7 Ukªady równa« ró»niczkowych zwyczajnych
liniowych. Równania ró»niczkowe zwyczajne
liniowe wy»szych rz¦dów
7.1 Nierówno±¢ Gronwalla
W bie»¡cym podrozdziale udowodnimy nierówno±¢ Gronwalla, znajduj¡c¡ szerokie zastosowanie w teorii równa« ró»niczkowych.
Lemat 7.1 (Nierówno±¢ Gronwalla1). Zaªó»my, »e I jest przedziaªem
(nie-zdegenerowanym), t0 ∈ I, oraz g : I → [0, ∞) jest funkcj¡ ci¡gª¡ speªniaj¡c¡,
dla pewnych C 0 i D 0, nierówno±¢
g(t) ¬ C + D Z t t0 g(s) ds ∀t ∈ I.
Wówczas zachodzi nierówno±¢
g(t) ¬ CeD|t−t0| ∀t ∈ I. Dowód. Wyka»emy nierówno±¢ tylko dla t t0. Poªó»my
q(t) := C + D
t
Z
t0
g(s) ds, t ∈ I, t t0.
q jest funkcj¡ klasy C1. Z zaªo»enia, g(t) ¬ q(t) dla t ∈ I, t t
0, zatem
q0(t) − Dq(t) ¬ q0(t) − Dg(t) = 0, t ∈ I, t t0.
Mno»¡c skrajne strony powy»szej nierówno±ci przez e−Dt otrzymujemy
e−Dtq0(t) − De−Dtq(t) ¬ 0, t ∈ I, t t0,
czyli
(e−Dtq(t))0 ¬ 0, t ∈ I, t t0.
Caªkuj¡c powy»sz¡ nierówno±¢ od t0 do t dostajemy
q(t) ¬ CeD(t−t0), t ∈ I, t t
0.
Lecz g(t) ¬ q(t) dla wszystkich t ∈ I, t t0, co daje »¡dany wynik.
1Thomas Hakon Gronwall (wªa±c. Grönwall, 1877 1932), matematyk ameryka«ski
Podamy teraz przykªad zastosowania nierówno±ci Gronwalla.
Twierdzenie 7.2. Zaªó»my, »e ci¡gªa funkcja wektorowa f : (a, b)×Rn→ Rn
ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: Istniej¡ ci¡gªe funkcje rzeczywiste M1: (a, b) →
[0, ∞) i M2: (a, b) → [0, ∞) takie, »e
kf (t, x)k ¬ M1(t)kxk + M2(t) ∀t ∈ (a, b) ∀x ∈ Rn.
Wówczas ka»de nieprzedªu»alne rozwi¡zanie ukªadu równa« ró»niczkowych
x0 = f (t, x) jest okre±lone na caªym przedziale (a, b).
Dowód. Zaªó»my nie wprost, »e dla pewnego rozwi¡zania nieprzedªu»alne-go ϕ: (α, β) → Rn ukªadu x0 = f (t, x) zachodzi a < α. Z twierdzenia o
przedªu»aniu rozwi¡za« (Tw. 6.4) wynika, »e dla ka»dego zbioru zwartego
K ⊂ Rn istnieje τ ∈ (α, β) takie, »e ϕ(t) /∈ K dla wszystkich t ∈ (α, τ).
Ustalmy t0 ∈ (α, β). Dojdziemy do sprzeczno±ci, je±li znajdziemy zbiór
zwar-ty ˜K ⊂ Rn taki, »e ϕ(t) ∈ ˜K dla wszystkich t ∈ (α, t
0]. Wykorzystamy do
tego nierówno±¢ Gronwalla.
Funkcja wektorowa ϕ(·) speªnia równanie caªkowe
ϕ(t) = ϕ(t0) + Z t
t0
f (s, ϕ(s)) ds ∀t ∈ (α, β).
Oznaczmy g(t) := kϕ(t)k, t ∈ (α, t0] =: I. Standardowe oszacowania dla
caªek oznaczonych z (ci¡gªych) funkcji wektorowych daj¡
g(t) ¬ C + D Z t t0 g(s) ds ∀t ∈ I, gdzie C := kϕ(t0)k + (t0− α) · sup { M2(s) : s ∈ [α, t0] }(< ∞), D := sup { M2(s) : s ∈ [α, t0] }(< ∞).
Z nierówno±ci Gronwalla (Lemat 7.1) wynika, »e
kϕ(t)k ¬ CeD|t−t0|¬ CeD(t0−α) ∀t ∈ I.
Za zbiór zwarty ˜K bierzemy kul¦ domkni¦t¡ o ±rodku w 0 i promieniu CeD(t0−α).
7.2 Ukªady równa« ró»niczkowych zwyczajnych
linio-wych: Podstawowe poj¦cia i wªa±ciwo±ci
Dla macierzy A = [aij]ni,j=1 (by¢ mo»e o wyrazach zespolonych!), symbol
kAk oznacza (Pn
i,j=1|aij|2)1/2 (norm¦ tak¡ nazywamy norm¡ Frobeniusa2).
Przypomnijmy, »e kAxk ¬ kAkkxk, gdzie kAxk [odp. kxk] oznacza norm¦ euklidesow¡ wektora Ax [odp. wektora x].
De nicja. Ukªadem n równa« ró»niczkowych zwyczajnych liniowych na-zywamy ukªad
(ULn) x0 = A(t)x + h(t),
gdzie A: (a, b) → Rn×n jest funkcj¡ macierzow¡ i h: (a, b) → Rn jest funkcj¡
wektorow¡. Funkcj¦ A(·) nazywamy macierz¡ ukªadu (ULn).
De nicja. Ukªad (ULn) nazywamy ukªadem równa« ró»niczkowych linio-wych jednorodnych gdy h ≡ 0. W przeciwnym przypadku ukªad nazywamy ukªadem równa« ró»niczkowych liniowych niejednorodnych.
Twierdzenie 7.3. Zaªó»my, »e funkcje A: (a, b) → Rn×n i h: (a, b) → Rn
s¡ ci¡gªe. Wówczas dla ka»dego (t0, x0) ∈ (a, b) × Rn istnieje dokªadnie jedno
rozwi¡zanie nieprzedªu»alne ϕ: (a, b) → R zagadnienia pocz¡tkowego (ULn-ZP) x0 = A(t)x + h(t) x(t0) = x0.
Dowód. Funkcja wektorowa (t, x) 7→ A(t)x + h(t) jest ci¡gªa. Ponadto, dla ka»dego przedziaªu zwartego [c, d] ⊂ (a, b) mamy
kA(t)x1+ h(t) − (A(t)x2+ h(t))k =
= kA(t)(x1− x2)k ¬ Lkx1− x2k ∀ t ∈ [c, d] ∀ x1, x2 ∈ Rn,
gdzie L := sup{ kA(t)k : t ∈ [c, d] } < ∞. Na podstawie Faktu 6.6 istnieje dokªadnie jedno nieprzedªu»alne rozwi¡zanie ϕ: (α, β) → Rn zagadnienia
(ULn-ZP).
Aby wykaza¢, »e (α, β) = (a, b), wystarczy zauwa»y¢, »e dla wszystkich
t ∈ (a, b) i wszystkich x ∈ Rn speªniona jest nierówno±¢ kA(t)x + h(t)k ¬ M1(t)kxk + M2(t),
gdzie
M1(t) := kA(t)k, M2(t) := kh(t)k,
i zastosowa¢ Tw. 7.2.
7.3 Ukªady równa« ró»niczkowych liniowych
jednorod-nych
W bie»¡cym podrozdziale rozpatrujemy ukªad n równa« ró»niczkowych li-niowych jednorodnych
(ULJn) x0 = A(t)x,
gdzie A: (a, b) → Rn×n jest ci¡gª¡ funkcj¡ macierzow¡.
Jest niemal oczywiste, »e zbiór wszystkich rozwi¡za« ukªadu (ULJn) two-rzy przestrze« liniow¡ nad ciaªem R liczb rzeczywistych.
Twierdzenie 7.4. Wymiar przestrzeni liniowej rozwi¡za« ukªadu (ULJn) równa« ró»niczkowych liniowych jednorodnych wynosi n.
Dowód. Oznaczmy przestrze« liniow¡ rozwi¡za« ukªadu (ULJn) przez S. Ustalmy t0 ∈ (a, b), i oznaczmy przez R odwzorowanie liniowe
przyporz¡d-kowuj¡ce rozwi¡zaniu ϕ(·) ukªadu (ULJn) jego warto±¢ w t0. Z
Twierdze-nia 7.3 wynika, »e R jest ró»nowarto±ciowe i na, zatem jest izomor zmem przestrzeni liniowych S i Rn.
Udowodnimy teraz pomocniczy lemat.
Lemat 7.5. Niech (ϕ1, . . . , ϕn) b¦dzie ukªadem rozwi¡za« ukªadu (ULJn).
Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(i) Ukªad funkcji (ϕ1, . . . , ϕn) jest liniowo niezale»ny.
(ii) Istnieje t0 ∈ (a, b) takie, »e ukªad wektorów (ϕ1(t0), . . . , ϕn(t0)) jest
liniowo niezale»ny.
(iii) Dla ka»dego t ∈ (a, b) ukªad wektorów (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)) jest liniowo
niezale»ny.
Dowód. Udowodnimy równowa»no±¢ zaprzecze« powy»szych warunków, tzn. (i)0 Ukªad funkcji (ϕ
1, . . . , ϕn) jest liniowo zale»ny.
(ii)0 Dla ka»dego t ∈ (a, b) ukªad wektorów (ϕ
1(t), . . . , ϕn(t)) jest liniowo
zale»ny. (iii)0 Istnieje t
0 ∈ (a, b) takie, »e ukªad wektorów (ϕ1(t0), . . . , ϕn(t0)) jest
Implikacje (i)0 =⇒ (ii)0 =⇒ (iii)0 s¡ oczywiste. Zaªó»my (iii)0. Zatem co
najmniej jeden z wektorów (ϕ1(t0), . . . , ϕn(t0)) jest kombinacj¡ liniow¡
po-zostaªych. Dla ustalenia uwagi zaªó»my, »e ϕ1(t0) = c2ϕ2(t0)+· · ·+cnϕn(t0).
Zauwa»my, »e zarówno funkcja ϕ1 jak i c2ϕ2 + · · · + cnϕn speªniaj¡
za-gadnienie pocz¡tkowe x0 = A(t)x, x(t
0) = ϕ1(t0). Z Tw. 7.3 wynika, »e ϕ1 = c2ϕ2+ · · · + cnϕn, st¡d ukªad funkcji (ϕ1, . . . , ϕn) jest liniowo
zale»-ny.
Niech (ϕ1, . . . , ϕn) b¦dzie ukªadem rozwi¡za« ukªadu (ULJn).
Oznacz-my ϕi = col (ϕ1i, . . . , ϕni). atwo zauwa»y¢, »e funkcja macierzowa Φ(·) :=
[ϕij(·)]ni,j=1 (czyli macierz otrzymana przez ustawienie obok siebie wektorów
kolumnowych ϕ1, . . . , ϕn) jest rozwi¡zaniem nast¦puj¡cego macierzowego
liniowego równania ró»niczkowego
(7.1) X0 = A(t)X.
De nicja. Ukªad (ϕ1, . . . , ϕn) nazywamy ukªadem fundamentalnym (lub
podstawowym) ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) gdy funkcje wektorowe ϕ1, . . . , ϕntworz¡ baz¦ przestrzeni liniowej rozwi¡za«
ukªadu (ULJn).
Z Lematu 7.5 (niemal) bezpo±rednio wynika
Lemat 7.6. Ukªady fundamentalne ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) odpowiadaj¡ tym rozwi¡zaniom Φ(·) równania macie-rzowego (7.1) dla których det Φ(t) 6= 0 dla ka»dego t ∈ (a, b) (lub det Φ(t0) 6=
0 dla pewnego t0 ∈ (a, b)).
De nicja. Rozwi¡zanie Φ(·) równania macierzowego (7.1) nazywamy ma-cierz¡ fundamentaln¡ (lub podstawow¡) ukªadu (ULJn) gdy det Φ(t) 6= 0 dla ka»dego t ∈ (a, b) (alternatywnie, gdy det Φ(t0) 6= 0dla pewnego t0 ∈ (a, b)).
De nicja. Wyznacznikiem Wro«skiego (lub wro«skianem) ukªadu (ϕ1, . . . , ϕn)
rozwi¡za« ukªadu (ULJn) nazywamy wyznacznik det Φ(·) (oznaczamy go przez W (ϕ1, . . . , ϕn)(·)).
Twierdzenie 7.7 (Wzór Liouville'a3). Niech (ϕ
1, . . . , ϕn) b¦dzie ukªadem
rozwi¡za« ukªadu (ULJn). Wówczas wro«skian W (·) := W (ϕ1, . . . , ϕn)(·)
speªnia równanie ró»niczkowe
W0 = tr A(t) · W. 3Joseph Liouville (1809 1882), matematyk francuski
Wynika st¡d, »e W (t) = W (s) exp Z t s tr A(τ ) dτ dla s, t ∈ (a, b).
Przypominam, »e tr A, ±lad macierzy A, oznacza sum¦ elementów na gªównej przek¡tnej A, tr A =Pn
i=1aii.
Lemat 7.8. (i) Je»eli Φ(·) jest macierz¡ fundamentaln¡ ukªadu (ULJn) i
B jest staª¡ macierz¡ nieosobliw¡, to Φ(·)B jest macierz¡ fundamentaln¡
ukªadu (ULJn).
(ii) Je»eli Φ(·) i Ψ(·) s¡ macierzami fundamentalnymi ukªadu (ULJn), to istnieje staªa macierz nieosobliwa B taka, »e Ψ(t) = Φ(t)B dla ka»dego
t ∈ (a, b).
Dowód. (i) Na przedziale (a, b) zachodzi
(ΦB)0 = Φ0B = (A(t)Φ)B = A(t)(ΦB),
zatem funkcja macierzowa Φ(·)B jest rozwi¡zaniem macierzowego równania ró»niczkowego X0 = A(t)X. Ponadto det (ΦB)(t) 6= 0 dla ka»dego t ∈ (a, b).
(ii) Oznaczmy Ξ(t) := Φ−1(t)Ψ(t). Zachodz¡ nast¦puj¡ce równo±ci
Ξ0(t) = (Φ−1(t))0Ψ(t)+Φ−1(t)Ψ(t)0 = (−Φ−1(t)Φ0(t)Φ−1(t))Ψ(t)+Φ−1(t)Ψ0(t) = = Φ−1(t)(Ψ0(t)−Φ0(t)Φ−1(t)Ψ(t)) = Φ−1(t)(A(t)Ψ(t)−A(t)Φ(t)Φ−1(t)Ψ(t)) ≡ 0, zatem Ξ(t) = const.
Wniosek. Dla macierzy fundamentalnych Φ i Ψ ukªadu (ULJn) mamy Φ(t)Φ−1(s) = Ψ(t)Ψ−1(s) ∀ t, s ∈ (a, b).
De nicja. Macierz¡ Cauchy'ego ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) nazywamy funkcj¦ macierzow¡ dwóch zmiennych Φ(t; s) := Φ(t)Φ−1(s), s, t ∈ (a, b), gdzie Φ(·) jest macierz¡ fundamentaln¡ ukªadu (ULJn).
Z powy»szego wniosku wynika, »e (w odró»nieniu od macierzy fundamen-talnej) macierz Cauchy'ego jest jednoznacznie okre±lona.
Poni»sze wªasno±ci macierzy Cauchy'ego s¡ ªatwe do sprawdzenia: 1) Φ(t; t) = I ∀ t ∈ (a, b),
Twierdzenie 7.9. Rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego x0 = A(t)x x(t0) = x0
wyra»a si¦ wzorem
Φ(t; t0)x0,
gdzie Φ(·; ·) jest macierz¡ Cauchy'ego ukªadu x0
= A(t)x. Dowód. ∂ ∂t(Φ(t; t0)x0) = ∂ ∂t(Φ(t)Φ −1 (t0)x0) = = Φ0(t)Φ−1(t0)x0 = A(t)Φ(t)Φ−1(t0)x0 = A(t)Φ(t; t0)x0,
zatem t 7→ Φ(t; t0)x0 jest rozwi¡zaniem ukªadu. Zauwa»my ponadto, »e
Φ(t0; t0)x0 = Φ(t0)Φ−1(t0)x0 = x0.
7.4 Ukªady równa« ró»niczkowych liniowych
niejedno-rodnych. Uzmiennianie staªych
W bie»¡cym podrozdziale rozpatrujemy ukªad n równa« ró»niczkowych li-niowych niejednorodnych
(ULNn) x0 = A(t)x + h(t),
gdzie A: (a, b) → Rn×n jest ci¡gª¡ funkcj¡ macierzow¡ i h: (a, b) → Rn jest
ci¡gª¡ funkcj¡ wektorow¡.
Dla ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych niejednorodnych (ULNn) ukªad równa« ró»niczkowych liniowych jednorodnych
(ULJn) x0 = A(t)x
nazywamy ukªadem stowarzyszonym z (ULNn).
W ±wietle Tw. 7.4 i de nicji ukªadu fundamentalnego poni»szy wynik jest oczywisty.
Twierdzenie 7.10. Niech (ϕ1(·), . . . , ϕn(·)) b¦dzie ustalonym ukªadem
fun-damentalnym ukªadu równa« liniowych jednorodnych x0 = A(t)x, i niech ψ(·)
b¦dzie ustalonym rozwi¡zaniem ukªadu (ULNn). Ka»de rozwi¡zanie ukªadu (ULNn) równa« ró»niczkowych liniowych niejednorodnych mo»na jednoznacz-nie zapisa¢ w postaci
(7.2) C1ϕ1(·) + · · · + Cnϕn(·) + ψ(·),
Wzór (7.2), gdzie C1, . . . , Cn ∈ R s¡ dowolne, nazywamy rozwi¡zaniem
ogólnym ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych niejednorodnych. Stosuj¡c terminologi¦ z algebry liniowej, mo»na powiedzie¢, »e zbiór rozwi¡za« ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych niejednorodnych jest przestrzeni¡ a niczn¡ (nad ciaªem liczb rzeczywistych) wymiaru n.
Twierdzenie 7.11 (Wzór na uzmiennianie staªych). Rozwi¡zanie zagadnie-nia pocz¡tkowego x0 = A(t)x + h(t) x(t0) = x0 jest równe Φ(t; t0)x0 + t Z t0 Φ(t; s)h(s) ds,
gdzie Φ(·; ·) jest macierz¡ Cauchy'ego ukªadu stowarzyszonego x0 = A(t)x.
Dowód. Niech ϕ(·) b¦dzie rozwi¡zaniem naszego zagadnienia pocz¡tkowego, i niech Φ b¦dzie pewn¡ macierz¡ fundamentaln¡ ukªadu równa« jednorodnych. Zachodzi nast¦puj¡ca równo±¢:
d dt(Φ −1 (t)ϕ(t)) = (Φ−1)0(t)ϕ(t) + Φ−1(t)ϕ0(t) = = −Φ−1(t)Φ0(t)Φ−1(t)ϕ(t) + Φ−1(t)(A(t)ϕ(t) + h(t)) = = −Φ−1(t)A(t)Φ(t)Φ−1(t)ϕ(t) + Φ−1(t)A(t)ϕ(t) + Φ−1(t)h(t). Caªkuj¡c t¦ równo±¢ otrzymujemy
t Z t0 d ds(Φ −1 (s)ϕ(s)) ds = t Z t0 Φ−1(s)h(s) ds. Lewa strona jest równa
Φ−1(t)ϕ(t) − Φ−1(t0)ϕ(t0). Mamy zatem Φ−1(t)ϕ(t) = Φ−1(t0)x0+ t Z t0 Φ−1(s)h(s) ds.
Mno»¡c obie strony powy»szej równo±ci przez Φ(t) (z lewej strony) otrzymu-jemy »¡dany wzór.
W praktyce powy»szy wzór stosuje si¦ w nieco innej wersji: szukamy roz-wi¡zania ogólnego ukªadu równa« niejednorodnych (ULNn) w postaci
Φ(·)c(·),
gdzie Φ(·) jest ustalon¡ macierz¡ fundamentaln¡ ukªadu stowarzyszonego, oraz c(·) := col (c1(·), . . . , cn(·)) jest pewn¡ (jeszcze nie znan¡) funkcj¡
wek-torow¡. Zachodz¡ nast¦puj¡ce równo±ci
(Φ(t)c(t))0 = A(t)Φ(t)c(t) + h(t) ∀t ∈ (a, b).
Lecz lewa strona jest równa
Φ0(t)c(t) + Φ(t)c0(t) = A(t)Φ(t)c(t) + Φ(t)c0(t), co daje Φ(t)c0(t) = h(t), a po rozpisaniu ϕ11(t)c01(t) + ϕ12(t)c20(t) + · · · + ϕ1n(t)c0n(t) = h1(t) ϕ21(t)c01(t) + ϕ22(t)c20(t) + · · · + ϕ2n(t)c0n(t) = h2(t) ... ϕn1(t)c01(t) + ϕn2(t)c20(t) + · · · + ϕnn(t)c0n(t) = hn(t)
Powy»sz¡ metod¦ nazywamy metod¡ uzmienniania staªych.
7.5 Równania ró»niczkowe liniowe jednorodne wy»szych
rz¦dów: Podstawowe poj¦cia i wªa±ciwo±ci.
De nicja. Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym liniowym n-tego rz¦du na-zywamy równanie
(RLn) x(n)+ p1(t)x(n−1)+ · · · + pn−1(t)x0+ pn(t)x = h(t),
gdzie p1, . . . , pn: (a, b) → R (wspóªczynniki równania (RLn)), h : (a, b) → R
(wyraz wolny równania (RLn))).
Stosuj¡c metod¦ z Rozdziaªu 6 wykazujemy, »e równanie (RLn) jest rów-nowa»ne ukªadowi równa« ró»niczkowych liniowych
x0 = 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 1 −pn(t) . . . −p1(t) x + 0 0 ... 0 h(t) .
De nicja. Równanie (RLn) nazywamy równaniem ró»niczkowym linio-wym n-tego rz¦du jednorodnym gdy h ≡ 0. W przeciwnym przypadku rów-nanie nazywamy rówrów-naniem ró»niczkowym liniowym n-tego rz¦du niejedno-rodnym.
Twierdzenie 7.12. Zaªó»my, »e funkcje p1, . . . , pn: (a, b) → R i h : (a, b) →
R s¡ ci¡gªe. Wówczas dla ka»dego (t0, x0, x1, . . . , xn−1) ∈ (a, b) × Rn
istnie-je dokªadnie istnie-jedno rozwi¡zanie nieprzedªu»alne ϕ: (a, b) → R zagadnienia pocz¡tkowego (7.3) x(n)+ p 1(t)x(n−1)+ · · · + pn−1(t)x0+ pn(t)x = h(t) x(t0) = x0 x0(t0) = x1 ... x(n−1)(t 0) = xn−1.
7.6 Równania ró»niczkowe liniowe jednorodne wy»szych
rz¦dów.
W bie»¡cym podrozdziale rozpatrujemy równanie ró»niczkowe liniowe jedno-rodne n-tego rz¦du
(RLJn) x(n)+ p1(t)x(n−1)+ · · · + pn−1(t)x0 + pn(t)x = 0,
gdzie p0, . . . , pn: (a, b) → R s¡ funkcjami ci¡gªymi.
Twierdzenie 7.13. Zbiór wszystkich rozwi¡za« równania (RLJn) liniowego jednorodnego n-tego rz¦du tworzy przestrze« liniow¡ (nad ciaªem liczb rze-czywistych) wymiaru n.
De nicja. Wyznacznikiem Wro«skiego (lub wro«skianem) ukªadu (ϕ1, . . . , ϕn)
rozwi¡za« równania (RLJn) nazywamy wyznacznik funkcyjny
ϕ1 ϕ2 . . . ϕn ϕ01 ϕ02 . . . ϕ0n ... ... ... ϕ(n−1)1 ϕ(n−1)2 . . . ϕ(n−1) n (oznaczamy go przez W (ϕ1, . . . , ϕn)(·).
De nicja. Ukªad (ϕ1, . . . , ϕn) nazywamy ukªadem fundamentalnym (lub
podstawowym) równania ró»niczkowego liniowego jednorodnego n-tego rz¦-du (RLJn), gdy funkcje ϕ1, . . . , ϕntworz¡ baz¦ przestrzeni liniowej rozwi¡za«
Fakt 7.14. Niech (ϕ1, . . . , ϕn) b¦dzie ukªadem rozwi¡za« równania (RLJn).
Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(i) (ϕ1, . . . , ϕn) jest ukªadem fundamentalnym równania (RLJn).
(ii) Istnieje t0 ∈ (a, b) takie, »e W (ϕ1, . . . , ϕn)(t0) 6= 0.
(iii) W (ϕ1, . . . , ϕn)(t) 6= 0 dla ka»dego t ∈ (a, b).
Przykªad. Przy ustalonym t0 ∈ (a, b), oznaczmy przez ϕj, 0 ¬ j ¬ n − 1,
rozwi¡zanie równania (RLJn) speªniaj¡ce warunki pocz¡tkowe x(k)(t
0) = δjk,
gdzie 0 ¬ k ¬ n−1 (δjkoznacza delt¦ Kroneckera). Zachodzi W (ϕ0, . . . , ϕn−1)(t0) =
det Id = 1, zatem, na podstawie powy»szego faktu, ukªad (ϕ0, . . . , ϕn−1) jest
ukªadem fundamentalnym.
Twierdzenie 7.15 (Wzór Liouville'a, dla n = 2 zwany te» wzorem Abe-la4). Niech (ϕ
1, . . . , ϕn) b¦dzie ukªadem rozwi¡za« równania (RLJn).
Wów-czas wro«skian W (·) := W (ϕ1, . . . , ϕn)(·) speªnia równanie ró»niczkowe
W0 = −p1(t)W. Wynika st¡d, »e W (t) = W (s) exp − Z t s p1(τ ) dτ dla t0, t ∈ (a, b).
Nie ma ogólnego wzoru pozwalaj¡cego wyrazi¢ rozwi¡zanie równania ró»-niczkowego liniowego jednorodnego (rz¦du wy»szego ni» 1) w postaci zªo»enia sko«czonej ilo±ci operacji typu caªkowania, nakªadania funkcji wykªadniczej itp. Niemniej jednak, gdy znamy jedno rozwi¡zanie η : (a, b) → R (nie przyj-muj¡ce nigdzie warto±ci 0) równania (RLJn), poprzez podstawienie
x = yη
równanie (RLJn) mo»na sprowadzi¢ do równania liniowego jednorodnego rz¦-du n − 1. Istotnie, otrzymujemy wtedy
y(n)η + n 1 ! y(n−1)η0+ · · · + n n − 1 ! y0η(n−1)+ yη(n)+ + p1(t) y(n−1)η + n − 1 1 ! y(n−2)η0+ · · · + n − 1 n − 2 ! y0η(n−2)+ yη(n−1)+ + · · · + + pn−1(t)(y0η + yη0) + + pn(t)yη = 0,
czyli
y(n)η + ˜q1(t)y(n−1)+ · · · + ˜qn−1(t)y0 = 0.
Dzielimy obie strony przez η:
y(n)+ q1(t)y(n−1)+ · · · + qn−1(t)y0 = 0,
i podstawiamy z = y0:
(7.4) z(n−1)+ q1(t)z(n−1)+ · · · + qn−1(t)z = 0.
Niech (ψ1, . . . , ψn−1)b¦dzie ukªadem fundamentalnym równania (7.4).
Wów-czas (ηϕ1, . . . , ηϕn−1, η), gdzie ϕj jest pewn¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji ψj,
jest ukªadem fundamentalnym równania (RLJn). Aby to sprawdzi¢, zauwa»-my, »e wystarczy stwierdzi¢ i» funkcje ηϕ1, . . . , ηϕn−1, ηs¡ liniowo niezale»ne.
Niech c1, . . . , cn∈ R b¦d¡ takie, »e
c1ηϕ1+ · · · + cn−1ηϕn−1+ cnη ≡ 0.
Dziel¡c obie strony przez η otrzymujemy
(7.5) c1ϕ1+ · · · + cn−1ϕn−1+ cn≡ 0.
Ró»niczkuj¡c powy»sz¡ równo±¢ dostajemy
c1ψ1+ · · · + cn−1ψn−1 ≡ 0,
zatem c1 = · · · = cn−1= 0. Z równo±ci (7.5) otrzymujemy cn = 0.
7.7 Równania ró»niczkowe liniowe niejednorodne
wy»-szych rz¦dów.
W bie»¡cym podrozdziale rozpatrujemy równanie ró»niczkowe liniowe niejed-norodne n-tego rz¦du
(RLNn) x(n)+ p1(t)x(n−1)+ · · · + pn−1(t)x0+ pn(t)x = h(t),
gdzie p1, . . . , pn, h : (a, b) → R s¡ funkcjami ci¡gªymi.
Dla równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego równanie ró»nicz-kowe liniowe jednorodne
(RLJn) x(n)+ p1(t)x(n−1)+ · · · + pn−1(t)x0+ pn(t)x = 0
Twierdzenie 7.16. Niech (ϕ1, . . . , ϕn)b¦dzie ustalonym ukªadem
fundamen-talnym równania liniowego jednorodnego (RLJn), i niech ψ b¦dzie ustalonym rozwi¡zaniem równania (RLNn). Ka»de rozwi¡zanie równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego (RLNn) mo»na jednoznacznie zapisa¢ w postaci (7.6) C1ϕ1(·) + · · · + Cnϕn(·) + ψ(·),
gdzie C1, . . . , Cn ∈ R s¡ staªymi.
Wzór (7.6), gdzie C1, . . . , Cn ∈ R s¡ dowolne, nazywamy rozwi¡zaniem
ogólnym równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego n-tego rz¦du. Metoda uzmienniania staªych dla równania ró»niczkowego liniowego nie-jednorodnego n-tego rz¦du polega na szukaniu rozwi¡zania ogólnego w po-staci
c1(·)ϕ1(·) + · · · + cn(·)ϕn(·),
gdzie (ϕ1(·), . . . , ϕn(·)) jest ukªadem fundamentalnym równania liniowego
jednorodnego (RLJn) oraz c1(·), . . . , c1(·)s¡ (jeszcze nie znanymi) funkcjami.
Ukªad (algebraicznych) równa« liniowych przyjmuje posta¢:
ϕ1(t)c01(t) + ϕ2(t)c02(t) + · · · + ϕn(t)c0n(t) = 0 ϕ01(t)c01(t) + ϕ02(t)c02(t) + · · · + ϕ0n(t)c0n(t) = 0 ... ϕ(n−2)1 (t)c01(t) + ϕ(n−2)2 (t)c02(t) + · · · + ϕ(n−2) n (t)c 0 n(t) = 0 ϕ(n−1)1 (t)c01(t) + ϕ(n−1)2 (t)c02(t) + · · · + ϕ(n−1) n (t)c 0 n(t) = h(t)
7.8 Dodatek: Pewne inne zastosowanie nierówno±ci
Gron-walla
Zakªadamy, »e funkcja wektorowa f : (a, b) × D → Rn, gdzie D ⊂ Rn jest
obszarem, jest ci¡gªa, i jej pochodne cz¡stkowe wzgl¦dem xi s¡ ci¡gªe.
Ustalmy t0 ∈ (a, b). Dla y ∈ D oznaczmy przez ϕ(·; y) nieprzedªu»alne
rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
x0 = f (t, x)
x(t0) = y.
Zajmiemy si¦ teraz zagadnieniem co si¦ stanie, gdy nieco zmienimy war-to±¢ pocz¡tkow¡. Okazuje si¦, »e na sko«czonych odcinkach czasowych rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego zale»y w sposób ci¡gªy od warto±ci pocz¡tkowej. ci±lej mówi¡c, zachodzi nast¦puj¡ce twierdzenie:
Twierdzenie 7.17. Ustalmy x0 ∈ D. Niech t1 ∈ (t0, b) b¦dzie takie, »e
dzie-dzina rozwi¡zania nieprzedªu»alnego ϕ(·; x0) zawiera przedziaª [t0, t1].
Wów-czas istniej¡ δ > 0 i M 1 o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
(i) dla ka»dego y ∈ D takiego, »e ky − x0k < δ dziedzina rozwi¡zania
nieprzedªu»alnego ϕ(·; y) zawiera przedziaª [t0, t1];
(ii) dla ka»dego y ∈ D takiego, »e ky − x0k < δ zachodzi
