Skladsym

Wydział Elektryczny

Zakład Elektrotechniki

Laboratorium elektrotechniki

Badanie składowych symetrycznych

w niesymetrycznym układzie trójfazowym

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia są pomiary składowych symetrycznych kolejności zgodnej i przeciwnej napięć międzyfazowych oraz porównanie wyników pomiarów z wynikami uzyskanymi sposobami analitycznymi i wykreślnymi.

2. Wiadomości podstawowe

2.1. Składowe symetryczne

Mówimy, że układ trójfazowy jest kolejności zgodnej, jeśli faza B spóźnia się za fazą A o T/3, faza C spóźnia się za B o T/3, a faza A spóźnia się za C o T/3. Jeśli kolejność faz jest przeciwna, to mówimy, że jest to układ trójfazowy kolejności przeciwnej. Jeśli wszystkie fazy A, B, C nie są przesunięte względem siebie, to mówimy, że jest to układ kolejności zerowej. Układy poszczególnych kolejności zobrazowano na rysunku 1.

Kolejność zerowa Kolejność zgodna Kolejność przeciwna

A B C A B C A C B

Rys.1. Układy trójfazowe kolejności zerowej, zgodnej i niezgodnej

Układ dowolnych trzech napięć lub prądów sinusoidalnych o tej samej pulsacji można przedstawić jako superpozycję trzech symetrycznych układów trójfazowych kolejności zerowej, zgodnej przeciwnej. Pewną analogią może być możliwość rozkładu dowolnego wektora na składowe w układzie kartezjańskim.

Jeśli dany jest układ trzech napięć trójfazowych UA, UB, UC, to składowe symetryczne tych

napięć U0, U1 i U2 (dokładniej - składowe symetryczne względem fazy A UA0, UA1 i UA2) wyznacza

się ze wzoru                                           C B A A A A U U U a a a a U U U U U U 2 2 2 1 0 2 1 0 1 1 1 1 1 3 1 gdzie      _{      }  a a a 2 3 2 1 2 3 2 1 2 240 120 120 _{j , e e j} ej j j

Gdy dane są napięcia U0, U1 i U2, to napięcia UA, UB i UC wyznacza się ze wzoru

                               2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 U U U a a a a U U U C B A

Składowe symetryczne mają duże znaczenie w analizie stanów awaryjnych trójfazowych obwodów symetrycznych oraz w analizie wirujących maszyn elektrycznych prądu sinusoidalnego w stanach ustalonych.

2.2. Wykreślne metody znajdowania składowych symetrycznych

Spośród różnych metod wykreślnych znajdowania składowych symetrycznych omówimy dwie. Pierwsza z nich może być stosowana do dowolnego układu prądów lub napięć trójfazowych. Rysujemy układ prądów lub napięć trójfazowych (rys. 2). Znajdujemy środek ciężkości trójkąta ABC - oznaczmy go przez D (środek ciężkości trójkąta leży na przecięciu środkowych). Odcinek OD obrazuje składową kolejności zerowej. Na boku BC budujemy dwa trójkąty równoboczne, otrzymując po lewej punkt M, a po prawej punkt N. Odcinek MA jest obrazem trzykrotnej składowej zgodnej, a NA - trzykrotnej składowej przeciwnej.

B C A UA UB UC U0 0 D M N 3U1 3U2

Rys. 2. Wykreślna metoda znajdowania składowych symetrycznych

Druga metoda nadaje się do układu napięć lub prądów trójfazowych tworzących wielobok zamknięty (np. napięcia liniowe, prądy liniowe w układzie trójprzewodowym). Dla takiego układu składowa kolejności zerowej jest równa zeru. Pozostałe dwie składowe wyznacza się w następujący sposób. Rysujemy trójkąt wskazów (rys. 3). Z punktu C prowadzimy półprostą przechodzącą przez połowę odcinka AB, czyli punkt D. Pod kątem 30 do tej półprostej z punktu C prowadzimy drugą półprostą. Następnie z punktu D prowadzimy półprostą pod kątem 90. Dwie ostatnie półproste przecinają się w punkcie E. Odcinek BE jest graficznym obrazem wskazu U1AB, natomiast odcinek

EA - wskazu U2AB. Jeśli wykres był wykonany w skali, to można z niego odczytać bezpośrednio

części rzeczywiste i urojone obydwu składowych oraz ich długości:

EA U BE U FE FA U FE BF U1  j , 2  j , 1  , 2  UAB UCA UBC C A B D E U2 U1 30 F

2.3. Filtry składowych symetrycznych

Filtrami składowych symetrycznych są urządzenia, których zadaniem jest wydzielenie

odpowiednich składowych symetrycznych napięć lub prądów występujących w układzie trójfazowym. Rozróżniamy filtry składowej zerowej, zgodnej i przeciwnej.

Najbardziej rozpowszechnione i najprostsze w budowie są filtry składowej zerowej prądu i napięcia. Wynika to stąd, że składowa zerowa jest równa 1_/

3 sumy mierzonych napięć lub prądów.

Filtr należy zbudować tak, aby jego wskazanie było proporcjonalne do sumy odpowiednich wielkości. Trudniejsze w wykonaniu są filtry składowej symetrycznej zgodnej lub przeciwnej.

W instrukcji ograniczymy się do pokazania, że jeśli

   _  _{Z Ze}j30 _{, Z Ze} j90 ZA C B

to wskazania woltomierzy V1 i V2 w układzie zastosowanym w ćwiczeniu są równe modułom

składowych symetrycznych U1 i U2 napięć liniowych UAB, UBC i UBC. Przy założeniu, że potencjały

punktów A, B i C są znane, potencjał punktu N wynosi

                    30_{30 90}90 ₃₀ 30 1 1 1 1 1 1 j j j j j j e e e e e e B C A C B A C C B B A A N V V V Z Z Z Z V Z V Z V V

Jak wiadomo, jednemu dowolnie wybranemu punktowi układu można przypisać potencjał równy zeru. Niech to będzie punkt N, tzn. niech VN = 0. Wynika stąd, że



A C





A C



B C B A V V V V V a V V V _ej30 _ej90 _ej30 ₀    _ej120  2  Podstawiając otrzymaną zależność we wzorach na składowe symetryczne, otrzymujemy











































A C





A C



C C A A C C C A C A A A C C B B A CA BC AB V a a V V a a a a a V a a V a a a a V a a a V V a V a V a V a V a V a V a V V V a V V a V V U a U a U U 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 3 0 3 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1                                            









 































A C





A





C



A C A A C C C A C A A A C C B B A CA BC AB V a V a V a a a a V a a a a a V a a a a V a a a V V a V a V a V a V a V a V a V V V a V V a V V U a U a U U                                               0 3 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2

przy czym w powyższych wyprowadzeniach wykorzystano tożsamości:

a a a a a     2 ₀ 3 ₁ 4 1 , ,

Z otrzymanych zależności wynika, że

V2 2 2 V1 1 1 U V U U U V U U   C  ,   A 

3. Przebieg ćwiczenia

- Zestawić układ pomiarowy wg schematu z rysunku 4 (elementy oznaczone linią przerywaną znajdują się we wspólnej obudowie; woltomierze V1 i V2 powinny być cyfrowe; w razie braku

dwóch woltomierzy cyfrowych zastosować jeden z możliwością łatwego przełączania pomiędzy zaciskami A i C),

V

AB

V

BC

V

CA XL2 RL2 XL1 RL1 XC RD2 RD1

V

2

V

1 A B C Rs ~3f _N Rys. 4

- Nastawić rezystory dekadowe RD1 i RD2 na wartości: RD1 = 135,2 , RD2 = 135,2 ,

- Nastawić wartość rezystora suwakowego Rs na wartość maksymalną,

- Upewnić się, że kolejność faz na wyjściu autotransformatora jest zgodna,

- Nastawić napięcie zasilania na 60 V lub mniej (UWAGA: maksymalna dopuszczalna wartość napięcia podawanego na układ wynosi 60 V),

- Dla trzech różnych położeń suwaka rezystora Rs odczytać wskazania mierników.

Tabela 1 Lp.

Pomiary Metoda analityczna Metoda

wykreślna UAB UBC UCA U1 U2 UAB UBC UCA U1 U2 U1 U2 V V V V V V V V V V V V 1 2 3

4. Opracowanie sprawozdania

1. Cel ćwiczenia.

2. Schemat pomiarowy i tabela wyników.

3. Parametry i dane znamionowe zastosowanych przyrządów. 4. Wyznaczyć zespolone wartości napięć liniowych (zob. Dodatek),

5. Wyznaczyć składowe symetryczne napięć liniowych metodą analityczną (zob. punkt 2.1). 6. Wyznaczyć składowe symetryczne napięć liniowych metodą wykreślną (zob. punkt 2.2). 7. Przykłady obliczeń poszczególnych wartości w tabeli.

5. Pytania sprawdzające

1. Co to są składowe symetryczne?

2. Podać związki między układem napięć lub prądów trójfazowych a ich składowymi symetrycznymi.

3. Omówić wykreślne metody znajdowania składowych symetrycznych. 4. Omówić zastosowanie składowych symetrycznych.

5. Omówić różne filtry składowych symetrycznych prądów i napięć.

6. Uzasadnić działanie układu pomiarowego jako filtra składowej zgodnej i niezgodnej napięć liniowych.

Literatura

[1] Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - teoria obwodów elektrycznych, WNT, W-wa 1986, ss. 223-232.

[2] Bolkowski S.: Obwody elektryczne w stanie ustalonym, WNT, W-wa 1974, seria E, ss. 232--239.

[3] Bolkowski S., Matusiak R.: Podstawy elektrotechniki, część 3, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej (skrypt), W-wa 1972, ss. 189-195.

[4] Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I, WNT, W-wa 1970, ss. 616-656.

[5] Klonowicz Z., Zurzycki Z.: Podstawy elektrotechniki, część 3, Wydawnictwa AGH (skrypt), Kraków 1975, ss. 65-71.

[6] Krakowski M.: Podstawy elektrotechniki, część 2, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej (skrypt), Łódź 1974, ss. 95-113.

[7] Kurdziel R.: Podstawy elektrotechniki, WNT, W-wa 1973, ss. 622-629.

Dodatek

Aby na podstawie tabeli 1 wyznaczyć zespolone wartości napięć liniowych, można skorzystać z poniższej metody. Ponieważ układ napięć liniowych tworzy trójkąt ABC (rys. 5), to znamy boki tego trójkąta (napięcia zmierzone UAB, UBC i UCA). Kąty  i  w tym trójkącie łatwo wyznaczymy za

pomocą twierdzenia kosinusów, z którego otrzymuje się

BC AB CA BC AB CA AB BC CA AB U U U U U U U U U U 2 2 2 2 2 2 2 2 _{ }       , cos cos

Przyjmując, że kąt przesunięcia fazowego napięcia UAB jest równy zero, otrzymujemy

     _   _{, e} j180 _{, e}j180 CA CA BC BC AB AB U U U U U U UAB UCA UBC C A B   180 –  180 – 