Berechnung der durch tauch-, quer- und roll-schwingungen eines prismatischen körpers erzeugten hydrodynamischen kräfte

(1)

HAMBURGISCHE

-

G.MBJJ

Berechnu.n.g der durch Tau.ch-, Quer- and Rollschwingu.ngen

eines prismatischen Kbrpers erzegten hydrodynamiechen Kräfte.

von

Dipl.-Ing.

Otto

G r i m

-1.) Aufgabeste11un:

- Wenn em

auf elner unendlich au.sgedehnten schweren

Fliis-sigkeit schwimrnender Körper zu. Schwingunen erregt w-ird,

ent-stehen aa±' der ±'reien Oberfläche Wellen. Diese Wellen transpo

tieren dauernd Energie, die natUrlich durch den, schwingenden

Körper zugefUhrt werden mae, áb. Es wirkt daher elne der Sch

gu.ngsgeschwindigkeit proportionale hydrodynamische Dämpfungs

kraft der Schwingu.ng entgegen. Durch die Oberflächen*ellen

wird natUrlioh auch der hydrodynamisohe Druck im Innern der

Fltissigkeit beeinflul3t. Es wird daher auch die der Schwing

beschleanigu.ng proportionale hydrodynamische Kraft, die auc

bei der beschleu.nigten Bewegungeines K5rpers irn ailseitig

be.grenzten Medium auftritt, and die durch den Begriff schei

bare oder hydrodynamische Masse bezeichiet wird, von den Ob

flächenwellen beeinflul3t.

Die Kenntnis dieser hydrodynamischen Kräfte 1st fUr di

Untersuchung der Seegangsbewegungen von Schiffen unbedingt

fordellch. Es 1st z.B. nicht möglich, die Gröe der Seegax7

schwingunen im Resonanzfalle oder die tJberspulu.ng der fre

Decksfläche qu..ntitativ richtig zu bestirnrnen, solange dies

_genu.

Krfte nicht au.sreichend/bestirnmt werdén können. Trotzdem i

.Uber die Gesetzmäl3igkeit, der diese Krfte.unterliegen,

re

wenig bekannt; das liegt an der Schwierigkeit dieses Probi

Es warde zwar schon versucht, durch Messu.ng der Seeg

bevegungen an Bord'groer Schiffe oder an ModellenhierUb&

terlagen zu. gewinnen. SoloheMessungen sind jedoch recht

s

so durchzufUhren, daiB wirklich die Kräfte mit befriedigend

Genaaigkeit bestimint and ihre Abhängigkeit

von der Schiffs

der

requenz der 5chwingung u.a. erkannt werden k'mn. Desh

haben auch-alle diese Versuche, trotz des zu

Tell groBen

wandes, nicht zu. Ergebnissen geflihrt, die elne Vorausbesti

der hydrodynamiechen Kräfte erläu.ben wtirden.

Es warde daher auch versucht, die durch die Schwingu.n

von prismatischen Körpern erzeugten Oberflächenwellen bzw.

hydrodynarnisahen Kräfte zu berechnen. Wenn diese Berechnuzi.

au.ch nur für den zweidimengiona.jen Fall des u.nend].ich lan

in allen'Qarschnitten gleichen prismatischen

(2)

rnatischen Kbrperè gelten, und wenn .auch wegen der

Umstandllch-keit der

Verfàhren

diese 3erechnu.ngen bisher nur fur elnige,

be-sonders einfachè Formen durchgefuhrt werden konnten, 1st der

Be-arbeiter doch der Ansicht,. da auf diesein Wege am ehèsten em

F.ortshritt 'moglich 1st. '

Es 1st daher .das Ziel dieser Arbeit, die Bereonung der.

O'berflächenwe1leñ fort-zusetzen.und soweit zu- fUhren, daB der EinfluB .verschiedener 'Querschnitt.sformen des schwingendén

gor-pers erkannt und bestimint werden kann. Dazu muB em

grundsatz-lich für alle .Que,rschnittsformen geeignetes Rechenverfahren

ge-funden werden.

Für die Berechnung- der Oberflächenwellen mu-B

das Potential

der Strömung beetimmt werden. Es 1st

daher mit

Hhlfe dieses'

Po-'tentials auch

möglich,d1e hydrodynamische MasBe zu bestimmen,

die bei der 'Schwingungsbewegung beschleunigt 'werden und die

daher za der Masse dee achwingenden KorpersT addie'rt werden muB.

.2.) Berechnung des Strömungspotentials.

--Das Verfahren wird zuriächst an dem BeispielderT-auchechwin. gungen eines prismatischen

Körpers mit

halbkreisrdrmigem

Que:r-schnitt' erläutert, und zwar

für die-

Schwingung, bel der in der

mitilerert Lage dér Mittelpunkt des HalbkreIséa in der Höh'e der

fréien Oberfläche llegt-.

Später

wird daB Verfahren 'auch

ange-wandt àuf die Tauhschwingungen von Körpern mit den

spanthnli-chen Formen, für die echon:Lewla die hrdrodynam1sche Wassermasse für die Bewegung i unlegrenzten Medium berechnet. hat, und. die'

âlIe aus d:emKreis durch.konforrne Abbildung m1t.flhlfeder Abbii4

dungsfunktion - . .' ' ..

-.

abgeleitet sind.

Die Strömung- urn den schwingenden Ha]bkreisqu.erscbnitt muB

durch em _{Potential dargesteflt werden konnen, da sine ideals}

Pl1ss1gke1t vorausgesetzt Wird. Diese Annahme 1st zulassig, deri{ die Reibungskrfte sind sicher von verschwindendemEinfluB,

so-lange der Querschnitt kemne Kanten aufweist. Ausgegangen wird von dern Potential der Strdmung, die mm aliseitig unbegrenzten

(3)

a2y

p2

tTist die Amplitude der Schwingtingsgeechwindigkeit und

W

die

reisfrequenz derSohwlngung. Nattirlichkornmt nur deni reellen

Tell dlesesAusdruckes elnephysikalieche Bedeutung zu.

Elgeñtllch gilt dieses Potential ebenso wle die mit (?)

em-geflihrte Oberflächenbedingung nur fttreine Schwingung., deren

Am-plitude klein gegentiber den Abmesaungen des Korpere let. Diese

Voraussetzung trifft ailerdings für die Seegangsschwingungen'von

Schiffen, auf die die Ergebnisse der Berechrning vor aliem

an'ge-wandt werden sollen, nicht zu. Trotzdem wird die Berechnung

un-ter dieser Voraussetzung, wie das bel der Behandlung von. Probie-

-men der Oberflächenwellen Ublich jet, durohgéfUhrt, wobei

erwar-tet wird, daB die .Ergebnisse dieser Berech±iung auch noch für

grös-sere Schwingungsamplituden elne gut begriindete Näherung

darstel-len.

Aus deni arigeschriebenenStrömungspotential folgen in

beksnn-ter Weise die StrömunsgeacIiin3keiten. Die'ae Inbeksnn-teressieren

aberzuxiächst nicht, es gilt vielmehr zueret die Bedingung an

der frelen OberfLäche zu erfiillen.

Anchfiir den Pall,daB tiber y =Nti.l1 keine PlUasigkei.t jet,

werden in der verblelbenden Pli.tssigkeit durch das angeschriebene

PotentIal (1) die Randbedingungen an der Oberfläche d

schwim-.

mendén Kdrpere noch richtig erfifilt. Aber durh diese8 Potential

wird nlcht die weitere Randbedingung an der frelen Oberfläche

y = Null, daB der Druck konstant bleiben muB, erfijilt.

Es wird..daher nun zu demobigen Potential einweiteres

Po-tential addiert, das so beechaffen sein muB, daB durch die Summe

derbeiden Potentiale, sowohi dieRandbedingungande

frelén

Obérfläche als auch die Randbedingung an der Oberfläche des

schwIngenenKt5rpere erfUlltwlrd. Es let nun zwarnlcht schwer,

em

Potential zu finden, das eine.der beiden Randbedingungen er-1

fUllt, abér es let sehr schwer, em

Potential zu Linden, das bef

den Randbedingungen gentlgt. Und tataächlich wird dieses ProbIeI

(4)

voiIkominengelöst. Es wird vielmehr nar e.in Potential gefunden

werden,. das der Bedingung an der frelen Oberfläche volikothrnen

gentigt, das aber die Randbedingjmg.an der Oberfläche des Körpers

nur an einzelnen Punkten erfUilt. Dieser Mangel der Methode mu.8

dadarch ausgegilohen werden, da

die Rechénarbélt soweit geführt

wird, da.

die Annäheru.ng an die wirklichen Verhältnisse

80

gut

gelingt, d

die Ergebnisse ausreichend genau sind. Das wird

da-darch erleichtert, da

die Randbedingung ander Oberfläche des

.Kc5rpers dureh dasPotentlal für die. Strörnu.ng imu.nendiichen

Me-dium volikoinmen erfiillt let, und daB die aus diesern Potential

re-sultierenden Strömungsgeschwlndigkeiten gröl3er sein werden ale

die. zusätzilchen Ströinungsgeschwindigkeiten aus dern zusätzllchen

Potential, weshaib die Pehier dadu.rch schon von vornherein klein

-4-1

4; :..

. ___

_c)y

-U.e

lwt

(2)

Das letztè ailed in dieser Gleichung gibt. den EinfluB elner

inne-renRélbung in der Fliissigkeit wieder. Es muB trotz der Annahme

ideàier P1UsB'igkeit eingefiihrt werden, urn vollkommen eindeu.tige

.Vexthäitnisae zu erhalten, u.nd es wird nach DurchfUhrung der

ver-schiedenen ReOhenoperationen der Pail der idealan .FlUssigkeit

wieder dadurch erreicht, daB der Grenztibergang fUr/4-.O

durchge-fiihrt wird..

DieRandbedingung an der Oberfläche des schwingenden

Haib-kreieqtierscbnl.ttes lautet:

-

_r

_-

_{sin r=}

_{6 e'}

_r

Diese letztere Randbedlngung wird aber, wie

erwähnt, nur an elnzelnen Punkten der

Kör-peroberfläche erfiflit werden können.

Hier-für werden die folgenden Punkte gewählt:

Perner soil die Randbedingung auch noch in der nächsteri

Umge-bungdies.e.r Pu.nkte erftillt sein. Die Randbedingung wird daher

nach

differenziert und die daraus resultierende Bedingung

wieder für die belden Punkte erfUlit:

sein werdén.

/

Die Bed.ngung an derfreien Oberfläche lautet:

y=

a;

0

(5)

5

cos7_d(0)5i?r

t'"-

_ö)

;_

Üe'sin

r

- ₊ _(p + _11.

y=O ;

x=-a;

1=-Ue'su4°.

y=a; x=O;

(/00;

(7)

)y

Diese ietzte Randbedingung 1st allerdlngs schon aus Symme-triegrUnden von vornherein erfiult.

Wenn in die Randbedingung (3) ±Ur statt des gesarnten

Potentials nLlr das zu. dem Potential (1) zu addlerende

zuaätzli-che Pot'bntial eingesetzt wird, ist auf der rechten Seite der

Gleichu.ng (3) U . e1

Cu

t

Cc0 nátiirlich durch 0

zuer-setzen.

Wahrscheinlich wird es genUgen, diese vier Bedingungen zu.

erfillien. Wenn sich das al nicht aasreichend herausstellen

soilte, müI3te eben die Randbedingung an dér Oberfläche des Kör-pers noch an weiteren Punkten erfUilt werden0.

Für das zusätzliche Strörnungspotential wird

nun

der folgen-de Ansatz gewählt:

/

(cc,

t .' 1(x) - ky

F('k) dk.

(8)

Die Punktion

F(k)

1st zunä.chst unbekan.nt

und

soil ausallen

Randbedingungen bestiimt werden. Das gesarnte Potential beträgt

daher:

.r

e'+e1fe'.

F(k)dl(

₍₉₎

0

Die Bedingung an der freien Oberfläche (y= 0) wird erftillt

du.rch (2),

also

du.rch:

t/1kx,cik) .(_cO9k,aicu)dkO(l0)

Das erste Giled dieser Gleichung wird

nun

nach dem Satz von Fourier ebenfalls wie das zweite Glied du.rch em

Intgral

Uber alle k von 0 bis 00 dargestelit, urn dann die

obigeiflel-chu.ng für jedes k erfUllen zu. kbnnen.

(6)

Zuvor abersoll folgende.ti'.berlegnng angeetel.lt werden:

Wenn die Oberflächenbedlngung - bzw. die Glelch'ung (10) -.

für ails x vOn -

bis + co.

erftillt sein müBte, ware dadurch

'die Punktlon F(k) unddamitdas

anze Problem völlig eindeutig

bestlmmt. D.ese Oberflachenbedingung brauèht jedoch nur für den

,Béreich auSérhaib des festen Korpers, also für

<x<-a und

+a.x<+

co erfitilt sein.

:

-In dem Bereich -Innerhaib dee Krpers braucht aber die

Ober-flacheribe.dingung (2) nicht erfüIlt sein und die in

leichung

(1.0) stehende Swnrae kann in diesem Bereich eineñ beliebigen. Wert

annebmen. Die Funktion F(k) 1st also thirch die

Oberfläc.henbe-dingung allein' nioht ganz bestimrit.

Zunächst wird' also das erste Glied der Gleichung (10) für

denBereich.au.Berhalb des Körpers in em

Integral ither alle k

von 0 bis

verwandelt:

-

U5' a2

e'

a) b =

Og ;

CO5

-

) di

+ftos Ii;,çx

-U9a2eb0f,$kx

{(05kL

_-

_{k[/_$1(kc)JJdk}

0

$(ka)

bedeutet

0

Wlrddieser Ausdrack in die Gleichung (10) elngesetzt, so wird

aus dieser: "

e

J

fr)([COS '

-

_k(f5i(ka)9j'

eF(k)[-tu2#,k,4

iCfJJdk(0)

Dlesf Bedlngung let für aile x nur erfiflit, wenn der Integrazid

ftir.allé'x und für aile k zu Null wird. Aus

1ese.r Bedingung

ergibt' sich, also die unbekannte Punktion P(k) zu.:

2

cask"

,skx

rib)

21/a

_r/c/)C

a

1

I = ₂

c.

Damit .1st die Bedingung an. der freien Oberfläche erftUlt,

aber .noch n1ct die Bedingu.ng an der Obe.rfläche des Körpers.

DieseletzteBedingung kann

dadurch erfiuilt werden, da

die

Gleichung (10)' Innerhaib, des Bereiches -a<x<+a nlcht erfiflit

(7)

0

-7-geelgnete Werte vorgeschrieben werden. Die Bedingung an der

frei-en Oberfläcb.e dér Pltissigkeit au.erhalb des Körpers

(2) wird da-'

durch in keiner Weise verlétzt. Allerdings i8t es mathematiech

nicht m5lich, die. Puriktlon P(k) so zu bestirninen, daB die

Rand-bedingung ander Oberfläche desKörpersgenau erfihit wird. Es

mu.13 vielmeh.r zu.nächst elne Funktion mit unbekannten Parametern

gewählt werden und dann mttssen diese Parameter so. bestimmt

wer-den, daB die Randbedingung an den einzelnen Pu.nkten dex

Körper-oberflche erfüilt wird.

Sine geeignete Fun.ktlon resultiert aus der Vorstehlung, daB

der Bereich inn.erhaib des Körpers auch mit FlUssigkeit erfühlt

1st, und daB auf die F]Aisslgkeitsoberfläche in diesem Béreich

ein.periodischer Druck ausgeUbt wird. Für diesen D.ru.ck wird der

folgnde knsatz gewhlt:

(A -

31x1

+

C) e

(14)

und zu.sätzhich für x = 0 die punktförmige Belegung:

D

at

Die Koeffizienten A, B, C und D sind hierin die noch

u.nbe-kannten Parameter, die auch koniplex sein können, und die aus der

Randbedirgung an der Körperoberfiäche bestinimt warden nitissen.

Rierbei wird 1111 ahigemeinen durch die Wahi sines Parameters die

Randbedingung aizch nur an einem Punkt der Körperoberfläche

er-fluhit warden können. Man. wird also soviele Parameter einfithren

missen .als

an Punkte wählt, für die die Randbedingung an der

Oberfläche. des Körpers erfUhlt warden soil. Man hat es in der

Hand1dlese Randbedingung duróh elne Erweiterungder

Druckbele-girig an beliebig irielen Punkten der Körperoberfläche zu erfühlen.

Die überdem Bereich -a<x+a verteilte Belegiang:

A+Pxl+Cx2

sowie die punktförmlge Belegung D ir x = 0 werden ebenfahls

wie-der mit Rilfe des Satzes von Fourier in Integrale Uber alle k

von 0-;-. CD

verwandelt. Es ergibt sich damit für dig. gesamte

zu-sätzliche Belegung:

kx ((A

(p 2)

Srnk(t

,

a)

'3 ''

,

_2(

7J dk

(8)

Die zu bestimmende Funktion F(k) beträgt also nun insgesarnt:

e

1k

f(k)

[1/a z/

-

k(f5ilk4!)j (A

#a+(a2)

SIflk

#(2C,)c0

4c-!';27J

Dieser Aasdruck kann in die Gleichu.ng

(9)

für

das Strömungs-potential eingesetzt und damit können dann aus den Randbedingun-gen (4 - 7) die unbekannten Parameter A - B bestimrnt werden. Das Problem let damit gelost.

Darnit 1st die Methode and der Verlauf der Rechenarbeiten

ausreichend geschildert. Die Durchfilhru.ng der Rechenoperationen

wird erschwert du.rch.die in (16) stehende Punktion Si (ka), derer

Integration Schwierigkeiten bereitet. Diese Furiktion karn in den

Rechnungegang bel der Vérwandlung der Punktion in em Inte-gral tiber alle k. Urn diese Schwierigkeiten zu umgehen, and vor

allern auch urn Formein zu bekornrnen, die sofort au.ch für andere

Querschnittsformen benu.tzt werden

können,

wird nun

fr

die

wei-teren Rechrnmgen die Pu.nktion in dem Bereich aui3erhaIb des

Körpers ersetzt durch die folgende Fu.nktion:

1

. (1- + P2

e2

.

(1 (17)

Diese Exponentiaifunktionen sind sehr gut geelgnet, die genaue Punktion zu ersetzen,

and

sie erechelnen vor allem auch geeignet, die enteprechenden Punktionen

für

andere Körper-. forrnen zu ersetzen. Auf diese Weise kann die Funktion ersetzt

warden durch:

Lxk IxL

0,283

e09509

(1)

+

09717 .

a2'187

(18)

in dem Bereich auBerhaibdes Korpers.

In der welteren Beschreibung des Rechnungsganges wird aber

zunächst

mar eine der beiden Exponentialfunktionen:

P.eXl

(i

₍₁₉₎

berUcksichtigt. Da die Zusammensetzu.ng der durch die einzelnen

Druckbelegu.ngen verursachten Glleder rein aritbrnetisch erfolgt,

let in alien weiteren Formein em zweites Giled, entsprechend der zweiten Potentialfunktlon (18) addiert zu denken.

(9)

S

belde für x = a

Darausfolgt safort:

(A + .B a + Ca2) = P

-9-Wird.nun die ExpOnentialfunktion (19) in em Integral tiber

aliek

nachdem Satz von Pourier verwandelt, erhält man anatelle

von. (11):

-

L/%qo. e

/tvt

2.PfCoskX

_{

a'skct

-

k s/n k4J dk

4'

und.ftir

P(k)

anste].le

von (16):

ef(k)

/r(kVj,4?)

/

?nz[cosM

-k.sinka]+('A *3q CaV

(21)

Hiermj.t wird

nun

weitergerechnet. Es folgt daraus das

Strdmungs-potential anstelle von (9) zu:

O

(32Cc)

co4

-3

-2C

Sik

*Ji}dk

₍₂₂₎

Nun mtiasen ie Parameter A - D aus den Randbedingungen an

der.Körperoberfläche bestimmt werden.

-Elne. Stétigkeitsbetrachtuiig liefert allordingo sofort eine

Bedingung für

den Paraeter A, närniich: Aus der Bedingung (4)

foIgt-

die

Bestimmungsgleiching:

0 _{k2[

cos

-k sin k4J (A #3tt4(az)

.(3#2(z)

coskL

_{2c!' *l2kJdk}

(23)

fttix= a

in. -dieser-

Gleichung filhren 2

Glieder zu unendlich grol3en

Wer'ten, nämlich:

(20)

((A teat (a2)

_{sinkx.smit'a dk}

JkuZ/l

5,

(24)

(10)

10 -Dennnurdam1.t wird die Summe der beiden unendlioh grol3en Werte

zu elnem endlichen Wert:

.

'

,a

r

sin 1.

Sit? kc

_{dk =}

Daà Potential (22) wird nun, unter Beriicksichtigung von (25)

bzw. (26) nochmals angeschrieben:

endlich fiji,

x= a

/J 2

' #I?:s./k&z/k cojka4

$U 1(a)

# (.3 "2 C)

CO4k

₍₃

ti)] dkj

(27)

Die StrömungageechwLnd1gkeiten folgenaus diesem Potential in

bekannter Weise durch Differentiation nachx.bzw. y. Sie sind

in die Randbedingungen einzusetzen.

3.) Bereohnung einzelner Integrale.

Es gilt nun Integratiónen nach k Ilber alle Ic von 0 bie co

auszufjihren.

V

Eine Reihe von Integralen kann Tabèllen entnoxnmen werden,

näznlich:

V

fe'

fky)1 /cos4xdkC(k) fsmkRdk_5,()

fCO5IkXd/(

ô$I(

_-

_x.Si(A41

_{fJIflfrJdk_}

SIflkX(/(/ç)

(28)

fCe;::

kx

eoskx

.

.snkx

x

2(

(kx)

fsrnkx

5/X

(Dskx X'5 (1(x)

Weitere Integrale %können--mit .

Hilfe

von Integra].en komplexer

Zahlen gelöst oder doch vereinfacht verden.

Ais erstes Beisplel elnes soichen Integrals wird das

korn-plexe Integral

je

_dJ

bèhandelt. Diese8

Integral inuB ttber

sinen gesohiossenen Weg

in

3 = komplexe

Verän-derliehe

(26)

(11)

-

11-der komplexen Zahienebene gleich Null sein, sofern 11-der

Pol'

= 0

nicht irinerhaib de gesebloseenen Weges iiegt. FUr die

Integra-tion VOfl

fe

wird der in dern Diagram angedeutete Weg gewäilt, wobel die Ver-binthuxg zwieoben den beiden Geraden im Unendliehen.liegen soil.

Die Integration auf der Abszissenachse .(a) iléfert das Integral

k

Die Integration auf der Geraden(o) liefert:

jms(1isf)

c/rn In

E

0 untere

_U

Grenze arc

und die Integration auf dern kleinen K.reisbogen (c) urn

den

ol

lie fe rt:

wobel der Radius des Kreiebogens eehr klein gedacht let. Die Integration

au.f

dent Wege (d) mm Unendlichen liefert keinen Bei-trag1 da der Integrand bierbel verechwindet. Die Summe der 3 Inte-grale mi

Null

sein,

und

es ergibt sich daher darane die

Bezie-hung:.

fe

k (;ti)c)

c,rt

*fooem4#yz)

din

In ähnllcher Welse folgt die weitere Beziehung:

fe

*(/)

dI<

-

agfem3ft'1tt

d

und aus der Summe dieser beiden zuletzt angescbrlebenen Glei-chungen ergeben sich:

fe

-

'!l5/fl

kx

dk -

(30)

0

fe

-

k

kx

_dk

(12)

denden Ylertelkrels liefert

k!t

'

Ct'S kx

t

SII

kx

(k.

Ik?.,.fiL

-

12-Im zwelten Integral 1st ale sehr klein anzusehen.

Ala náchstes .komplexes Integral wird beharidelt:

(-ci

#ii)

e>

_d

Die Integration fiber die positive k-Ach8e, die positive m-AchBe

und

einen .m Unendlichen liegendeii, die beiden Achsen verbin-die folgende Beziehung:

sin

kx

-

coi kx)]dk'

J

_{m *}

a

1

Be let hierbel

zulässlg,

die Gleichung fUr die reellen

und

imaginären Telle getrennt anzuachreiben, d.h. also:

,

-mx

J"

[

cos kx

s/i,

k]dI('

f

e

(Os

fllq

₍₃₁₎

d

[ks/n kx-

skxJd

kf

mx

S1i,

Die Gleichungen gelten allerdings nur fUr poaitive Werte von y

und

x. Aus dem komplexen Integral

'e

J(y_ix)

lj_1IL

I

folgen In gle1chr Weise die beiden Gleichungen: (ebenfall8

fUr

positive z

und

y)

40

cs

kx

-

s/n

1e%is

mydm

11X

Jm-.

(32)

ndf

I(3

,,

1k.srnAr+.a'skx dk

"X

Dy

-1

Jmte/m1#e

Für die belden zu.letzt behandelten komplexen Integrale wird

ee ioh als.nötig erweisen, noah einen anderenlntegrationaweg

zu wählen,

and

zwar wird fUr daB erate dieser beiden Integrale

I ,1. 1-

q

(13)

Voin

Schnttpun1t

der k-Achse. mit einer.

Linie durch den P01

und

der

Steigüng arctg

aul..der poeltiven k-Achse

bis n

liii TJnend1ichenauf ainem Kreisbogen.

bis zu der sáhrägenLine und'aiff:dieser

zurück zum Schnittpunkt mit der k-Achse.

)ieser Iri.tegrationsweg liefert die

Pormein.:

-'!f

.

on

_-"(f)

[*

cDsk x

.i4? Sffl/(7d:f E'-2[k

_coskxI

srnkx]dk#fe

coj,

e

m

c/a

fe

[k srn A x? cts k3dk

sin kx ..4eoskir]dk

.t e'sin2if (-

*)]

0 4 0

_..

C

in gleicher Weise. folgt aus. dem zweiten kornpléxeñ Integral:

m

-n

s'o

k7dk

[*

s J

! coskJd

e°

;1(5,

_[.

₍

4

g

SehiieBlichis.t es zweckmäBig fUr kleine

noch einen.drltten.Integrationsweg zu.

wählen,

und

zwar.

den In dem

nebenstehen-den Bud gezeicheteñeg.;

-Als Näehstes wird das folg.ende InteraI bebaidelt:

e

Jt2#4c

Au.eh für die Integration dieses Integrals wërden 2 bzw. 3

ver-schiedene Wege gewählt. Auf dem Weg iiber.dle positive k-Achse,

die positive (nqative) m-Acse

und den

die

be

den Achsen

ver-I?,.

k

/hii!2 [A' c4s

-

sFn

kRJdh'

[kcos

kq

crnkxjdk

E7 (I "-P21

iie5'fl .y

(14)

bindenden, im Unendlichen liegenden Vlertelkreis ergibt

(fUr,AO)

dk

[emod1tY)

t1P

.,

4 --'

Vø

1 m-i

T'cos1

_dk

;J

114#

(°e

$ifl k,r rn 3m

lfl

-gy

00.

14

-0 sich:

_

Z(g4ix)

i2 ii

e

frn

_:

Lw

cosmjsSin

t)7y]drn

- i

le

L'_

Wa

₉

Ik

sL&

-1.1 e

-

3'j;p

Nun wird für die Integration noch em andörer Weg gèwahlt,

xäm-lich die positive, k-Achse, em StUck auf de.r m-Achse von m = 0

.bis

m

eine von diesem Punkt der m-Achse ausgehende Gerade mit der Neigung arctg wóbei der Pol durch einen kielnen Halbkreis herausgeechnitten 1st and gchlie].ich elnen im Unendlichen

liegen-den Kreisbogen,der die beiliegen-den Geraliegen-denverbindet.

Auf diesem Integrationswege.ergeben sich die bei-den folgenbei-den Gleichungen:

k(-yt ;) _m('Xf13f)

dii

.

9

-r(sf 1'r

j

k-Li&

I

m-

L.

5,. . . .9

fjd

fSYe

_{din #}

e&tt!!

,cz4Y!J

C,

Die Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Gleichungen

lie-fert:

El ('

X&)].

iiTe1"'

Werden die. beiden Pormein addiert bzw. sabtrahiert, so erglbt

sich daraus:

S

9 CDS my]dn i,e9

(15)

CU mx

dk

e, (s',

COS

my-0

ciYm)(

1ikYsi

tsr 0 (m.smn,y#

-

n

Joskc

ka

+

15

-1 CU2

-

e TshE(ecr

r'

my)dm

_co5 ft75)dm

_-

;

'4ej

_suelin;

(36)

Damit eind die achwierigsten Integrale geUSat bzw. in

em-fachere verwandelt und die Berechnung des Strnungspotentials

bzw. der Strömungsgeschwindigkeiten kann weitergeftthrt werden.

Ein1ge dieser Integrale werden berechnet und in den Diagrammen

1 - 9 aufgetragen.

4) Berechnung der Strömungsgeschwlndigkej.t.

Zuerst wird nochinals kontrolliert, daB durch das Potential

(27) tataächlich die Oberflachenbedingung (2) erfitilt let. Dazu

muB (für y = 0)

sin kt7 (8 #

Ct,)

cos k& B -2 ( .cin

ka#111dk

k3

J

integriert werden. Hierzu werden die Produkte der

_{Winkelfunktio-.}

nen mit Hilfe der bekannten trigonornetrlschen Formeiri in

einfa-ehe Winkelfunktjonen verwandelt. Die Integration 1st

_{dann leicht}

möglich und liefert für die Oberflächenbedingung (2)

_auBerhaib

des Bereichee d'es festen Körpers a<x <+a:

Diese Oberflächenbedingun.g jet also tatsächlieh

_{bis auf die}

An-näherung, die mit der Darstellung der Funktion

_{du.rch (19)}

em-geftihrt. wurde, völlig befrledigt.

Das PotentIal (27) erfUilt also tatsäohlich

die Bedingung

an der frelen Oberfläohe. Nun werden die

Strömungsgeschwindlgkej-ten berechnet. Urn die Randbedingungen

_{an der Oberfläche des}

schwingenden Körpers zu erfiillen, sind nur die Teile der Strömungs

geschwindigkeit n5t1g, die aus dem zusätzlichen

_{Potential, also}

aus den In (27) u.nter dern Integral stehenden Gliedern,

_berechnet

werden knnen. FUr die Strömungsgeschwindjgkejt

_{in horizontaler}

Riehtu.ng liefert die Differentiation dbase

_{zusätzlichen}

(16)

____

=

J;e-;.e?

.

Sin ka

- -

_c

+

17k)

-

16

Durch Verwazidlung der Prothikte der Winkelfunktionen wird daraus:

JilJ,' k1"'

ik

(x4

$",

Mit Hilfe der oben abgeleiteteln Integrationsforinein und

nit Hilfe von Partialbruchzerlegu.ngen 1ät sich die. integration durchfUhren. Sie liefert für den Bereich -a

x <+a:

faf/nrre

z4Zc<;

Si)k(x+4)

-

1Te

#i21_arcg

_%

-ar

tsi,

'xa)

-':-j

_y

mCr +

-m(a J f19[mfrta)

-4sk(xLa)-cosk(asr#9]

(38)

h(x-a). zk (x#Z,.,?jksfn kxjdk

2s;#

(37)

'/#S/ft * (x-.y-2s/,, kJdk

_aIrP.5J4 (4-

j/,,(2t(Xfc)2

9 _:

2S/a k'r)

_{* 7}

k (x-) - 'os k 'x -

cos A' (x #

a)]dk

s/I,

_O(-4)Cø

(x-4).s4a/

+ aCe

(17)

2Df.

# a. l3Pz#JrZ

.0

_,

_w2

1

oo.LfeYsinkxfrY.j,p,

_!)(

9j

5 (39)

Für die Strömungsgeschwindigkei.t in vertikaler Richtung liefert die Differentiation des ztisätzlichen Potentials:

Uo-e

2J "Y.CDSkX

{

1kCO$kf

!sinko.j

c''

0 9 A.2

₍₄₀₎

-

_-

_{2 C} jp

ka

_. _{L dk}

k

J

D±e Integration ergibt für den Béreich -a<x(+a

,,L(dcUhIZ

f

y1few%la).

n!'1/em"em11IH

j-

2cos

_kIx#a,)

a;

cDS k x-a# fl.Sin *Xf a- fl 31n

/il-4Jdk

U

-1.

T e

Y[j.cs

2j'x*a)

# Zcoj

1(ic-a)#

n.s17?r4a)P.S#1%-4l

17 -f/,,

vslt(XM,

a' (xQ)2

k-&L

'1 0

₅

*

dk-

cDs.__2t

4.' LXZlfyz

5J,. k-2

_S

_J

(41)

_i

_-

₂

zj}

+

2 Cc,J4

{2a.

w

#.

(1-

y

f:riy

r ,'

Q4 !J.t

,

2

:

(':j:'

1cos A

(aJ

.

I( (x- 4) - srn k (x#a),' sinkfx-agdk

(18)

18

-Die beiden Pormein (39) und (41) erniöglichen es, die aus

de zuätzlichen Potential resultierenden Ströznu.ngsgeschwindig-keiten für jede Steile desRandes des schwingenden Körpers zu berechnen. Sie fWiren für diesen Rand immer zu endlichen Wer-ten, auch für die Stelie y = 0, x = a.

Diese Geschwindigkeiten können nun in die Randbedingung (3) bzw. (4) bis (7) einesetzt werden; allerdings muB dann irnmer

auf der rechten Seite die ser Randbedingu.ng Null stehen, da die

'Geschwindigkeiten ja nur aus de zusätzlichen Potential berech-net werden.

5.) Berechnung der Oberflächenwellen.

Die von dern schwingenden Körper erzeu.gten

Oberflächenwel-len können aus der Strömungsgeschwindigkeit in vertikaler

Rich-tung ander Oberfläche-berechnet werden. Die anootolltc

Beréch-flung der Dämpfungskraftresultiert aus der Berechnung der in den Oberflächenwellen abwandernden Energie. Für dIe Berechnung

die-ser Energie ist es offensichtlich nur erforderlich, die Oberflä-chenwellen In einem sehr grol3en Abstand von dem schwingenden

Kör-per zubestirnmen. .

Die Ströinungsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung an der

Oberfläche in sehr grol3em Abstand von dern Körper ergibt sich

na-tUrlich ebenfalls aus der Forinel (40). Esbraucht hierfUr

eben-falls nur das. zusätzliche Potential dif±erenziert werden, .da das

Potential für die Umströmung des Rörpers

ml

unendlich ausgedehri-tenMedium in sehr groJ3enAbstandvon dem Körper keine

Strömungs-geschwindigkeiten liefert. Aus der Formel (40) resultiert für

y=Oundx-co:

g 2

et.sfn.s,n

_'v')

(42)

+

(cas

4).

2Cg

-

aw

U)

1

aw

Daraus ergibt. sich die Amplitude d.er abwandernden Wellen. Am besten wird diese GrBe in dirnensionsloser Po±'ni dargestelit

darch d e Ve haltniar Amplitude der abwandernden Wellen

(19)

-

19 -= +r

(2

coc ?7S119

flW2)

_(coi

-r-4-

£C9Z(aw20Qw_

ZD ,

itv2

Cv29

9 9/

it (43)

Zur Bestimmung dieses Amplitudenverb.ältnisses istes nötig, sin System von lineàren Gleichungen, in dem die Parameter B, C, D die Unbekannten sind, aufzulöson. Wenn man die Randbedlngung

an der Oberfläche des schwingenden Körpers an drei

versehiede-nen Pwikten erfiflien will, erhält man em System von vièr

Gisi-chungen, die für da.s Amplitudenverhältnia einen

Naherungswert

liefern, der ala vierte Näherung bezeicbnet werden soil:

p1 + B' + D' . d1 + C'

.

c1 =

P p2 +B' . + D' . d + C' = 0

(44)

P' . p3 + B' . + D' . d + C' . c3 = 0

P'

.

p4 + B' . b1 + D' . d4 C' . C4 = 0

I

let hierbel das gesuchte Ainplitudenverhältnis, die zweite Zeil dr(iekt die erste Randbedingung, die dritte die zweite Randbedin-gung and die vierte die dritte Randbedlngung aus; Die Werte P'

ergeben sich ausP

durch

Multiplikation mit n . B', C'

und

D' ergeben sich aus B, C

und

D ebenfalle

durchMultiplika-tionen, die Faktoren sind in alien vier G].elchungen dieselben,

und

da diese Parameter elirniniert werden, jet die'Gii53edleaer Faktoren belanglos. Statt der Produkte P' p sind nattirlich

zwei soicher Produkte einzusetzen, wenn die Bedingung an der fréien Oberfläche zu der Summe von zwei Exponentlalfunktlonen geftthrt hat.(17) Die durch kleine Buchstaben gekennzeichneten Koeffizienten resultieren aus den Formein für die

Strömungsge-schwindlgkeit. Die Parameter B, C und D

sind,

ebenso

wie

die

Koeffizienten p2 bie C4 komplex.

Es erleichtert die numerischeBereohnung sehr, daB die

imaginären Teile.

und

such einzelne Glieder der reelien Teile

der Koeffizlenten

p2 bi8 c4 proportional den

Xoeffizienten

p1

bis C1 sind. Die Koeffizienten der zweiten Zeile lassen sich

(20)

(P2

_2N p2 .

b1)

;

(d2

_2N

. d1)

(C2p2N. ci)

wobel natUrlich p2, b2

d2 mid 02 eine etwas andere Bedeutung

.haben ale in (44). Die

1eiche Schrelbweise, nur mit einem

an-deren Proportionaiitätsfaktor let für die anan-deren Reihen

mög-lich. Für das gesuchte Amplitudenverhältnis erhält man damit

dasVerhältnis von zweivierstelllgen Determinanten:

p1 b1 d1 ₀₁ b2

d2.

p3

b3 d3 p4 b4 d4 04 1 b1 d1 2N

b2

02 3N b3 d3 03 p4 b4 d4 04

20 In den beiden Determinanten sind nunmehr die im Nenner

atehen-den Proportionalltätsfaktoren

und p4.

komplex, alle

anderen Zahien sind reell. Daher liefert auch nur die im Nenner

atehende Determinante eine kornplexe Zahi. Von Interesse let

na-ttirlich nur der absolute Wert dee Ainplltudenverhltnisses I.

Diesen absoluten Wert erhält man aus der folgendenPormel:

LN

=

dAlreeii

_Nirnaginar

AZ.

YN

_reell

+ 1-1N

_imaginar

Diese Formel liefert also das geauchte Endergebnis.

= 2P'

(45)

(46)

Ergebnisse für den Ralbkreis.

Be 1st zweckmäig, auch die Schwingungsfrequenz

dimensions-los áusudrUckén. Fr den Halbkreisquerschnitt wird hierffir das

QuadratderKreisfrequenz mit den Radius a multipliziert und

d.urcl gdividlert:

(21)

.cos_

bz=j.iç(2p....

2i(f.

.73

-21-.

)

₅

Cp-ftlg

*1152

21 tf'2J)J#

c4

=

fI

1 _{[rns/'mJioi mJdm}

Jm2#i

Jm2i

.

)

14. fife

m2il.

"[r/cc?s

mn

q-su ,n

njdm_ i/e '[ms/n

,rna'i m5ldm

.

m*l

9' 0

.

n.e'Ys,,, n).ff7.2Q)

(47)

Die Koeffizienten In den Determinanten .der Formel (45) lauten damit bei Erfihilung der Randbedingungen (4), (5) und

(6):

p

₌

_P'hzfL

(48)

k=a'sf-l;

_c:Fas..i;i7

dz:_1#.fj,). c2q2fi_/

A .

b3=

e/'f)

1a1)]tfe.u[m.

_coirnf-s/,

_mfJ

_dm

d3=1{1-I4;(zf)JJ

(22)

-

22 -I'2g)

[7_

,c('2,E)] +f./n

,,#j

_{e"Ei62n,1...f}

(ccs-

iSjh)

=

1. eJ[ç

(If)

.ti]

2 cosf]

(48)

Mit und P2 sind hierin die Punktionen be.zelchnet, die auf demDiagrarnmblatt 1 aufgetragen und tabelliert aind..

Die Berechnungwurde für die folgenden Schwingungefrequen-zen durchgefUhrt:

0,1 0,2 0,3 0,5 0,75 1,0 1,5 2,0

Urn em Urteil Uber die Genauigkeit mid Konvergenz der Na-.

herung

zu. gewinnen, wurden versehiedene NAherungen berechnet.

Die

Zrgebnisse sind au.f

dem Diagrammblatt

10

aufgetragen.

Für die erste

Näherung

wu.rden in dern Gleichungssystem (44)

die Parameter B, C mid

D gleich Null gesetzt

und

nur die erste

der vier Gleichungen beibehalten. Physikaliach bedeutet das, dae nur die Bedingung an der freien 0berfiäch erffihit 1st.

Für die zweite Naherung wurden in dem Gleichungssytem (44) die Parameter Dund C gleich Null gesetzt mid die beiden ersten. Gleichungen benutzt, d.h. neben der Bedirigung an der freien Ober-fläche wurde .auch noch die Bedingang am

Randé

dee Körpers an dem

Pu.nkt

y =

Null and .x =

a erfUilt.

PUr die dritte Näherung wurde nur C gleich Null gesetzt und nur die vierte Gleichung weggelassen, d.h. es wurde zusätzlich zu der action bei der zweiten Näberung erfUliten Randbedingung noch.die Bedingung am Rand des Körers an der Stelle x = Null

uñd y = ± a erfUhit.

Für die vierte Näherung wurde das vollatändige

Gleichungs-system benutzt.

Die auf .dem Biatt 10 aufgetragenen..urven ze1gen, daB die Lösungen recht gut konvergieren, mid daB action die zweite Nähe-rung brauchbare Werte hiefert.

Urn eine Vorstehlung

zu gewinnen,

weiche Werte das

Amplitu-dénverhältnis für.höheie Fr.equenzen annimmt, wurde die zweite Näherung

nocli für höhere Prequenzen beredhnet. Die Ergebnisse

(23)

23 -sind auf dem Blatt 11 aufgetragen. Sie zelgen, da

das

Ainpiltu-denverhältnis etwa bel

= 1,7 einen Höchstwert erreicht und

dann mit grö2er werdender Prequenz allmählich kleiner wird. Fur

die bei S.eegangsschwingungen von Schiffen In Frage kominenden

Fre-qiienzen let

imnier kielner ala 2, sodaB also hierflir die

vier-te Näherung nach dem B].att 10 benutzt werden kann. Ptir die

Pre-quenzen von Vibrationen 1st

viel grS2er; die duroh die

Erre-gung von 0berflchenwellen verursachte Dämpfu.ng soloher

Vibrati-onen kann wohi nur klein sein.

Auf belden Blättern sind Werte eingetragen, die von Ursell

für den Halbkrels nach einern anderen Verfahren berechnetwurden.

Die Obereinstimmung dieser Punkte mit der gerechnten vierten

Nherung 1st sehr gut.

7.) Ergebnisse fur weitere Spantprofile.

Für die Spantformen, für die Lewis die hydrodynamieche

Was-sermasse für die Bewegung im unbegrenzten Medium berechnet hat,

und die alle aus deni Kreis durch konforme Abbildurig mit Hilfe

der Abbildungsfunktion

Z = Z +

₊

₍₄₉₎

abgeleitet slnd, 1st das Berechnungsverfahren wie folgt zu

van-ierent

Für die Form des Querschnittsprofiles liefert die

Abbildungs-funktion die beiden Gleichungen:

y = (1 -.a)

. sin 9 - b

sin (3 8)

x = (1 + a)

. cos e + b

coe (3 e)

₍₅₀₎

Das Strömungspotential für die Umströmung des Krpers ml

unbe-grenzten Medium ergibt aich aus den Potential für den Kreis zu

f =

e1C

[

1+a

+ -

₍₃

e)]

(51)

Das Strt5innngapotential (51) nuB nun in die Oberflächenbedingung

(24)

Die Bereàhnung.wrd fÜr die mittlere Schwimml.nie,y =O

ausgefiThrt. Baa erste Glied in d.er Oberfiachenbedlngung

wird für diéae Schwimrnlinie zu Null., das zweite Glied, das, da

fttr>4t später. der GrenztibergangUO durchgeftthrtwird, allein

Ubrigbleibt, ergibt siehauè (5.1) zu:

..

ei()t.g.u.

3.b

1

-

____

1

+ a

₊ 3

1 (52)

O

Die Aiplitude dieser sich aue derOberfläehenbedingung (2)

ergeenden Punktion. muB tiber

a

b

(53)

aufgetragen mid dañn für den Bereich

ala Punktion von x

dargestelit werden,

so gut .wie..mögl.ich durch Exponentiaif'unktlorien.Darin kann das

Verfahren ebenso wie fur den Halbkreisquerschnitt weitergeflthrt

werden..Nattirlich sind für die Erftfllung der BedingungenmRande

des Korpers, entaprechend der anderen Querschnittsform, andere

Koeffizienten In das Gieichungesyótem (44) einzisetzen.

"it

.

Halbe Breite dee Profile in .der Wásaerilnie

Das Verha nis

..

-.

Tiefgang

wird durch H bezeichnet und die Schwingungsfreq.uenz wird nun mit

der halb.en Breite dimension3lo.s .gemacht:

E

B.C)2...

Die. Koeffizienten der ersten Reihe in (44) bzw. (45) und. (48)

bleiben unverändert.

Die Koeffizienten der Zweiten Reihe bleiben ebenfails

unver-andert, solange die Tangente an die Profilform in der

Sehwiimnli-nie senkrecht eteht.

(25)

[emf[m.

1m2#i

q, ii

Sin.!f1

1/

e7T

_[ms/n

J

mL

+

_J

(eic

mti

-

25 -ç

[mf

J miii

CL5

!?!fjdm-o

f/,,,; /mt?smn#sin mnJdrn#f.e'7ccs

.En(i).

mn-cosmn]dm#

rn

COS S/Is

I

e

H

[,1#i1)jjf&cf.s/njj

[in. cosf

si

cos

"fJa'm

-ç55)

Diese Koeffizienten untersoheiden slch-von dn entépreehen-den Koeffizienten für entépreehen-den Halbkreis (48) .solange die Tangente an die Profilform i _{uiitersten Punkt (x.= 0) horizontal bleibt,}

nu.r durch die Einftthrung

des Verhältnisses H.

Die Koeffizienten der vierten Reihe betragen,

_8olange

die

Tangente an der'Profilforin senkrecht

steht,

_{und für die zweit'e}

Reihe die Koe'ffizienten (48) gelten:

(14_3b)t

-

_{* in 2 .# f2(q) -}

_2iS(J)

'

(26)

'4- f.F2(fl

?=

J.tnJ#;.i(2j)n[i'F(2f)]tf./nnfe"L&2n)

(t-4-.3b)2

,2!7

(ft

a

#

b)(f#

a '9bL

2.)

21 -

26

-2

(sfnf

#

1.. casf)

(56)

Sle unterscheiden sich von den entspreohenden

Koeffizien-ten 'für den Halbkreis (48) durch die Einfü.hrung der

Pormparame-teraundb.

Die Berechnung wurde für vier verschledeneVerhältnisse H

ausgeftlhrt:

H = 1,5 1 0,666 0,2

Urn wieder em Bud von der Konvergenz der

Naherungen

zu

bekomnen., wurden für je em Profil die drel ersten Näherungen

berechnet. Diese Ergebnisee sind auf dem Diagrammblatt 12

darge-stelit und zelgen,da die Näherungen gut konvergieren. Es

wur-de daher auf die Berechnung wur-der vierten Näherang in alien Pal-len verzichtet.

Für H = 0,2 mu2 allerdings ergänzend bernerkt werden, daB die Berechnung der dritten Naheruñg mit den zwel bel den anderen

Proflien ftir dieee Näherung benutzten Randbedingungen (4) uiid

(5) eehr echlecht passende Werte liefert. Die Berechnung der dritteri NAherung wurde für dieses Verhältnis H daher aueh mit

den zwel Randbedlngungen (4) u.nd (6) ausgeführt; ale lieferte die in dern Diagramm aufgetragénen gut passenden Werte. Das heiBt

also für diesesH let in dem System (44) ftlr di? dritte Näherung nicht die vierte, sondern die dritte Gleichung weggelaseen.

Physikaflach eracheint dieser Weeheel in der Wahl der Rand bedingungen für die Profile mit dern Verhältnis H = 0,2 berech-tlgt: Denn das zu den Potential für die Umstrmung des örpers

in unbegrenzten Medlu.n addlerte zueàtzllche Potential ilefert für die Profile nit H = 0,2 für den tief unter der Oberfläche

(27)

lie 27 lie

-genden Pu.nkt x = 0, y =T nur elne eebr kielne

Strömungsge-schwlndigkelt. Der Feller kann daher njcht groB sein, wenn an

diesem Punkt die Randbèdlngung nicht erfililt jet. Viel wlchti-.

ger let eu, ':die Randbedingungen in der frelen, Oberfiäche'

y = 0, x =

und in dér unniittelbaren Umgébungdieser 'frelen

Oberfläche zu erflullen, da Feliler in de,r Erfihitung dér

Randbe-dingungen an dieser Stellé wohi elnen viel gröf3eren Einflu2

haben. Das let aber der Pall, warm die Randbedjngungen (4) und

(6)erfüllt werden.

Die Diagranunblätter 13 bi's 16 enthaltn die berechneten

Ergebnisee für die vier Werte H. Zusätzlich énthalten diese

Dia-gramme Werte für das Recbteckprofil, die von Holstein

auf

ande-rem Wege berechnet wurden. Holstein, fandfiir dasRechteckprofll

die fol-gende einfache Formel:

1 2 .

e

.

ai4

.

(57)

wobei die in dieser Arbeit verwendeten Bezeichnungen benutzt

aind. Auch die Losung von Holstein 1st

icht stréng, ale warde

mit Hilfe elnes Energiesatzes gefunden und 1st identischmit

der Lösung, die sich au

einer gleichformigen.B.egung der

'Grundlinie des Rechteckprofilee mit Quellen ergibt.

In einem weiteren Beispiel.wurde das Verfahren auf elne

Wulstforrn angewand.t. Es let leicht mögiioh, mitHilfe der

Ab-bildungsfunktlon (49) auch Wulstformen zu erhaiten. 'Das

Dia-'grammblat

17 enthält ala Bèisplel elne auf dlèsein Wege.

erhal-tene Wulstform, bei der das Qnerachnittprófii in der

Wasser-linie kelne Brelte mehr hat. Das Berechnungayerfahren kann In

:

dér gleichen Weise angándt werd'en wie óben, ,nur 1st wegen

'der £ehienden Breite n der Wasserlinle elne. Anderung nötig.

-Die Expónentialfunktionen (17) knnen nichtmehr auf die-Breite,

.

sie mttssen vlelmehr auf den Tlefgang bezogen. we'rden. Ebenso

kann die Schwinguñgefrequenz .nicht mehr mit der Breite, sondern

thus mit de

T,iefgang dimensionslos gemacht werden. Daa, Blatt 17

-

:igt auch dasErgebnls der Berechnung des

Anp11tudenverhält-n1sesL Es wurde hie'rbel nur die 'ersteNähe:ruig berechnet. Das

/erschein.t be'rechtlgt, well erstens die Randbed.lngng (4) her

aiia SymmetriegrUnden schon in der ersten Naheriing erf-Eillt jet

/

und well zweltensdaa zusättliche Potential ainRandedes

(28)

-

28-Elne Bestatigungdiese.rSchiuMolge.ru.ng kann auch aus deii

Dia-grammen au.f Blatt 1.2 abgeleltet werden., Denn das Diagramrn für H =

0,2 auf diesein Blatt-ze±gt,... daB chon bei diesem H die ersten

drel Naherungeri aehr n.ahe beisammen liegen, sodaI3. auch hierfUr

-die erste N'aherung schon eirien brau.cbbaren Wert .liefern wtirde.

Durch die Wulatforifi lerden danach nur séhr. nied-rige

Oberflächen-erregt.

-.8.) Berechnung der Dampfingskraft.

Das beréchnete Amplitudenverhältniegilt für die von den

achwingendenKörperabwandérnden OberflächenweIlen in sehr

gros-serEntfernüng von den Körper. Diese Oberflächenwellen transpor-tieren .dauernd Energie ab, die natUrllch durch den Körper zuge-fiihrt werden .mu. Elne Oberflächenwelle, deren halbe Hhe mit r and deren Prequenz mit ') bezeichnet wird, tranepórtiert pro Einhelt der Lange (in Rlchtung der Wellenkäme.) die Energie

Hr2

.g2

(58)

Darch. den achwingènden Körper nuB die doppelte Energie zugefiftr

werden, wenn riind'c der obigen Formel auf die von den .Körper in groBer Entfernung abwandernden Wellen ,bezogen werden.

Auf den schwiñgenden Krper wirkt e±ne hydrodynarnische Kra die in zwei Glieder zerleg,t gedaóht wird, von denen das eine mit der Schwingungsbewegung, das andere mit der Schwingungsgeschwin-digkeit in gleicher Phase 1st. Eine dáuernde EnergieUb.ertragung

von demKrper in dlePitssigkeiterfoigt nu.r'durch den Tell der hydrodynamisohen graft, der nit. der. Sohwingungsgeschwindigkeit in

PhaSe let; er wird Dämpfungskraft genannt. Wenn diese-.Dämpfungs-kraft proportional der Schwingungsgeschwindigkeit angenommen and der-Proportionalitätsf'aktor mit W bezeichnet wird, so beträgt die dauernd. von den Körper in die FIUssigkeit abwandernde Energie

- 0,5 . W _. U2.

. . . (59)

- Diese Energie inu2 glelcheein dem doppe1tenWér (58) , und daraus

(29)

29 -w=

.r2.&2

CA.)

2

2 let identisch mit dein Quadrat des

Aniplitudenverhalt-U

_{nisses, sodal3 sich also der Proportionalitätsfaktor W}

ale Funktion der Frequenz wid des Amplitudenverhältnisses

er-glbt:

=

'.g2

₍₆₀₎

Daa Maximum der Dämpfungekraft liegt also fUr em

bestimm-tea Profil

bel einer kielneren Prequenz ale das Maximum dee

Am-plitudenverhältnl sees.

9.) Verändertee Bereohnungsverfahren.

Die Uberlegungen, auf denen das vorstehend beschrlebene

Berecbnungsverfahren aufgebiit wurde, können auch dazu benutzt

werden, die Berechnung auf einetn anderen Wege durchzufUbren.

Die-se varlierte Form des Berechnungsverfahrens wird zwar keine

Er-sparnis an Rechenarbeit bringen, ale biet.et aber trotzdem Vortelle

und zwr vor allem deswegen, well ale zurn SchiuB eine bessere

Ab-schtzung des erreichten Grades der Annäherung der Bereohnung mit

Elife physikaliech sinnvoller Werte erlaubt und audi mit nur

ge-ringem zueätzlichen Arbeitsaufwand die hdrodynamische Masse, die

bel der Scbwlngungsbewegung mit beschleunigt werden muf3,

mitlie-fert.

Nach diesem zweitèn Rechnungsverfahren wird nach ErfUllung

der Oberflächenbedingung (2) bestimmt, wie weit die Randbedlngung

(3) fUr eine Reihe von Punkten an der Körperoberfläche erfiillt

1st. Die in der benutzten Pormel für des Strömungspotential.

ent-haltenen Unbekannten werden dann so bestimmt, da3 die Suinme der

Quadrate der Fehier in der ErfUllung der Randbedingung (3)

r

ails Punkte zu einem Minimum wird. Mit der Bestimmung dieser

Un-bekannten let dann die Aufgabe gelost, das Amplitudenverhältnis

X,

sowie die hydrodynamische Masse können dunn damit berechnet

wer-dens Der, in der Erfililung der Randbedingung (3) verbleibende,mitt

1er Pehier stelit des physikallech sinnvolle MeB, nämljch die

mittlere Geechwindigkeit eenkrecht zur Körperoberflache, für den

Grad der Annäherung der Rechnung dar.

Für das Strmungspotent1al wird zunächstder ertnach der

(30)

-30-=

LIa.

e

_{#f:°! [H24.}

*33/

a

benutzt. Diese Forrnel 1st gegenilber (27)

etwas

verndert,

und

zwar urn die numeriechen Rechnungen einfacher zuhalten. Diesee

Potential genilgt ebenfalls der Oberflächenbedingurig (2),

wird

es

in diese Oberflächenbedingung elngeaetzt, 00' ergibt sich

I c

c?

) z

-1)

i(if-

/

und

diese Gleichung let auBerhalb des

Kt5rpers

bis auf dia

An-näheru.ng, die. durch

Einflihrung von

(19) entstanden jet, erfillit.

Der.Unterschied gegenUber (27) bedeutet, da fur (27) das Oiled

mit

P elne

Dru.ckbeiegung

der Oberflche darstelit, die an. darn

Ran-nach

(2)

de des Körpers einen Kniok

zelgt, während für (61)

dIe-see

Glied elner Druckbe'legung

--1

I

entspricht, die bis x

= 0

ste--L _xlo +0. -

tig verläuft.

Das Potential (61) enthält nur elne Unbekannte,.närnllch D.

Da eine Unbekannte tneistens nicht ausreichen wird,

urn

die

Randbe-dingung

(3) In befriedigender Weise za

erfiLilen, wird noah em

weiteres Giled

fur

das Potential mit elner weitern Unbekannten gesucht. Dau wird nicht elne der für (27) verwendeten

Druckbele-gungen benutzt, sondern - wieder urn die numei'1schen Rechnungen

einfacher zu halten - elne Druckbelegurig von 3 Einzelkräften mach

der nebenetehenden Sklzze. Die beiden i.ach

J2P

oben wirkenderi Kräfte aol].en

ebenso groS

sein wie die nach

unten

gezeichnete Iraft.

4

Der Abstand der Kräfte von elnander soil

eehr klein, die Kräfte

dafflr

aber groB seth,

sodaB noah elne resuitierende

Wirkung

auf

die Fltissigkeit tthrlg bleibt. Damit lautet

_nuti

die Porinel für das

gesamte Potential, mit der die Rechnu.rtg weitergeftthrt wird:

fø

7T/k#,4(9[kZf

11F(k- -JdR

(63)

Au.ch die see Potential

erffillt

noah, wit

Ausnahnie

des Punktes x =

0,

= 0 dIe Oberfläcbenbedingung (2).

Dieses Potential

wird

in die Randbedingu.ng (3). eingesetzt

nach

(61)

(31)

if

skfx dk

k1

r

0

.# n

[si. r11

51 #

_COSrJ

_{241'' COS k 'ix dkj.}

FIc'cdfe

kcsknxdkJ

k&#1

, z

(x5incp

+y

cs

+

[sin

PJef

sin kjx dk

+ cos'

J

_k-I

coj kfx

dk)

-I.

- If

e1''(Sin5iii/X

eos7'cosp)

cos

()°fx)

-kfy

=

f

{s

/-

s,, kfx c(k # COS

(;Z.XZ) 3

0 _a

{(3yz.x2)s/no#y(3scz)co.s O}

(yZ#Xz,)Z

{2yx.sb7'4

(y2ct)&i

rj

°j

e

(64)

+ (Dr+iDi) .

(dr+Lidi) +(Br+1Ej)

. e,

Die.

inagiuären

!eile aind in dieser Pormel. thirob,

den

Paktor I

ge-kennzeichnet, alle

anderen

Buchsiaben steflen daber reelle

Zahlen

(32)

-32-Alie in diesen Koetfizienten stehenden Werte Sind

dimen-aionslos gemacht:

x nud.;

ixLd die du.rch die halbe Brelte diensiona1oa

ge-achteñ Koórdinaten deeRandea des Pzofi1es

let der Winkel zw.schen der

angente an das Profil mid

der Rorizontalen

-ist die mit der ha].beu Breitedimensionslos

gemachte

Sohwlnguxigatrequenz.

Die in den Koetfizienten etehenden Integx'a].e können aus den

Diarammen &bb.2 his 7 entnommen warden.

Der Fehier, der in der ErfUilung der Randbedingung gemacht

let, beträgt:

(66)

V'r

+ Dr dr -D1 d1 + Br

er)2+(Ptdj+Drdj+Djdr+Bjer)2

Dieser Fehier wird ffir eine Reihe von Punkten an der

Krperober.-fiäche gesticht. Die bisher unbekarmten Werte D und B werden dann

so bestlmmt, daB die

umme der uadrate der Fehier

fur

alle

Punk-te zu

1nem

1nimuin wird. Ba folgen daraus 4 Gleichwigen

fur

_die

4 Unbekannteji

7)

Pt.Z(Prdr+d)+DrZ(dr2+di2)

+

+Br.Zerdr+Ei.erdi = 0

P'Z (Prdirhi) +

+D1.E (dr2+di2)_Z erdj+Ej.Z erdr= 0

P'.,E

_r5r

+Dr.Eerdr

-Di.Cedj +BrZer

= 0

P'. 2 erdi +DiZerdi

+D1.Z erdr

+Ej.Zer2

0 Au.s diesen Gleichungen warden die Unbekennten beatlmmt un.d diit

1st die Aufgabe gelöat. Das geauchte AmplitudenverhAitnie beträgt:

1 2'

(p'

+ Dr)2 + 1)2 (66)

Der mittlere Fehiar ergibt sich dureb Summieren der Quadrate der Pehier nach Pormel

(66) fiber sUe Punkte

mid durch Dividieren

durch die Zahl der Punkte;

_{ITZ',c 2}

rmV

'

'Dieser mittiere Fehier

BteiIt das Verhäitnie der mittleren

Ge-eehwindigkeit eenkrecht zur K5rperoberf].che zu der

cbwingungs-geschwindigkeit dee Körpers dar.

Es kenn man - aucb die bydr'odynaxnlsche Waa8ernIasae, die bel

der Schwinungsbewegung des Krpers mit beachlew2lg-t werden mu2,

bestinnat werden. Der Druek in der Flits sigkeit wird gefunden, durch

(33)

33 -p

= -

* e

;we/+U

21 Y.coskx[Pn.?

.l1

E(kfldkJ

(69)

PUr die Bestirnrnung der hydrodynamischen Wasserrnasse

sind nicht alle Glieder dieser .Formel nötig, es geñUgt, die

Glieder zu bestiminen, die mit der Schwingungsbewegung in der

gleichen Phase schwingen. Für diese Glieder liefert (69):

-

fI

Cj.

e

'

t/JQ

.4[i'i/.

Cos(jx)dk

;/1

14' cos(kn i*Ik

-co."kn )dk)

4rf'CDS

(kfx)dk

2);

fx

+

Er4

J]J

Dieser Druck in der Flttssigkeit kann für den Rand des

K5r-pers für eine Zahl von Punkten bestimmt werden. Wird diesér

Druck dann tther der horizontalen Projektion dieser Punkte

aufgetragen und die gesámte Kraft durch Integration des

PlUs-sigkeitsdruckes Uber die Projektion auf eine Rorizontale

bestlrnmt, so 1st diese Kraft identisch mit der

(34)

10.) Durchrechnung eines Bei spiel a:

-34-Für das Beispiel wrd a1s

Profil-form der Halbkreis gewahlt. Du.rch

Einsetzen des Strömungapotentieis

in die Oberflachenbedingung(2) ergibt sich eine Pn]tion, die. in

guter Annaherung duroh (15) é.rsetzt

werden kann. Au.s (8) köu±ien die

Werte n und P entnommen werden.

Die Durchrechnung. wird für die Prequenz

f

1 ausgeführt. Es jet

hierfUr:

.1

= 0,509;

n2 = 2,187; P1t = 0,1905; P2t =2,41

Die ffalfte des Profile

wird .zuh in 6

gleiche Telle geteilt mid

für diese 7 I5unkte am Randedes Profile werdén nun die

Koeffizien-ten (65) bestimmt: : .. 1 Punkt No. 1 2 .31 in Grad 0 _5.. 30 x 0 0,259. 0,500 1

0,966.

0,866

dr

0,305 0,317 0,368 d1 -1,155 -1,196 -1,318 3 2,696 1,867 r1 -0,923 -0,927 -.0,911 r2 -0,003 0,013 .0,077 (dr?' 0,093 0,101 0,135 1,333 1,432 1,738

(erf

9 7,26 3,48

drdi

-0,353 -0,380 -0,485 0,915 0,855 0,686

drpr1 -0,281

-0,294

-0,335

drPr2 -0,001

0,004 0,028 dj.er -3,465 -3,223 -2,460

diri

1,065 1,108 1,200 0,003 -0,015 -0,102

er.prl

-2,770 -2,50 -1,70

er.pr2

-0,008 +0,034 0,144

Die Punkte 1 mid 7 bezelcbneri Endpunkte, die für die.s.e Punkte

be-stimmten Werte sind daher bei der

Suninenbiidung nur mit halber

GröBe eiugesetzt worden.

Die vier Gleichungen (61) lauten:

4 45 5 60 6 .7 75. 9.0 0,707 0,866 0,966 1,Q 0,707 0,500 o,259 0

0,469. 0,690

1,153

2,070 -1,543 -1,873 -2,282 -2,642 0,707-0,500 -1,471. -2,0 -0,86.2 -0,715 -0,353 +0,428 0,196 0,465 0,979 1,964 0,220 0,476 1,330 4,280 4,448 .2,380 3,510 5,210 6,98 18,43 0,50

025

.2,17 4 .. 20,16 -0,724 -1,293 -2,630 -5,46 -8,418 0,332 -0,345 -1,697 -4,14 -1,781 -0,405 -0,494 -0,407 +0,858-1,632 0,092 0,321 1,129 4,068 3,608 -1,092 +0,937 3,360 5,284 -1,569 1,330 1,339 0,805 -1,132 5,748 -0,303 -0,872 -2,232 -5,19 -6,032 -0,610 +0,358 0,520-0,857 -5,746 0,139 -0,233 -1,440 -3,928 -3,324

(35)

-'5-_Erl78l_Eisl569= 0

.0,1905.14,167-2,41.2,387 +Dis22B7S+Ers1 _{,569-E1. 1,781= 0}

-.0,1905. ,746-2',41.3,324 Drs 1,781+Di.1,5694Ei2O,l6 0

0,1905. 1,569-2,41.1,569 Dr 1,569-D1.1,781

+E.2016= 0

&iis diesen vier Gleichungen k5nnen die vier Unbekannten bestimmt werden:

Dr =-2,448; +0,359; Er = 0,208; = 0,0438

Das

Amplitudenverhältnis beirägt also (ftr

= 1) :

1=

2

O,15252 + 0,3592 =

Nun kann auch

der Fehier in der

Erflullung der Randbedingung

(3)

bestmmt

werden.

Die Bereahnung

dieses Pehiers irniB natUrlich

wie-derfiir die Punkte I bis 7 erfolgen:

PunktNo.

1 2 ₃ 4 5 6 7

Z

Drs dr

. -0,176 -0,176 -0,174 -0,164 -0,006 +0,030 0,186 0,473 0,747 -0,778 -0,900 -1,150 0,41.5 0,430

0,473

0,555 0,624. 0,561

0,388

0,147 = 0,11 0,067 -0,027 -0,139 (Pi'+P2'+Dr.)di -0,173 '0,179 -0,198 -0,232 D1 rr 0,110 0,114 0,132 0,169 0,131 0,118. 0,082 0,031 -0,136 1,100 -1,69 -0,067 2,36 -2,83

0,082

4,73 -5,07 0,673 0,820 0,950 -0,104 -0,306 .0,416 -0,157

+0,030

+0,27 - 0,036 -0,281 -0,343 -0,397 0,248 0,414 0,744 -0,022 -.0,065

-0,088

-0,055 0,006 0,259 0,152 0,028 0,001

0,40 0,136

Z

2 0,068 0,053 0,016 -0,032 0,017 0,007 0,001 0,020

Der ittlere Pehier in der Erftillung der Randbedingug (3) nach

Pormel (6) betrgt

daher

im Mittel ither den ganzen Rand . des

Pro-- files:

.'60,096

Me mittlere Geschwindigkeit des Wassers senkrecht zum

Rand

des

K.rpere beträgi

alBo 9,6

der 8chwingungsgescbwindigkeit. Dieser

(36)

-36.-stimmt aber gut nit den auf anderen Wegen gefunde4en Ergebnissen Uberein, wie die Abb.1O zeigt. Dieses Verhältnis i stiinmt

wahr-schein].ich ebenso gut, wenn nicht besser, wie da.s nach den ersten

Berechnungsverfahren ale vierte Naherung berechnete Verhältnis.

Wabrecheinlich gibt der bereehnete mittleie

Pehier em Zn

ungun-etigesBild, well die Phase des Fehiers an den versehiedenen Punkten des Randes versehieden let.

Es 1st 'von Interesse, nun

nachzupritfen,

weiches Ergebnis

die Rechnung nit den

PotentIal (61)

anstelle des Potentials (63) lefert. Diese, viel weniger umfangreiche Rechnung lie-fert die

folgenden Ergebnisse:

Dr= -2,47; D= 0,370; X = 0,785; mittlerer Pehier = 0,264

Obwohl also der mittlere Pehier in diesem Falle recbt bedeutend

let, let das .Amplitadenverhältnis

praktiecb

ebenso gro wie nach

der genauererx.Rechnung.

bydro

Nun wird der für die Beatimmung der/dynamiachen Masse

er-forderliche Plfisoigkeltsdruck am Rande des achwlngenden Körpers

Die Zahien der ietzten Relbe werden nun nit multipliziert und daxi Uber der

Pro-jektl.on der Punkte 1 bis 7 auf elne

Eon-zntale aafgetraen. Dazu iuB der aus dem

StrmungspotentIal msultlerende, durch

-0,294

_-

das erste Glied in (71) beetimmte

Druek-anteil y addlert werden. Die Integration

liefert für

die hydrodynamisehe Masse

1 2 3 9

.

0,574.

also nu..r 57

den hydredynamischeh

Masse, die aus a11ein

resul-tiert.

nacb Pormel (71) berechnet:

PunktNo.

1 2 3 4 5 6 7 (Pi'+P2'+D) -0,106 -0,111 -0,125 -0,156 -0,204 -0,269 -0,350

1'1

(iechççr

, -0,127 -0,126 -0,122 -0,113 -0,100 -0,081 -0,060

_i2jJA'tI

-0,322 -0,313 -0,277 -0,198-0,065 +0,132 -0,352

'Pj'oI4f(nach -0,322

-0,322 -0,323 -0,326 -0,331 -0,341 0,354

_P2'.J./nlJAbb.3_0,417

0,414 -0,402 -0,377 -0,339 -0,296 -0,212

.-Dj..ii.efY.cosfx

0,416

0,413 0,418 0,422 0,443 0,495 0,609 0,208 0,181 0,105 0 -0,105 -0,181 -0,208

_Br

-E '.j 0,208 0,202 0,181 0,148 0,105 0,054 0 -0,462 -0,490 -0,545 -0,600 -0,596 -0,487 -0,223