OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW
WEDŁUG KONWENCJI GUM ORAZ JEJ PRAKTYCZNE
WYKORZYSTANIE W DYDAKTYCE
Praca zawiera omówienie obowiązujących norm oceny niepewności pomiarowych oraz sugestie dotyczące graficznej analizy wyników pomiarowych, dających się przedstawić w postaci liniowej. Wykorzystując pomiary wykonane przez studentów, przeanalizowano korzyści z zastosowania analizy statystycznej wyników według konwencji GUM. Poniższe rozważania będą pomocne zarówno w dy-daktyce, jak i w przyszłej pracy inżynierskiej absolwentów.
Słowa kluczowe: konwencja GUM, niepewności pomiarowe, analiza danych, wykresy, regresja linio-wa, zapis wyników, odchylenie standardowe.
WSTĘP
Celem zajęć w pracowni fizycznej jest pomiar wielkości fizycznych, wyznaczenie pewnej wielkości fizycznej, obliczenie niepewności pomiarowych oraz dyskusja uzyskanych wyników. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki prowadzone są na pierwszym lub drugim semestrze nauki w Akademii Morskiej w Gdyni. Dla studentów jest to często pierwszy kontakt z przyrządami pomiarowymi i pra-cownią fizyczną, dlatego przed przystąpieniem do zajęć laboratoryjnych należy zapoznać ich z metodami analizy wyników i sposobami określania niepewności pomiarowych.
W roku 1995, po wielu latach pracy, uzgodniono międzynarodowe normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności w pomiarach. Między-narodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) opublikowała odpowiedni przewod-nik – Guide to Expression of Uncertainty in Measurements (GUM) [1, 2, 7]. Po opublikowaniu w 1999 roku przez Główny Urząd Miar polskiego tłumaczenia przewodnika pt. „Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik” rozpoczęło się wdrażanie konwencji GUM W Polsce [3, 4, 8, 9].
Zmiany dotyczą przyjęcia uzgodnionej terminologii i powszechnie akcepto-wanej miary niepewności w pomiarach, szerszego korzystania z metod statys-tycznych oraz jej sposobu oceny i obliczania. Wprowadzają odchylenie standar-dowe jako podstawową ocenę niepewności. Postanowienia konwencji GUM wprowadzają ujednolicony rachunek niepewności pomiarów, który powinien być powszechnie stosowany. W związku z tym celowe jest powszechne jego
wyko-rzystywanie szczególnie na uczelniach technicznych [5, 9, 10]. Stosownie do nowego podejścia wprowadzono następujące pojęcia:
• niepewność standardowa – oznacza niepewność pomiaru odpowiadającą odchy-leniu standardowemu wartości średniej;
• ocena niepewności pomiarowych typu A – opiera się na metodzie analizy statystycznej pomiarów wynikającej z rozkładu Gaussa (normalnego);
• ocena niepewności pomiarowych typu B – opiera się na subiektywnym ocenianiu rozkładu prawdopodobieństwa przez wykonującego doświadczenie, np. rozkład jednostajny (prostokątny) lub trójkątny;
• złożona niepewność standardowa uc(y) – niepewność pomiarów pośrednich
(złożonych) wyliczana z prawa propagacji niepewności pomiarowych (wariancji); • określenie sposobu zapisu wyników pomiarowych i ich niepewności.
Standardowa niepewność pomiarowa stała się główną miarą określenia pewności pomiaru. W tabeli 1 zamieszczono najważniejsze elementy oceny nie-pewności pomiaru według konwencji GUM. Konieczne wydaje się wprowadzenie powyższej terminologii i sposobów oceniania wyników pomiarów na zajęciach laboratoryjnych z fizyki. Pozwoli to na ujednolicenie metod analizy danych na wszystkich zajęciach związanych z pomiarami oraz w przyszłej pracy inży-nierskiej. Dla przybliżenia omawianej terminologii i zaleceń GUM wybrano kilka przykładów ćwiczeń realizowanych podczas zajęć.
Tabela 1. Najważniejsze elementy oceny niepewności pomiaru według GUM Table 1. The key elements of the evaluation of measurement uncertainty
according to GUM
Wielkość Symbol i sposób obliczania
Niepewność standardowa: ocena typu A.
Oparta jest na metodzie określania niepewności pomiaru drogą analizy statystycznej serii wyników pomiarów
Statystyczna analiza serii pomiarów, w tym: u(x) dla serii n równoważnych pomiarów: ( ) ∑ = − − = n i i x x n n x u 1 2 ) 1 (1 ) (
u(a), u(b) dla parametrów prostej regresji, itp. xi – wartość i-tego pomiaru; x– wartość średnia
Niepewność standardowa: ocena typu B.
Jest stosowana w przypadku, gdy dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru albo gdy wyniki nie wykazują rozrzutu
Naukowy osąd eksperymentatora, 3
) (x x u =Δ . Gdy znana jest niepewność Δx:
• wzorcowania Δdx,
• eksperymentatora (niepewność maksymalna) Δex, spowodowana
przyczynami znanymi eksperymentatorowi, ale od niego niezależnymi,
• odczytu z tablic Δtx.Niepewność tablicowa (niepewność
maksymalna) Δtx jest równa 10 jednostkom ostatniego miejsca dziesiętnego. Niepewność standardowa jest szacowana na podstawie rozkładu jednostajnego:
3 )
(x x
cd. tabeli 1
Niepewność wzorcowania przyrządów analogowych ⋅ + × = 3 )] Δ ) zakres/100 [(klasa ) (x xodczytu u
Niepewność wzorcowania przyrządów cyfrowych Δdx = C1⋅ wartość mierzona + C2 ⋅ zakres pomiarowy + C3 ⋅ cyfra (dgt)
Uzyskaną w ten sposób niepewność maksymalną zamienia się na niepewność standardową przy użyciu wzoruux dx.
3 ) ( =Δ
Najczęściej przyczynki do niepewności wzorcowania i niepewności eksperymentatora występują jednocześnie i wtedy niepewność standardowa szacowana metodą B powinna być obliczona ze wzoru:
3) ( 3) ( ) (x x2 x2 u = Δd + Δe Złożona niepewność standardowa
∑
= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂ = N i i i c y xf u x u 1 2 2 ) ( ) ( (dla nieskorelowanych xi),N – liczba wielkości mierzonych bezpośrednio Współczynnik
rozszerzenia
2 ≤ k
Z reguły używa się k = 2 dla poziomu ufności pα= 0,95 lub k = 3 dla poziomu ufności pα= 0,99. Przy małej liczbie pomiarów zaleca się przyjąć k równą wartości funkcji t-Studenta z poziomem ufności 95% (metoda efektywnych stopni swobody)
Niepewność rozszerzona U(y) = k uc(y) Zalecany zapis niepewności standardowa v = 342 m/s, uc(v) = 14 m/s: v = (342 ±14)m/s = 342(14) m/s rozszerzona v = 342 m/s, U(v) = 28 m/s: v = (342 ±28) m/s = 342(28) m/s (zasada podawania dwóch cyfr znaczących niepewności)
Jeśli obydwa typy niepewności, A i B, występują równocześnie, to należy posłużyć się następującym wzorem na niepewność standardową (całkowitą) Δ + Δ + − − = = + =
∑
= n i e d i B A c x x x x n n x u x u x u 1 2 2 2 2 2 3) ( 3) ( ) ( ) 1 (1 ) ( ) ( ) (1. WYZNACZANIE RÓWNOWAŻNIKA ELEKTROCHEMICZNEGO NA PODSTAWIE I PRAWA FARADAYA
W tym celu zmierzono ilość wydzielonej masy na katodzie podczas przepływu prądu o znanym natężeniu przez roztwór wodny siarczanu miedzi w czasie t. Otrzymano następujące wyniki:
Niepewności graniczne (maksymalne) pomiarów bezpośrednich oszacowano na: Δm = 0,02 g = 0,02*10–3 kg; Δt = 1 s; ΔI = 15 mA.
Do pomiaru prądu wykorzystano multimetr DT92007A, którego producent podaje zakres niepewności pomiaru prądu do 20 A ±(0,5%,1dgt), co daje ΔI = 15 mA. Z I prawa Faradaya: , It m k kIt m= ⇒ = (1) gdzie:
m – masa miedzi wydzielonej na katodzie, k – równoważnik elektrochemiczny, I – natężenie prądu,
t – czas przepływu prądu.
Wartość doświadczalna k wyniosła k = 3,339*10–7 kg/C.
Wyliczona klasycznie metodą różniczki logarytmicznej graniczna niepewność względna i bezwzględna pomiaru: Δk/k = 0,05 = 5%; Δk = 0,16*10–7 kg/C.
Wartość tablicowa równoważnika elektrochemicznego miedzi kt = 3,297*10–7 kg/C. W odniesieniu do wartości tablicowej niepewność względna pomiaru wyniosła:
. , , k k k kk t t− =0013=13% = Δ
Otrzymana wartość 1,3% jest mniejsza od 5% uzyskanej metodą różniczki zupełnej, co wskazuje na poprawność pomiaru. Sugerowany przez konwencję GUM sposób obliczenia niepewności pomiarowych wymaga odmiennego podej-ścia [3, 5]. Niepewności pomiarów bezpośrednich w tym ćwiczeniu należą do typu B. Przewodnik zaleca zamieniać niepewność graniczną Δx na niepewność standardową według wzoru:
⋅
Δ = 3 ) (x x u (2) Δm = 0,02 g = 0,02*10–3 kg u(m) = 0,012*10–3 kg Δt = 1 s u(t) = 0,58 s ΔI = 15 mA u(I) = 8,67 mA.Według konwencji GUM niepewność pomiarów pośrednich wyznacza się z prawa propagacji niepewności:
∑
= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ = N i xiu xi . f y u 1 2 ) ( ) ( (3)gdzie y = f(x1,…..xN), zakładając, że wielkości xi są nieskorelowane. Po wylicze-niach otrzymano: u(k) = 0,073*10–7 kg/C.
Niepewność standardowa u(k) określa przedział od k – u(k) do k + u(k), w któ-rym wartość prawdziwa znajduje się z prawdopodobieństwem 68% dla niepew-ności typu A oraz z prawdopodobieństwem 58% dla niepewniepew-ności typu B (wartości te wynikają z rozkładów prawdopodobieństw: Gaussa i jednostajnego).
Dla umożliwienia porównania wyników pomiarów uzyskiwanych w różnych laboratoriach i warunkach wprowadzono pojęcie niepewności rozszerzonej U. Niepewność rozszerzoną oblicza się w sposób następujący: U(y) = k*u(y), gdzie k nosi nazwę współczynnika rozszerzenia. Dla większości zastosowań przyjmuje się wartość współczynnika rozszerzenia równą 2. Dla k = 2 prawdopodobieństwo znalezienia wartości prawdziwej w przedziale od k – U(k) do k + U(k) wynosi 95% dla niepewności typu A oraz jest równe 100% dla niepewności typu B. W rozwa-żanym przypadku wartość U(k) = 2u(k) = 0,15*10–7 kg/C, a niepewność względna
rozszerzona: . , , kk U Ur = ( )=0045=45%
Proponowany przez GUM sposób zapisu ostatecznego wyniku ma postać: • dla niepewności standardowej:
k = 3,339*10–7 kg/C; u(k ) = 0,073*10–7 kg/C,
k = 3,339(73)*10–7 kg/C;
• dla niepewności rozszerzonej:
k = (3,34 ±0,15)*10–7 kg/C; U(k) = 0,15*10–7 kg/C.
Wartość tablicowa równoważnika elektrochemicznego miedzi kt = 3,297*10–7 kg/C mieści się w przedziałach niepewności wyznaczonymi dwoma metodami. W powyższym przykładzie nie widać zasadniczych różnic ilościowych po zastosowaniu obu metod.
W punktach 2 i 3 rozważono ćwiczenia, w których wyniki można przedstawić w postaci funkcji liniowej. Jest to najczęściej spotykana sytuacja na zajęciach laboratoryjnych.
2. WYZNACZANIE STAŁEJ PLANCKA
Jedną z metod wyznaczania stałej Plancka jest wykorzystanie zjawiska foto-elektrycznego zewnętrznego. Źródłem światła o znanej długości fali był spektro-fotometr firmy Carl Zeiss Jena. Podczas ćwiczenia mierzono zmianę napięcia hamującego w funkcji długości fali. Do opracowania wyników i wyznaczenia stałej Plancka wykorzystano wzór Einsteina-Millikana:
, k E W c h hf = = + λ (4) gdzie: h – stała Plancka, f – częstotliwość, c – prędkość światła,
λ – długość fali, W – praca wyjścia,
Ek= e · Uh – energia kinetyczna fotoelektronów.
Na zajęciach w pracowni wykorzystuje się metodę pola hamującego. Powyższy wzór można przepisać w postaci:
, h eU W c h hf = λ = + (5)
gdzie Uh – napięcie hamowania.
W celu wyznaczenia stałej Plancka przekształcono wzór następująco: − = e W e c h Uh λ 1 (6)
Zmierzono napięcie potrzebne do wyhamowania wyemitowanych elektronów w funkcji długości fali. Ze wzoru (6) wynika, że zależność Uh= f(1/λ) jest funkcją liniową. Wyniki pomiarów i obliczeń przedstawiono w tabeli 2.
Wartości ( ) 31 1 2 λ λ λ u
u⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞= wyznaczono metodą propagacji niepewności dla fun-kcji jednej zmiennej.
Tabela 2. Wyniki pomiarów do wyznaczenia stałej Plancka Table 2. The results of measurements to determine Planck's constant λ[nm] 1/ λ [nm–1] U h [V] u(1/ λ) [nm–1]·10–6 u(U) [V] 380 0,0026316 1,329 6,93 0,0027 385 0,0025974 1,294 6,75 0,0026 390 0,0025641 1,222 6,57 0,0026 395 0,0025316 1,197 6,41 0,0026 400 0,0025000 1,158 6,25 0,0026 405 0,0024691 1,116 6,10 0,0026 410 0,0024390 1,074 5,95 0,0025 415 0,0024096 1,032 5,81 0,0025 420 0,0023810 1,011 5,67 0,0025 425 0,0023529 0,968 5,54 0,0025 430 0,0023256 0,93 5,41 0,0025 435 0,0022989 0,903 5,28 0,0025 440 0,0022727 0,876 5,17 0,0024 445 0,0022472 0,839 5,05 0,0024 450 0,0022222 0,81 4,94 0,0024 455 0,0021978 0,78 4,83 0,0024 460 0,0021739 0,752 4,73 0,0024 465 0,0021505 0,737 4,62 0,0024
Metoda graficzna należy do grupy B i polega na sporządzeniu wykresu przedstawiającego punkty doświadczalne, a następnie na subiektywnym naryso-waniu prostej tak, aby przechodziła ona przez jak największą liczbę prostokątów niepewności pomiarowych [9, 10]. Uzyskano wartość współczynnika kierunko-wego prostej a = 1200. Jej mankamentem jest to, że nie uzyskuje się informacji o niepewnościach parametrów prostej.
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,0020 0,0022 0,0024 0,0026 0,0028 1/ ÷ [nm-1] U h [V] Uh=a/÷®b a=1200 Uh = a/λ + b a = 1200 1/λ [nm–1]
Rys. 1. Wykres zależności Uh = f(1/λ) uzyskany metodą graficzną
Fig. 1. Dependence Uh vs. 1/λ obtained by the graphical method
W teorii interwałowej po zaznaczeniu na wykresie punktów doświadczalnych i otoczeniu ich prostokątami niepewności (niepewności graniczne) prowadzi się dwie proste przez wszystkie prostokąty niepewności o największym a2 i
naj-mniejszym nachyleniu a1. Następnie należy znaleźć punkt przecięcia tych prostych
i narysować końcową prostą o nachyleniu (a2+ a1)/2 przechodzącą przez ten punkt.
W tej metodzie niepewność graniczna Δa = (a2 – a1)/2, niepewność Δb otrzymuje
się z przecięcia korytarza niepewności z osią y. Metoda ta nie wymaga stosowania rachunku różniczkowego i rachunku prawdopodobieństwa i może być stosowana na poziomie szkoły ponadgimnazjalnej [6, 9, 10].
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 1/ [nm-1] U h [V ] a1=1200 a2=1300 a=1250 a=50 a1 = 1200 a2 = 1300 a = 1250 Δa = 50 1/λ [nm–1]
Rys. 2. Wykres zależności Uh = f(1/λ) uzyskany metodą przedziałową Fig. 2. Dependence Uh vs. 1/λ obtained by the interval method
W tym przypadku uzyskano wartości współczynników kierunkowych dla dwóch przeprowadzonych subiektywnie prostych: a2 = 1300, a1 = 1200.
Ostateczny wynik pomiaru można zapisać a = 1250 ±50.
Do analizy wyników pomiaru zastosowano metodę najmniejszych kwadratów [5, 9, 10]. Metoda najmniejszych kwadratów jest współcześnie powszechnie stoso-wana i należy do oceny typu A. Umożliwia ona znalezienie zarówno parametrów badanej funkcji liniowej y = ax + b, współczynnika korelacji r, jak i odchylenia standardowego wyznaczanych parametrów u(a) i u(b). Obecnie metoda ta jest zaimplementowana w większości arkuszy kalkulacyjnych. Metoda najmniejszych kwadratów nie zapewnia automatycznej eliminacji punktów pomiarowych, znacznie odbiegających od prostej, dlatego też wykres umożliwiający wizualną ocenę danych pomiarowych należy wykonać przed przystąpieniem do obliczeń, najlepiej jeszcze w czasie pomiarów. Można wówczas albo powtórzyć pomiar, który znacznie odbiega od przewidywanej krzywej albo w ostateczności takie wyniki pomiaru wyeliminować z obliczeń parametrów prostej. Zależność liniowa może obowiązywać tylko w ograniczonym zakresie zebranych punktów pomiaro-wych. Przed analizą danych metodą najmniejszych kwadratów należy obejrzeć wykres przedstawiający punkty pomiarowe i ewentualnie określić zbiór punktów, które zostaną poddane obliczeniom. Należy pamiętać, że metoda najmniejszych kwadratów wyznacza niepewności u(a) i u(b) pochodzące od błędów przy-padkowych. Jeśli uwzględnić jednakowy na ogół dla wszystkich punktów błąd
systematyczny, to należy spodziewać się równoległego przesunięcia na wykresie punktów pomiarowych i zmiany wartości b-wyrazu wolnego w równaniu prostej. Jeśli celem ćwiczenia jest analiza współczynnika kierunkowego prostej, to nie wpłynie to na efekt końcowy.
Metoda najmniejszych kwadratów, zastosowana do powyższych wyników pomiaru, pozwoliła wyznaczyć parametry prostej y = ax + b, kwadrat współczynni-ka korelacji r oraz odchylenia standardowe wyznaczanych parametrów u(a) i u(b):
a = 1244 b = –1,955 u(a) = 14 u(b) = 0,032 R2 = 0,998
W powyższym przykładzie wartość niepewności rozszerzonej U(y) = 2u(y) = 28. Końcowy wynik pomiaru można zapisać: a = 1244 ±28.
W tabeli 3 przedstawiono wartości stałej Plancka wyliczone różnymi meto-dami.
Tabela 3. Wyznaczone wartości stałej Plancka Table 3. Calculated values of Planck's constant Metoda Stała Plancka ×10–34
[Js] Niepewności pomiarowe ×10–34 [Js] Porównanie z wartością tablicową [%] Graficzna 6,40 – 3,3 Interwałowa 6,67 0,27 0,8 Najmniejszych kwadratów 6,64 0,15 U(y) = 2u(y) = 0,30 0,3 Uh= 1244,4/λ - 1,9549 R2 = 0,9981 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 1/λ [nm-1] Uh [V ]
Rys. 3. Wykres zależności Uh = f(1/λ) uzyskany metodą najmniejszych kwadratów
W punkcie 2 otrzymano porównywalne wartości stałej Plancka, ale najbar-dziej korzystna ze względów dydaktycznych i czasowych wydaje się metoda najmniejszych kwadratów, proponowana przez konwencję GUM i obecnie powszechnie stosowana na innych uczelniach technicznych.
3. WYZNACZANIE OGNISKOWEJ CIENKIEJ SOCZEWKI SKUPIAJĄCEJ W celu wyznaczenia ogniskowej f mierzy się odległość x przedmiotu od soczewki oraz odległość y obrazu od soczewki. Do analizy wyników wykorzystuje się równanie soczewki:
⋅
+
=
x
y
f
1
1
1
(7)Tabela 4. Wyniki pomiarów i obliczeń do wyznaczenia ogniskowej soczewki Table 4. The results of measurements and calculations to determine the focal length
of the lens 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x [m] y [m] 1/x [m-1] 1/y [m-1] f [m] u(1/x) [m-1] u(1/y) [m-1] x+y [m] xy [m2] u( x+y) [m] u( xy) [m2] 0,1330 0,9240 7,5188 1,0823 0,1163 0,0980 0,0041 1,0570 0,1229 0,0039 0,0017 0,1350 0,8620 7,4074 1,1601 0,1167 0,0951 0,0047 0,9970 0,1164 0,0039 0,0016 0,1380 0,7820 7,2464 1,2788 0,1173 0,0911 0,0057 0,9200 0,1079 0,0039 0,0014 0,1420 0,6220 7,0423 1,6077 0,1156 0,0860 0,0090 0,7640 0,0883 0,0039 0,0012 0,1430 0,6570 6,9930 1,5221 0,1174 0,0848 0,0080 0,8000 0,0940 0,0039 0,0012 0,1465 0,6035 6,8259 1,6570 0,1179 0,0808 0,0095 0,7500 0,0884 0,0039 0,0012 0,1480 0,5370 6,7568 1,8622 0,1160 0,0792 0,0120 0,6850 0,0795 0,0039 0,0011 0,1500 0,5500 6,6667 1,8182 0,1179 0,0771 0,0115 0,7000 0,0825 0,0039 0,0011 0,1555 0,4945 6,4309 2,0222 0,1183 0,0717 0,0142 0,6500 0,0769 0,0039 0,0010 0,1570 0,4380 6,3694 2,2831 0,1156 0,0704 0,0181 0,5950 0,0688 0,0039 0,0009 0,1645 0,4355 6,0790 2,2962 0,1194 0,0641 0,0183 0,6000 0,0716 0,0039 0,0009 0,1680 0,3680 5,9524 2,7174 0,1153 0,0614 0,0256 0,5360 0,0618 0,0039 0,0009 0,1795 0,3704 5,5710 2,6998 0,1209 0,0538 0,0253 0,5499 0,0665 0,0039 0,0009 0,1870 0,3120 5,3476 3,2051 0,1169 0,0496 0,0356 0,4990 0,0583 0,0039 0,0008 0,2250 0,2370 4,4444 4,2194 0,1154 0,0343 0,0617 0,4620 0,0533 0,0039 0,0009 0,2290 0,2370 4,3668 4,2194 0,1165 0,0331 0,0617 0,4660 0,0543 0,0039 0,0009
W tabeli 4, korzystając z kolumny 1 i 2, obliczono wartość ogniskowej f (kolumna 5) ze wzoru: ⋅ +⋅ = xx yy f (8) Wartość średnia wynosi fśrednia = 0,1171 m, wartość odchylenia standardowego
u(f) = 0,0004 m. Wartość obliczonej ogniskowej z uwzględnieniem niepewności rozszerzonej można zapisać w postaci:
f = 0,1171 ±0,0008 m, f = 0,1171(8) m.
Tabela 4 zawiera również obliczenia umożliwiające wyznaczenie ogniskowej f przy wykorzystaniu wykresów.
Na rysunku 4 przedstawiono zależność 1/y = f(1/x). Jest ona liniowa, parametry regresji liniowej mają następujące wartości:
a = –1,000 b = 8,5 u(a) = 0,030 u(b) = 0,2 R2 = 0,987087 . 1/y = -1,0005/x + 8,5449 R2 = 0,9871 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 1/x [1/m] 1/ y [1 /m ]
Rys. 4. Wykres zależności 1/y = f(1/x) Fig. 4. Graph showing 1/y = f(1/x) dependencies
Na podstawie równania soczewki wyliczono wartość 1 0,1176m b
f = = .
Rozszerzona niepewność standardowa ogniskowej wyraża się wzorem: 0055 0 5 802 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 , ,, b u f U = ⋅ = = m.
Wartość ogniskowej wyznaczonej tą metodą można zapisać w postaci: f = (0,1176 ±0,0055) m.
Na rysunku 5 przedstawiono zależność xy = f(x + y). Parametry regresji liniowej tej prostej wynoszą:
a = 0,1164, b = 0,00048, u(a) = 0,0013, u(b) = 0,00095, R2 = 0,998167. xy = 0,1164(x+y) + 0,0005 R2 = 0,9982 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 x+y [m] xy [m 2]
Rys. 5. Wykres zależności xy = f(x + y) Fig. 5. A xy plotted against the x + y
Wartość obliczonej ogniskowej z uwzględnieniem niepewności rozszerzonej można zapisać w postaci: f = (0,1164 ±0,0026) m.
Z przykładów 2 i 3 wyraźnie widać, że korzystne jest wykorzystywanie programów komputerowych na zajęciach laboratoryjnych do sporządzania wykre-sów, oceny czy punkty pomiarowe układają się wzdłuż prostej, ewentualnego odrzucenia błędów grubych i następnie analizy danych doświadczalnych.
We wszystkich przypadkach, gdzie w równaniach występuje więcej niż jedna niewiadoma (np. w punkcie 2 nieznane były wartości stałej Plancka i pracy wyjścia), celowe jest wykorzystanie parametrów funkcji liniowej.
W punkcie 3 pokazano możliwość wyznaczania stałej fizycznej bezpośrednio z przekształconego wzoru soczewkowego. Otrzymane wartości okazały się obar-czone mniejszymi niepewnościami pomiarowymi niż wartości uzyskane z analizy wykresów liniowych, pomimo że przedstawiały one różne zależności funkcyjne.
PODSUMOWANIE
Zaprezentowane w artykule metody analizy danych są obecnie powszechnie stosowane zarówno w przemyśle, jak i metrologii. Mają one na celu ujednolicenie sposobów oceny danych doświadczalnych i opisu niepewności pomiarowych, a także wykorzystanie zaleceń konwencji GUM w dydaktyce.
Obiektywną, współczesną metodą wizualizacji wyników pomiarów jest metoda najmniejszych kwadratów. Metoda ta zaimplementowana jest we wszyst-kich arkuszach kalkulacyjnych i jest powszechnie dostępna. Studenci, przychodząc na studia techniczne, są zaznajomieni przynajmniej w stopniu podstawowym z arkuszami kalkulacyjnymi. Umiejętności te powinny być wykorzystywane i rozwijane w zgodzie z obowiązującymi normami na zajęciach nie tylko w pracowni fizycznej. Powszechność programów graficznych nakazuje ich wykorzystanie przy sporządzaniu wykresów, odręczne sporządzanie wykresów staje się bowiem anachroniczne. Niektóre formuły matematyczne opisane w arty-kule mogą być stosowane przez studentów na zajęciach pomimo braku zaawan-sowanej wiedzy z zakresu matematyki.
LITERATURA
1. Evaluation of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement, JCGM 100:2008 (GUM 1995 with minor corrections).
2. Guide to Expression of Uncertainty in Measurements (GUM), ISO, Switzerland, 1995. 3. Piotrowski J., Kostyro K., Wzorcowanie aparatury pomiarowej, PWN, Warszawa 2012.
4. Szydłowski H., Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiarów, „Postępy Fizyki”, 2000, nr 51, s. 92–97.
5. Szydłowski H., Niepewności w pomiarach, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001. 6. Szydłowski H., Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999.
7. Taylor B.N., Kuyatt C.E, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results, NIST Technical Note 1297 (1994); The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty, http://physics.nist.gov/cuu.
8. Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa 1999. 9. Zięba A., Analiza danych w naukach ścisłych i technice, PWN, Warszawa 2013. 10. Zięba A., Pracownia fizyczna, Wydawnictwo AGH, Kraków 2002.
ELABORATION OF THE RESULTS OF MEASUREMENTS ACCORDING TO GUM CONVENTION AND ITS PRACTICAL USE IN DIDACTICS
Summary
Methods presented in this paper of data analysis are now widely used both in industry and metrology. They are designed to standardize procedures of data evaluation and description of the experimental uncertainties. In discussed issues it is recommended to use GUM’s procedure. Objective, contemporary visualization method of measurement results is the method of least- squares. This method is implemented in all the spreadsheets and is widely available. Students of technical studies are familiar, at least at a basic level with spreadsheets. These skills should be used and developed in accordance with applicable standards in the classroom not only in the physical laboratory. Wide availability of graphics programs encourages their use in the preparation of charts. Handwritten plots become anachronistic. Some mathematical formulas described in the paper can be used by students in the classroom, despite the lack of undergraduates’ advanced knowledge of mathematics. Keywords: the convention of GUM, uncertainty of measurement, data analysis, graphs, linear regression, reporting the results of measurements, standard deviation.
