Wymagania na egzaminie
ANALIZA MATEMATYCZNA II 2005/06
I. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna a ciągłość funkcji.
2. Pochodne cząstkowe. Związek między pochodną a pochodnymi cząstkowymi (dowód). 3. Odwzorowania klasy C^1. Dyfeomorfizmy.
4. Tw. o różniczkowaniu złożenia funkcji (reguła łańcuchowa). 5. Tw. o funkcji odwrotnej (dowód).
6. Tw. o funkcji uwikłanej (dowód). 7. Tw. o rzędzie.
8. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza o symetrii (dowód). 9. Wzór Taylora.
10. Warunki konieczne i dostateczne na istnienie ekstremum lokalego w punkcie. II. Teoria miary i całki Lebesgue'a.
1. Sigma-ciała zbiorów. Zbiory borelowskie, zbiory typu G_delta, F_sigma. 2. Miara. Własności. Miara skończona, sigma-skończona, zupełna, unormowana. 3. Miara zewnętrzna. Konstrukcja miary poprzez miarę zewnętrzną - twierdzenie Caratheodory'ego (szkic dowodu).
4. Miara zewnętrzna i miara Lebesgue'a w R^k. Własności. Charakteryzacje zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zbiory niemierzalne - konstrukcja zbioru Vitaliego. 5. Funkcje mierzalne. Własności. Funkcje proste. Funkcje mierzalne nieujemne jako granice monotonicznego ciągu funkcji prostych, mierzalnych, nieujemnych.
6. Całka Lebesgue'a: (a) z funkcji prostej; (b) z funkcji mierzalnej nieujemnej; (c) z funkcji mierzalnej. Funkcje całkowalne.
7. Tw. Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej (dowód). 8. Lemat Fatou (dowód).
9. Tw. Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej (dowód).
10. Charakteryzacja funkcji całkowalnych w sensie Riemanna. 11. Tw. Fubiniego (szkic dowodu; dowód dla ambitnych).
12. Tw. o zamianie zmiennych i jego konsekwencje. Niezmienniczość miary Lebesgue’a względem dyfeomorfizmów.
III. Całka krzywoliniowa.
1. Formy różniczkowe pierwszego stopnia. Pola wektorowe. 2. Krzywe kawałkami gładkie. Długość krzywej.
3. Całka z formy różniczkowej wzdłuż krzywej k.g. Całka wzdłuż kontura. 4. Twierdzenie Greena (dowód).
5. Formy zupełne. Całka z formy zupełnej jako różnica wartości funkcji pierwotnej (dowód). Warunki równoważne zupełności formy ciągłej.
IV. Rozmaitości różniczkowe.
1. Pojęcie rozmaitości różniczkowej. Rozmaitość z brzegiem. Mapa rozmaitości. Atlas. 2. Moduł odwzorowania liniowego.
3. Konstrukcja miary Lebesgue’a na rozmaitości. 4. Całka pierwszego rodzaju na rozmaitości.
