Egzamin z analizy matematycznej 2

imi¦ i nazwisko: ... numer indeksu ... 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

Egzamin z analizy matematycznej 2

1. Korzystaj¡c z kryterium Dirichleta zbie»no±ci caªki niewªa±ciwej, udowodnij zbie»no±¢ caªki Z ∞ 0

cos x

1 + xdx.^(4p) 2. Zmieniaj¡c kolejno±¢ caªkowania, oblicz caªk¦ iterowan¡Z 1

0

Z 1

x

exp(^x_y) dy

 dx.^(4p)

3. Sformuªuj twierdzenie Schwarza o równo±ci pochodnych cz¡stkowych mieszanych.^(2p) 4. Oblicz pole obszaru D =n

(x, y) ∈ R² : 0 < y < x, |x⁴− y⁴| < _(x^4x2+y^2y22)²o.^(8p)

5. Wyznacz dªugo±¢ odcinka wykresu funkcji y = cosh(x), −1 ≤ x ≤ 1.^(4p)

6. Wyznacz warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = x³+ xy²− x²− y² w kole x²+ y² ≤ 1.^(10p) 7. Sformuªuj twierdzenie o dywergencji i oblicz caªk¦ powierzchniow¡{

S

F ◦d~~ n, gdzie S jest powierzchni¡ sze±cianu

−1 ≤ x, y, z ≤ 1, ~n jest zewn¦trznie skierowanym wektorem normalnym, za± ~F (x, y, z) = (−x + y, y − z, 2z).^(4p) 8. Rozwi¡» zagadnienie pocz¡tkowe f⁰(t) + t²f (t) = t², f(0) = 0.^(4p)