Naprężeniowy warunek bezpieczeństwa w przypadku niekonserwatywnych zagadnień stateczności sprężystej

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 5 (1967)

N APRĘ Ż EN IOWY WARU N EK BEZPIECZEŃ STWA W PRZYPAD KU  NIEKONSERWATYWNYCH ZAG AD N IEŃ  STATECZN OŚ CI SPRĘ Ż YSTEJ

AN D RZEJ KOWALSKI (MIELEC), MICH AŁ Ż YCZKOWSKI (KRAKÓW)

1. U wagi wstę pne

Typowym przykł adem niekonserwatywnych obcią ż eń w teorii statecznoś ci sprę ż ystej są  obcią ż enia ś ledzą ce o kierunku dział ania zmiennym w trakcie wyboczenia. Już E.L. N I -KOLAI [12] zwrócił  uwagę  n a konieczność stosowania kinetycznego kryterium statecznoś ci w przypadku niektórych problem ów tego typu. Klasyczny już dziś przypadek sił y ś ledzą-cej, dział ają cej n a swobodnym koń cu prę ta jednostronnie utwierdzonego, rozwią zał  po raz pierwszy M . BECK [1]; dokł adniejsze obliczenia numeryczne podane przez Z. KORDAS i M . Ż YCZKOWSKIEGO [6] doprowadził y do wyniku

(1.1) Pk = 20,0509

EJ

T

P odan o również szereg m etod przybliż onych obliczania sił y krytycznej przy proble-mach niekonserwatywnych; sprowadzają  się  one przede wszystkiem do zastą pienia me-tody energetycznej typu R itza przez równania Lagrange'a drugiego rodzaju (Z. KORDAS i M . Ż YCZKOWSKI [5], A. KOWALSKI [7], M . LEVIN SON  [11]), do stosownej modyfikacji m etody ortogonalizacyjnej G alerkin a (W. W. BOŁOTIN  [2], H . LEIPH OLZ [8, 9, 10]) lub do przystosowania metody mał ego param etru (A. G AJEWSKI [4]). M etody te zezwalają na przybliż one obliczenie obcią ż eń krytycznych dla dość szerokiej klasy waż nych prak-tycznie problemów niekonserwatywnych.

W tym ś wietle coraz wię kszego znaczenia nabiera zagadnienie stosowalnoś ci wypro-wadzonych wzorów w praktyce inż ynierskiej. T ak n p. ś ledzą ca sił a krytyczna (1.1) jest okoł o oś miokrotnie wyż sza od sił y eulerowskiej dla tego samego prę ta (lecz przy ustalo-nym kierunku dział ania) i zbliż anie się  do niej w zastosowaniach konstrukcyjnych może budzić zrozumiał y niepokój. Wydaje się  wię c rzeczą  niezbę dną  analiza stanu podkrytycz-nego i sformuł owanie odpowiedniego warunku bezpieczeń stwa ; najbardziej przekony-wują cą  wydaje się  przy tym analiza rozkł adu naprę ż eń w trakcie drgań, nawią zują ca do kinetycznego kryterium statecznoś ci i wyraż enie warunku bezpieczeń stw a przez ograni-czenie kresu górnego wartoś ci bezwzglę dnej naprę ż enia wystę pują cego w trakcie drgań i bę dą cego funkcją  miejsca i czasu.

W obecnej pracy przeprowadzimy taką  analizę  dla prę ta jednostronnie utwierdzonego, obcią ż onego sił ą  ś ledzą cą. Sformuł ujemy naprę ż eniowy warunek bezpieczeń stw a przy za-ł oż eniu sprę ż ystoś ci m ateriał u; nie bę dziemy poruszali znacznie trudniejszego problemu pojawienia się  odkształ ceń plastycznych.

412 AN DRZEJ KOWALSKI, MICH AŁ  Ż YCZKOWSKI

G ł ówna trudność analizy polega n a tym, iż mamy do czynienia z ukł adem o nieskoń-czonej liczbie stopni swobody i w zwią zku z tym naprę ż enia bę dą w sposób istotny zależ ały od warunku począ tkowego ruchu, a więc od rozkł adu wychyleń i prę dkoś ci w chwili t = 0. Rozpatrzymy więc tylko dwie pierwsze postacie drgań jako najważ niejsz e prak-tycznie, a warunek począ tkowy damy wtedy przez przyję cie pewnych wyjś ciowych ugięć prę ta w dwóch pun ktach n a jego osi (przyjmiemy, że takie ugię cia są spowodowane pew-nymi czynnikami ubocznymi) oraz przez przyję cie, iż prę dkoś ci począ tkowe są równe zeru.

Rozpatrzymy jedynie drgania swobodne ukł adu nie uwzglę dniając wpł ywu tł umienia zarówno n a wielkość sił y krytycznej, jak i na wielkość naprę ż eń podczas drgań.

2. Analiza drgań przy podkrytycznej sile ś ledzą cej

Obliczenia nasze oprzemy n a równaniu róż niczkowym drgań poprzecznych prę ta ś cis-kanego sił ą P (Rys. 1) ^ 4_n,  ^ 2 „ pp._y> (2.1) 8x4  ' dx2

dt

gdzie EJ oznacza sztywność gię tną,  a m — masę jedn ostki dł ugoś ci prę ta. P ostać równ an ia (2.1) jest niezależ na od zachowania się sił y po wyboczeniu; wpł ywa ono jedynie n a warunki brzegowe. W przypadku sił y ś ledzą cej warunki te mają postać

gdzie /  oznacza dł ugość prę ta utwierdzonego n a koń cu x =  0. Wprowadzając bezwymiarowe zmienne

(2.3) £ =  */ / , v = y/ l, podstawiając do równania (2.1)

(2- 4) y(x, t) =  y(H, ł ) =  h($)eW t

oraz wprowadzając bezwymiarowe stał e odpowiadają ce sile ś ciskają cej i czę stoś ci drgań

(2.5) p =  PPlEJ, co =  Ql2

NAPRĘ Ż ENIOWY WARUNEK BEZPIECZEŃ STWA W PRZYPADKU  NIEKONSERWATYWNYCH  ZAGADNIEŃ  413

otrzymujemy równanie róż niczkow

e zwyczajne o stał ych współ czynnikach

d4 v , , d2 v .

(2.6) W

^W •

Cał ka ogólna równania (2.6) ma postać

(2.7) w(f) =

gdzie

(2.8)

Warunki brzegowe (2.2) prowadzą do ukł adu równań

C2+ C4 =  0,

^ Ci(r

smr

+r

r

shr

)+C

(r\ cosr

+r

chr

) = 0,

—C

(rlcosri- J

- r

Ą ć h.rd+C

(Ą &mri—rl&hr

) =  0,

przy czym w dwóch ostatnich równaniach wyrugowano już C

 i C

. Wyraż ając wszystkie

stał e przez C

 moż emy napisać krótko

(2.10) v^) = C,F^ ),

gdzie F{ź ) jest funkcją nie zawierają cą już stał ych cał kowania,

(2.11) F(£) =  sinrif- zM COsrif—— shr

f+ iMcli7-

£,

r 2

przy czym przez \ i oznaczono stał ą

si n r x+ — sh r

(2.12)  p -  ^

J chr

/

Przyrównując do zera wyznacznik gł ówny ukł

adu równań (2.9) doprowadzamy do rów-nania przestę pnego, okreś lają ceg

o zwią zek pomię dzy sił ą /? a czę stoś ci

ą drgań co. Wykres

funkcji j8 =  f(a>) moż na znaleźć w pracy M.

 [1] lub monografii W. W.

[2]. '

3. Rozkł ad naprę ż eń wzdł uż osi prę ta

Przyjmując zał oż enie jednowymiarowego stanu naprę ż eni

a w prę cie, moż emy napisać

(

- !)  < W =  <Wx+ °-

 =  Eh - j^y +   y ,

gdzie ff

 oznacza naprę ż eni

e od zginania, a

 — od ś ciskania, h — odległ ość skrajnego

wł ókna przekroju od osi prę ta, F—powierzchnię przekroju. Wobec faktu, że równanie

czę stoś c

i ma nieskoń czeni

e wiele pierwiastków, należ ał

oby do (3.1) zamiast (2.4) podsta-wić

414 AN D RZEJ KOWALSKI, MICH AŁ Ż YCZKOWSKI

i otrzymalibyś my wtedy po sprowadzeniu konsekwentnie do postaci bezwymiarowej

(3.3) - j-  = J2J

V

J  ®

 +1?'

X oznacza tu smukł ość prę ta i zgodnie z klasyczną  definicją  smukł oś ci dla prę ta jedno-stronnie utwierdzonego mamy w naszym przypadku A =  21/ i, przy czym i oznacza naj-mniejszy promień bezwł adnoś ci przekroju.

Ze wzoru tego wyeliminujemy teraz czynnik czasu zastę pują c szereg funkcji czasu przez stosowną  majorantę .

Wobec |R e(e"°j')| <  1 moż emy napisać

(3.4) - f^  = j

/ - i

Stosujemy tu nadal znak równoś ci, a nie nierównoś ci sł abej, bowiem stosunki poszczegól-nych czę stoś ci są  z reguł y niewymierne; mamy wię c prawo przypuszczać, że po dostatecznie dł ugim okresie czasu nastą pi moment, w którym wszystkie postacie drgań (a, praktycznie biorą c, znaczna ich liczba) osią gną  w danym punkcie f swą  wartość amplitudalną  z odpo-wiednim znakiem i wszystkie iloczyny C^Fj'^) bę dą  dodatnie.

D o pierwszego skł adnika wzoru (3.4) moż na również wprowadzić smukł ość prę ta X. Moż emy mianowicie napisać

(3.5) .TSSL

= j-j- i

gdzie ip =  2hji jest ł atwym do obliczenia, bezwymiarowym współ czynnikiem kształ tu przekroju. D la przekroju prostoką tnego mamy y> =  ]/ l2 =  3,464, dla koł owego y> — 4, dla pierś cieniowego (rurowego) cienkoś ciennego ip — 2 \ '2 = 2,828.

N aprę ż enia, okreś lone wzorem (3.5), zależą  od danej począ tkowej linii ugię cia i począ tkowej prę dkoś ci drgań. D la celów praktycznych zastą pimy teraz ukł ad o nieskoń-czonej liczbie stopni swobody przez ukł ad o moż liwie mał ej ich liczbie. Przyjmiemy miano-wicie dwa stopnie swobody, gdyż jeden nie zezwalał by na analizę  zjawiska dudnienia — zbli-ż ania się  dwóch są siednich czę stoś ci do siebie.

Zamiast (3.5) napiszemy zatem (3- 6)  ~ -  =   T [ |C l

n ^ " ( ł ) | +   | C1 2F2" ( | ) | ] + ^ .

Jli A A

D la wyznaczenia stał ych CniCi2 musimy zał oż yć począ tkowe wychylenia prę ta w dwóch

punktach osi. Jednym z nich powinien być punkt  1 = 1 (swobodny koniec) — bezwy-miarowe ugię cie począ tkowe w tym punkcie oznaczymy prze z/ =  d/ l. D rugi pun kt ozna-czymy przez  |₀, a odpowiednie bezwymiarowe ugię cie przedstawimy jako uł amek tamtego, oznaczają c je przez %f. Prę dkoś ci począ tkowe przyjmiemy w obu punktach równe zeru. W takim razie z ukł adu równań

NAPRĘ Ż ENIOWY WARUNEK BEZPIECZEŃ STWA W PRZYPADKU  NIEKONSERWATYWNYCH  ZAGADNIEŃ  415

otrzymujemy

(3.8)

C,2 =

F unkcja  F " ( | ) jest okreś lona wzorem (3.9)  F " ( | ) =  - r ? ( si n r , .

f-przy czym Fi otrzymujemy przez podstawienie parametrów r,, r2 i fi odpowiadają cych

pierwszej czę stoś ci, a F2 — odpowiadają cych drugiej czę stoś ci drgań prę ta.

N aprę ż eniowy warunek bezpieczeń stwa prę ta bę dzie więc miał  postać (3.10) - y max [\ CnFi'^ )\  + \ CuF2"^ )\ ]+Jjr<!~ ,

gdzie k oznacza stosowne naprę ż enie dopuszczalne.

4. Wyniki liczbowe

D o obliczeń liczbowych przyjmiemy £0 =  0,5 oraz % =  0,3; taki rozkł ad ugięć począ

t-kowych odpowiada mniej wię cej ugię ciom statycznym pod dział aniem sił y prostopadł ej do osi prę ta, a przył oż onej n a jego swobodnym koń cu. Zał oż ono przekrój rurowy cienko-ś cienny przyjmując y =  2,828. Tablica 1 w1 u2 P/ PK 0 3,50 21,75 0 5 4,« 19,75 0,25 • 10 5,00 1750 0,50 15 6,50 15,00 0,75 19,5 9,50 11,50 0,975

Korzystając z wykresu M . Becka przyję to wartoś ci coL i co2, zestawione w tablicy 1.

Z a pomocą tych danych okreś lono kolejno rx, r%\  n dla każ dej z tych czę stoś ci,

a dalej funkcje F^tj) i F2(i) oraz stał e Cn i C[2. Rozkł ad naprę ż eń okreś lonych wzorem

(3.6) przedstawiono n a wykresach (rys. 2 i 3) odpowiednio dla smukł oś ci prę ta A =  400 1 X =  800. Warto zauważ yć, że pun ktem niebezpiecznym nie zawsze jest t u punkt utwier-dzenia (£ =  0); czę ś ciej nawet kres górny naprę ż enia osią gany jest n a dł ugoś ci prę ta przy | równym okoł o 0,4.

W oparciu o otrzymane wyniki sporzą dzono wykresy (rys. 4 i 5) dla tych samych smuk-ł oś ci, zależ noś ci maksymalnych naprę ż eń od bezwymiarowej sił y /? i od danego wychylenia począ tkowego / . D la porówn an ia przytoczono również wykresy naprę ż eń maksymalnych przy obcią ż eniu sił ą o ustalonym kierunku dział ania (sił ą typu eulerowskiego), dział ają cą n a m im o ś ro d ac h /o tych samych wartoś ciach. Wykresy na rys. 6 i 7 przedstawiają wreszcie dla tych samych smukł oś ci naprę ż eniowe warunki bezpieczeń stwa przy róż nych danych naprę ż eniach k i róż nych danych wychyleniach p o c z ą t ko wyc h /=  djl.

Rys. 2

A­800

may

Rys. 4

max

Rys. 5

A.­400

1=800

Rys. 7

422 AN D RZ EJ KOWALSKI, M I C H AŁ Ż YC Z KOWSKI

5. Wnioski

Z przedstawionych wykresów, a zwł aszcza z porówn an ia z wykresami dla obcią ż eń o ustalonym kierunku, wynika, iż obcią ż enia ś ledzą ce są  w istocie wielokrotnie mniej nie-bezpieczne dla konstrukcji od obcią ż eń konserwatywnych. Oczywiś cie, że dla bardziej wnikliwej oceny niezbę dne są  badania innych ukł adów i przyjmowanie do równań wię kszej liczby stopni swobody. Stosowanie obcią ż eń nawet kilkakrotnie wię kszych od klasycznej sił y eulerowskiej wydaje się  jednak dopuszczalne, o ile mamy pewnoś ć, że zdefiniowany w [3 i 6] współ czynnik ś ledzenia r\  może tylko nieznacznie odbiegać od jednoś ci.

KATEDRA MECH AN IKI TECH N ICZN EJ POLITECH N IKI KRAKOWSKIEJ

Literatura cytowana w tekś cie

1. M. BECK, Die Knicklast des einseitig eingespannten tangentialgedriickten Stabes, Z . angew. M ath . F hys., 3, 3 (1952), 225- 228.

2. B. B. EOJIOTH H j HeKoncepeamuBHbie 3adauu meopuu ynpyioii yctnomueocmu, <J>E3MaTni3, M C C K BB 1961.

3. F . 10. JI>KAHEJIHJi;3E3 06 yanoUuueocmu cmepoicnn npu deucmeuu cjiednuieu CUJIU, T pyflw U e m i u r p .

riojiH T. HHCTHTyTa, J\T° 192 ( 1958) ,  2 1 - 2 7 .

4. A. G AJ E WS K I , Statecznoś ć pewnych niepryzmatycznych i niejednorodnych prę tów ś ciskanych silą

ś ledzą cą , Rozpr. Inż yn., 4, 14 (1966), 591- 608.

5. Z. KORD AS i M. Ż YCZKOWSKI, Analiza dokł adnoś ci metody energetycznej przy kinetycznym kryterium statecznoś ci, Czasop. Techn., 9, 65 (1960), 1- 8.

6. Z . KORD AS i M. Ż YCZKOWSKI, On the loss of stability of a rod wider a super- tangential force, Arch. Mech. Stos., 1.15 (1963), 7- 31.

7. A. KOWALSKI, Statecznoś ć prę tów o skokowo zmiennym przekroju ś ciskanych silą  ś ledzą cą , R ozpr. Inż yn., 15(1967), 197- 209.

8. H . LEIPH OLZ, Anwendung des Galerkinschen Verfahrens auf nichtkonservative Stabilitatsprobleme des elastischen Stabes. Z. angew. M ath. Phys., 4, 13 (1962), 359- 372.

9. H . LEIPH OLZ, Uber die Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens bei nichtselbstadjungierten und nicht-konservativen Eigenwertproblemen, Z . angew. M ath. P hys., 1, 14 (1963), 70- 79.

10. H . LEIPH OLZ, Grundzuge einer Stabilitdtstheorie fur elastische Systeme unter nichtkonservativer Belastung, Ing.- Archiv, 1, 34 (1965), 56- 68.

11. M . LEVINSON, Application of the Galerkin and Ritz methods to nonconservative problems of elastic stabi-lity, Z. angew. M ath. P hys., 3, 17 (1966), 431- 442.

12. E . JI . H H KOJIAH

, 06yemounueoemu npnMOAuneunou (p"opMupaeHoeecuHcaicamoeoucKpyneniwiocmepoic-HH, H 3B. Jlen im rp. ITOJIH T. H H C T ., 31 (1928).

P e 3 IO M e

yC JIOBH E BE3OITACH OCTH  IIO HAITPiDKEHHHM B H EKOH CEPBATH BH BIX

ynpyroa

raiiH hi HeKOHcepBaTHBHHX narpy30K n peBtm iaioT KaK npaBH Jio

ci- ui B cjryriae cymecTBOBaHHfl noTeHn,Kajia. H an p u M ep , KpH TniecKan: CHJia fljw oflH OdopoH H e 3ai<pemienH oro depjKH H  paBHa npBMepHO BocŁiraKpaTHCMy

N AP R Ę Ż E N I O WY WAR U N E K BE Z P I E C Z E Ń STWA W P R Z YP AD K U  N IEKON SERWATYWN YCH  Z AG AD N IEŃ  423

pOBOił  CHJibi fljra 3Toro CTepwHH. C 3Toń TOMIKU 3peHHH  Bce 6ojibmee 3n a^en iie nojryqaeT Bon poc o n p n -MeHHinocTH  B HHH- ceiiepHoft npaKTHite BbiBeflenH bix (J)opMyji.

B HacTOHiqeii c ia r a e nposoflH TCJi aHajiH3 pacnpeflejieH H fl HanpjimeHHH  B nporj;ecce KOjie6annH CTOpoHiie 3aKpenjieimoro cTep>i<HHj iiarpy>KeH H oro nofli<pnTH^ecKOH  cne,rpnneH  cajioft.

TOHHŁIC ypaBH eima KOjie6aHidł  cucreM M c 6eci<0HeiHbiM MUCHOM cTeneH eii CBo6oflbi, o^HaKO B jieH iyrx ym eH bi TOjibKO n p o r n 6bi cooTBeTCTByiomiie #ByM nepBLiM tiacTOTaM Kone6aHHH. Oi<a3biBaeTca, MTO iianGosbnias iianpn>KeHH}i MoryT noHBHTbca JIH 6O B 3ai<penjieHH0M Konne cTep>i<HH  JIH 6O B HeKOTopoń ero Tourne (jiOKajiBHbm MaKCHMyM). C4>opMyjinpoBaHO ycnoBH e 6e3omcHOCTH  n o HanpjDKenHHM, a Taioice flaiiŁi rpa4>Hi<H  H 3o6pa>Kaiomne STO ycjioBH e  n p a pa3jiiMH bix OTnomenHflx flonydH Moro HanpH>i<eHHa K K MOAyJiio lO n r a E. flano cpaBH eroie co cny^iaeM Korfla cn n a HMeeT nocTOH unoe H anpaBjieiiH e B n p o -u;ecce n oiepH  ycTOił^HBOCTH. O6Hapy>i<eHO mo flonycraMan Bejin^H iia cjieflHmeii CHJIM B fleiicTBH Tejib-HOCTH MnoroKpaTHo npeBBiuiaeT TO 3H a*ieiine CH JIM c 4>HKCHpoBaHHtiM HanpaBjieHHeM, KOTopoMy COOT-BeTCTByiOT nonycTHMbie HanpH>KenHfl K.

S U M M A R Y

STRESS CRITERION  OF SAFETY F OR N ON - CON SERVATIVE PROBLEMS OF ELASTIC STABILITY The critical values of non- conservative loads are, as a rule, much higher than those resulting from a po-tential; for instance, the critical tangential (i.e. remaining normal to the end cros- section) force for a can-tilever beam exceeds by about eight times the corresponding eulerian force. In this respect, the problem of applicability of these results in engineering practice becomes of primary importance. In the paper, the analysis of the stress distribution in a vibrating cantilever beam loaded by a subcritical tangential force is given. In general, the exact equation of vibrations of the system with distributed masses is considered, whereas in numerical calculations two leading modes of vibrations are taken into account. It is shown that the maximum stress occurs either at the clamped end of the beam or at a certain interme- diate point of the length (local maximum). The stress criterion of safety was formulated and shown graphi-cally for various ratios of admissible stress k to the Young's modulus E. The results are compared with the case of conservative compressive forces. It is shown that the admissible force exceeds by many times the corresponding value of a force fixed in direction, provided the admissible stress k remains the same. P OLI TE C H N I KA KRAKOWSKA