Część 2

(1)

Rekurencja Grafy Drzewa Kopce Projektowanie Zachªannie Dynamicznie

Algorytmy i struktury danych

Cz¦±¢ druga

(2)

Rekurencja

Procedura (funkcja)rekurencyjna wywoªuje sam¡ siebie. Jest to odpowiednik indukcji w matematyce.

Najprostszy schemat procedury rekurencyjnej:

procedurenazwa(...); ...

begin

nazwa(...);

end;

Najprostszy schemat funkcji rekurencyjnej:

functionnazwa(...) :typ-danych; ...

begin

nazwa := nazwa(...);

end;

Uwaga. Nale»y zadba¢, aby procedura (funkcja) rekurencyjna nie tworzyªa niesko«czonej p¦tli.

(3)

Rekurencja

begin

nazwa(...);

end;

begin

end;

(4)

Rekurencja

begin

nazwa(...);

end;

begin

end;

(5)

Rekurencja

begin

nazwa(...);

end;

begin

(6)

Rekurencja

Przykªad: przypomnijmy, »e silni¦ liczby n deniujemy wzorem: n! =

(

1, n = 0, Qn

i=1i, n ≥ 1.

Silni¦ mo»emy równowa»nie zdeniowa¢ w sposób indukcyjny (rekurencyjny):

n! = (

1, n = 0,

(7)

Rekurencja

Przykªad: przypomnijmy, »e silni¦ liczby n deniujemy wzorem: n! =

(

1, n = 0, Qn

i=1i, n ≥ 1.

Silni¦ mo»emy równowa»nie zdeniowa¢ w sposób indukcyjny (rekurencyjny):

n! = (

1, n = 0,

(8)

Rekurencja

Kod funkcji realizuj¡cej obliczanie silni w sposób rekurencyjny mo»e wygl¡da¢ nast¦puj¡co:

functionsilnia(n : Integer) : Integer;

begin

if n = 0then silnia := 1

else silnia := silnia(n − 1) ∗ n;

(9)

Rekurencja

Innym typowym przykªadem rekurencji w matematyce jest ci¡g Fibonacciego {fn}∞n=0 zdeniowany: fn=      0, n = 0, 1, n = 1, fn−1+f_n−2, n ≥ 2.

function b(n : Integer) : Integer;

begin

if n = 0then b := 0

else if n = 1thenb := 1

elseb := b(n − 1) + b(n − 2);

(10)

Rekurencja

Innym typowym przykªadem rekurencji w matematyce jest ci¡g Fibonacciego {fn}∞n=0 zdeniowany: fn=      0, n = 0, 1, n = 1, fn−1+f_n−2, n ≥ 2.

function b(n : Integer) : Integer;

begin

if n = 0then b := 0

else if n = 1thenb := 1

elseb := b(n − 1) + b(n − 2);

(11)

Rekurencja - wady

Procedury rekurencyjne mimo, »e s¡ eleganckie i ªatwe w zaprogramowaniu, czasami s¡ maªo wydajne.

Prze±led¹my, jakie obliczenia s¡ wykonywane przez funkcj¦ b dla n = 4:

b(4) = b(3) + b(2) = (b(2) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((b(1) + b(0)) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((1 + 0) + 1) + (1 + 0) = 3

Zauwa»my, »e warto±¢ b(2) jest wyliczana dwa razy. Wraz ze wzrostem n liczba nadmiarowych oblicze« wzrasta drastycznie. wiczenie: napisz procedur¦ licz¡c¡ n-ty wyraz ci¡gu Fibonacciego bez wykorzystania rekurencji.

Wskazówka: wystarczy jedna p¦tla przebiegaj¡ca od 2 do n i wykorzystuj¡ca dwie pomocnicze zmienne które w ka»dym kroku przechowuj¡ (i − 1) i (i − 2) wyraz ci¡gu.

(12)

Rekurencja - wady

b(4) = b(3) + b(2) = (b(2) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((b(1) + b(0)) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((1 + 0) + 1) + (1 + 0) = 3

(13)

Rekurencja - wady

b(4) = b(3) + b(2) = (b(2) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((b(1) + b(0)) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((1 + 0) + 1) + (1 + 0) = 3

Zauwa»my, »e warto±¢ b(2) jest wyliczana dwa razy. Wraz ze wzrostem n liczba nadmiarowych oblicze« wzrasta drastycznie.

wiczenie: napisz procedur¦ licz¡c¡ n-ty wyraz ci¡gu Fibonacciego bez wykorzystania rekurencji.

(14)

Rekurencja - wady

b(4) = b(3) + b(2) = (b(2) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((b(1) + b(0)) + b(1)) + (b(1) + b(0)) = ((1 + 0) + 1) + (1 + 0) = 3

(15)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

Wej±cie:tablica (ci¡g) n liczb A[1..n],

Wyj±cie: tablica A[1..n] skªadaj¡ca si¦ z elementów tablicy wej±ciowej, ale uporz¡d-kowana tak, »e A[1] ≤ A[2] ≤ . . . ≤ A[n].

Koszt Sortrek(A, n) T (n) begin ifn > 1then Sortrek(A, n-1); 1 + T (n − 1)

wstaw A[n] w odpowiednie miejsce A[1..n − 1];

O(n)

end;

Sortrek(A, n);

Funkcja kosztu speªnia równanie: T (n) =

(

O(1), n = 1,

(16)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

Koszt Sortrek(A, n) T (n) begin ifn > 1then Sortrek(A, n-1); 1 + T (n − 1)

O(n)

end;

Sortrek(A, n);

(

O(1), n = 1,

(17)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

Koszt

Sortrek(A, n) T (n)

begin

ifn > 1then Sortrek(A, n-1);

1 + T (n − 1)

O(n)

end;

Sortrek(A, n);

(

O(1), n = 1,

(18)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

Koszt

Sortrek(A, n) T (n)

begin

ifn > 1then Sortrek(A, n-1); 1 + T (n − 1) wstaw A[n] w odpowiednie miejsce A[1..n − 1];

O(n)

end;

Sortrek(A, n);

(

O(1), n = 1,

(19)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

Koszt

Sortrek(A, n) T (n)

begin

ifn > 1then Sortrek(A, n-1); 1 + T (n − 1) wstaw A[n] w odpowiednie miejsce A[1..n − 1]; O(n)

end;

Sortrek(A, n);

(

O(1), n = 1,

(20)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

Koszt

Sortrek(A, n) T (n)

begin

ifn > 1then Sortrek(A, n-1); 1 + T (n − 1) wstaw A[n] w odpowiednie miejsce A[1..n − 1]; O(n)

end;

Sortrek(A, n);

(

O(1), n = 1,

(21)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

Uproszczenie: T (n) = ( 1, n = 1, T (n − 1) + n, n > 1. Wówczas T (n) = T (n−1)+n = T (n−2)+(n−1)+n = T (n−3)+(n−2)+(n−1)+n = . . . =1 + 2 + . . . + (n − 2) + (n − 1) + n = 1 + n 2 n = O(n2).

(22)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

(23)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

(24)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

(25)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

(26)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

(27)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

(28)

Sortowanie przez wstawianie rekurencyjnie

(29)

Dziel i zwyci¦»aj

Projektowanie algorytmu metod¡ dziel i zwyci¦»aj:

Dziel: dzielimy problem na podproblemy. Zwyci¦»aj:

rozwi¡zujemy podproblemy rekurencyjnie lub,

gdy s¡ maªe i nie wymagaj¡ u»ycia rekurencji stosujemy bezpo±rednie metody (dno rekursji).

Poª¡cz: ª¡czymy rozwi¡zane podproblemy, aby otrzyma¢ rozwi¡zanie caªego problemu.

(30)

Dziel i zwyci¦»aj

Dziel: dzielimy problem na podproblemy.

Zwyci¦»aj:

(31)

Dziel i zwyci¦»aj

(32)

Dziel i zwyci¦»aj

(33)

Mergesort

Mergesort = sortowanie przez scalanie tablicy A[1..n].

Dziel: dzielimy tablic¦ na dwie podtablice A[1..bn

2c]i A[bn2c +1..n], np.

[5, 2, 4, 6, 1, 3, 2, 6] [5, 2, 4, 6], [1, 3, 2, 6].

Zwyci¦»aj: sortujemy otrzymane podtablice u»ywaj¡c rekurencyjnie sortowania przez scalanie:

[2, 4, 5, 6], [1, 2, 3, 6].

Poª¡cz: ª¡czymy posortowane podtablice w jedn¡ posortowan¡ tablic¦ (scalenie, merge):

(34)

Mergesort

2c]i A[bn2c +1..n], np.

[5, 2, 4, 6, 1, 3, 2, 6] [5, 2, 4, 6], [1, 3, 2, 6].

[2, 4, 5, 6], [1, 2, 3, 6].

(35)

Mergesort

2c]i A[bn2c +1..n], np.

[5, 2, 4, 6, 1, 3, 2, 6] [5, 2, 4, 6], [1, 3, 2, 6].

[2, 4, 5, 6], [1, 2, 3, 6].

(36)

Mergesort

2c]i A[bn2c +1..n], np.

[5, 2, 4, 6, 1, 3, 2, 6] [5, 2, 4, 6], [1, 3, 2, 6].

[2, 4, 5, 6], [1, 2, 3, 6].

(37)

Mergesort

Peªen przebieg rekurencji:

[5, 2, 4, 6, 1, 3, 2, 6] [5, 2, 4, 6], [1, 3, 2, 6] [5, 2], [4, 6], [1, 3], [2, 6] [5], [2], [4], [6], [1], [3], [2], [6] dno [2, 5], [4, 6], [1, 3], [2, 6] scal [2, 4, 5, 6] [1, 2, 3, 6] scal [1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6] scal

(38)

Mergesort

(39)

Mergesort

(40)

Mergesort

(41)

Mergesort

(42)

Mergesort

(43)

Mergesort

(44)

Mergesort

Koszt dla p=1, r=n Mergesort(A, p, r) T (n) begin ifp < r then begin q := b(p + r)/2c; Mergesort(A, p, q); T (n/2) Mergesort(A, q+1, r); T (n/2) Merge(A, p, q, r); O(n) end end; MergeSort(A, 1, n);

Merge(A,p,q,r) scala podtablice A[p..q] i A[q + 1..r] w jedn¡ A[p..r]. Implementacja ¢wiczenie.

(45)

Mergesort

(46)

Mergesort

(47)

Mergesort

(48)

Mergesort

(49)

Mergesort

(50)

Mergesort

Funkcja kosztu speªnia równanie: T (n) = ( O(1), n = 1, 2T (n/2) + O(n), n > 1. Uproszczenie: T (n) = ( 2, n = 2, 2T (n/2) + n, n = 2k_,_{k > 1.}

Lemat. Rozwi¡zaniem powy»szego równania rekurencyjnego jest funkcja T (n) = n · logn.

Dowód. Indukcja wzgl¦dem k ≥ 1.

(51)

Mergesort

(52)

Mergesort

(53)

Mergesort

(54)

Mergesort

(55)

Teoria grafów

Def. Graf niezorientowany (nieskierowany) = para G = (V , E) zbiorów sko«czonych:

V nazywamy zbioremwierzchoªków(w¦zªów) G,

E ⊆ { {u, v} : u, v ∈ V , u 6= v} nazywamy zbioremkraw¦dzi

G.

Def. Graf zorientowany(skierowany) = para G = (V , E) zbiorów sko«czonych:

E ⊆ { (u, v) : u, v ∈ V } = V × V nazywamy zbioremkraw¦dzi

(strzaªek) G.

W denicji grafu zorientowanego dopuszczamy strzaªki postaci (v, v). Nazywamy je p¦tlami(zaczepionymi w wierzchoªku v).

(56)

Teoria grafów

G.

Def. Graf zorientowany (skierowany) = para G = (V , E) zbiorów sko«czonych:

(strzaªek) G.

(57)

Teoria grafów

G.

Def. Graf zorientowany (skierowany) = para G = (V , E) zbiorów sko«czonych:

(strzaªek) G.

(58)

Teoria grafów

Ustalmy graf niezorientowany G = (V , E) (dla grafu zorientowanego denicje analogiczne).

Def.

wierzchoªki u, v ∈ V s¡s¡siednie, gdy {u, v} ∈ E,

kraw¦dzie e1,e2∈E s¡s¡siednie, gdy e1∩e26= ∅(maj¡

wspólny wierzchoªek),

wierzchoªek v ∈ V jestincydentny z kraw¦dzi¡ e ∈ E, gdy

v ∈ e,

gdy G jest zorientowany, to dla strzaªki e = (u, v) ∈ E

(oznaczanej czasem u → v), u nazywamy pocz¡tkiem, a v

(59)

Teoria grafów

Def.

wierzchoªki u, v ∈ V s¡s¡siednie, gdy {u, v} ∈ E,

kraw¦dzie e1,e2∈E s¡s¡siednie, gdy e1∩e26= ∅(maj¡

v ∈ e,

(60)

Teoria grafów

Def.

wierzchoªki u, v ∈ V s¡s¡siednie, gdy {u, v} ∈ E, kraw¦dzie e1,e2∈E s¡s¡siednie, gdy e1∩e26= ∅(maj¡

v ∈ e,

(61)

Teoria grafów

Def.

v ∈ e,

(62)

Teoria grafów

Def.

v ∈ e,

(63)

Teoria grafów

Def. Stopniem wierzchoªka v ∈ V nazywamy liczb¦ deg_G(v) := #{e ∈ E : v ∈ E}

Gdy G jest grafem zorientowanym to rozró»nia si¦stopie« wyj±ciowywierzchoªka v ∈ V :

out.deg_G(v) = deg+_G(v) := #{w ∈ V : v → w ∈ E} orazstopie« wej±ciowy wierzchoªka v ∈ V :

(64)

Teoria grafów

Def. Stopniem wierzchoªka v ∈ V nazywamy liczb¦ deg_G(v) := #{e ∈ E : v ∈ E}

Gdy G jest grafem zorientowanym to rozró»nia si¦stopie« wyj±ciowywierzchoªka v ∈ V :

out.deg_G(v) = deg+_G(v) := #{w ∈ V : v → w ∈ E} orazstopie« wej±ciowy wierzchoªka v ∈ V :

(65)

Teoria grafów

Def. Droga w grae niezorientowanym G = (V , E) ci¡g wierzchoªków i kraw¦dzi P = (v0,e₁,v₁,e₂,v₂, . . . ,e_k,v_k), v_i ∈V , ej ∈E, k ≥ 0, taki, »e ej = {v_j−1,v_j}.

v0, vk -ko«cedrogi P,

dopuszczamy drogi trywialnepostaci P = (v0), v0∈V ,

czasem zakªada si¦, »e ej 6=el, dla j 6= l,

k =dªugo±¢drogi.

Def. Drogaw grae zorientowanym G = (V , E) ci¡g

wierzchoªków i kraw¦dzi P = (v0,e1,v1,e2,v2, . . . ,ek,vk), vi ∈V ,

ej ∈E, k ≥ 0, taki, »e ej = (vj−1,vj) (piszemy czasem

P = (e1, . . . ,ek)).

v0 pocz¡tek, vk koniecdrogi P,

(66)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(67)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(68)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(69)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(70)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

Def. Droga w grae zorientowanym G = (V , E) ci¡g

P = (e1, . . . ,ek)).

(71)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(72)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(73)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(74)

Teoria grafów

k =dªugo±¢drogi.

P = (e1, . . . ,ek)).

(75)

Teoria grafów

Def. cie»ka (inaczej droga niezorientowana) w grae zorientowanym G = (V , E) ci¡g

W = (v0,e1,v1,e2,v2, . . . ,ek,vk), vi ∈V , ej ∈E, k ≥ 0, taki, »e

ej = (vj−1,vj) lub ej = (vj,vj−1) (piszemy czasem

W = (e1, . . . ,e_k)).

Def. Niech P = (v0,e₁,v₁,e₂,v₂, . . . ,e_k,v_k) b¦dzie drog¡ w grae (zorientowanym lub nie). Wówczas

je»eli vi 6=vj dla ka»dych i 6= j, to P nazywamydrog¡ prost¡,

je»eli v0=vk to P nazywamydrog¡ zamkni¦t¡ lubcyklem,

cykl prosty= cykl + droga prosta.

Podobnie deniujemy±cie»k¦ prost¡i±cie»k¦ zamkni¦t¡(=cykl niezorientowany) oraz niezorientowany cykl prosty.

(76)

Teoria grafów

W = (e1, . . . ,e_k)).

(77)

Teoria grafów

W = (e1, . . . ,e_k)).

(78)

Teoria grafów

W = (e1, . . . ,e_k)).

(79)

Teoria grafów

W = (e1, . . . ,e_k)).

(80)

Teoria grafów

W = (e1, . . . ,e_k)).

Podobnie deniujemy±cie»k¦ prost¡i±cie»k¦ zamkni¦t¡(=cykl niezorientowany) orazniezorientowany cykl prosty.

(81)

Teoria grafów

Def. Graf niezorientowany G = (V , E) jestspójny, o ile dla ka»dych u, v ∈ V istnieje droga P o ko«cach u i v.

Def. Graf zorientowany G = (V , E) jestsªabo spójny, o ile dla ka»dych u, v ∈ V istnieje ±cie»ka P o ko«cach u i v.

Def. Graf zorientowany G = (V , E) jestsilnie spójny, o ile dla ka»dych u, v ∈ V istnieje droga P o pocz¡tku u i ko«cu v.

(82)

Teoria grafów

(83)

Teoria grafów

(84)

Teoria grafów

Def. Graf H = (V0_,_E0₎_nazywamy _podgrafem _{grafu G = (V , E),}

o ile V0 _⊆_{V oraz E}0 _⊆_E.

Def. Podgraf H = (V0_,_E0₎ _{grafu G = (V , E) nazywamy}_peªnym_,

o ile

∀_u,v∈V0 {u, v} ∈ E ⇒ {u, v} ∈ E0

lub w wersji zorientowanej

∀_u,v∈V0 (u, v) ∈ E ⇒ (u, v) ∈ E0.

Def. Dwa grafy G = (V , E) oraz H = (V0_,_E0₎_s¡ _izomorczne_,

gdy istnieje bijekcja f : V → V0 _{taka, »e dla ka»dych u, v ∈ V ,}

mamy

{u, v} ∈ E ⇔ {f (u), f (v)} ∈ E0 (analogicznie dla wersji zorientowanej).

(85)

Teoria grafów

o ile

∀_u,v∈V0 {u, v} ∈ E ⇒ {u, v} ∈ E0

∀_u,v∈V0 (u, v) ∈ E ⇒ (u, v) ∈ E0.

mamy

(86)

Teoria grafów

o ile

∀_u,v∈V0 {u, v} ∈ E ⇒ {u, v} ∈ E0

∀_u,v∈V0 (u, v) ∈ E ⇒ (u, v) ∈ E0.

mamy

(87)

Teoria grafów

Ustalmy graf nieskierowany G = (V , E).

Def. Mówimy, »e v ∈ V jestosi¡galnyz u ∈ V , gdy w G istnieje droga P o ko«cach u, v.

Obserwacja: Jest osi¡galny jest relacj¡ zwrotn¡, symetryczn¡ i przechodni¡, czyli relacj¡ równowa»no±ci w V .

Def. Spójn¡ skªadow¡(inaczej skªadow¡ spójno±ciw grae G) nazywamy peªny podgraf grafu G o wierzchoªkach z dowolnej klasy abstrakcji relacji jest osi¡galny.

Uwaga. Spójna skªadowa jest maksymalnym spójnym podgrafem peªnym grafu G.

(88)

Teoria grafów

Def. Spójn¡ skªadow¡(inaczej skªadow¡ spójno±ciw grae G) nazywamy peªny podgraf grafu G o wierzchoªkach z dowolnej klasy abstrakcji relacji jest osi¡galny.

(89)

Teoria grafów

Def. Spójn¡ skªadow¡ (inaczej skªadow¡ spójno±ciw grae G) nazywamy peªny podgraf grafu G o wierzchoªkach z dowolnej klasy abstrakcji relacji jest osi¡galny.

(90)

Teoria grafów

(91)

Teoria grafów

(92)

Teoria grafów

Def. Graf peªnyKn (dla n ∈ N) = graf taki, »e |V (Kn)| =n oraz dla ka»dych u, v ∈ V (Kn), {u, v} ∈ E(Kn).

Def. Graf G = (V , E) nazywamydwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª¡czne niepuste podzbiory V1,V₂ (tj. V1∪V2 =V ) taki, »e

∀_{_u,v}∈E [(u ∈ V₁ ∧ v ∈ V₂) ∨ (v ∈ V₁ ∧ u ∈ V₂)]. Def. Graf G = (V , E) nazywamypeªnym dwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª¡czne niepuste podzbiory V1,V₂ (tj. V1∪V2 =V ) taki, »e

(93)

Teoria grafów

∀_{_u,v}∈E [(u ∈ V₁ ∧ v ∈ V₂) ∨ (v ∈ V₁ ∧ u ∈ V₂)].

Def. Graf G = (V , E) nazywamypeªnym dwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª¡czne niepuste podzbiory V1,V₂ (tj. V1∪V2 =V ) taki, »e

(94)

Teoria grafów

∀_{_u,v}∈E [(u ∈ V₁ ∧ v ∈ V₂) ∨ (v ∈ V₁ ∧ u ∈ V₂)]. Def. Graf G = (V , E) nazywamypeªnym dwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª¡czne niepuste podzbiory V1,V₂ (tj. V1∪V2 =V ) taki, »e

(95)