Wstęp do geometrii różniczkowej
Paweł G. Walczak
17 maja 2004 roku
1
Wstęp
Przedmiotem badań geometrii różniczkowej są krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami. Metody geometrii różniczkowej oparte są na rachunku różniczkowym: krzy-we (powierzchnie, hiperpowierzchnie itp.) opisuje się przy pomocy funkcji różniczkowalnych (tj. gładkich, jednej i wielu zmiennych), a ich własności geometryczne bada się przy pomocy pochodnych (pierwszych, drugich i wyż-szych) zwyczajnych i cząstkowych tych funkcji. Wykład oparty będzie na wybranych fragmentach książki [Op], a słuchaczom proponujemy również lekturę odpowiednich framentów jednej (lub kilku) z pozostałych książek wymienionych w Bibliografii.
Spis treści
1 Wstęp 1
2 Geometria krzywych 2
2.1 Pojęcie krzywej . . . 2 2.2 Długość krzywej regularnej, parametryzacja naturalna . . . 4 2.3 Krzywizna i skręcenie, trójścian Freneta . . . 6
3 Powierzchnie 9
3.1 Definicja i przykłady . . . 9 3.2 Przestrzeń styczna, wektor normalny, orientacja . . . 11 3.3 Pierwsza forma podstawowa . . . 13
3.4 Koneksja Levi-Civita i współczynniki Christoffela . . . 14
3.5 Przeniesienie równoległe i geodezyjne . . . 17
3.6 Druga forma podstawowa . . . 20
3.7 Krzywizna normalna . . . 24
3.8 Odwzorowanie i krzywizna Gaussa . . . 25 3.9 Wzory Codazziego i podstawowe twierdzenie teorii powierzchni 29
2
Geometria krzywych
2.1
Pojęcie krzywej
Intuicyjnie, przez krzywą rozumie się jednowymiarowy podzbiór pewnej prze-strzeni (metrycznej, topologicznej, płaszczyzny, trójwymiarowej lub n-wymia-rowej przestrzeni euklidesowej itp.). W fizyce, krzywa to trajektoria ruchu punktu materialnego. Tu rozważać będziemy przede wszystkim krzywe po-łożone w przestrzeni trójwymiarowej lub na płaszczyźnie. Ponieważ niektóre pojęcia i fakty przenoszą się ”automatycznie” na przypadek przestrzeni o dowolnym wymiarze przyjmiemy następującą definicję.
Definicja 1 Krzywą w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej Rn
nazywa-my ciągłe przekształcenie γ przedziału (otwartego lub domkniętego, właści-wego lub nie) J ⊂ R w Rn.
Ciągłość przekształcenia γ = (γ1, . . . , γn) jest równoważna ciągłości
wszyst-kich jego współrzędnych γj, j = 1, . . . , n.
Ponieważ trajektoria opisywana przez poruszający się punkt nie zależy od prędkości ruchu przyjmuje się często, że dwie krzywe γ : J → Rni δ : I → Rn
są równoważne, gdy istnieje funkcja f : J → I ciągła, rosnąca i taka, że
f (J ) = I oraz δ = γ ◦ f . Oczywiście, tak określona relacja równoważności
jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, można więc mówić o jej klasach abstrakcji. Każda taka klasa jest wyznaczone jednoznacznie przez dowolnego swego reprezentanta, a każda krzywa (w sensie Def. 1) należy do pewnej klasy abstrakcji. Dlatego można też przyjąć inne określenie krzywej:
Definicja 2 Krzywą w Rn nazywamy klasę abstrakcji (względem relacji
opi-sanej powyżej) dowolnego ciągłego przekształcenia γ pewnego przedziału
J ⊂ R w Rn. Wtedy, każde przekształcenie reprezentujące tę klasę
jest przedziałem domkniętym i γ(a) = γ(b), to krzywą o parametryzacji γ nazywamy zamkniętą. (Oczywiście, określenie to jest poprawne, to czy krzy-wa jest zamknięta czy nie nie zależy od wyboru jej parametryzacji.)
Dobrze znanymi przykładami krzywych są m. in. prosta (γ(t) = x0+ ta,
t ∈ R, gdzie x0 ∈ R jest ustalonym punktem zaś a ∈ Rn ustalonym
ele-mentem zwanym czasem wektorem kierunkowym prostej), okrąg (γ(t) = (x0 + r cos t, y0 + r sin t), t ∈ [0, 2π], gdzie (x0, y0) ∈ R jest jego środkiem,
a r > 0 - jego promieniem) oraz krzywe stożkowe: elipsa o parametryzacji
γ(t) = (a cos t, b sin t), hiperbola o parametryzacji γ(t) = (a cosh t, b sinh t) i
parabola o parametryzacji γ(t) = (t2, t), t ∈ R. Krzywą płaską (o parame-tryzacji γ(t) = (t, f (t))) jest też wykres dowolnej funkcji ciągłej f : J → R. Niektóre krzywe (np. okrąg) można opisać równaniem postaci F (x, y) = 0, gdzie F jest funkcją ciągłą dwu zmiennych rzeczywistych; w przypadku okrę-gu o środku (x0, y0) i promieniu r równaniem takim jest - jak dobrze wiemy
- (x − x0)2+ (y − y0)2 = r2. Z twierdzenia o funkcji uwikłanej (por. wykład
analizy matematycznej) wynika, że jeśli F jest funkcją różniczkowalną klasy C1, to równanie F (x, y) = 0 opisuje pewną krzywą przechodzącą przez taki
punkt (x0, y0) dziedziny funkcji F w którym F (x0, y0) = 0 i wektor
dF (x0, y0) = ∂F ∂x(x0, y0), ∂F ∂y(x0, y0) ! jest niezerowy.
Krzywe w sensie powyższej definicji mogą być bardzo skomplikowane i trudne do zbadania. Np., Peano (1890) wykazał istnienie krzywej przecho-dzącej przez wszystkie punkty pewnego obszaru płaszczyzny (np. kwadratu). Dlatego ograniczymy się tu do badania krzywych znacznie węższej klasy: Definicja 3 Krzywą γ = (γ1, . . . , γn) : J → Rn nazywamy
różniczkowal-ną lub gładką (klasy Ck, k = 1, 2, . . . , ∞), gdy wszystkie funkcje γ j, j =
1, . . . , n, są k-krotnie różniczkowalne, a ich k-te pochodne γ(k)są ciągłe. Wek-tor γ0(t) = (γ10(t), . . . γn0(t)) nazywamy stycznym do krzywej γ w chwili t ∈ J . Krzywą γ nazywamy regularną, gdy jest gładka klasy (przynajmniej) C1 i
γ0(t) 6= 0 dla dowolnego t ∈ J . Prostą R 3 s 7→ γ(t) + s · γ0(t) nazywamy
styczną do krzywej regularnej γ w chwili t (lub w punkcie γ(t)).
Uwaga 1 Jeśli J jest przedziałem (jedno- lub obustronnie) domkniętym i a jest jednym z jego końców, to przez γj0(a) rozumiemy odpowiednią pochodną jednostronną funkcji γj.
Wspomniane powyżej krzywe: prosta, okrąg i krzywe stożkowe są różnicz-kowalne klasy C∞ i regularne. Nie wszystkie krzywe opisujące nawet proste zjawiska fizyczne są regularne:
Przykład 1 Przypuśćmy, że koło o promieniu r toczy się (bez poślizgu) po prostej doń stycznej. Dowolny punkt okręgu tego koła porusza się po krzywej
γ(t) = (r(t − sin t), r(1 − cos t)) zwanej cykloidą. Cykloida jest oczywiście
różniczkowalna klasy C∞ale nie jest regularna: γ0(t) = 0 gdy t jest całkowitą wielokrotmością liczby 2π. Krzywą γ(t) = (rt − a sin t, r − a sin t) nazywa się (dlaczego ?) cykloidą wydłużoną (odp., skróconą), gdy r < a (odp., r > a). Słuchacz bez trudu zbada (!) różniczkowalność i regularność tych krzywych. Przykład 2 Prostym przykładem krzywej przestrzennej jest linia śrubowa
γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R, gdzie a i b są stałymi dodatnimi. Krzywa
ta jest położona na powierzchni walca, którego osią jest trzecia oś układu współrzędnych, a promień wynosi a; liczbę b nazywa się skokiem linii śrubowj
γ.
2.2
Długość krzywej regularnej, parametryzacja
natu-ralna
Jeżeli γ : [a, b] → Rn(lub γ : [a, b] → X, gdzie X jest przestrzenią metryczną) jest dowolną krzywą, to jej długość L(γ) określamy jako kres górny długości łamanych wpisanych w γ; dokładniej,
L(γ) = sup{
m
X
j=1
d(γ(tj), γ(tj+1); a ¬ t1 ¬ t2 ¬ · · · ¬ tm ¬ tm+1 ¬ b, m ∈ N},
gdzie d jest odległością w Rn (odp. w X).
Definicja 4 Krzywa γ jest prostowalna, gdy L(γ) < ∞.
Bardzo łatwo skonstruować przykłady krzywych nieprostowalnych (np., na płaszczyźnie). Stosując nierówność trójkąta można też sprawdzić, że jeśli krzywa γ jest prostowalna, to
L(γ) = lim k→∞ k X j=1 d(γ(tk,j, tk,j+1),
gdzie τk= {tk,1, . . . , tk,k+1}, k = 1, 2, . . . , jest dowolnym normalnym ciągiem
podziałów przedziału [a, b] (tzn., a = tk,1< tk,2 < · · · < tk+1 = b i średnica
δk= max
j |tk,j− tk,j+1|
podziału τk dąży do 0, gdy k → ∞.
Jeżeli γ : [a, b] → Rn jest krzywą regularną, to funkcja kγ0(t)k, t ∈ [a, b], jest funkcją ciągłą, jest więc całkowalna w sensie Riemanna.
Twierdzenie 1 Dowolna krzywa regularna γ : [a, b] → Rn jest prostowalna
oraz L(γ) = Z b a kγ0 (t)kdt. (2.2.1)
Dowód. Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że dla dowolnych s, t ∈
[a, b] (s < t) istnieją liczby θi ∈ (s, t) takie, że
γi(t) − γi(s) = (t − s)γi0(θi),
gdzie γi, i = 1, . . . , n, są współrzędnymi krzywej γ. Jeśli więc τk, k ∈ N, jest
- tak jak powyżej - ciągiem normalnym podziałów przedziału [a, b], to
k X j=1 d(γ(tk,i, γ(tk,i+1) = k X j=1 (tk,i+1− tk,i) · s X i (γi0)2(θ k,i,j)
dla pewnych θk,i,j ∈ (tk,j, tk,j+1). Łatwo zauważyć, że powyższe sumy
przybli-żają (z dowolną dokładnością, gdy k jest dostatecznie duże) sumy Riemanna całki w (2.2.1).
Jeżeli symbolem L(t) oznaczymy długość krzywej γ|[a, t], to otrzymamy funkcję różniczkowalną L : [a, b] → R określoną wzorem
L(t) =
Z t
a
kγ0(s)kds,
której pochodna w dowolnym punkcie t wynosi L0(t) = kγ0(t)k i jest dodatnia. Funkcja L jest więc ściśle rosnąca i L([a, b]) = [0, L(γ)]. Niech φ = L−1 będzie funkcją doń odwrotną. Złożenie γ ◦ φ przedstawia tę samą krzywą, przy czym
(γ ◦ φ)0(s) = 1
L0(φ(s)) · (γ 0
dla wszystkich s ∈ [0, L(γ)]. Zatem,
k(γ ◦ φ(s)k = 1
dla dowolnego s.
Definicja 5 Parametryzację γ krzywej regularnej nazywamy naturalną, gdy
kγ0(t)k = 1 dla wszystkich t.
Z powyższego rozumowania wynika co następuje.
Twierdzenie 2 Każda krzywa regularna posiada parametryzację naturalną.
Uwaga 2 Słuchacz bez trudu odpowie na pytanie następujące: Czym różnią się dwie parametryzacje naturalne tej samej krzywej regularnej ?
Z powyższego twierdzenia wynika, że w zasadzie możnaby mówić wyłącz-nie o krzywych sparametryzowanych w sposób naturalny, jednak powyłącz-nieważ w wielu przypadkach całki wyrażające długość krzywej są trudne do wyliczenia, będziemy często wracali do krzywych o parametryzacji dowolnej.
Przykład 3 Funkcja t 7→ x0 + tv jest parametryzacją naturalną prostej
wtedy i tylko wtedy, gdy kvk = 1. Funkcja t 7→ (r cosrt, r sinrt) jest parame-tryzacją naturalną okręgu o promieniu r.
2.3
Krzywizna i skręcenie, trójścian Freneta
Niech γ : (a, b) → R3 będzie przestrzenną krzywą regularną klasy C3 o parametryzacji naturalnej. Niech T (t) = γ0(t) b¸edzie wektorem stycznym do
γ w chwili t. T (t) jest - dla dowolnego t - wektorem jednostkowym, a zatem
0 = d
dtkT k
2 = 2(T · T0
)
i wektor T0(t) jest prostopadły do krzywej γ w punkcie γ(t).
Definicja 6 Liczbę κ(t) = kT0(t)k nazywamy krzywizną krzywej γ w chwili
Jeśli κ(t) 6= 0, to wzór
T0(t) = κ(t)N (t) (2.3.1)
wyznacza jednoznacznie wektor jednostkowy N (t). Niech B(t) = T (t)×N (t). Wtedy B(t) jest wektorem jednostkowym prostopadłym do T (t) i N (t). Po-nieważ kN (t)k = 1 dla każdego t, więc wektor N0(t) jest prostopadły do
N (t), jest zatem liniową kombinacją wektorów T (t) i B(t), a ponieważ
po-nadto 0 = (T · N )0 = T0· N + T · N0 = κN + T · N0, więc zachodzi wzór
N0(t) = −κ(t)T (t) + τ (t)B(t) (2.3.2)
dla pewnej liczby τ (t). Ponadto,
B0 = T0× N + T × N0 = κN × N − κT × T + τ T × B, a więc
B0(t) = −τ (t)N (t). (2.3.3)
Wzory (2.3.1), (2.3.2), (2.3.3) nazywa się wzorami Freneta.
Wektory T (t), N (t) i B(t) zaczepione w punkcie γ(t) tworzą tzw.
trój-ścian Freneta i noszą odpowiednio nazwy: wektor styczny, normalny główny
i binormalny. Podobnie (styczna, normalna główna i binormalna) nazywają się przechodzące przez γ(t) proste o kierunkach tych wektorów. Płaszczy-ny przechodzące przez γ(t) i rozpięte przez pary (T (t), N (t)), (T (t), B(t)) i (N (t), B(t)) nazywa się odpowiednio płaszczyzną ścisle styczną,
prostu-jącą i normalną. Jak widać z wcześniejszych rozważań, trójścian Freneta (i
wszystkie jego elementy) jest dobrze określony we wszystkich punktach t, dla których κ(t) 6= 0. Punkty t, dla których κ(t) = 0 nazywa się punktami
wypro-stowania krzywej γ, podczas, gdy te punkty t, dla których τ (t) = 0 nazywa
się punktami spłaszczenia tej krzywej. Jest tak dlatego, że (jak łatwo spraw-dzić !) krzywa złożona z samych punktów wyprostowania jest fragmentem linii prostej, podczas gdy krzywa złożona z samych punktów spłaszczenia le-ży na pewnej płaszczyżnie. Krzywiznę i skręcenie można więc zinterpretować odpowiednio jako miarę odchylenia krzywej od prostej stycznej i płaszczyzny ściśle stycznej. Znak skręcenia wyznacza kierunek odchylenia od płaszczyzny ściśle stycznej.
Z definicji wynika, że krzywizna κ(t) krzywej przestrzennej γ jest liczbą nieujemną. W przypadku krzywej płaskiej można też zdefiniować krzywi-znę opatrzoną stosownym znakiem: Jeżeli n(t) jest wektorem jednostkowym,
prostopadłym do T (t) i takim, że para (T (t), n(t)) tworzy na płaszczyżnie bazę zorientowaną dodatnio, to T0(t) = k(t)n(t) dla pewnej liczby rzeczy-wistej k(t). Liczbe tę nazywa się krzywizną krzywej płaskiej. Oczywiście,
κ(t) = |k(t)|.
Zauważmy, że jeżeli γ : [a, b] → R3 jest dowolną krzywą regularną klasy
C3, a δ = γ ◦ φ : [0, L(γ)] → R3 jej parametryzacją naturalną, to
T = δ0 = φ0 · γ0◦ φ, φ0 = kγ0◦ φk−1,
T0 = δ00= φ00· γ0◦ φ + (φ0)2· γ00◦ φ = κ · N.
Mnożąc obie strony ostatniej równości wektorowo przez T otrzymujemy, że
κ · T × N = (φ0)3· (γ0 × γ00) ◦ φ,
a więc krzywizna krzywej γ (rozumiana jako krzywizna jej reparametryzacji naturalnej) w dowolnym punkcie t ∈ [a, b] wynosi
κ(t) = kγ
0(t) × γ00(t)k
kγ0(t)k|3 . (2.3.4)
Podobnie, (słuchacz sprawdzi bez trudu, że) skręcenie τ krzywej γ (znowu rozumiane jako skręcenie jej repramatryzacji naturalnej) dane jest wzorem
τ (t) = (γ
0(t) × γ00(t)) · γ000(t)
kγ0(t) × γ00(t)k2 . (2.3.5)
Łatwo też sprawdzić, że jeśli krzywa γ jest dana od razu w parametryza-cji naturalnej, to wzory (2.3.4) i (2.3.5) redukują się do tych wynikajacych bezpośrednio ze wzorów Freneta.
Przykład 4 Okrąg o promieniu r ma krzywiznę 1/r. Linia prosta ma krzy-wiznę tożsamościowo równą zeru. Linia śrubowa z przykładu 2 ma krzykrzy-wiznę i skręcenie stałe i równe odpowiednio
κ = a
a2+ b2, τ =
b a2+ b2.
Krzywizna i skręcenie wyznaczają krzywą z dokładnością do izometrii. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla układów równań różniczkowych zwyczajnych wynika łatwo następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3 Dla dowolnych funkcji rzeczywistych gładkich κ i τ
określo-nych na przedziale I istnieje krzywa γ : I → R3, której krzywzina wynosi
κ, a skręcenie – τ . Dwie takie krzywe γ1 i γ2 różnią się tylko położeniem w
przestrzeni: γ2 = ι ◦ γ1 dla pewnej izometrii ι przestrzeni R3 (i stosownie
dobranych (jak ?) parametryzacji naturalnych).
Dowód. Równania Freneta prowadzą do następującego układu liniowych
równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu:
γ0 = T, T0 = κN, N0 = −κT + τ B, B0 = −τ B, (2.3.6)
o niewiadomych γ, T, N, B i danych współczynnikach κ i τ . Przy danych warunkach początkowych γ(t0) = x0, T (n0) = T0, N (t0) = N0 i B(t0) = B0,
układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli wektory (T0, N0, B0)
tworzą bazę ortonormalną, to i wektory (T (t), N (t), B(t)) tworzą takąż bazę dla dowolnego t. Istotnie, jeżeli T = (u1, u2, u3), N = (v1, v2, v3) i B =
(w1, w2, w3), to dla dowolnych i i j mamy
(d/dt)(uiuj + vivj+ wiwj) = u0iuj+ uiu0j + v 0 ivj + viv0j+ w 0 iwj + wiwj0 = κviuj+ κuivj + . . . ... = 0.
Zatem funkcje uiuj+ vivj+ wiwj, i, j = 1, 2, 3, są stałe i (wobec
ortonormal-ności warunków początkowych) przyjmują wartości δij (równe zeru gdy i 6= j
i jedności gdy i = j). Oznacza to, że macierz
u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3
jest ortogonalna, co dowodzi iż nasze wektory są ortonormalne. Oczywiście, krzywa γ otrzymana z rozwiązania układu (2.3.6) ma krzywiznę κ i skrę-cenie τ . Ponadto, zmiana warunków początkowych (x0, T0, N0, B0) na inne
(spełniające też powyższe warunki ortonormalności) powoduje zastąpienie rozwiązania γ przez A · γ + b, gdzie A jest ustaloną macierzą ortonormalną, zaś b ustalonym elementem przestrzeni R3.
3
Powierzchnie
3.1
Definicja i przykłady
Przypomnijmy najpierw, że odwzorowanie F : X → Y między przestrzenia-mi metrycznyprzestrzenia-mi (ogólniej, topologicznyprzestrzenia-mi) jest homeomorfizmem, gdy jest
ciągłe, różnowartościowe, F (X) = Y i przekształcenie odwrotne F−1 jest też ciagłe. Przypomnijmy także, iż odwzorowanie F = (F1, . . . , Fn) zbioru
otwartego V ⊂ Rk w Rn jest różniczkowalne klasy Cr (r = 1, 2, . . . , ∞), gdy wszystkie jego współrzędne posiadają wszystkie pochodne cząstkowe rzędu
¬ r ciągłe. Odwzorowanie takie jest dyfeomorfizmem klasy Cr, gdy jest
róż-nowartościowe i rząd macierzy " ∂Fi ∂xj (x); i ¬ n, j ¬ k #
wynosi k w każdym punkcie x ∈ V .
Definicja 7 Podzbiór S przestrzeni Rn nazywamy hiperpowierzchnią
k-wy-miarową, gdy każdy punkt p ∈ S posiada otoczenie U ⊂ Rm takie, że S ∩
U jest homeomorficzne z pewnym podzbiorem otwartym V przestrzeni Rk.
Hiperpowierzchnię S nazywamy regularną klasy Cr, gdy każdy punkt p ∈ S
posiada otoczenie Cr dyfeomorficzne z podzbiorem otwartym przestrzeni Rk.
Hiperpowierzchnię 2-wymiarową nazywamy po prostu powierzchnią. Liczbę
n − k nazywamy kowymiarem hiperpowierzchni S.
Przykład 5 Układ równań liniowych
n
X
i=1
aijxi = bj, j = 1, . . . n − k,
o macierzy [aij] rzędu n − k wyznacza w Rn hiperpłaszczyznę k-wymiarową.
Hiperpłaszczyzna taka jest hiperpowierzchnią wymiaru k i klasy C∞. Sfera
Sn(r) = ( x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn; n+1 X i=1 x2i = r2 )
jest hiperpowierzchnią kowymiaru 1 i klasy C∞. Istotnie, jeżeli x, y ∈ Sn
sa punktami antypodycznymi, to rzut stereograficzny z punktu y jest ho-meomorfizmem otoczenia Sn\ {y} punktu x na Rn, a jego odwrócenie jest
dyfeomorfizmem klasy C∞. Powierzchnia stożka
{(x, y, z) ∈ R3; z2 = x2+ y2, z 0}
jest powierzchnią (odpowiednim homeomorfizmem jest rzutowanie na płasz-czyznę Ox,y), ale nie jest powierzchnią regularną. Powierzchniami
regularny-mi w R3 są też paraboloidy (eliptyczna i hiperboliczna) oraz hiperboloidy
(jedno - i dwupowłokowa). Słuchacz bez trudu znajdzie odpowiednie dyfe-omorfizmy.
3.2
Przestrzeń styczna, wektor normalny, orientacja
Niech S ⊂ Rn będzie hiperpowierzchnią regularną wymiaru k i niech p ∈
S. Symbolem TpS oznaczmy zbiór wszystkich (zaczepionych w p) wektorów
stycznych w p do krzywych regularnych położonych na S:
v ∈ TpS ⇔ v = γ0(0),
where γ : (−, ) → S ⊂ Rn ( > 0) is a regular curve and γ(0) = p. Lemat 1 TpS jest k-wymiarową przestrzenią liniową.
Dowód. Niech F : V → S będzie takim dyfeomorizmem pewnego
otocze-nia V ⊂ Rk punktu 0 ∈ Rk, że F (0) = p. Niech
vi = ∂F1 ∂xi (0), . . . ,∂Fn ∂xi (0) ! ∈ Rn, i = 1, . . . , k.
Wtedy vi = γi0(0), gdzie γi(t) = F (0, . . . , t, . . . , 0) dla t ∈ (−, ), > 0 jest
dostatecznie małe i t ”stoi” na ”i”-tym miejscu w ciągu współrzędnych. Za-tem, vi ∈ TpS dla wszystkich i ¬ k. Z regularności odwzorowania F wynika,
że wektory v1, . . . , vk są liniowo niezależne. Wreszcie, jeżeli γ : (−, ) → S
jest dowolną krzywą na S taką, że γ(0) = p, to γ = F ◦ (F−1◦ γ) i z
twierdze-nia o rózniczkowaniu funkcji złożonej wynika, że γ0(0) jest liniową kombinacją wektorów v1, . . . , vk. TpS jest więc przestrzenią liniową o bazie v1, . . . , vk.
Przykład 6 Przestrzenią styczną do hiperpłaszczyzny jest ta sama hiper-płaszczyzna. Przestrzenią styczną do sfery (o środku w początku układu współrzędnych) w punkcie p jest przestrzeń złożona ze wszystkich wektorów prostopadłych do p.
Jeżeli S ⊂ R3 jest (dwuwymiarową) powierzchnią regularną i p ∈ S,
to istnieją dokładnie dwa jednostkowe wektory prostopadłe do płaszczyzny stycznej TpS. Np., jesli F : V → R3, V ⊂ R2, jest odwzorowaniem regularnym
opisującym S w otoczeniu punktu p, to wektorem takim jest zaczepiony w p wektor
N (p) = v1× v2 kv1× v2k
, (3.2.1)
gdzie vi = ∂F/∂ui i (u1, u2) są współrzędnymi na płaszczyznie R2. Wektor
Zmieniajac w powyższym wzorze punkt p otrzymujemy przyporządko-wanie p 7→ N (p), tj. funkcję N o wartosciach wektorowych. Funkcje takie nazywamy polami wektorowymi. N jest wiec polem wektorowym określonym w pewnym otoczeniu punktu p ∈ S.
Definicja 8 Powierzchnię regularną S nazywamy orientowalną, gdy istnieje na niej globalne (tj. określone na całym S ciągłe pole normalne N . Wybór
takiego pola nazywa się orientacją powierzchni. (Każda powierzchnia
orien-towalna ma więc dokładnie dwie orientacje.)
Przykład 7 Hiperpłaszczyzny, sfery, paraboloidy i hiperboloidy sa
oriento-walne. Przykładem powierzchni nieorientowalnej jest tzw. wstega M¨obiusa
którą otrzymuje się z prostokątnego paska papieru poprzez sklejenie krót-szych jego boków po uprzednim skręceniu jednego z nich w stosunku do drugiego o 180◦. Dokładniej, wtęga M¨obiusa jest obrazem w R3 obszaru
pła-skiego
V = {(u1, u2); u1 ∈ R, |u2| < 1}
w odwzorowaniu F danym wzorem
F (u1, u2) = (2 − u2sin u1 2) cos u1, (2 − u2sin u1 2 ) sin u1, u2cos u1 2 .
(Łatwo sprawdzić, że F jet regularne...)
Można wykazać, że każda regularna powierzchnia zwarta w R3 jest orien-towalna. Przykładem zwartej powierzchni nieorientowalnej (w R4) jest tzw.
butelka Kleina, którą otrzymuje sie z powierzchni bocznej walca obrotowego
poprzez skejenie brzegowych okręgów ”zorientowanych przeciwnie”. (Ćwicze-nie: Opisz butelkę Kleina równaniami.)
Twierdzenie 4 Powierzchnia regularna S jest orientowalna wtedy i tylko
wtedy, gdy posiada pokrycie otwarte (Ui; i ∈ N) takie, że Ui = Fi(Vi), gdzie
Vi ⊂ R2, Fi : Vi → Ui jest dyfeomorfizmem i dla dowolnych i, j ∈ N zachodzi
nierówność det " ∂Gijr(u1, u2) ∂us ; r, s = 1, 2 # > 0, (3.2.2)
Dowód. Jeżeli (Ui) jest takim pokryciem jak w Twierdzeniu, to pola
nor-malne Ni określone na Ui wzorem (3.2.1) z F zastąpionym przez Fi
wyzna-czają jedno globalne pole normalne N . Istotnie, z (3.2.2) wynika, że Ni = Nj
na Ui∩ Nj.
Odwrotnie, jeżeli N jest globalnym polem normalnym na powierzchni S i (Ui), jest dowolnym pokryciem otwartym S zbiorami postaci Ui = fi(Vi),
gdzie Vi są spójnymi podzbiorami otwartymi płaszczyzny, zaś fi : Vi → Ui
-różnowartościowymi odwzorowaniami regularnymi (istnienie takiego pokry-cia wynika bezpośrednio z określenia powierzchni regularnej), to to samo pokrycie wraz z odwzorowaniami Fi określonymi następująco: Fi = fi, gdy
wyznaczone przez fi wzorem (3.2.1) pole normalne Ni pokrywa się z N na
Ui, zaś Fi = fi◦ s, gdzie s : R2 → R2 jest dane wzorem
s(u1, u2) = (u2 ◦ u1),
w przeciwnym razie, spełnia warunek (3.2.2).
Twierdzenie to pozwala uogólnić (uważny Słuchacz odgadnie bez tru-du jak) pojęcia orientowalności i orientacji na przypadek dowolnej hiperpo-wierzchni.
3.3
Pierwsza forma podstawowa
Niech S będzie znowu k-wymiarową hiperpowierzchnią regularną w Rn. Na-turalny iloczyn skalarny h·, ·i w Rn indukuje iloczyn skalarny w każdej
prze-strzeni stycznej TpS, p ∈ S. Jeżeli F = (f1, . . . fn) : V → Rn, V ⊂ Rk, jest
odwzorowaniem regularnym opisującym powierzchnię S w pewnym otoczeniu
U , zaś Xj = ∂F ∂uj = ∂f1 ∂uj , . . . ,∂fn ∂uj ! ,
j = 1, . . . , k, są bazowymi polami wektorowymi na U stycznymi do S, to
wspomniany powyżej iloczyn skalarny wyznacza, dla każdego p ∈ U , dodatnio określoną, symetryczną formę dwuliniową g daną wzorem
g(X, Y ) = k X i,j=1 gijxiyj, (3.3.1) gdzie X = P
ixiXi i Y = PjyjYj są polami wektorowymi na U stycznymi
do S, zaś gij = hXi, Xji = n X l=1 ∂fl ∂ui · ∂fl ∂uj . (3.3.2)
Definicja 9 Formę g daną wzorami (3.3.1), (3.3.2) nazywa się pierwszą
formą podstawową powierzchni S.
Jak zobaczymy później, pierwsza forma podstawowa zawiera w sobie wiele informacji o geometrii powierzchni S.
Przykład 8 Słuchacz bez trudu wyznaczy współczynniki pierwszej formy podstawowej dowolnej hiperpłaszczyzny. Dla sfery jednostkowej Sn ⊂ Rn+1
i odwzorowania F , będącego odwróceniem rzutu stereograficznego z bieguna północnego n = (1, 0, . . . , 0) mamy gij = 0 gdy i 6= j oraz
gii(u) = (1 + kuk2)2
(por. przykład 5). Torus otrzymany przez obrót okręgu o promieniu r wokół osi położonej w płaszczyźnie tego okręgu i oddalonej od jego środka o R,
R > r, można opisać parametrycznie przy pomocy równań:
x = (R + r cos u1) cos u2, y = (R + r cos u1) sin u2, z = r sin u1.
Wtedy pierwsza forma podstawowa torusa przyjmuje postać:
g11(u) = (R−r sin u1)2+r2cos2u1, g12(u) = g21(u) = 0, g22(u) = (R+r cos u1)2.
dla wszystkich u = (u1, u2) ∈ R2.
3.4
Koneksja Levi-Civita i współczynniki Christoffela
Przez pole wektorowe na hiperpowierzchni S ⊂ Rn (dim S = m) rozumiemy funkcję X, która każdemu punktowi p ∈ S przypisuje wektor X(p) styczny do S w punkcie p: X(p) ∈ TpS dla wszystkich p ∈ S. Lokalnie, w obrazie
F (U ) ⊂ S odwzorowania F parametryzującego S, pole takie jest postaci
X = m X j=1 fj ∂F ∂uj , (3.4.1)
gdzie fj : U → R są funkcjami rzeczywistymi. Pole X jest gładkie, gdy
funkcje fj są różniczkowalne (klasy conajmniej C1).
Ponieważ odzworowanie F jest lokalnie odwracalne, więc gładkie pole wektorowe przedłuża się lokalnie do pola w otoczeniu V otwartym w Rn:
wektorowym na Rn. Mając takie pole Y i wektor v = (v
1, . . . vn) ∈ Rn, można
różniczkować Y w kierunku v. Pochodna kierunkowa DvY (p) (p ∈ Rn) dana
jest oczywiście wzorem
DvY (p) = X j vj ∂Y1 ∂xj (p), . . . ,X j vj ∂Yn ∂xj (p) , (3.4.2)
jest więc wektorem złożonym z pochodnych kierunkowych składowych Yj
pola Y (w kierunku v i w punkcie p). Z określenia pochodnej kierunkowej wynika, że
DvY (p) = (d/dt)(Y ◦ γ)(0), (3.4.3)
gdy γ : (−, ) → Rn jest krzywą przechodzącą w chwili t = 0 przez p i
styczną tam do v: γ(0) = p i γ0(0) = v. Pochodna ta zależy więc tylko od wartości pola Y wzdłuż takiej krzywej γ. Jeżeli v ∈ TpS, to v = γ0(0) dla
pewnej krzywej γ położonej na S, a więc DvY (p) zalezy tylko od wartości
pola Y na S. W szczególności, pochodna DvX(p) jest dobrze określona, gdy
X jest polem wektorowym na S i v ∈ TpS, p ∈ S.
A priori, wektor DvX(p) nie jest styczny do S i można go rozłożyć na
sumę składowej stycznej ∇vX(p) i składowej normalnej (której przyjrzymy
się później).
Definicja 10 Odwzorowanie ∇ przyporządkowujące wektorowi v stycznemu do S i polu wektorowemu X na S pochodną ∇vX nazywa się koneksją
Leci-Civita na S.
Z własności pochodnej kierunkowej wynikają od razu następujące wła-sności koneksji ∇:
∇a1v1+a2v2 = a1∇v1 + a2∇v2,
∇(X1+ X2) = ∇X1 + ∇X2,
∇v(f X) = Dv(f )Y (p) + f (p)∇vX,
gdy a1, a2 ∈ R, v, v1, v2 ∈ TpS, p ∈ S, f jest gładką funkcją rzeczywistą na S,
zaś X, X1 i X2 są polami wektorowymi na S. Tutaj, Dvf oznacza oczywiście
pochodną kierunkową funkcji f , która jest określona wzorem analogicznym do (3.4.3); dla wektorów v stycznych do S określenie to jest poprawne mimo iż f nie jest określona w otwartym podzbiorze przestrzeni Rn.
Jeżeli pola wektorowe X1, . . . , Xmsą liniowo niezależne w każdym punkcie
(podzbioru otwartego) hiperpowierzchni S, to dowolne pole wektorowe X, w szczególności pochodne ∇XiXj, i, j ¬ m, można przedstawić jednoznacznie
w postaci liniowej kombinacji pól Xk:
∇XiXj = m X k=1 ΓkijXk. (3.4.4) Funkcje Γk
ij, i, j, k = 1, . . . m, nazywa się współrzędnymi koneksji ∇ lub
sym-bolami Chrsitoffela (drugiego rodzaju). Jeżeli F : U → S jest parametryzacją
lokalną powierzchni S i Xi = ∂F/∂ui, to mamy natępujące
Twierdzenie 5 Dla dowolnych i, j i k ¬ m zachodzi równość Γkij = 1 2· m X r=1 gkr ∂gir ∂uj +∂gjr ∂ui − ∂gij ∂ur ! , (3.4.5)
gdzie grs, r, s ¬ m, są współrzędnymi pierwszej formy podstawowej
powierzch-ni S, zaś (grs) jest macierzą odwrotną do (g rs).
Dowód. Niech Xi = ∂F/∂ui będą polami bazowymi pochodzącymi od
parametryzacji F . Wtedy DXiXj = ∂2F ∂uiuj , (3.4.6) a więc DXiXj = DXjXi
dla wszystkich i oraz j. Z określenia funkcji Γkij wynika, że
Γkij =X r grkΓijr, . (3.4.7) gdzie Γijr = hDXiXj, Xri. Ponadto, ∂ ∂uk gij = Γkij + Γkji. (3.4.8)
Podobnie,
∂ ∂ui
gjk = Γijk+ Γikj oraz
∂ ∂uj
gik = Γjil+ Γjki. (3.4.9)
Wreszcie, (3.4.6) oznacza, że
Γijk = Γjik (3.4.10)
dla wszystkich i, j i k. Odejmując stronami (3.4.8) od sumy równości (3.4.9) i redukując wyrazy podobne (po zastosowaniu (3.4.10)) otrzymujemy (3.4.5).
3.5
Przeniesienie równoległe i geodezyjne
Z rozważań paragrafu 3.4 wynika, że jeżeli γ : J → S jest określoną na przedziale J krzywą (gładką) na (hiper-)powierzchni S, zaś X : J → T S jest
polem wektorowym wzdłuż γ, tzn. X jest funkcją przypisującą liczbom t ∈ J
wektory X(t) styczne do S w punkcie γ(t), to dobrze określona jest pochodna kowariantna X0 = ∇γ˙X. Pochodna ta jest znowu polem wzdłuż γ. Jeżeli
krzywa γ przebiega w zbiorze F (U ), gdzie F : U → Rn jest prametryzacją
hiperpowierzchni S i — jak poprzednio — Xi = ∂F/∂ui, to X =Pmi=1hiXi◦γ
i ˙γ = Pm
i=1γ 0
iXi ◦ γ dla pewnych funkcji hi : J → R; tu m = dim S i γi jest
i-tą współrzędną złożenia F−1◦ γ. Wtedy X0 = m X k=1 h 0 k+ m X i,j=1 γi0hjΓkij · Xk. (3.5.1)
Pole X wzdłuż krzywej γ na S nazywamy równoległym, gdy X0 = 0.
Z (3.5.1) wynika, że warunek równoległości jest równoważny jednorodnemu układowi liniowych równań różniczkowych zwyczajnych
h0k+
m
X
i,j=1
γi0hjΓkij ◦ γ = 0, k = 1, . . . m, (3.5.2)
o niewiadomych h1, . . . , hm. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
roz-wiązań dla takich układów wynika, że jeżeli a ∈ J i v jest wektorem stycznym do S w punkcie γ(a), to istnieje dokładnie jedno pole Xv : J → T S wzdłuż
Xa1v1+a2v2 = a1Xv1 + a2Xv2 dla dowolnych liczb a1, a2 ∈ R i wektorów v1, v2
stycznych do S w γ(a). Zatem, jeżeli a, b ∈ J i c = γ|J , to przyporządkowanie
τc : Tγ(a)S 3 v 7→ Xv(b) (3.5.3)
jest przekształceniem liniowym przestrzeni stycznej do S w punkcie począt-kowym krzywej c w przestrzeń styczną do S w punkcie końcowym tej krzywej. Definicja 11 Przekształcenie liniowe τc : Tc(a)S → Tc(b)S nazywamy
prze-niesieniem równoległym wzdłuż krzywej c.
Łatwo zaobserwować, że τcjest izomorfizmem przestrzeni stycznych.
Istot-nie, jeśli c− jest krzywą daną wzorem c−(t) = c(a + b − t) dla t ∈ [a, b], to przeniesienie τc− jest przekształceniem odwrotnym do τc. Podobnie, jeśli dwie
krzywe c1 : [a, b] → S i c2 : [b, d] → S mają wspólny koniec c1(b) = c2(b),
to wzory c(t) = c1(t) dla t ¬ b i c(t) = c2(t) dla t b określają krzywą
c : [a, d] → S oznaczaną zwykle przez c2 ∗ c1. Na ogół, krzywa ta jest
tyl-ko kawałkami gładka, tzn. przedział [a, d] można podzielić na części [ti, ti+1],
gdzie a = t0 < t1 < . . . tk = d, tak by c|[ti, ti+1] było krzywą gładką dla
każdego i; jeśli jest ona gładka, to
τc2∗c1 = τc2 ◦ τc1, (3.5.4)
co pozwala w naturalny sposób (tzn. jak ?) określić przeniesienie równole-głe wzdłuż dowolnej krzywej kawałkami gładkiej; przy tym równość (3.5.4) zachowuje się.
Definicja 12 Krzywą γ : J → S nazywamy geodezyjną, gdy pole ˙γ jest
równoległe, tj. wtedy, gdy
∇γ˙˙γ = 0. (3.5.5)
Zapisując układ (3.5.2) dla pola X = ˙γ otrzymujemy układ równań róż-niczkowych drugiego rzędu
γk00+
m
X
i,j=1
γi0γj0Γkij ◦ γ = 0, k = 1, . . . m, (3.5.6) równoważny warunkowi (3.5.5). Korzystając znowu ze stosownych twierdzeń teorii równań różniczkowych zwyczajnych otrzymujemy
Twierdzenie 6 Dla dowolnego punktu x ∈ S i dowolnego wektora v
stycz-nego w x do S istnieje geodezyjna γ : J → S określona na pewnym przedziale J , 0 ∈ J , taka, że
γ(0) = x i ˙γ(0) = v. (3.5.7)
Dwie takie geodezjne γ1 : J1 → S i γ2 : J2 → S pokrywają się na zbiorze
J1∩ J2. Zatem, istnieje dokładnie jedna maksymalna geodezyjna spełniająca
warunki początkowe (3.5.7).
Z (3.5.5) wynika łatwo, że
k ˙γk0 = 0 i k ˙γk = const.,
tj., że geodezyjne są sprametryzowane proporcjonalnie do długości łuku. Przykład 9 Geodezyjnymi na (hiper-)płaszczyznach są (sparametryzowa-ne proporcjonalnie do długości łuku) linie proste, na sferach — okręgi kół wielkich, na powierzchniach obrotowych — m. in. tworzące i “równoleżniki” odpowiadające punktom ekstremalnego oddalenia tworzącej od osi obrotu.
Pojawia się naturalne pytanie o geometryczne znaczenie linii geodezyj-nych. Aby je wyjaśnić rozważmy dowolną wariację krzywej regularnej γ : [a, b] → S, tj. takie odwzorowanie gładkie f : [a, b] × (−, ) → S, że
γ = f (·, 0). Wobec twierdzenia 1, nie zmniejszymy ogólności zakładając,
że γ ma parametryzację naturalną, tj. k ˙γ(s)k = 1 dla wszystkich s ∈ [a, b]. Oznaczmy przez L(t) długość krzywej γt = f (·, t). Ponieważ f jest
gład-kie, a krzywa γ – regularna, więc funkcja L jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu 0. Wyznaczymy pochodną L0(0):
L0(0) = d dt Z b a k(∂f /∂s)(s, t)k ds (0) = Z b a d dtk(∂f /∂s)(s, t)kds (0) = Z b a h(∂2f /∂t∂s)(s, 0), (∂f /∂s)(s, 0)i k(∂f /∂s)(s, 0)k(s, 0)k ds = Z b a h(∂2f /∂s∂t)(s, 0), (∂f /∂s)(s, 0)ids = Z b a h∇γ˙X, ˙γi ds = Z b a ((d/ds)hX, ˙γi − hX, ∇γ˙˙γi) ds = hX, ˙γi|ba− Z b a hX, ∇γ˙˙γi ds,
gdzie X = (∂f /∂t)(·, 0) jest tzw. polem wariacji f . Jeżeli wariacja f jest właściwa, tzn. gdy f (a, t) = γ(a) i f (b, t) = γ(b) dla wszystkich t, to X(a) =
X(b) = 0 i powyższy wzór redukuje się do następującego:
L0(0) = −
Z b
a
hX, ∇γ˙˙γi ds. (3.5.8)
Jeśli więc krzywa γ jest najkrótszą spośród krzywych na S łączących dane punkty x = γ(a) i y = γ(b), to równość (3.5.8) zachodzi dla dowolnego pola X wzdłuż γ zerującego się na końcach przedziału [a, b], skąd łatwo (!) wywnioskować, że γ jest geodezyjną. Innymi słowy mamy następujące Twierdzenie 7 Jeżeli krzywa γ jest najkrótszą krzywą na hiperpowierzchni
S łączącą dane punkty x, y ∈ S, to γ jest geodezyjną.
Odnotujmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, bo np. okrąg koła wielkiego na sferze jest geodezyjną zamkniętą, a więc łączącą pewien punkt
x ze sobą, podczas gdy najkrótszą krzywą łączącą x ze sobą jest oczywiście
krzywa stała (o długości 0). Jest tak dlatego, że — jak dobrze wiemy – punkt krytyczny funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej nie musi być punktem ekstremum tej funkcji.
3.6
Druga forma podstawowa
Załóżmy, że S jest n-wymiarową hiperpowierzchnią w Rn+1 zaś N
jednost-kowym polem wektorowym prostopadłym do S. Wtedy
hN (x), N (x)i = 1 ihN (x), vi = 0 (3.6.1) dla wszystkich x ∈ S i v ∈ TxS. Z (3.6.1) wynika, że
hN (x), DvN i = 1 2v(kN k 2 ) = 0, . Zatem, wzór A(v) = −∇vN, v ∈ TxS, x ∈ S, (3.6.2)
określa endomorfizm przestrzeni stycznych TxS; jest on zwany operatorem
Weingartena hiperpowierzchni S. Oczywiście, A zależy od wyboru N : jeśli
Definicja 13 Druga forma podstawowa hiperpowierzchni S jest to forma dwuliniowa b dualna do A w sensie następującym:
b(v, w) = hAv, wi, v, w ∈ TxS, x ∈ S. (3.6.3)
Innymi słowy,
b(v, w) = hDvN, wi. (3.6.4)
Jeżeli F : U → S jest parametryzacją lokalną hiperpowierzchni S, to forma b jest (na F (U )) jest wyznaczona jednoznacznie przez macierz [bij] jej
współczynników danych wzorami
bij = b(∂F/∂ui, ∂F/∂uj). Ponieważ D∂F /∂ui ∂F ∂uj = ∂ 2F ∂ui∂uj oraz ∂2F ∂ui∂uj = ∂ 2F ∂uj∂ui ,
więc z (3.6.4) wynika od razu, że bij = bji dla wszystkich i, j, że więc b jest
dwuformą symetryczną. Wracając do operatora Weingartena otrzymujemy Lemat 2 Operator Weingartena na dowolnej hiperpowierzchni jest
samo-sprzężony, tj.
hAv, wi = hv, Awi, v, w ∈ TxS, x ∈ S. (3.6.5)
Z powyższego lematu i twierdzenia spektralnego (por. np. [La]) wynika, że operator Weingartena A posiada tylko rzeczywiste wartości własne k1, . . . , kn
zwane krzywiznami głównymi hiperpowierzchni S. Odpowiadające im wekto-ry własne ei (Aei = kiei) tworzą bazę ortonormalną przestrzeni stycznej TxS
i wyznaczają tzw. kierunki główne na S. Krzywe na S styczne we wszystkich swoich punktach do kierunków głównych nazywa się liniami krzywiznowymi. Jeżeli w pewnym punkcie x0 hiperpowierzchni S wszystkie krzywizny
głów-ne są różgłów-ne, to w pewnym otoczeniu punktu x0 istnieje ortogonalna siatka
Przykład 10 Druga forma podstawowa hiperpłaszczyzny jest równa tożsa-mościowo zeru; mówimy więc, że hiperpłaszczyzna jest hiperpowierzchnią
cał-kowicie geodezyjną. Punkt x0 hiperpowierzchni S, w którym wszystkie
krzy-wizny główne są równe nazywamy umbilikalnym (lub kulistym); sfera Sn(r)
o promieniu r składa się z samych punktów kulistych bo jej operator Wein-gartena wynosi A = (1/r) · id i k1 = · · · = kn = 1/r, mówimy więc, że sfera
jest hiperpowierzchnią całkowicie umbilikalną. Na takiej sferze druga forma podstawowa jest proporcjonalna do pierwszej: bij = (1/r)gij dla wszystkich
i, j. (Można wykazać, że każda hiperpowierzchnia całkowicie umbilikalna w
Rn+1 jest kawałkiem hiperpłaszczyzny lub sfery, a każda hiperpowierzchnia całkowicie geodezyjna — kawałkiem hiperpłaszczyzny.) Tworzące i równo-leżniki na powierzchniach obrotowych są liniami krzywiznowymi: istotnie, wzdłuż danego południka γ pole N leży w płaszczyźnie zawierającej γ, za-tem i N0 = Dγ˙N leży w tej płaszczyźnie, skąd wynika iż ∇γ˙N jest równoległe
do ˙γ i — w konsekwencji — γ jest linią krzywiznową.
Elementarne funkcje symetryczne σj wartości własnych endomorfizmu A
dostarczają najbardziej naturalnych niezmienników endomorfizmu. W przy-padku operatora Weingartena A,
σj =
X
1¬i1<···<ij¬n
ki1ki2 · · · kij,
jest tzw. j-tą krzywizną średnią hiperpowierzchni S (n = dim S). Szczegól-nie ważną rolę w geometrii odgrywa pierwsza krzywizna średnia σ1 (lub jej
”uśredniony” odpowiednik H = 1nP
iki zwany po prostu krzywizną średnią)
oraz krzywizna Gaussa-Kroneckera σn = k1k2· · · kn. Zauważmy, że σ1 to
po prostu ślad operatora Weingartena A.
Hiperpowierzchnie o zerowej krzywiźnie średniej nazywa się
minimalny-mi gdyż są punktaminimalny-mi krytycznyminimalny-mi funkcjonału pola przypisującego
hiperpo-wierzchniom zwartym (ew. z brzegiem) S ich n-wymiarową miarę Lebesgue’a
|S|: |S| = Z U q det[gij]du, (3.6.6)
gdy hiperpowierzchnia S jest opisana przy pomocy jednego odwzorowania
F : U → S, a gij są współrzędnymi jej pierwszej formy podstawowej (por.
wzór (3.3.2)). Istotnie, z (3.6.6) wynika poprzez proste różniczkowanie, że jeżeli Ft, t ∈ (−, ), jest jednoparametrową rodziną odwzorowań regularnych
określonych na wspólnej dziedzinie U i takich, że Ft = F0 poza pewnym
Twierdzenie 8 Zachodzi równość d dt|St|(0) = −n Z U H · hN, Xiqdet[gij]du, (3.6.7)
gdzie X = (t 7→ Ft)0(0) jest polem wariacji (Ft), a St = Ft(U ) jest
hiperpo-wierzchnią daną przez Ft.
Dowód. Dla uproszczenia rozważań załóżmy, że pole X jest ortogonalne
do S i zróżniczkujmy funkcję P : (−, ) → R daną wzorem
P (t) = Z U q det[gij(t)]du, gdzie gij(t) = h ∂Ft ∂ui ,∂Ft ∂uj i
są współrzędnymi pierwszej formy podstawowej na St. Ponieważ gij(0) = δij,
więc det[gij(0)] = 1 i otrzymujemy
P0(0) = 1 2· n X k=1 Z U det g11(0) . . . ∂gdt1k(0) . . . g1n(0) . . . . . . . . . . . . . . . gn1(0) . . . ∂gdtnk(0) . . . gnn(0) ·(det[gij(0)]) −1/2 du. Ponadto, ∂gkk dt (0) = 2h ∂2F t dtduk , ∂F ∂uk i = 2h∂X ∂uk , ∂F ∂uk i = 2h∇∂F /∂ukX, ∂F ∂uk i = −2b(∂F ∂uk , ∂F ∂uk ).
Obliczając wyrażenie podcałkowe w powyższym wzorze na P0(0) możemy przyjąć, że w danym punkcie x mamy gij(x) = δij. Wtedy rozwinięcie
Lapla-ce’a daje, że wyrażenie to w punkcie x wynosi
−X
k
bkk(x)hX, N i = −nHhX, N i(x).
Zestawiając powyższe równości otrzymujemy (3.6.7).
Najprostszymi przykładami powierzchni minimalnych w R3 są
płaszczy-zna (tu b ≡ 0, więc i H = 0), helikoida (powierzchnia zbudowana z ”pozio-mych” linii prostych przechodzących przez punkty linii śrubowej i odpowied-nie punkty osi ”z”) i katenoida (powierzchnia otrzymana przez obrót linii
łańcuchowej y = cosh x). Teoria (hiper-) powierzchni minimalnych jest bar-dzo rozwinięta i pełna pięknych przykładów oraz interesujących i zaskakują-cych wyników. Zainteresowanego Słuchacza odsyłamy do bogatej literatury; zob. np. [Ni] i bibliografia tamże.
3.7
Krzywizna normalna
Niech γ będzie krzywą regularną o parametryzacji naturalnej na hiperpo-wierzchni S. Na ogół, wektor krzywizny γ00 nie jest styczny do S, ale zawsze można go rozłożyć na składowe: styczną do S (γ00)>i prostopadłą do S (γ00)⊥. Długości tych składowych (opatrzone ewentulanie stosownym znakiem) nazy-wa się odpowiednio krzywizną geodezyjną kg i krzywizną normalną kn krzywej
γ. Ponieważ γ00 = Dγ0γ0, więc kg jest długością wektora ∇γ0γ0 i γ jest
geode-zyjną wtedy i tylko wtedy, gdy kg ≡ 0. Krzywizna normalna kn jest równa
kn= hγ00, N ◦ γi, (3.7.1)
gdzie N jest ustalonym jednostkowym polem wektorowym prostopadłym do
S. Oczywiście, kn zależy (tak jak operator Weingartena i krzywizny główne)
od N . Z (3.7.1) i określenia drugiej formy podstawowej wynika od razu, że
kn= b(γ0, γ0). (3.7.2)
Zachodzi zatem natępujące
Twierdzenie 9 Krzywizna normalna krzywej γ położonej na
hiperpowierzch-ni S zależy tylko od wektora γ0 stycznego do γ.
Innymi słowy, dowolne dwie krzywe położone na S, przechodzące w chwili
t0 przez punkt x0 ∈ S i styczne tam do tego samego wektora v0 mają tą samą
krzywiznę normalną w chwili t0.
Co więcej, w przypadku ”zwykłej” powierzchni (tj. gdy dim S = 2 i
S ⊂ R3), krzywizna normalna krzywej γ położonej na S pokrywa się ze ”zwykłą” krzywizną krzywej otrzymanej jako przekrój normalny powierzch-ni S płaszczyzną styczną do γ. W tym przypadku mamy też kolejne
Twierdzenie 10 (Meusnier) Środek z0 okręgu ściśle stycznego w punkcie x0
do krzywej regularnej γ na powierzchni S jest rzutem prostokątnym na płasz-czyznę ściśle styczną w x0 do γ środka okręgu ściśle stycznego w x0 do
Przypomnijmy, że okrąg ściśle styczny do krzywej regularnej γ w jej punk-cie x0 ∈ R3, to jedyny okrąg O przechodzący przez x0 i posiadający tam z
krzywą γ rząd styczności > 1. Okrąg taki leży w płaszczyźnie ściśle stycznej do γ i ma promień równy odwrotności krzywizny κ tej krzywej (= ∞, gdy
κ = 0; wtedy okrąg ścisle styczny staje się prostą i — oczywiście — pokrywa
się z prostą styczną do γ).
Dowód. Niech z00 będzie środkiem krzywizny wspomnianego przekroju nor-malnego. Wtedy
z00 − x0 =
1
kn
· N (x0).
Rzutując punkt z00 na płaszczyznę ściśle styczną do γ otrzymujemy punkt z000 taki, że
z000 − x0 = h(z00− x0), n(x0)i · n(x0) =
1
κ · n(x0),
gdzie n oznacza wektor normalny główny krzywej γ, a κ jest jej krzywizną. Zatem, z000= z0.
Zauważmy jeszcze, że w przypadku powierzchni dwuwymiarowej krzy-wizny główne są maksymalną i minimalną wartością krzykrzy-wizny normalnej pośród wszystkich krzywych położonych na danej powierzchni S i przecho-dzących przez dany punkt x0. Istotnie, jeśli k1 i k2 są krzywiznami
główny-mi powierzchni S w punkcie x0, a v1 i v2 — ortogonalnymi wektorami
jed-nostkowymi wyznaczającymi odpowiadające im kierunki główne, przy czym
k1 ¬ k2, to dla dowolnej krzywej γ : (−, ) → S z γ(0) = x0 istnieje liczba
rzeczywista α, dla której γ0(0) = cos αv1+ sin αv2 oraz
kn(0) = cos2αk1+ sin2αk2,
skąd
k1 ¬ kn(0) ¬ k2.
3.8
Odwzorowanie i krzywizna Gaussa
Ograniczmy się teraz do przypadku ”zwykłej” dwuwymiarowej, regularnej powierzchni S ⊂ R3 i załóżmy, że N jest jednostkowym polem ortogonalnym do S.
Definicja 14 Odwzorowaniem Gaussa powierzchni S nazywamy
przekształ-cenie Γ : S → S2 przyporządkowujące każedmu punktowi x ∈ S koniec
Odwzorowanie Γ jest oczywiście różniczkowalne, a jego różniczka dΓ(x) przekształca płaszczyznę styczną TxS w punkcie x do S w równoległą doń
płaszczyznę styczną TΓ(x)S2w punkcie Γ(x) do sfery jednostkowej S2.
Utożsa-miając te płaszczyzny poprzez ”zwykłe” przeniesienie równoległe w R3
może-my różniczkę dΓ(x) traktować jako endomorfizm dwuwymiarowej przestrzeni liniowej TxS. Zatem, dobrze zdefiniowany jest wyznacznik
K(x) = det dΓ(x) = det a b
c d
! !
, (3.8.1)
gdy dΓ(x)(e1) = ae1 + be2, dΓ(x)(e2) = ce1 + de2, zaś e1, e2 tworzą parę
liniowo niezależnych wektorów stycznych w x do S; oczywiście, wartość K(x) w (3.8.1) nie zależy od wyboru wektorów e1, e2.
Definicja 15 Liczbę K(x) w (3.8.1) nazywamy krzywizną Gaussa powierzch-ni S w punkcie x.
Zauważmy po pierwsze, że K(x) nie zależy od wyboru pola N prostopa-dłego do S. Istotnie, zmiana N na −N powoduje zmianę odwzorowania Γ na −Γ i zmianę znaku wszystkich liczb a, b, c, d w (3.8.1), ale nie powoduje zmiany wyznacznika K(x) = ad − bc. Po drugie, zauważmy, że twierdzenie o zamianie zmiennych pod znakiem całki podwójnej pozwala wyrazić krzywinę
K(x) w natępujący, bardziej geometryczny, sposób:
K(x) = (x) · lim
D→{x}
|Γ(D)|
|D| , (3.8.2)
gdzie D jest małym otoczeniem punktu x na S, |D| jest jego polem, |Γ(D)| - polem jego obrazu sferycznego danego przez odwzorowanie Gaussa Γ, zaś
(x) = sgn det dΓ(x) jest znakiem wyznacznika różniczki tego odwzorowania.
Wreszcie, z (3.8.1), oczywistego wzoru
dΓ(x)(v) = DvN
oraz określenia drugiej formy podstawowej powierzchni S wynika od razu wzór K = det b det g = b11b22− b212 g11g22− g122 , (3.8.3)
gdzie bij i gij są odpowiednio współrzędnymi drugiej b i pierwszej g fromy
podstawowej powierzchni S (oczywiście w tej samej parametryzacji F ). Po-nadto, wzór (3.8.1) można wyrazić w postaci
K(x) = k1k2, (3.8.4)
gdzie k1 i k2 są krzywiznami głównymi powierzchni S w punkcie x.
Ze względu na znak krzywizny Gaussa punkty powierzchni dzielimy na
eliptyczne (tj. takie, w których krzywizna Gaussa jest dodatnia), hiperbo-liczne (w których krzywizna Gaussa jest ujemna) i parabohiperbo-liczne (w których
krzywizna Gaussa jest równa zeru). Zatem, punkt x ∈ S jest eliptyczny, gdy obie krzywizny główne mają ten sam znak (dodatni lub ujemny), hiper-boliczny — gdy krzywizny główne są przeciwnych znaków, parahiper-boliczny — gdy jedna z krzywizn głównych jest równa zeru. Ponadto, jeżeli w punkcie
x ∈ S obie krzywizny główne są równe zeru, to x nazywa się punktem spłasz-czenia powierzchni S. Tak więc, sfery i elipsoidy składają się wyłącznie z
punktów eliptycznych, hiperboloida jednopowłokowa — z samych punktów hiperbolicznych, powierzchnia walca obrotowego — z samych punktów para-bolicznych (nie będących punktami spłaszczenia), płaszczyzna — z samych punktów spłaszczenia. Oczywiście, istnieją powierzchnie zawierające punkty wszystkich rodzajów.
W definicji krzywizny Gaussa i wzorach (3.8.1) - (3.8.4) występują ele-menty tzw. geometrii zewnętrznej powierzchni S. Okazuje się jednak, że krzy-wizna Gaussa należy do geometrii wewnętrznej powierzchni: można ją wyra-zić przy pomocy samych współrzędnych pierwszej formy podstawowej i ich pochodnych. Fakt ten został zuważony już przez Gaussa i jest zawarty w słynnym twierdzeniu zwanym Theorema Egregium:
Twierdzenie 11 (Theorema Egregium) Jeżeli F : U → S jest
odwzoro-waniem parametryzującym powierzchnię S i takim, że g12 = 0 (tj. takim,
że krzywe s 7→ F (s, u2) i t 7→ F (u1, t) są dla wszystkich wartości u1 i u2
prostopadłe), to K = −√ 1 g11g22 " ∂ ∂u1 1 √ g11 · ∂ √ g22 ∂u1 ! + ∂ ∂u2 1 √ g22 · ∂ √ g11 ∂u2 !# . (3.8.5)
Dowód. Dowód jest w zasadzie czysto rachunkowy, więc go tylko
Dla uproszczenia oznaczeń przyjmijmy, że
Fi = (∂F )/(∂ui), Fij = (∂2F )/(∂ui∂uj)
itd. Zatem, gij = hFi, Fji, zaś bij = hFij, N i, gdzie N jest jak zwykle
jednost-kowym polem wektorowym prostopadłym do S. Przyjmijmy, że
F11= aF1+ bF2+ cN. Ponieważ g12= 0, więc a = hF11, F1i · g11−1. Ponadto, ∂g11 ∂u1 = 2hF11, F1i, skąd a = 1 2g11 · ∂g11 ∂u1 . Podobnie, b = − 1 2g22 ·∂g11 ∂u2 i c = b11/ Zatem, F11 = 1 2g11 ·∂g11 ∂u1 · F1− 1 2g22 · ∂g11 ∂u2 · F2+ b11N. (3.8.6) Podobnie, F12 = 1 2g11 ·∂g11 ∂u2 · F1− 1 2g22 · ∂g22 ∂u1 · F2+ b12N (3.8.7) oraz F22 = 1 2g11 ·∂g22 ∂u1 · F1− 1 2g22 · ∂g22 ∂u2 · F2+ b22N. (3.8.8)
Ponieważ wektor F112−F121jest równy zeru, więc wszystkie jego współrzędne
w bazie {F1, F2, N } również się zerują. Różniczkując prawe strony wzorów
(3.8.6) i (3.8.7) odpowiednio względem u2 i u1, przedstawiając różnicę
wyników różniczkowania we wspomnianej bazie przy użyciu wzorów (3.8.6) -(3.8.8) i wyliczając współczynnik przy F2 otrzymujemy
0 = 1 4g11g22 · ∂g11 ∂u1 ·∂g22 ∂u1 − ∂ ∂u2 ∂g11/∂u2 2g22 ! − 1 4g2 22 · ∂g11 ∂u2 · ∂g22 ∂u2 + 1 4g11g22 · ∂g11 ∂u2 ·∂g22 ∂u2 − ∂ ∂u1 ∂g22/∂u1 2g22 ! − 1 4g2 22 · ∂g22 ∂u1 · ∂g22 ∂u1 − b11b22− b 2 12 g22 .
Dzieląc obie strony ostatniej równości przez g11, przenosząc ostatni składnik
(równy krzywiźnie Gaussa !) na lewą stronę i porządkując wyrazy pozostałe po prawej stronie otrzymujemy (3.8.5).
Stosunkowo łatwo pokazać, że współrzędne ortogonalne (tj, takie, że g12=
0) istnieją na dowolnej powierzchni. Znacznie trudniej udowodnić, że na do-wolnej powierzchni istnieją tzw. współrzędne izotermiczne, tj, takie współ-rzędne ortogonalne, dla których g11 = g22. Istnienie takich współrzędnych
pokazał S. S. Chern w [Ch]. Jeżeli g11= g22 = ρ2, to wzór (3.8.5) przyjmuje
(wykazać !) prostą postać
K = −1
ρ2 · 4 ln ρ, (3.8.9)
gdzie — jak zwykle — 4 oznacza zwykły operator Laplace’a na R2.
3.9
Wzory Codazziego i podstawowe twierdzenie teorii
powierzchni
Niech A i b będą odpowiednio operatorem Weingartena i drugą formą pod-stawową hiperpowierzchni S. Dla dowolnych pól wektorowych stycznych do
S przyjmijmy
(∇XA)(Y ) = ∇X(AY ) − A(∇XY ) (3.9.1)
oraz
(∇Xb)(Y, Z) = DX(b(Y, Z)) − b(∇XY, Z) − b(Y, ∇XZ). (3.9.2)
Proste rachunki pokazują, że operatory ∇A : (X, Y ) 7→ (∇XA)(Y ) oraz
∇b : (X, Y, Z) 7→ (∇Xb)(Y, Z) są liniowe nad pierścieniem funkcji
różnicz-kowalnych na S ze względu na wszystkie zmienne, tj., że jeśli np. X i Y są polami wektorowymi stycznymi do S, a f : S → R jest funkcją różniczkowal-ną, to
(∇f XA)(Y ) = (∇XA)(f Y ) = f · (∇XA)(Y ).
Twierdzenie 12 Dla dowolnych pól X i Y stycznych do S zachodzi równość (∇XA)(Y ) = (∇YA)(X). (3.9.3)
Dowód. Ze względu na wpomnianą powyżej wieloliniowość operatora ∇A
∂F/∂uj dla pewnej parametryzacji F naszej hiperpowierzchni i dowolnych
i, j ¬ n = dim S. W tym przypadku mamy
(∇XA)(Y ) = −∇XDYN + D∇XYN = − ∂2N ∂ui∂uj !> + D ∂2F ∂ui∂uj >N
i (3.9.3) wynika od razu poprzez zastosowanie równości
∂2Z/∂ui∂uj = ∂2Z/∂uj∂ui
odpowiednio do Z = N i Z = F .
Wniosek 1 Dla dowolnych pól wektorowych X, Y i Z stycznych do S mamy (∇Xb)(Y, Z) = (∇Yb)(X, Z). (3.9.4)
W konsekwencji, dla dowolnych i, j i k ¬ n = dim S mamy
∂bjk ∂ui −X l bjlΓlik = ∂bik ∂uj −X l bilΓljk, (3.9.5)
gdzie brs i Γmrs są współczynnikami drugiej formy podstawowej i symbolami
Christoffela na S.
Równania (3.9.3) oraz równoważne im (3.9.4) i (3.9.5) nazywa się wzorami
Codazziego.
Na zakończenie sformułujmy (bez dowodu, który polega na zastosowaniu stosownych twierdzeń teorii równań różniczkowych) tzw. podstawowe
twier-dzenie teorii powierzchni.
Twierdzenie 13 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to by formy
sy-metryczne g = g11x2 + 2g12xy + g22y2 i b = b11x2 + 2b12xy + b22y2 określone
w pewnym obszarze płaskim D ⊂ R2 były pierwszą i drugą formą
podstawo-wą pewnej powierzchni S potrzeba i wystarcza by g była określona dodatnio oraz by były spełnione równania Gaussa (3.8.3) z K danym przez (3.8.5) i Codazziego (3.9.5).
Literatura
[Bie] M. Biernacki, Geometria różniczkowa, I i II, PWN, Warszawa
1954/55.
[Car] M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Pren-tice Hall, 1986.
[Ch] S. S. Chern, An elementary proof of the existence of isotermal
pa-pameters on a surface, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 771–782.
[GO] J. Gancarzewicz, B. Opozda, Wstęp do geometrii różniczkowej,
Wyd. UJ, Kraków 2003.
[Goe] A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965.
[Ku] W. K¨uhnel, Differential Geometry, Amer. Math. Soc., 2002.
[La] S. Lang, Algebra, PWN, Warszawa.
[Ni] J. C. C. Nitsche, Vorlesungen ¨uber Minimalfl¨achen, Springer Verlag, 1975.
[Op] J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN,
