Beitrag zur theorie der unterwassertragflügel

A

_RCIJI

von

I)iI.-lng. Helmut Schwanceke

Mitteilonif der Yersurhsaiistall Ihr Ìsserbau und SchilFhau. Berlin

Lab. y.

Scheepsbou

Technische

HogechooI

lleitia

zur

Theorie

ti

er

Uuterassertrallüge1

Beitrag zur Theorie der Unterwassertragflügel

Es werden für den ebenen Fall die durch die freie

Wasser-oherfläthe induzierten Zusatzgeschwindigkeiten und die sich

daraus ergebende Anderung des Strömungsverlaufes am Ort des Tragflügels bestimmt. Der Tragflügel wird dabei durch

eine gebundene Wirbelfläclie ersetzt.

1. Einleitung

Zur Ermittlung der Auftriebsverteilung an einem

Unter-wassertragflügel müssen die Oberflächenverformung über dem Tragflügel und die sich daraus ergebenden

Störgeschwindig-keiten am Ort desTragflügels bekannt sein. Zur Lösung dieses

Problems kann der Tragiluigel entweder durch einen gebun-denen Einzeiwirbel ersetzt werden, wie es z. B. von

Pos-sin [1]**), Weinig [2], Krienes [3] und Wu [5]

durch-geführt wurde, oder es kann an Stelle des Tragfiügels eine

gebundene Wirbelifäche eingeführt werden, wie es Krienes in

einer späteren Arbeit [41 vornimmt. in dieser Arbeit gibt

Krienes cine mathematisch strenge Lösung für eine gebundene Wirbeifläche endlicher Spannweite an, die er zur numerischen

Auswertung dahingehend vereinfacht, daß er den Übergang

von der tragenden Fläche endlicher Spannweite zur tragenden Linie endlicher Spannweite vollzieht.

In der vorliegenden Arbeit wird eine Lösung für eine

tra-gende Wirbeifläche unendlicher Spannweite angegeben. Eine

Beschränkung der Untersuchungen auf den ebenen

Fall

erscheint gerechtfertigt, da sich auf Grund von Messungen [8]

ein nahezu konstanter Oberfiächeneinfluß über der

Spann-weite ergab. Die Berücksichtigung des endlichen Streckungs-verhältnisses des Tragflügels kann daher näherungsweise wie im ausgedehnten Medium vorgenommen werden.

Bei der Ermittlung der Strömungskräfte an Unterwasser-tragflügeln sind der unterkritische und der überkritische

Ge-sdiwindigkeitsbereich zu _{unterscheiden. Als} kritische

Ge-schwindigkeit kann dabei die sich aus der Froudesdien Tiefen. zahl _{= i ergebende Geschwindigkeit vK = j/gh}

angesehen werden. Dabei ist für h die Wassertiefe über dem Profil einzusetzen, da der Strömungszustand auf der

Saug-seite eines Unterwassertragflügels als Flachwasserproblem

auf-gefaßt werden kann (vergl. z. B.

[7] und [8]). Wird die

Wassertiefe unter dem Tragfiügel als sehr groß angenommen,

so ist im unterkritischen Geschwindigkeitsbereich der Über-gang von der Strömung über dem Tragflügel zu derjenigen hinter ihm stetig. Im überkritischen Bereich vollzieht sich

dagegen dieser Übergang unstetig, d. h. bei kleinen

Geschwin-digkeiten, die in der Nähe der kritischen Geschwindigkeit _K

liegen, tritt ein Wechselsprung im Bereich der Hinterkante auf und bei höheren Geschwindigkeiten, die überdies weit genug oberhalb der kritischen Geschwindigkeit liegen, wird

) Auszugsweise Veröffentlichung einer mit Unterstützung der

Deutschen Forschungsgemeinschaft durchgeführten Arbeit. Die

vollständige Arbeit ist im Heft 46 der ,,Mitteilun gen der Versuchs-anstalt für Wasserbau und Schiffbau" bzw. im Bericht 101/58 ent-halten.

") Zahlen in eckigen Klammern f .. ¡ siehe Abschnitt 11.

(Schrifttum).

Von Helmut Schwanecke, Berlin*)

Mitteilung der Versuchsanstalt für Wasserbau und Sdiiffh;iu, Berlin

der Übergang von der überkritischen zur unterkritischen

Strö-mung in der Form eines gewellten Wechseisprunges hinter

dem Tragflügel vollzogen. Der Übergang der einen Strömungs-form in die andere ist notwendig. da bei genügender

Wasser-tiefe unter dem Tragflügel ein Fortbestehen des

überkriti-schen Strömungszustandes hinter dem Tragflügel physikalisch nicht möglich ist.

Betrachtet man die Verhältnisse an einem der zurzeit im

Betrieb befindlichen Tragflügelboote, beispielsweise an einem

20-t-Boot mit einer Dienstgeschwindigkeit von 55 km/h und

einem Maximaltiefgang auf Tragflächen von 1,2 m, so ergibt

sich eine Froudesthe Tiefenzahl h = 4,5. Der Strömungs.

zustand an den Tragflächen ist also überkritisch. Di_vorliegende

Arbeit befaßt sich daher auch im wesentlichen nur mit dem

überkritischen Strömungszustand.

2. Bestimmung

der induzierten Zusatzgeschviuud igkeit

Voraussetzungen:

Zähigkeitsfreies und inkompressibles Medium, Ebene Strömung,

Gültigkeit der Theorie dünner Profile, Kleine Störungen (lineare Theorie), Konstante Fortschrittsgeschwindigkeit.

Das hydrodynamische Grundgesetz lautet für ideale inkom-pressible Flüssigkeit

do

Q

----+gradpSi=O.

_(i) Mit = - grad U. wobei U = Q gz, und Einführung des

dimensionslosen Beschleunigungspotentiales do

dv

=

vo, grad W

ergibt sich aus (1)

Q v2 grad W + grad p + grad U = O.

Durch Integration wird daraus

111= P

₊

g

Q y,, y02

Mit der Zusatzgeschwindigkeit O _{folgt für den stationären}

/ao

Full ( - = O unter Vernachiassigung der quadratischen

\8t

/

Glieder aus (2)

i

a,

gradW,

(5)

wenn sämtliche Längen durch Division mit einer noch näher

zu bestimmenden Bezugslänge 1* (vgl. Abschn. 6)

dimen-sionslos gemacht und durch Jberstreichen die dimendimen-sionslosen Längen gekennzeichnet werden.

Mit der Kontinuitätsbedingung divO1 = O ergibt sich unter Berücksichtigung von (5)

AW=O

(6)

d. h. das Beschleunigungspotential genügt der Laplace'schen

Gleichung.

Wird das diriiensionsiose Gesdiwindigkeitspotential I

ent-sprechend

= - grad '1

bi

(7) vo

eingeführt, so ergibt sich wegen A = O der Zusammenhang

zwischen dem Beschleunigungspotential und dem Geschwindig-keitspotential aus

bzw.

Anp/pomr;cn/w,g

F

Bild i Die tragende Fläche (zT) in der Tiefe h Unter der freien Wasseroberfläche (zw)

Anstellwinkel vorausgesetzt, so daß die tragende Fläche durch ihre Projektion auf die x-y-Ebene ersetzt werden kann. An der

tragenden Fläche besteht dann eine Unstetigkeit in der

Ge-schwindigkeitskomponente in x-Riclitung von der Größe

uS(i) UD(X)

(13) v

=ÇWd.

Damit ergeben sich die Zusatzgeschwindigkeiten tung und w in z-Richtung zu

u vo und X w

-

dx. V»

-3. Einführung der tragenden Fläche

Der Unterwassertragflügel wird durch eine in der Tiefe h unter der ungestörten freien Oberfläche ( = 0) liegend

an-genommene gebundene Wirbelflächc mit der Zirkulation

()

_{= f ()}

(12)

vo

ersetzt. Die Anströmung erfolgt von links, die Länge der

Wirbeifläche sei gleich 1 2 t = 2 (Bild 1). Es werden kleine

2

2

folgt mit y

= Vo +u unter Vernachlässigung der

quadra-tischen Glieder

wenn mit die dimensionslose Ordinate der freien

fläche bezeichnet wird (Bild 1). Wegen (10) ist

u(a,2)

z, (x) = -

- W (x,za).

vo

Da nach Voraussetzung klein ist, kann

() "zW(a,0)

und

3(a)

w(a,0)

Vo

Ober-gesetzt werden. Unter Berücksichtigung von (11) ergibt sich dann die Randbedirigung für die freie Oberfläche im

unter-kritischen Bereich zu

-3w

(i3O) +

(i3O) =0.

(19)

An der Oberfläche über dem Tragflügel verschwinden wegen des überkritischen Strömungszustandes die

Geschwindigkeits-komponente in z-Riditung w (, 0). Dann folgt mit (11) die Randbedingung für die freie Oberfläche über dem

Trag-flügel zu

5. l)ie tragende Fläche tinter Berücksichtigung

der freien Oberfläche

Mit den Ergebnissen der vorangegangenen Abschnitte kann

jetzt ein Ansatz für die Zirkulationsverteilung der tragenden

Fläche gemacht werden. Der Ansatz ist so zu wählen, daß die folgenden Bedingungen erfüllt werden:

W muß an der tragenden Fläche unstetig sein, derart,

daßI W(a) I

=

wird. Vor und hinter der

tragen-vo

den Fläche muß W verschwinden.

muß an der tragenden Fläche stetig sein. oz

) Index S': Sau gselte (Oberseite) Index ,,D": Druccseite (Unterseite)

3w

(a,0) = 0

(20)

Infolge des Ansteliwinkels wird eine Abwärtsgesthwindigkeit w (a) induziert. Sie hat die Größe

V _)T 3ii

(14)

wenn mit dem Index ,,T" die charakteristischen Größen der

tragenden Fläche bezeichnet werden. Diese

Geschwindigkeits-komponente hat aber, da die tragende Fläche als unendlich dünn und als eben vorausgesetzt wird, an den übereinander liegenden Punkten der Oberseite und der Unterseite jeweils den gleichen Wert. D. h. die Abwärtsgeschwindigkeit w ()

ist in

= h stetig.

4. Einführung der freien Oberfläche

Aus der Bernoullischen Gleichung

y2 + p + Qgz = C

u z

-

= -

g =

vo y02

=

(k[1 +

) cosk()dkd.

(21) Die Funktion f() wird nach Betz/Birnbaum angesetzt zu

fi)

=(2a)

/i +4V f2

Da f() außerhalb der tragenden Fläche verschwindet, kann für das Beschleunigungspotential über der tragenden Fläche

(2>

h) der Ansatz gemacht werden:

=

-I-1 (23)

=---T [

Çexp (k [2

_{+I) cos () dkd}

2t

1

J t J

0

und unterhalb derselben (2 <h)

WD(X,Z) =

Ç1

$

(k [2 + ) (

) dkd.

25r J t

(24)

1

0

Am Ort der tragenden Fläche wird dann entsprechend (10) und (13)

= W0 (, h)

111

(,

=

vo

wobei

00

W(i,ä,h,)

exp (k [ +]) cosk (2) dk.

2t

(27) Die Integration dieses Ausdruckes ergibt

2r

(2 + h)2 + (5i)2

i

+h

=W1.

(28)

Die Beziehung (28) ist nun an die beiden

Randbedingun-gen (19) und (20) anzupassen. Hierbei zeigt es sich, daß die

+1

ç f()

tJ

cos k (2

_{) dkd.}

0=1

1

0

Der Ausdruck - (2,2) hat, wie sich durch Differentiation

32

der Ausdrücke (23), (24) zeigen läßt, für 2 = h auf der

Oberseite und der Unterseite der tragenden Fläche den

glei-chen Wert.

Da in dem Ausdruck (21) die Reihenfolge der Integrationen beliebig ist, genügt es zunächst, den Einfluß einer Elementar-störung zu untersuchen. Es kann also gesetzt werden

W(2,2,

=7J-!)

W(2,2,) d

(26)

±(Si(x_

und mit (20)

(22) (k) = exp ( kh)

-1/

2+i

2-- 2

(2+2 + (2_)2

±

(2h)2 + (2_)2

und im Bereich hinter der Tragfläche mit (28) und (32) (25)

w-Lösung (28) die Randbedingung in beiden Fällen nicht befrie-digt. Es wird daher ein Zusatzpotential W2 eingeführt, derart, daß die Randbedingungen durch den Ansatz

W = w1 + w0

erfüllt werden. Der Aufbau des Zusatzpotentiales W2 wird

analog W0 mit einer durch die Erfüllung der Gleichungen (19)

und (20) zu bestimmenden, zunächst unbekannten

Konstan-ten, C1 (k) bzw. C., (k), gewählt. Der Ansatz lautet:

=

C1

(k)exp (k2) cosk (2) dk.

(29)

2t .)

])as Zusatzpotential W2 hat dann die Größe

bzw.

1

Jex (- k - 2)) cos k (2 ) dk

(33) Damit lautet die Beziehung für das Beschleunigungspoten-tial im Bereich über der Tragfläche mit (28) und (33)

(34)

Mit (19) ergibt sich für k0

C1 (k) =

+

2

exp ( kh)

(30)

\

k_17

00 W21 =

exp (- k

2]) tos k (2 ) dk +

+ ' I

k1

exp (k[h-2]) cosk(2) dk

(32) (31)

1f

2+h

2h

2t k, (2 + h)2 + (2)2

(2h)2 + (2)2

2

ç 1

_{exp (k [2- h)) tos k (2 ) dk}

₍₃₅₎

Jk-1

/

Der in (35) auftretende Intcgralausdruck hat (lie Lösung

(vgl. z. B. [3]),

exp (1 h)

sin (2

) + C < 2 cos (2 ) +

O > t _-

wexp(w)

I sin (xj)_]

--

dw

2 /

J

w+(-zh

Damit wird aus (35)

i

J

2h

2

(2 + h)t + (2_)2

(2h)2 + (2_)2

+ 2t exp (2h) sin d2- )+

+ 2 exp (2h)

< 2 cos (2 ) +

(36) 0

2> sin(--)_ [

wexp(w)

dw

2)

J

w+(2-zh

an der freien Oberfläche über dem Tragflügel muß sein 3W

= 0.

32

an (lcr freien Oberfläche hinter dem Tragfiuigel muß

32W 3W

sein

+-

=0.

Um die Funktion f () nach (12) an die Randbedingungen

anpassen zu können, wird sie mittels einer verallgemeinerten

Fourier'schen Integraldarstellung [4] in die folgende Form

i

+h

2t (+h)2+

(j_)2

(_})2+ ()2

+ 4 t exp ( h) sin (

+ 2 exp ( h)

_{C1 <f -}

cos ( - ) +

+

(s1

< -

_{) sin (Ii )}

-wexp(w)

dw

w2+(_)2

_f

und für ()<0

Für () >0 ist nach (40)

(,

)

=

0. (41)

Zur Bestimmung des Wellenwiderstandes ist die Form der Oberfläche, die sich nach (16) ermitteln läßt, von Bedeutung.

Für den Bereich der Tragfläche (-1 + 1) ist nach (34) (42) 4 ( h + exp ( J2 _{sin (} 't

h2+ (i)2

+C1<)cos() +

(S<>--

)__

wexp(w)

I

dw J w2 +

(_)2

J

h

Entsprechend dem Cbergang von der überkritischen zur

unterkritischen Strömung (Wechseisprung) hinter dem Trag-flügel ist der Übergang von der Lösung (42) zur Lösung (43)

im Bereich ii + 1 unstetig.

Der Wellenwiderstand kann aus GI. (43) ermittelt werden.

Da für große i bis auf das zweite Glied alle weiteren Glieder verschwinden, ist

(00, ₎

=

2

exp (h) sin (5 ) (44)

wobei 2 exp ( h) die Amplitude der Elementarstörung ist. Bisher wurde die Wirkung einer Elementarstörung

unter-sucht. Die zugehörige GI. (26) lautete:

wobei f ()/t nach GI. (23) einzusetzen ist. Damit ergeben sich die endgültigen Ausdrücke:

Störgeschwindigkeit am Ort des Profiles nach G!. (41)

u

1 --cf()

d

(,h)

---ht

j (45)

vo t t

4h2+(i_)2

Nachlaufendes Wellensystem weit hinter dem Tragflügel

nach Gl. (44) +1 (40) (°)

=

2 exp ( J

!

sin () d.

(46) t 3W

=

0.

3z

(43)

6. Bestimmung der charakteristischen Llinge

Im zweiten Abschnitt Gi. (8) wurde eine Bezugslänge l eingeführt, mit deren Hilfe sämtliche auftretenden Längen

dimensionslos gemacht wurden.

Als Bezugsgrößen sind alle für einen bestimmten

physika-lischen Vorgang oder ein System charakteristischen Größen

geeignet.

Im Bereich außerhalb der tragenden Fläche hat die

Rand-bedingung (19) mit dimensionsbehafteten Größen die Form

32w

y2

_3w

°-

=0.

3x2 _g

Daraus ist ersichtlich, daß der Faktor v02/g, der die Dimension einer Länge hat, für den betreffenden Vorgang charakteristisch ist (vgl. auch [3] und [4]). Die Bezugslänge im unterkritischen

Bereich wird daher zu = v02/g (= - : reduzierte Länge

2t

einer ebenen Tiefwasserwelle) gewählt.

Im überkritischen Bereich über der tragenden Fläche

-f-- x

+

gilt die Randbedingung (20)

\

2

2/

qI=

2-

(+h)2+

(_)2 (h)2+ (__)2

+2exp

+(s1<_>_

)sin(_I)_

wexp(w)

1

dw

w+(

f

Für die Ermittlung der Strömungsverhältnisse am Ort der tragenden Fläche interessieren vorerst nur die induzierten

Zusatzgeschwindigkeiten u (, h, ). Wegen (10) folgt aus

(34) mit

=

h für den Bereich der Tragfläche

Weit vor und weit hinter der tragenden Fläche (-* nof)

verschwinden wegen C1 < oc)

=

0, S1 < 00)

=

2 alle

Teil-ausdrücke in (36) bis auf

exp (ih) sin (II)

Das bedeutet, daß auch weit vor dem Tragflügel eine Störung auftritt, was physikalisch nicht möglich ist. Es ist deshalb ein weiteres Zusatzpotential einzuführen, das der Randbedingung der freien Oberfläche genügt und die Störung vor der tragen-den Fläche zum Verschwintragen-den bringt.

Mit dem Ansatz

1113 =

P1 (z) COS () + P2 () Sin ()

(37) ergibt sich aus der Bedingung

W3() +l11(0b=0

(38)

das Zusatzpotential1113_zu

1113 =exp (ih) sin

() .

(39)

Damit lautet der vollständige Ausdruck für das Beschleuni-gungspotential der Elementarstörung außerhalb der

tragen-den Fläche für ( ) > O

u

--

2h

Eine charakteristische Größe für das Strömungsfeld ist in dieser Beziehung nicht enthalten. Da der überkritische Strö-mungszustand aber eine Folge der Längenausdehnung des Profils ist, liegt es nahe, die Profillänge als Bezugsgröfle zu wählen, d. h. 1* = I.

7. Anwendung der Theorie auf zwei spezielle Fälle

Fall 1: Untersuchung der Strömungsverhältnisse an einer dünnen Platte.

Fall 2: Untersuchung der Strömungsverhältnisse an einem

Kreissegmentprofil (Profil VWS 1643 a).

Falli: Die Tangentialgeschwindigkeit u an der Oberfläche

der Platte hat die Größe I-l4. ]) ()

--COSCL±SlflcL

wobei das positive Vorzeichen für die Plattenoberseite (In-dex ,,S") und das negative Vorzeichen für die

Plattenunter-Seite (Index ,,D") gilt. Die Zirkulationsverteilung an der Platte

ergibt sich dann in bekannter Weise zu

'

()

U ()

Ur ()

sin ci

V0 V0 V0

Wird jetzt eine der Anströmgeschwindigkeit y0 entgegengesetzt gerichtete zunächst als konstant betrachtete

Zusatzgeschwin-digkeit eingeführt (Bild 2), so wird aus Gl. (47)

V0

i!

o i h (47) Bild 2

Schematischer Geschwindigkeitsverlauf an der Proflioberfläche

u

(,h)

u,

+

(h) vo v V0 i )ZW. III) (,

U[()

+

u1(h) y0 y0

Hierbei ist wiederum

y ()

_-

us (,h)

-

u (,h)

- /1z

=2sinci

i

-y0 V0 e0

/ 1+

Der Gesamtauftrieb der Platte hat sich also nicht geändert,

auch wird die Kutta-Bedingung an der Hinterkante nicht

verletzt.

Mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung kann der Druck-verlauf an der Oberfläche der Platte bestimmt werden. Für die Oberseite (Saugseite) der Platte im Abstand h von der

Wasseroberfläche ergibt sich h)

= i

(u (2

q s vo

/s

und für die Unterseite (Druckseite)

tP (, h)

q D D mit q Q V02.

cosa+sinaì/1_ +(h)

V i+

V0 cos ci sinCL

1_+ u (h)

i+

y0

Wird einmal der spezielle Fall u1 (h) /v0

=

0,01 betrachtet

und der Anstellwinkel = + 3° angenommen, so ergibt sich

der in Bild 3 dargestellte Druckverlauf an der Platte.

i-¿I 05 to 0-an991/6r/er Dpuckyen'2a - - - er/Or1erOnickvertaaT coni

Bild 3 Änderung der Druckverteilung an einer ebenen Platte

unter dem Einfluß einer konst. Störgeschwindigkeit

Im allgemeinen Fall ist die Zusatzgeschwindigkeit nicht

konstant, sondern eine Funktion von it.Sie kann mit Hilfe der

Gl. (45) in Abhängigkeit von h ermittelt werden. Für die nach

(48) gegebene Zirkulation an der Platte ergibt sich der in

Bild 4 dargestellte Verlauf der Zusatzgeschwindigkeit u(3E,h)

Bild 4 Induzierte Zusatzgeschwindigkeiten an der Oberfläche einer

ebenen Platte für verschiedene Tauchtiefenh

) Die numerische Auswertung der dabei auftretenden Integral-+1

ausdrücke von der Form

j

(4hz ± (x -

-

-- für die

der Verfasser Herrn Obering. Hoffmann von der

mathema-tischen Abteilung der Siemens-Schuckertu,erke AG, Erlangen, zu Dank verpflichtet ist, befindet sich in der ungekürzten Fassung dieser Arbeit.

Hierbei zeigt sich, daß für kleine h der Verlauf der

Zusatz-geschwindigkeiten demjenigen der Geschwindigkeiten am

Profil selbst entspricht. Im Grenzfall h O sind

Zusatz-geschwindigkeit und Geschwindigkeit an der Plattensaugseite

gleich groß und entgegengesetzt gerichtet, so daß die

resul-tierende Geschwindigkeit und damit der Anteil der Saugseite

verschwindet. Im gleichen Maße, wie die Wirksamkeit der Saugseite abnimmt, nimmt die Wirksamkeit der Druckseite

zu. Da bei einer als unendlich dünn betrachteten ebenen Platte mit kleinem Ansteliwinkel die Anteile von Saug- und

seite am Gesamtauftrieb gleich sind, nähert sich der Druck-seitenanteil für h + O dem Doppelten seiner Größe im

unbe-grenzten Medium. Die Auftriebsabnahme der Saugseite wird

also durch eine gleich große Auftriebszunahme der Druck-seite ausgeglichen. Der Gesamtauftrieb der dünnen ebenen Platte ändert sich daher nicht. Im Grenzfall h = O fallen die die Platte ersetzende Wirbeifläche und ihr Spiegelbild zu-sammen. Die Platte bewegt sich dann an der Grenzfläche

zweier Medien, so daß die Druckseite von der Saugseite unab-hängig wird. Die induzierte Zusatzgeschwindigkeit am Ort der

Druckseite verschwindet, und der Auftrieb der Druckseite

nimmt wieder den Wert an, den er im ausgedehnten Medium hatte. Im Fall der dünnen ebenen Platte entspricht das gerade

dem halben Gesamtauftrieb der Platte im unbegrenzten

Me-dium, was seit Wagner [61 bekannt ist.

Der

Grenzüber-gang h O vollzieht sich also unstetig. was physikalisch durch

das ,,Zusammenbrechen" der Saugseite zum Ausdruck kommt.

Aus den in Bild 4 angegebenen Zusatzgeschwindigkeiten

kann eine mittlere Zusatzgeschwindigkeit

(u (h))

= 4

V0

gebildet werden. Diese mittlere Zusatzgeschwindigkeit ist in

2 3 I' 5

Bild 5 Mittlere induzierte Zusatzgeschwindigkeiten

im Bereich einer ebenen Platte

Bild 5 als Funktion h angegeben. Zum Vergleich ist die durch

einen Stabwirbel gleicher Zirkulationsstärke hervorgerufene Zusatzgeschwindigkeit eingetragen. Es zeigt sich hier, daß erst oberhalb h 2,0 ein Ersatz der tragenden Fläche durch einen Stabwirbel zulässig ist. Die Bilder 6 und 7 zeigen, ge-trennt fur Saugseite und Druckseite, den Verlauf der

Auf-triebsbeiwerte der dünnen Platte für endliche Tauchung,

bezogen auf diejenigen im ausgedehnten Medium.

Fall 2: Die soeben durchgeführten flberlegungen können

grundsätzlich auch auf die Untersuchung der Strömungsverhält-nisse an Profilen endlicher Dicke angewendet werden.

u (h) V0 im

za

as

J

Bild 7 Auîtriebsbeiwerte der Druckseite einer ebenen Platte

s

Es wird jetzt derOberfiächcneinfluß an

einemKreissegment-profil mit einem Dickenverhältnis d/l 0,075 bzw. einem

Wölbungsverhältnis f/I = 0,0375 (vgl. [8]) untersucht. Druck-verlauf und Geschwindigkeitsverteilung im ausgedehnten

Me-dium können für ein derartiges Profil zweckmäßig mit Hilfe der konformen Abbildung ermittelt werden. Für den geome-trischen Anstellwinkel der Druckseite u = + 30 ergibt sich der in Bild 8 für h = dargestellte Druckverlauf. Da es sich um die Umströmung eines Körpers handelt, fällt die

Geschwin-digkeit im hinteren Staupunkt, d. h. an der Profilhinterkante auf Null ab. Wird jetzt auf Saug. und Druckseite eine der

Anströmung entgegengesetzte Zusatzgeschwindigkeit

über-lagert, so wandert der Punkt, für den die resultierende

Ge-schwindigkeit gleich Null ist, von der Hinterkante nach vorn.

Die Größe dieser Staupunktverschiebung hängt von dem

ursprünglichen Geschwindigkeitsverlauf im Bereich der H

inter-kante ab. Sie tritt auf beiden Profilseiten ein, so daß jetzt auf

jeder Seite ein Staupunkt auftritt. Im Bereich zwischen diesen

Staupunkten und der Hinterkante fällt

der Druck bis auf

einen endlichen positiven Wert ab, so daß an der Hinterkante

wieder Druckgleichheit beider Profilseiten herrscht. Zur Er-rechnung der Zusatzgeschwindigkeit nach GI. (45) ist die

Zirkulation am Profil in der Form (22) darzustellen. Dabei

wird es im allgemeinen ausreichen, außer der Randbedingung

an den Profilenden, die bereits durch die gewählten Funk-tionen identisch befriedigt wird, den Zirkulationsverlauf in den beiden Neutralpunkten und der Profilmitte zu erfüllen.

Es genügt dann ein dreigliederiger Ansatz.

f

t V

l+

₍₄₉₎

Fur diese Zirkulationsverteilung ergibt sich der in Bild 8 dar-gestellte Druckverlauf auf Saug- und Druckseite des Profiles.

Das Bild 9 zeigt die gemessene Druckverteilung an einem Profllschnitt für ct° + 2,7°. Durch Integration der örtlichen

Auftriebsbeiwerte

(,h) über der Profillänge werden die

q rSib,b

5

f

io -a5

0

o-7 05 io

Ann ,'ömr,chE ung

vo o a o a -a a a

Bild 9 Gemessene Druckverteilung an _a

einem ebenen Kreissegmentprofil

(VWS 1643a)

a

a

Bild 8 Berechnete Druckverteilung ais

einem ebenen Kreissegmentprofil

(VWS 1643a)

I

J'CugJ?ì/e

raIr;ite

h- O 025

.

05 075i C7 2 O + 3 2

_-

_

1 -1,0 -0.8 -06 Antfromnib/upig -+ -02 0

- -

\,

yo

-!"

--/ --/

f/i

mittleren Auftriebsbeiwerte der Sang- und Druckseite be-stimmt. Sie sind in Bild 10 angegeben. Zum Vergleich sind

15 ¿D

¿5

Bild 10 Auftriebsbeiwerte der Saug- und Druckseite eines ebenen Kreissegmentproflles

hier die durch Messungen [8] ermittelten und auf den

wirk-samen Anstellwinkel der Druckseite a = + 3°

umgerech-neten Werte eingetragen.

Für die Ermittlung der Gesamtauftriebsbeiwerte ist

zu-nächst das Verhältnis des Saugseitenanteils bzw. des

Druck-seitenanteils zum Gesamtauftrieb für das ausgedehnte Medium

zu bestimmen. Das ist mit Hilfe der aus der konformen Ab-bildung erhaltenen Druckverteilung am Profil (Bild 8) leicht möglich. Der Gesamtauftrieb bei endlicher Tauchung kann dann mittels dieser Verhältnisse ausgedrückt werden in der

Form

ca (h) ca (h) ca (CC),

+

ca (h) ca

ca (00) ca (OC) ca (OC) ca(00) D ca (00)

Der theoretische Auftriebsverlauf ist in Bild 11 dargestellt.

i) f bth,t. ÌP.ildj

/btt

L.f5,gk,1 10,1f) 00 00 2

Bild 11 Auftriebsbeiwerte eines ebenen Kreissegmentprofiles (VWS 143a) in Abhängigkeit von der dimensionslosen Tauchtiefe h

1.0

.1 fkfl.te (OrlO).

rgrrr/i.I f i,t,,,,,..rfr.. ,J.

(50)

Bild 12 Abstand des Auttriebsmittelpunktes von der

Eintritts-kante eines ebenen Kreissegmentproflles

8

Bei dem Vergleich der theoretischen Auftriebsbeiwerte mit den an diesem Profil vom Verfasser [8] sowie von anderen

For-schern bzw. Instituten durchgeführten Messungen [16], [17]

zeigt es sich, daß der Anteil der Druckseite am Gesamtauftrieb

im realen Medium geringer ist als im idealen Medium. Für den speziellen Fall u = + 3° ergibt sich für ideales Medium

ca (00) ca (no)

- 0,670 und

= 0,330

ca (00) _{ca (no)}

und für reales Medium

ca (OC) ca (no)

= 0,764 und D

_{= 0,236.}

ca (OC) ca (oc)

Werden die für das reale Medium gültigen Verhältnisse in

GI. (50) eingesetzt, so ergibt sich mit Hilfe des Bildes 10 der

in Bild 11 dargestellte Verlauf der Auftriebsbeiwerte in

Ab-hängigkeit von der Tauchung. Zum Vergleich sind die

gemes-senen Werte der Arbeit [8] in das Bild eingetragen. Bild 12

zeigt die Änderung der Lage des Druckmittelpunkies.

8. Bestimmung des Wellenwiderstandes

Der Wellenwiderstand läßt sich mit Hilfe der Cl. (46) er-rechnen. Mit sin (ii

- ) = sin i cos E - cos ii sin > O für

x> + 1 treten dabei Ausdrücke auf der Form +1 I. fl

.sind

J i/iE2

f

tn

Inc = I

cosd.

Damit wird nc t b = arcig o

bl

n == O

Wird für f() ein dreigliederiger Ansatz entsprechend (49)

gewählt, so ergibt sich

3 b I = t [-2a0 J1 (1) + 2a2 {4J1 (1) 2 J,, (1) }]

n=0

3 b J

= t [2a Jo (1) + 2a1 (2J, (1)

J (1) }] n=0

Mit Hilfe der Amplituden des nachlaufenden Wellensystems kann nun die in diesem System enthaltene Energie uiid daraus der Wellenwiderstand ermittelt werden.

Der Wellenwiderstand eines durch das Wasser bewegten Körpers hat die Größe

Wye = I

g a2 (53)

wenn a die Amplitude des von ihm erzeugten und mit ihm

mitlaufenden Wellensystemes ist. Im vorliegenden Fall ist

- ¡

hg\

a = j z1 2 exp ( - j

\

vJ

so daß

We =

Qgt2i2nwexP(

wobei und J 1t

=111

= 2 exp (h)tcos ( + b) 'n1

(51) (52)

yt.

i . p'

\n=0

cJ

'b

\O i- -f--J ¡ 00 ¡ V'-'

\n=0

o -2 hg vo2 (54)

bzw. _{ig , ¡} 2 hg

cw =

exp

-2

2v0 _\ V0

Jur einen Streifen der Breite b 1. Der Einfluß der endlichen

Profildicke, der eine Vergrößerung des Wellenwiderstandes hervorruft, und ein durch die Anderung der Strömungsform hinter dem Tragflügel bedingter Energieverlust [191 wird nicht berücksichtigt.

9. Bestimmung des Gesanìtviderstaiìdes

fur den ebenen Fall

Der im Abschnitt 8 ermittelten Widerstandszunahme infolge

der Wellenbildung bei Annäherung an die Oberfläche wirkt eine Widerstandsabnahme entgegen, die auf eine

Verminde-rung des Profliwiderstandes zurückzuführen ist.

Der Profilwiderstand eines mit der Geschwindigkeit y0

an-geströmten Tragflügels im ausgedehnten Medium wird mit

Hilfe des Profilwiderstandsbeiwu-tes bestimmt zu

W (oc) =

v

Ibcp -

(55)

Bei Annäherung an die Wasseroberfläche vermindert sich

auf Saug- und Druckseite die wirksame Anströmgeschwindig-keit. Wird mit einer für die gesamte Profillänge gültigen

mitt-leren Zusatzgeschwindigkeit u (h)m gerechnet, so kann der Profliwiderstand bei endlicher Tauchung, da cp unabhängig

von h ist, ermittelt werden zu

Wp (h) = Q[v0 + Uj(h)m]2Ibcvp.

Damit wird

Wp (h)

_-

( v + Uj (h)m\Ç (h) 2

Wp(c°)

_\

y0

_/

\v0 Jm

Dann ergibt sich der Gesamtwiderstand für den ebenen Fall,

der sich aus dem nur vom Tauchungsverhältnis h = h/I

ab-hängigen Profliwiderstand und dem von dem Faktor

h = hg/v02 und der Proflilänge i abhängigen Wellenwider-stand zusammensetzt, im ebenen Fall zu

oder, mit Einführung eines von der Tauchtiefe abhängigen

ideellen" Proül widerstandsbeiwertes

cp (h) W (h)

-

[1

_{+ (}

)

12c.

(57)

v0 Ib y0

iii dimensionsloser Form zu

c (h) (h, i) + Cy We (h, I, y02)

c (00)

c.p

Der Verlauf des Beiwertes nach Gl. (58) ist im Bild 13 für

= +

30, und für die Modellwerte i = 0,12 m und

v = 3,72 m/s (vergleiche

[8]) angegeben. Zum Vergleich

(56)

(58)

T

t

Bild 13 Widerstandsbeiwerte eines ebenen Kreissegmentprofìles

in ebener Strömung

y

wurden die Ergebnisse der vom Verfasser [81 durchgeführten Messungen, umgerechnet auf einen wirksamen Anstellwinkel

der Druckseite u = + 30 in die Abbildung eingetragen.

10. Zusammenfassung und Schlußfolgerungen

Unter Voraussetzung zähigkeitsfreier und inkompressibler Flüssigkeit, kleiner Störungen und der Gültigkeit der Theorie

dünner Profile wurden für den ebenen Fall die an der Ober-fläche eines parallel getauchten Tragflügels durch die freie

Wasseroberfläche induzierten Zusatzgeschwindigkeiten und

das nachlaufende Wellensystem berechnet. Dabei wurde dic

Strömung über dem Tragflügel als im Sinne der Flachwasser-theorie überkritisch angenommen.

Mit Hilfe der induzierten Zusatzgeschwindigkeiten wurden für eine dünne ebene Platte und für ein Kreissegmentprofil die

Anderungen des Auftriebes, getrennt für Saug- und

Druck-seite, gegenüber dem Fall der unbegrenzten Strömung ermit-telt. Hierbei zeigte es sich, daß bei Annäherung an die

Ober-fläche der Auftrieb der Saugseite abnimmt und der Auftrieb der Druckseite zunimmt, derart, daß im Grenzfall der

Auf-trie5 der Saugseite verschwindet und der Auftrieb der

Druck-seite den doppelten Wert wie in ausgedehnter Strömung an-nimmt. Bei der Platte bleibt in idealer Flüssigkeit der Ge-samtauftrieb und das zugehörige Moment unverändert, weil in diesem Fall bei unbegrenzter Strömung die Anteile von

Saug- und Druckseite am Gesamtauftrieb gleich sind. Im Fall

des Kreissegmentprofiles sind wegen der Wölbung des

Pro-files die Anteile von Saug- und Druckseite am Gesamtauftrieb in unbegrenzter Strömung nicht gleich. Dadurch tritt eine Ab-nahme des Gesamtauftriebes in der Nähe der Oberfläche ein.

Der Auftriebsmittelpunkt verändert jedoch seine Lage nicht. Auf Grund von Messungen ergab sich, daß in realer Flüs-sigkeit der Anteil der Druckseite am Gesamtauftrieb bei un-begrenzter Strömung geringer ist als in idealer Flüssigkeit.

Unter der Annahme, daß die Auftriebsänderung mit der

Tauchtiefe in realer und in idealer Flüssigkeit gleich

ist, ist es dann möglich, den Auftrieb in der Nähe der Oberfläche

in realer Flüssigkeit zu ermitteln. Infolge des geringeren

Druckseitenanteiles tritt hier eine Wanderung des Auftriebs-mittelpunktes in Richtung der Eintrittskante ein. Der Ver-gleich der theoretisch berechneten Kurven mit Meßwerten zeigt, daß bei kleinen Tauchtiefen die gemessenen Auftriebe

geringer sind als theoretisch berechnet wurde. Diese Tatsache

dürfte zum Teil auf die Abnahme der wirksamen

Profilwöl-bung in der Nähe der Oberfläche zurückzuführen sein, da die

Auftriebsänderung bei einer ebenen Platte (Wölbung = 0) auf der Saugseite stärker und auf der Druckseite geringer ist

als hei einem Profil mit endlicher Wölbung. Der

Strömungs-zustand am Profil nähert sich daher bei kleinen Tauchungen demjenigen an einer ebenen Platte. Auch macht sich der in realer Flüssigkeit offenbar geringere Anstieg des Auftriebes

der Druckseite bei abnehmender Tauchung sowie unter

Um-ständen die bei den Ansätzen vernachlässigte endliche

Strek-kung des bei den Messungen verwendeten Tragfiügels

be-merkbar, zumal die

bei _{der Ermittlung des wirksamen}

Anstellwinkels dieses Tragflügelmodells benutzte Prandtl'sche

Formel nur eine Näherung ist. Für die Belange der Praxis

dürfte es ausreichen, die Auftriebsänderungen der Saug- und

Druckseite mit den für die Platte gültigen Kurven (Bild 6

und 7) zu berechnen.

Infolge der Verminderung der Strömungsgeschwindigkeit

an der Profiloberflächc tritt in der Nähe der Wasseroberfläche

eine Verminderung des Profllwiderstandes ein. Der Gesamt-widerstand des Tragflügels nimmt ebenfalls ab, da die

Zu-nahme des Wellenwiderstandes geringer ist als die AbZu-nahme des Profliwiderstandes.

)

bi

fr

gfl/

-3. W(h) W(h)+ Wwe (h, I)

-+

(ui)'\

V Jm 2

We(h)

W(°o)

W(oo)

W(m)

2 3 h

Als Kenngröße für die Auftriebsänderung und die Ände-rung des Profliwiderstandes ergab sich das Verhältnis der

Tauchtiefe h zur Profihlänge I (Taudiungsverhältnis). Ein Ver-gleich mit den von Wu und Krienes erzielten Ergebnissen ist

nicht ohne weiteres möglich, da diese nur den Einfluß der

endlichen Spannweite berücksichtigen bzw. eine mit der

Trag-fluigeibreite gebildete Froudesche Zahl als

Abhängigkeits-größe haben.

Für den Wellenwiderstand ergab sich als Kenngröße das

Verhältnis der Tauchtiefe h zur reduzierten Länge v02/g einer

mit der gleichen Geschwindigkeit wie der Tragflügel

fort-schreitenden ebenen Tiefwasserwelle.

(Eingegangen am 12. Februar 1958)

11. Schrifttum

[1] Possio, C. ,.Campo di velocita creato da un vortice in

un fluido pesante a superficie liberia in moto uniforme". R. Accademia della Science, Torino 1941.

[2) Wein i g, F. ,,Zur Theorie des Unterwassertragflügels und der Gleitfläche", Luftfahrt-Forschung 14 (1937), S. 314.

Krienes, K. ,,Die von einem tragenden Wirbel an der

F lüssigkeitsoberfläche hervorgerufene Wellenbewegung", Bericht Nr. 8 der Forschungsabtig. KBR des MSP 1946.

Krienes, K.,,Die tragende Fläche in einer Strömung

mit freier Flüssigkeitsoberfläche", Habilationsschrift, TH-Dresden, 1951.

W u, Y. T. ,A Theory for Hydrofoils of finite Span." Jour-nal of Mathematics and Physics 33 (1954) P. 207.

[6) Wagner. H.,.ber Stoß und Gleitvorgänge an der

Oberfläche von Flüssigkeiten", ZAMM 12 (1932), S. 193.

[71 L a i tone, E. V. ..Limiting Pressure on Hydrofoils at

small Submergence Depths." JOurnal of applied Physics 25 (1954), p. 623.

[8) Schuster, S., und Schwanecke, H. Über den

Ein-fluß der Wasseroberfläche auf die Auftriebsverteilung von Tragflügeln", Forschungshefte für Schiffstechnik 4 (1957), S. 117.

Sommerfeld,

A.

,,Meanik

der deformierbaren

Medien", Vorlesungen über theoretische Physik II.

Aka-demische Verlagsgesellschaft Geest und Portig KG.

Leipzig 1949.

Kotschin, N. J., und Kibel, I. A., und Rose, N. W.

Theoretische Hydromechanik I", Akademie-Verlag, Ber-lin 1954.

S e h w a n k, F. ,,Randwertprobleme", B. G. Teubner Ver-lagsgesellschaft, Leipzig 1951.

Hort, W., und Thoma, A...Die Differentialgleichungen

der Technik und Physik", Johann Ambrosius Barth-Ver-lag, Leipzig 1950.

[13] Cara f oli, E. ,,Tragflügeltheorie", VEB Verlag Technik, Berlin 1954.

[14) Gröbner, W., und Hofreiter, N .

,,Integraltafel I

u. II", Springer-Verlag, Wien und Innsbruck 1950:1957.

[15] Jahnke, E., und Emde, F. Tafeln höherer

Funktio-nen", B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1952.

[16) Gutsche, F. Versuche über die Profileigenschaften der Blattschnitte von Schiffsschrauben und ihr Einfluß auf

deren Entwurf und Auswertung", Mitteilungen der

Preußischen Versuchsanstalt für Wasserbau und

Schiff-bau, Berlin, Heft 10, 1933.

P rand tl, L., und B e t z, A. Ergebnisse der Aerodyna-mischen Versuchsanstalt zu Göttingen", 4. Lieferung 1932.

Schuster, S. Untersuchungen über Strömungs- und

Wi.derstandsverhältnisse bei der Fahrt von Schiffen in be-schränktem Wasser", Jahrbuch der STG 46 (1952), S. 244.

Jaeger, Ch. Technische Hydraulik", Verlag Birkhäuser,

Basel 1949. lo Wp(h) Cp (h) _{V0' bi} Wwe(h) CVe (h)

12. Rezeichuiiingen und Symbole

X [m] Koordinate In Richtung

der ungestörten Strömung =

-

[]

desgl. dimensionslos

I [ml Integrationsveränderljche

im Profi [bereich

]]

desgl., dimensionslos

z [ml Koordinate senkrecht zur Richtung der ungestörten Strömung

[]

desgi., dimensionslos

h [ml Tauchtiefe des Tragflügels (bezogen auf Skelettmittelpunkt)

h _{desgi. dimensionslos}

(Tauchungsverhältnis)

1* [ml Längenbezugseinheit

1 2 t [ml Profihlänge

i=

[] halbe Proflllänge. dimensionslos

b Em] Breite des Tragflügels

t [s] Zeit

V0 [ms] Ungestörte Anströmgeschwindigkeit

u (, h) Em/sl Geschwindigkeitskomponente

am Tragflügel in x-Richtung

u1 (ii, h) (ms] Induzierte Zusatzgeschwindigkeit infolge freier Oberfläche in x-Richtung

w (, h) Im/e] Gesthwindigkeitskomponente

am Tragifügel in z-Richtung

w1 (, h) (m/s] Induzierte Zusatzgeschwindigkeit

infolge freier Oberfläche in z-Richtung

E] Beschleurìigungspotential. dimensionslos

E1 Geschwindigkeitspotential,

dim ensio nslos

[rn/sI Zirkulation am Tragflügel

f (3, f (it) [] Z[rkulationsverteilungsfunktion

e [kg s m 'I Dichte

Auftriebsbeiwert bei endlicher Tauchung

Auftriebsbeiwert im unbegrenzten Medium 0a (h) = 02v0'bi A (oo) C5 (co) Q12 V0' bi Wp (co) V0! bi

c ()

St R{z} Index ,,S" Index ,D' Wellenwiderstandsbeiwert

a [O, arc] Anstellwinkel

Besselfunktiori n-ter Ordnung des Argumentes 1

Integral-Cosinus des Argumentes (I Integral-Sinus des Argumentes [3 Realteil einer komplexen Größe z zur Saugseite gehörig

zur Druckseite gehörig

[I

Ideeller Profllwiderstandsbeiwert

bei endlicher Tauchung

[I

Profllwiderstandsbeiwert