ZAKRES MATERIAŁU NA EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ 2005
(1) Konstrukcja całki Riemanna (ważne!). Funkcje całkowalne w sensie Rie- manna. Przykłady funkcji, które są, (nie są) całkowalne w sensie Riemanna. Charakteryzacja.
(2) Całkowalność:
(a) funkcji ciągłych - twierdzenie Riemanna (ważne!). (b) funkcji monotonicznych;
(c) superpozycji funkcji całkowalnej z funkcję, ciągłą; (d) funkcji |f|, f k , f + g, fg, cf.
(3) Zbiór punktów nieciągłości funkcji całkowalnej. (4) Całka jako granica ciągu sum Riemanna. (5) Podział przedziału całkowania.
(6) Twierdzenie całkowe o wartości średniej.
(7) Funkcja pierwotna. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (ważne!). Własności funkcji pierwiotnych. Całka nieoznaczona.
(8) Twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawianie (ważne!). (9) Twierdzenie o całkowaniu granicy ciągu funkcji całkowalnych. Całkowanie
sumy szeregu funkcyjnego (ważne!).
(10) Całka niewłaściwa. Związek z szeregami liczbowymi.
(11) Szeregi trygonometryczne. Szereg Fouriera funkcji f. Warunki konieczne i wystarczające na rozwijalność f w szereg Fouriera.
(12) Twierdzenia o całce z iloczynu funkcji. (13) Całka Dirichleta.
(14) Twierdzenie Weierstrassa o apfroksymowaniu funkcji ciągłej wielomianami (ważne).
(15) Przestrzenie metryczne. Metryka w k, nierówność Schwartza (ważne).
Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Zbieżność ciągów w Rk. (16) Funkcje ciągłe. Ciągłość funkcji o wartościach w k. Zbiory zwarte.
Własności funkcji ciągłych określonych na zbiorach zwartych (ważne). (17) Rodziny funkcji jednostajnie ograniczone i jednakowo ciągłe. Twierdzenie
Arzeli.
(18) Norma w przestrzeni liniowej. Przestrzenie zupełne. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym (ważne). Przestrzenie Banacha.
(19) Pochodna kierukowa, pochodne cząstkowe funkcji f: k —> . Ekstrema lokalne funkcji, warunek konieczny (ważne).
