. Jest on niejako automatycznie wpisany w każdy matematyczny model oparty na arytmetyce rozmytej . Z tego też względu analiza zjawiska chaosu w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych ma szcze-.

(6) Wit Urban. gólnie istotne znaczenie, a pole obszaru liczby rozmytej. może stanowić. pomocny. wskaźnik.. Podstawowym problemem związanym z bezpośrednim wykorzystaniem pola liczby dla celów analizy jest jego zdążanie do nieskończoności przy zwiększaniu liczby przebiegów w eksperymentach symulacyjnych. Dlatego też wygodniejszym w zastosowaniu jest wskaźnik będący odwrotnością pola. Drugą istotną z punktu widzenia analizy badawczej własnością szeregu czasowego pól liczby utworzonego w eksperymencie symulacyjnym są duże wahania pomiędzy kolejnymi wartościami. W takich wypadkach należy wykorzystać przekształcenie logarytmiczne lub wykładnicze podstawowego wskaźnika (odwrotności pola liczby). Skonstruowany według powyższych zasad wskaźnik został wykorzystany do rejestracji i badania zjawiska chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. W tym celu zostały także wybrane dwa podstawowe równania opisane wzorami (1) i (2). Dla każdego z modeli przeprowadzono serie eksperymentów uwzględniających różne warunki początkowe. Każdorazowo zastosowano filtr aproksymująco-skalujący. 3.1. Eksperymenty z modelem (1). Dla modelu (1) przeprowadzone zostały dwie serie eksperymentów. W pierwszej wartość rozmyta została przyporządkowana wyłącznie zmiennej stanu x, jako wielkość początkowa (6). (6). Rys. 1. Wykres rozmytych wyników rzeczywistych otrzymanych w 100 iteracjach modelu (I), rozpatrywanych w zawężonym przedziale zdefiniowania funkcji przynależności tych liczb <-1, l> Źródlo: opracowanie własne..

(7) , do. chaosu. 7 6 5. 4 3 2. ,III. o O. Rys. 2. Wykres modelu (I). I I I I. 50. l I I I 100. I. l I I l I I 111,1 ,1,1 150. wskażnika odwrotności. 200. 250. I. l l • I 300. I •• I. 350. I I 400. pola liczby rozmytej otrzymany dla 400 iteracji. Źródło: oprucownnic własne.. Dzięki wykorzystaniu filtra aproksymująco-skalującego dla tak zdefiniowanych warunków eksperymentu numerycznego przeprowadzono 400 iteracji modelu matematycznego. W rezultacie uzyskano wyniki rozmyte, które byly rozpatrywane dla uproszczenia analizy w jednolitym dla całego szeregu czasowego zawężonym przedziale zdefiniowania funkcji przynależności liczb rozmytych <-1, I> (rys. 1). We wskazanym przedziale funkcja przynależności osiąga wartości bliskie maksimum dla otrzymanych elementów rozmytego szeregu czasowego. Uwzględniając wskaźnik odwrotności pola liczby rozmytej dla otrzymanych iteracji modelu (I) otrzymano rozmyty szereg czasowy, który przedstawia wykres na rys. 2. Po odrzuceniu pierwszych dziesięciu obserwacji bardziej widoczne stają się wahania jego przebiegu (wykres na rys. 3). Zwracając uwagę nieliniowości uzyskanych danych oraz występująca w ich ramach regularność. Periodyczność ta przyjmuje jednak postać powtarzających się nieregularnych przebiegów. Ujawnia to wykres na rys. 3, przygotowany ella mniejszej liczby obserwacji. Ta cecha wydaje się w pewnym zakresie zaprzeczać występowaniu zjawiska chaosu w badanym przypadku . Oczywiście uwzgl ęd niając wyróżn iki określone dla przestrzeni liczb rzeczywistych. Wydaje się jednak, że w przypadku rozpatrywania zjawiska chaosu deterministycznego w zbiorze rozmytych liczb rzeczywistych należy przyjąć odmienne zalożenie. Jest ono naturalną konkluzją wynikającą z porównania wielkości rzeczywistych i ich rozmytych odpowiedników. Jak to już zostalo wspomniane, operując wielkością rozmytą przetwarzanie modelu chaosu ma charakter przedziałowy . W tym kontekście skalarne wielkości rzeczywiste mogą być traktowane jako szczególne skladowe odpowiedników rozmytych . Dalszym wnio-.

(8) Wit Urban. skiem jest proste stwierdzenie faktu, że chaotyczne zachowania generowane przez równania chaosu w zbiorze liczb rzeczywistych są w istocie wyodrębnio nymi aspektami określonego zbioru procesów rozmytych.. 7. 6. fi. 5 4. 3. l-,. 2. \. o. o. "". ./'A. ./'A 10. 20. 30. ./'A 40. /. 50. Rys. 3. Wykres wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej otrzymany dla 50 iteracji i modelu (I) Źródło: opracowanie własne.. Celem udowodnienia tej tezy można wykorzystać prosty schemat przekształ cenia dowolnej wartości skalarnej do postaci rzeczywistej liczby rozmytej. Opiera się on na zasadzie przyporządkowania wartości 1 funkcji przynależno ści w punkcie przestrzeni liczb rzeczywistych określonym przez skalar oraz zero dla pozostałych jej elementów. Tak więc każda liczba np. rzeczywista ma swój niejako podstawowy odpowiednik rozmyty. Idąc dalej, można też stwierdzić, że dowolny skalar ma więcej takich odpowiedników, przyjmując za podstawę ogólną definicję rozmytych liczb rzeczywistych. Wynika z niej, że każda wartość ze zbioru liczb rzeczywistych reprezentuje niejako inny "skalarny aspekt" dla danego elementu przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Sformalizowane określenie tego terminu zawiera poniższa definicja.. Definicja 2. Dla każdego x. E N(R) i dla każdego Xx ER, XX jest skalarnym aspektem x, o wadze określonej przez wartość funkcji przynależności w punkcie Xx - ux(x) co oznaczamy:. Patrząc z drugiej strony, przedział zdefiniowania rozmytej wartości startowej modelu chaosu (I) jest zbiorem skalarów, dla których można wykonać osobne eksperymenty symulacyjne z tym samym równaniem. W tym konkretnym przypadku zostały one przeprowadzone dla wartości 0,1,0,2,0,3,0,4 i 0,5..

(9) Wprowadzenie do skalarnej. chaosu. 4~--------------------------------------,. 3. o -l -2~----------------------------------------~. - - - 0,1. - - - - - 0,2. .......... 0,4. -- . -- . 0,5. ........... 0,3. rozmyty punkt startowy. Rys. 4. Wykresy przebiegów 400 iteracji modelu (I) dla wybranych punktów skalarnych oraz pola liczby rozmytej dla wartości startowej należącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Źródlo:. opracowanie własne .. - - 0,1. - - - - - 0,2. .......... 0,4. -- . -_ . 0,5. ........... 0,3. rozmyty punkt startowy. Rys. 5. Wykres przebiegów 100 iteracji modelu (I) dla wybranych punktów skalarnych oraz pola liczby rozmytej dla wartości startowej należącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Źródło: opracowanie własne.. Porównanie przebiegów dla wymienionych wartości skalarnych w kolejnych iteracjach modelu (l) oraz ich zestawienie z wykresem zmian pola liczby przy rozmytej wartości startowej (6) przedstawiają wykresy na rys. 4 i 5. Oba.

(10) Wir Urball. wykresy wskazują, że nalożenie nieregularności w przypadku skalarnych wielkośc i startowych może prowadzić w rezultacie do cykli periodycznych. Teza taka oczywiście wymaga potwierdzenia przy pomocy dalszych badań. Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że w ramach przedzialu zdefiniowania startowej wartości rozmytej można wyróżnić nieskończenie wiele różnych aspektów skalarnych. Natomiast w eksperymentach wykorzystano tylko pięć punktów. Z tego też powodu uzyskane wyniki zostały obarczone błędem aproksymacji ogólnej tendencji wahań pola liczby rozmytej w iteracjach modelu (I) z rozmytą wartością startową, przez wzajemne nalożenie na siebie przebiegów wartości generowanych w oparciu o wskazane wielkości rzeczywiste. Można jednak zauważyć, że przedstawiona koncepcja, według której nieregularności chaotycznych procesów w przestrzeni liczb rzeczywistych dają w rezultacie regularność obrazu chaosu deterministycznego w zbiorze rzeczywistych liczb rozmytych znajduje pewne uzasadnienie zwlaszcza na wykresie na rys. 5. Daje się także zauważyć pewne przesunięcie zlożenia przebiegów modelu (I) dla wartości skalarnych w stosunku do wahań pola liczby rozmytej dla ukladu eksperymentu z rozmytym punktem startowym. Tak więc można przypuszczać, że przynajmniej w omawianym przypadku wplyw chaotycznych zachowań obserwowany dla aspektów skalarnych występuje z pewnym opóź nieniem czasowym w odnisieniu do badanego procesu (skladowej rzeczywistych aspektów skalarnych). Zarysowana koncepcja wydaje się znajdować także uzasadnienie na gruncie teoretycznym. Można bowiem przypuszczać, że rozwój procesu według definicji modelu (1) w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych powinien prowadzić w efekcie do zdqżania pola liczb rozmytych, tworzących powstały w ten sposób szereg czasowy, do nieskończoności. W przypadku rozważania odwrotności pola granicą jest oczywiście zero. W tym drugim przypadku jest oczywiste, że uwzględniając nieliniowy charakter modelu (l) zbieżność ta z praktycznego punktu widzenia powinna po począt kowym przyspieszeniu ulec zwolnieniu i stabilizacji (w tym także jeśli chodzi o wspomniane przyspieszenie) na poziomie bliskim wielkości granicznej. Oznacza to, że nieregularne zmiany składowych aspektów skalarnych procesu rozmytego powinny się w pewnym sensie kompensować i uzupelniać, dając w efekcie wspomnianą stabilizację z możliwymi regularnymi w takim kontekście wahaniami. Wszelka nieregularność by laby w takiej sytuacji niezgoclna z domniemaną zbieżnością badanego szeregu czasowego pól liczb rozmytych. Potwierdzenie lub obalenie przedstawionych tez ma istotne znaczenie z punktu widzenia definicji zjawiska chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Z analizy heurystycznej można wyciągnąć wnioski, że jego wyróżniki mogą być jakościowo różne w stosunku do sytuacji, gdy rozważania zawężone zostaną tylko do zbio1'll liczb rzeczywistych. Jedną z dróg służących sprawdzeniu poprawności takiego podejścia są eksperymenty numeryczne..

(11) Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu. W tym też kontekście zostały zmodyfikowane warunki startowe dla modelu (1). Rozmyty punkt startowy został uzupełniony przez parametry należące do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. W rezultacie otrzymano układ eksperymentu opisany wzorem (7):. (7). xt+]=ax?-b gdzie:. x" a, b E N(R) oraz X. o = -0/0,1 vl/0,3 + -0/0,5 a = -011,5 + -1/2 + -012,5 b = -0/0,5 viII vOIl,5. Otrzymany szereg czasowy dla wskaźnika wykresy na rys. 6 i 7.. odwrotności. pola liczby rozmytej. prezentują. 6.-------------------------------------~. 5+-------------------------------------4 4 +----------------------------------------1 3+-------------------------------------~. 2+-------------------------------------~. o. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. Rys. 6. Wykres wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej otrzymany dla 400 iteracji modelu (l) w układzie eksperymentu numerycznego (7) Źródło: opracowanie własne..

(12) Wit Urban. -,,-. IM ,.,..fi, -10. w. N...1. 30. f.ANN.A 50. 70. AlA. A. 90. ~. 110. !lA. A. 130. 150. Rys. 7. Wykres wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej otrzymany dla 150 iteracji modeln (I) w układzie eksperymentu numerycznego (7) Źródlo: opracowanie wlnsnc.. R6wnież i w tym przypadku regularność wahalI przebiegu wartości jest wyraźna. Ma ona jednak charakter zdecydowanie bardziej zlożony w porów-. naniu z wynikami eksperymentu dla skalarnych parametrów modelu (1). Tego typu zmiany należało jednak oczekiwać uwzględniając fakt, że wynikowy proces rozmyty jest złożeniem większej ilości skladowych aspekt6w skalarnych. Pochodzą one nie tylko od zmiennej modelu, ale także parametr6w. Wprawdzie wartość tych ostatnich nie ulega zmianie, ale mogą one istotnie modyfikować wplyw wynikający właśnie ze zło żenia aspektów zmiennej modelu. Potwierdzają to zresztą obydwa wykresy. 160 ,----------------------------------------, 1401r----------------------------------------~ 120~------------------------------------------__1. IOOlr---------------------------------------1 80~----------------------------------------~. 60,.----------------------------------------1. 40lr---------------------------------------1 W,~----------------------------------------~. O~--~--~--~--~--~--~~--~~ o 100 200 250 350 50 150 300 400 Rys. 8. Wykres ogólnej tendencji wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej dla iteracji modelu (1) przy warunkach początkowych (7), uzyskany przy pomocy przeksztalceni a wykładniczego Żr6dło:. opracowanie wlnsnc..

(13) do skalarnej analizy chaosu deterministycznego ... Należy także stwierdzić, że wskaźnik po początkowym szybkim spadku wykazuje wyraźną tendencję do stabilizacji. Staje się ona szczególnie dobrze widoczna przy wykorzystaniu przekształcenia wykładniczego wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej. Ilustruje to wykres na rys. 8. Tak więc druga z serii eksperymentów w odniesieniu do modelu (I) potwierdziła wnioski wyciągnięte na podstawie pierwszej. Nie jest to oczywiście warunek wystarczający dla ich zakwalifikowania do zbioru wyróżników chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Jest jednak w jakimś zakresie zawęże niem obszaru poszukiwanych rozwiązal\ tego problemu. Temu teź celowi zostala podporządkowana analiza procesów rozmytych, generowanych przez równanie logistyczne, przy uwzględnieniu różnorodnych warunków startowych.. 3.2. Eksperymenty z modelem logistycznym (2) Model logistyczny opisany równaniem (2) został poddany czterem seriom eksperymentów. Dla kaźdego z nich przyjęto ten sam punkt startowy w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, określony zapisem 6. W trzech pierwszych seriach wykorzystano skalarny parametr k o różnych wartościach wybranych na podstawie obserwacji zjawiska chaosu w szeregach czasowych generowanych przy pomocy równania logistycznego w przestrzeni liczb rzeczywistych. W każdym z tych eksperymentów przeprowadzono 400 iteracji. Celem prezentacji na wykresach występujących wahań w przebiegach danych z uzyskanych szeregów wyeliminowano trzy pielwsze obseJwacje. Dla watlości: parametru k = 3,7, k = 3,8, k = 3,9.. 0,1 0,09 0,08 ++-+ł+H-H-H-+l--++H+H-f+Ht++-H-t+-ł+-I-I+t+lH+H-f-l. +----------------------1. 0,07 +I-+H+++-+-I-H-I-1-I++-+-+H-I-+t+I+t-HH-l-+-HH-+l-H-t+tH 0,06 +I-+H+++-+-I-H-I-1-I+-H-+H-IH-t+l+t-HH-l-+-HH-+l-H-t+tH 0,05 +I-+ł+H-H-H-HH+H+++I-HH++ł-"H-+++++-H-+HH-t++l-ł 0,04 ++-tłtH-H-H-+l--++H+H-f-t-l'Htttf-H-tt-ł+-I-H-t+ll+tttł-fl 0,03 tł-H1Hl-tł-H++I--+tH-lH-H-I-łH+tłII-HHH-I-ł++I-+h!+l-tH-łI. 0,02. -łt-lHIi1f-+-H-HH+-ł-H-H-+t+łHt-łH1f-t-HH-H+-HH-WH-ł1-l1+HI. 0,0 I 1\Ir-Hłl+H-H-HHłH+Hii+łHif·łHHI+HH-Il-łH-iHHHHtłHHHł o~lliDU4UliULĄa~~LftlliU4U~UY~uu~~~~~~. o. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. Rys. 9. Wykres przebiegu wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej w 400 iteracjach modelu (2) przy wartości parameJru k = 3,7 tr6dło:. opracowanie własne,.

(14) Wit Urban. 0,09 0,08 0,D7 0,06. 0,05. 0,04 0,03 0,Q2 0,01 O O. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. Rys. 10. Wykres przebiegu wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej w 400 iteracjach modelu (2) przy wartości parametru k = 3,8 Źródło: opracowanie własne.. 0,08 0,Q7 0,06 0,05 0.04 0,Q3 0,Q2 0,01 O O. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. Rys. II. Wykres przebiegu wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej w 400 iteracjach modelu (2) przy wartości parametru k = 3,9 Źródlo:. opracowanie własne.. Nawet pobieżna analiza wykresów w punktach a, b, c wskazuje na istotną tendencję wzrostową, jeśli chodzi o częstotliwość wahań przebiegów wskaźnika odwrotności pola liczby w wyniku zwiększania parametru k, Istotną ich cechą jest także, w porównaniu do wyników clla modelu (1), trudniejsza clo identyfikacji periodyczność, wymagająca dużej liczby iteracji w ramach pojedynczego eksperymentu numerycznego. Podobna jest jednak stabilizacja zbieżności odwrotności pola liczby rozmytej do zera na pewnym, praktycznie bliskim zera, poziomie dla obu typu równań..

(15) - do skalamej. chaosu. 1.2 - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,. 0,8 0,6 0,4 O,2+-------~---~-~----~~~~. ________ ____ O 24 47 70 93 116 139 162 185 208 231 254 277 300 323 346 369 392 - - 0,1 - - - - - 0,2 _.... _._ .. - 0,3. O~~~~~~~~~. .. . _----,- 0,4. -- . --. ~~~. ~. rozmyty punkt startowy. 0,5. Rys_ 12_ Wykres przebiegów 400 ileracji modelu (2) (warlość parametru k = 3,7) dla wybranych punktów skalarnych oraz odwrotności pola liczby rozmytej dla wartości startowej nale żącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych źródlo: opracowanie własne.. 1,2,-----------------------, .... 0,4 . I. 0,2. i','. A./\. A. A. 'i I. 1. ~I. ~. A. A. V. ~ i. ' ~'. I I l \ : \: \' I \ +---~--~~----~--~-----'--~. l. 3 5 7 9 l l 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 - - - 0,1 - - - - - 0,2 ...... _... - 0,3 "-"-"-- 0,4. -- - -- -. 0,5. rozmyty punkt startowy. Rys_ 13_ Wykres przebiegów 50 iteracji modelu (2) (wartość parametru k = 3,7) dla wybranych punktów skalarnych oraz odwrotności pola liczby rozmytej dla wartości startowej należącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Zródlo: 0l'nlcowlIIlic własne..

(16) Wit Urball. 1,2 - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,. 0,8 0,6 0,4 0,2 O~. ____~__~~~~~~~=_~~~~~. ° 24. 47 70 93 116139162185208231254277 300323346369392 - - 0,1. - - - - - 0,2. ........... 0,3. --.~-.-- ... --. -- . 0,5. -. 0,4. rozmyty punkt startowy. Rys. 14. Wykres przebiegów 50 iteracji modelu (2) (wartość parametru k = 3,8) c1la wybranych punktów skalarnych oraz odwrotności pola liczby rozmytej dla wartości startowej należącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Źródło: opracowanie własne.. 1,2. 0,8 0,6 0,4 0,2. °. l. 3 5 7 9 II 13 15 17 192123252729313335373941434547 - - - 0,1. - - - - - 0,2. ........... 0,3. .......... 0,4. -- . -- . 0,5. -. rozmyty punkt ,taltowy. Rys. 15. Wykres przebiegów 50 iteracji modelu (2) (wartość parametru k = 3,8) dla wybranych punktów skalarnych oraz odwrotności pola liczby rozmytej dla wartości startowej należącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Źródło: opracowanie własne..

(17) Wprowadze/lie do skalarllej (walizy chaosu deterministycznego .... 1,2,-------------------------,. 0,8 0,6 0,4. 0,2. O~----~--------~--~----------~~ 22 43 64 85 106127148169190211232253274295316337358379. °. - - 0,1. - - - - - 0,2. .......... . 0,3. .......... 0,4. -_. -_ . 0,5. - - - rozmy ty punkt startowy. Rys. 16. Wykres przebiegów 400 iteracji modelu (2) (wartość parametru k = 3,9) dla wy· branych punktów skalarnych oraz odwrotności pola liczby rozmytej dla wartości starto· wej należącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Źródło: opracowanie własne.. 1,4 . , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,. 1,2. +\---------------------1. 0,8 t-\+iłrf.l-Afllt-:i'rlW'tii.AJ. ~M:~Mlttf 0,6 t-i'iHłl4-i'Vl-J,;H-j'IW'/I'i "J'l'f'ł-tłlllf-H' . 0,4 +-i1~~'-+Ii+l~'+.i1ą.A,'_f.lA~IiłI!__+i'ltJliW,'i+_P.:\IH~4_t\f4l__1. 0,2. -ł-'i'-+-~_fI\;H-'-I--'+-I--__f;;_"i__8r,W!'I-'_+1i'--tl_~-V!-+tH. O +.TT~nrnn~~TT"rrnn~~TTTTrrnn~TTTT~M. l 3 5 7 911131517192123252729313335373941434547 - - - 0,1. - - - - - 0,2. ........... 0,3. .......... 0,4. -- . -_ . 0,5. -. rozmyty punkt startowy. Rys. 17. Wykres przebiegów 50 iteracji modelu (2) (wartość parametru k = 3,9) dla wybranych punktów skalarnych oraz odwrotności pola liczby rozmytej din wartości startowej należącej do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Żródło: opracowanie własne..

(18) Wir Urban Określony typ regularności reprezentowany przez wykres badanego wskaź nika należy oczywiście wiązać z przyjętym w modelu ukladem nieliniowym oraz warunkami startowymi iteracji. Kolejnym problemem badanym dla równania logistycznego byla konfrontacja przebiegów odwrotności pola liczby rozmytej oraz wyników generowanych przez model (2) dla wartości startowych należących do przestrzeni liczb rzeczywistych. Stanowiły one zarazem wybrane skalarne aspekty startowej wielkości rozmytej określonej wzorem 6. Podobnie jak dla modelu (2), wybrano wielkości 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 i 0,5. W celu ulatwienia analizy na poniższych wykresach przebieg odwrotności pola zostal przesunięty o jeden względem osi odciętych.. Przedstawione wykresy wskazują na dużo większy stopień trudności analitycznej cechujący równanie logistyczne w porównaniu z modelem (l). Duże znaczenie w omawianym przypadku ma także przyjęta wartość startowa, której specyfika dotyczy zwlaszcza modelu (2). Jednak przy zwróceniu szczególnej uwagi na wykresy zawierające mniejszą liczbę iteracji wydają się możliwe wzajemne dopasowania porównywanych wykresów zależności. Oczywiście przyporządkowanie takie musi uwzględniać przesunięcia w czasie przebiegów odwrotności pola w stosunku do złożenia ruchów chaotycznych wartości skalarnych oraz możliwość wzajemnej kompensacji wahał] tych ostatnich. Wydaje się jednak, że przedstawione rozważania wskazują na potencjalnie duże moż liwości badania relacji zachodzących pomiędzy zjawiskiem chaosu w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych a dynamiką aspektów skalarnych. Dużą pomoc w zakresie takiej analizy może dostarczyć wskaźnik oparty na odwratności pola liczby rozmytej. Należy jednak przy tym pamiętać, że chaos w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych nie jest prostym złożeniem tego zjawiska w obrębie aspektów skalarnych. Dlatego też analiza problemu relacji dynamiki chaosu w dwóch różnych przestrzeniach jest tylko jednym z elementów ogólnych badat] nad charakterem takiego procesu. Innym ich kontekstem, zrealizowanym także w odniesieniu do równania logistycznego, było pełne rozmycie warunków eksperymentu numerycznego. W tym celu także skalarne parametry modelu zostały zastąpione rzeczywistymi liczbami rozmytymi. W rezultacie otrzymano układ eksperymentu zgodnie ze wzorem (8): X , + 1=. kx'<C -x,). gdzie:. X,, k, c E N(R). oraz X o = -0/0,1. + -1/0,3 + -0/0,5. (8).

(19) I. Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deterministycznego .... k = -0/3,7 + -113,8 + -0/3,9 C=. -0/0,5 + -1/1 + -0/1,5. Przy tak określonych warunkach początkowych udało się uzyskać tylko 240 iteracji. Przebieg odwrotności pola pokazują wykresy przedstawione na rys. 18 i 19.. 0,07.--,----------------------....,. 0,01 f-+tł-* OI---j-ll-'.l..lll. -10. 40. 190. 140. 90. 240. Rys . 18. Wykres przebiegu wskaźnika odwrotności pola liczby rozmytej w 150 iteracjach modelu (2) w ukladzie eksperymentu numerycznego (8) Źródło: opracowanie własne.. ł -10. 10. 30. -mI mm. 50. 70. 90. 110. 130. 150. Rys. 19. Wykres przebiegu wskażnika odwrotności pola liczby rozmytej w 240 iteracjach moclelu (2) w ukladzie eksperymentu numerycznego (8) Źródło: opracowanie wlasne..

(20) Wit Urban. 4. WnIoskI. końcowe. Zwraca uwagę w przypadku obu modeli prawidlowość polegająca na zw ięk szonej częstotliwości wahań wskaźnika odwrotności pola w ukladzie eksperymentu numerycznego, w którym zarówno zmienna stanu,jak i parametry należą do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Cechuje je także zwiększona periodyczność, poprawiająca regularność odpowiedniego wykresu. Wydaje się to potwierdzać w inny sposób p ostaw ioną tezę, co do odmienności zjawiska chaosu w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. W wyniku zlożenia nieskończonej ilości chaotycznych ruchów aspektów skalarnych nabiera ono cech daleko większej regularności niż w przypadku waltości rzeczywistych. Jest ona osiągana po krótkim okresie nieuporządkowanych wahań. Oczywiście opisane efekty są też rezultatem wykorzystania filtru aproksymująco-skalującego. W tym jednak kontekście regularność lub jej brak w odniesieniu do przebiegu wskaźnika odwrotności pola należy interpretować w kategoriach charakterystyki dynamiki zbieżności tej wielkości do zera. Jest ona z kolei ściśle związana z procesem zwiększania się przedzialu zdefiniowania modelowanej wartości rozmytej na całą przestrzeli liczb rzeczywistych. W ten sposób pole takiej charakterystyki rozmytej zmierza do nieskOllczoności. W takim podejściu,jak się wydaje, podstawowym wyróżnikiem chaosu staje się szybkość i stopień regularności tej zbieżności. Wydaje się przy tym, że pojęcie chaosu deterministycznego traci sens i musi ulec przeobra żeni u w odniesieniu do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Tym samym jest to empiryczne potwierdzenie wniosków wynikających z analizy modeli (I) i (2) w kontekście tak zdefin iowanej dziedziny. Sprowadzają się one do następujących konkluzji: - nieliniowości układów genernjąca chaotyczne zachowania modełowanych zmiennych rzeczywistych nie może być zdefiniowana w identyczny sposób dla przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, - działania arytmetyki rozmytej mają charakter przedziałowy w wąskim znaczeniu, a w szerokim odnoszą się do całego zbioru liczb l'zeczywistych, - dynamika w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych ma z punktu widzenia geometrycznego postać przekształceń nieregularności płaszczy z ny funkcji przynależności, - natUl'alną tendencją wszystkich typów równań różnicowych w takiej pl'zestrzeni jest zbieżność wyprofilowanej przez dynamikę bryły funkcji przynależ ności do płaszczyzny. W badanych przypadkach równań proces opisany w ostatnim punkcie ulegał oczywiście zahamowaniom na skutek wykorzystania transformacji filtrujących. Tym niemniej uzyskiwane wahania wskaźnika odwrotności pola okre ś lały ap roksy manty podstawowych parametrów jego dynamiki. Przedstawiony zarys podejścia badawczego do zjawiska chaosu w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych jest tylko wstępem do dalszych badań. Ich podstawową funkcją powinno być jednak uzupełnienie zasadniczej linii.

(21) do skalarnej analizy chaosu. analizy wykorzystującej pełnowymiarowy opis dynamiki modelowanych wielrozmytych przy pomocy równali różnicowych. Skalaryzacjajest w takich wypadkach transformacją zmniejszającą wiedzę o badanym procesie. Z tego też względu osobna część opracowania zostala poświęcona prezentacji także pierwszych doświadczeń z zakresu tak formułowanych problemów analizy. kości. Literatura Chang w'K" Chow L.R" Chang S.K. [1984], Arith",etic Operations on Level Sets olConvex. Fuzzy Numbers, Fuzzy Sets and Systems". JI. lllleligenllle systemy w zarządzaniu. Teoria i praktyka [2000], pod red. 1.S. ZieJitiskiego, PWN. Warszawa. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], lntroduetion to FlIzzy Arithllletie: T/wory and ApplicaliolIs , Van Nostrand. New York. MllJmkata Y. [19941. Fuzzy Systems: AIl Overviaw COI1l11Wllications o/file ACM, No 3, vol.. 37, March.. Schuster H.G. (1995], Chaos deterministyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa. Song Q., Lełand R.P., Chissom B.S. [1995], A New Fuzzy Time-series Model ol Fuzzy Number Observations, "Fuzzy and Systems", vol. 73, August. 1\trksen L.B. [1988], Stochastic Fuzzy Sets. A Survey LeclUre Notes in Economics and Mathematkal Systems Series. vol. 310, Springer. Urban W. [1999], Podstawy rozmytej dynamiki systemowej, AE w Krakowie, Kraków. Wołoszyn J" Urban W. [2001], Koneepcjajillru aproksymująco-przeskalowujqcego IV dzialalliach arytmetyki rozmytej, AE w Krakowie, Kraków. Wołoszyn 1. [1990], Grafy rozmyte i możlilVos'ci ieh wykorzystania IV ekonomii, Zeszyty. Naukowe AE w Krakowie, Seria Specjalna: Monografie, nr 90, Kraków. Zadeh L.A. [1996], Fuzzy Logie, Computing with Won/s, lEEE Trallsactiolls 011 Fuzzy Systems, vol. 4, May. Zadeh L.A. [1977], F"zzy sets a/ld their application to Pattem Classificatioll alld Clllsterillg Analysis [w:] Classijicatioll alld Clllstaillg, I. Van Rysin (ed.), Aeademie Press, New York. Zadeh L.A. [1965], F"zzy Sets, "Information and Contral" ,nr 8.. An Introduction to Scalar Analysis of Deterministlc Chaos in the Space of Fuzzy Real Numbers The authar presents fundamenta! aspects of deterrninistic chaos analysis in the space of fuzzy real numbers, using an approach based on the scalarization of multidimensional space of observations. With this end in view, the factor constructed on the base of area of fuzzy real number has been utilized. For the purpose of its usefulness verification, the numerical experiments concerning twa selected mathernatical modeis af chaos have beeo performed..

(22)