1 Przestrzenie liniowe.
1. W Rn okre±lone jest dziaªanie ⊕ nast¦puj¡co:
[x1, x2, ..., xn] ⊕ [y1, y2, ..., yn] = [x1+ y1, x2+ y2, ..., xn+ yn].
Sprawd¹ czy Rnjest przestrzeni¡ liniow¡ nad R gdy mno»enie zewn¦trzne okre±lone jest
wzorem ,dla r ∈ R:
(a) r [x1, x2, ..., xn] = [rx1, x2, ..., xn],
(b) r [x1, x2, ..., xn] = [0, x2, ..., xn],
(c) r [x1, x2, ..., xn] = [0, rx2, ..., rxn],
(d) r [x1, x2, ..., xn] = [rx1, rx2, ..., rxn].
2. Sprawd¹, czy zbiór R+ (liczb rzeczywistych dodatnich) jest przestrzeni¡ liniow¡ nad R
z dziaªaniami
x ⊕ y = xy, x, y ∈ R+,
r x = xr, r ∈ R, x ∈ R+.
3. Niech R[x] (odp. R[x]n) oznacza zbiór wszystkich wielomianów o wspóªczynnikach
rzeczy-wistych (odp. wielomianów stopnia ≤ n). Czy R[x] (odp. R[x]n) jest przestrzeni¡ liniow¡
nad R ze zwykªymi dziaªaniami?
4. Niech F[a,b] oznacza zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych okre±lonych na odcinku [a, b] ⊂
R. Sprawd¹, czy F[a,b]jest przestrzeni¡ liniow¡ nad R dziaªaniami okre±lonymi nast¦puj¡co:
(f ⊕ g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ R, f, g ∈ F[a,b],
(r f )(x) = rf (x), x, r ∈ R, f ∈ F[a,b].
5. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem k. Poka», »e dla dowolnych x, y ∈ V , oraz r, r0 ∈ k zachodz¡ równo±ci:
(a) 0x = Θ (e) r(−x) = −(rx) (b) rΘ = Θ (f) r(x − y) = rx − ry (c) (−1)x = −x (g) (r − r0)x = rx − r0x
(d) (−r)x = −(rx)
Uwaga. Od tej pory, je»eli nie jest powiedziane inaczej, kn, dla ciaªa k, oznacza przestrze«
liniow¡ nad k z naturalnymi dziaªaniami dodawania wektorów i mno»enia wektorów przez skalar (tzn. jak w Zad.1.(d)). Podobnie Mn(k), n ∈ N, oznacza przestrze« liniow¡ nad k
z dodawaniem macierzy i mno»eniem macierzy przez skalar. Równie» R[x], R[x]noznaczaj¡
przestrzenie z Zad. 3.
6. Sprawd¹, czy U jest podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej V , gdy (a) V = R3 U = {[x 1, x2, x3] ∈ R3 : x1+ 2x2+12x3= 1} (b) V = R3 U = {[x 1, x2, x3] ∈ R3 : x1+ 2x2+12x3= 0} (c) V = R3 U = {[x 1, x2, x3] ∈ R3 : x1∈ Z} (d) V = R[x]3 U = {w ∈ R[x]3 : (x − 1)|w} (e) V = R[x]3 U = {w ∈ R[x]3 : w(1) = 0 ∨ w(2) = 0} (f) V = M2(R) U = {A ∈ M2(R) : det(A) = 0} 7. Niech A =1 23 1
. Sprawd¹, czy U jest podprzestrzeni¡ przestrzeni R2 je»eli:
(a) U = Ax1 x2 : x1, x2 ∈ R (b) U =x1 x2 : Ax1 x2 =0 0
2 8. Niech A = 1 10 0
i niech U = {X ∈ M2×2(R) : AX = XA}. Sprawd¹, czy U jest
podprzestrzeni¡ przestrzeni M2×2(R).
9. Niech W b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni R3 tak¡, »e [1, 2, 3] ∈ W . Wypisz kilka
wek-torów nale»¡cych do W . Czy W jest zbiorem sko«czonym?
10. Niech W b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej V , a U podprzestrzeni¡ przestrzeni W. Czy U jest podprzestrzeni¡ przestrzeni V ?
11. Sprawd¹ czy wektor [7, 8] ∈ R2 jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów
(a) [2, 3], [4, 6] (b) [2, 3], [1, 0]
12. Poka», »e dowolny wektor R2 jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów:
(a) [1, 0], [0, 1] (b) [1, 1], [1, 0]
13. Przedstaw wektor −2x + 3 ∈ R[x]3 jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów x + 2, 2x + 1, 3x.
Na ile sposobów mo»na to zrobi¢?
14. Przedstaw wektor [3, 2] ∈ R2 jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów [2, 1], [1, 2], [1, 3]. Na ile
sposobów mo»na to zrobi¢?
15. Zbadaj, czy nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne (a) [2, 3, 1], [−1, 0, −2], [5, 2, 8] ∈ R3
(b) [1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3] ∈ R3
(c) f, g, h ∈ FR, gdzie f(x) = sin2x, g(x) = cos2x, h(x) = 3
(d) x2, x − 1, x − 3 ∈ R[x] 4
(e) 2, x − 1, 2x + 4, x2 ∈ R[x] 3
(f) [2, 4, 5, 0], [4, 8, 10, 1] ∈ R4
16. Wyka», »e wektory [a, b], [c, d] ∈ R2 s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
a c b d 6= 0. 17. Dla jakich x nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne
(a) [x, 1], [4, 2] (b) [x, 1], [9, x] (c) [x, x2], [−3, 9] (d) [x, x2], [1, x]
18. Wektory v1, v2, v3, v4 s¡ liniowo niezale»nymi wektorami przestrzeni V nad R. Zbadaj
liniow¡ niezale»no±¢ wektorów (a) v1, v2, v3
(b) v1+ v2, v2+ v3, v3+ v1
(c) v1+ v2, v2+ v3, v3+ v4, v4+ v1
(d) 2v1+ v2− v3, 2v2+ 2v3, 2v1+ 3v2+ v3
(e) v1+ 4v2+ av3, 2v1+ v2+ v3, 3v1+ 5v2+ v3 (a ∈ R)
19. Poka», »e je»eli wektor v1 jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów v2, v3, to wektory v1, v2, v3 s¡
3 20. Niech x1, x2, ..., xn b¦d¡ liniowo zale»nymi wektorami przestrzeni wektorowej V . Czy
wówczas
(a) co najmniej jeden z nich jest kombinacj¡ liniow¡ pozostaªych? (b) ka»dy z nich jest kombinacj¡ liniow¡ pozostaªych?
21. V - przestrze« liniowa, x ∈ V . Kiedy {x} jest liniowo zale»ny?
22. Niech A b¦dzie liniowo niezale»nym podzbiorem przestrzeni liniowej V . Czy istnieje liniowo zale»ny zbiór B b¦d¡cy podzbiorem A?
23. Wypisz kilka wektorów nale»¡cych do powªoki liniowej: (a) lin({[1, 2]}) ⊂ R2
(b) lin({[1, 2, 3]}) ⊂ R3
(c) lin({[1, 2], [1, 0]}) ⊂ R2
(d) lin({[1, 2, 3], [1, 0, 0]}) ⊂ R3
(e) lin({x2, 2x − 1}) ⊂ R[x]
24. Wektory [x1, x2] ∈ R2, (odp. [x1, x2, x3] ∈ R3)traktujemy w naturalny sposób jako punkty
w prostok¡tnym ukªadzie wspoªrz¦dnych. Przedstaw gra cznie nast¦puj¡ce powªoki linio-we:
(a) A = lin({[1, 0]}) (b) B = lin({[1, 1]})
(c) C = lin({[1, 0], [1, 1]}) (d) D = lin({[1, 0], [1, 1], [2, 1]}) (e) E = lin({[1, 0, 0], [2, 0, 0]}) (f) F = lin({[1, 0, 0], [0, 2, 0]}) (g) G = lin({[7, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 4]})
25. Rozwa»my podprzestrze« przestrzeni R3 generowan¡ przez wektory [1, 0, 0], [1, 2, 4].
(a) jak wygl¡da jej wykres?
(b) podaj dwa przykªady punktów z przestrzeni R3 odpowiadaj¡cych wektorom liniowo
zale»nym z wektorami [1, 0, 0], [1, 2, 4] oraz dwa przykªady punktów odpowiadaj¡cych wek-torom liniowo niezale»nym z wektorami [1, 0, 0], [1, 2, 4] (wykorzystaj do tego wykres). 26. Korzystaj¡c z powy»szych zada« sprawd¹, jakie obiekty geometryczne odpowiadaj¡
pow-ªokom liniowym w R2 (odp. w R3).
27. Niech U b¦dzie podprzestrzeni¡ pewnej przestrzeni wektorowej V . Wyka», »e je»eli wektory v1, v2, ..., vn nale»¡ do podprzestrzeni U, to lin({v1, v2, ..., vn}) ⊂ U.
28. Czy przestrzenie U i V s¡ równe je»eli
(a) U = lin({[2, 2, 1], [4, 4, 2]}), V = lin({[2, 2, 1]})
(b) U = lin({[2, 0, 1], [0, 3, 0], [4, 0, 2]}), V = R3 (c) U = lin({[2, 0, 1], [0, 3, 0], [4, 0, 0]}), V = R3
(d) U = lin({2, x + 3}), V = R[x]1
(e) U = lin({x2+ 1, x, 3x + 1}), V = lin({x2+ 1, x})
(f) U = lin({3x − 1, 3x + 1}), V = lin({x, 2 + x})
(g) U = lin({x2+ 1, 2x + 2}), V = {ax2+ bx + c : c = a + b}
(h) U = lin({[2, 3, 0], [4, 0, 0]}) ∩ {[a, b, c] : a = 2b ∧ c = 0}, V = lin({[2, 0, 0], [0, 1, 0]}) (i) {ax3+ bx2+ cx + d : 2a + b = c} ∩ {ax2+ bx + c : a = c}, V = lin({3x2+ 3x + 3})
4 30. V jest przestrzeni¡ wektorow¡, x1, x2 ∈ V, x1 6= Θ, x2 6= Θ. Podaj (a nast¦pnie uzasadnij)
warunek konieczny i dostateczny na to, aby lin({x1}) = lin({x2}).
31. Podaj przykªad niezerowej przestrzeni W takiej, »e dla ka»dego x, y ∈ W \{Θ} mamy równo±¢
lin({x}) = lin({y}).
32. Niech x, y, z ∈ V , gdzie V jest przestrzeni¡ wektorow¡. Czy prawd¡ jest, »e lin({x, y, z}) = lin({x, y}) ∪ lin({z}) ?
33. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniowa nad R oraz x1, x2, x3, y ∈ V. Uzasadnij, »e
(a) je»eli lin({x1, x2, x3, y}) = lin({x1, x2, x3}), to y ∈ lin({x1, x2, x3})
(b) je»eli y ∈ lin({x1, x2, x3}), to lin({x1, x2, x3, y}) = lin({x1, x2, x3})
(c) je»eli x1+ x2+ x3= Θ, to lin({x1, x2}) = lin({x2, x3})
34. Niech x1, x2, x3, x4∈ V speªniaj¡ warunek x1+ x2+ x3+ x4 = Θ. Sprawd¹ czy
lin({x1, x2}) = lin({x3, x4}).
35. Niech x1, x2, ..., xn, y b¦d¡ wektorami przestrzeni V. Czy wówczas
(a) je»eli y ∈ lin({x1, x2, ..., xn}), to wektory x1, x2, ..., xn, y s¡ liniowo zale»ne?
(b) je»eli y /∈ lin({x1, x2, ..., xn}), to wektory x1, x2, ..., xn, y s¡ liniowo niezale»ne?
(c) je»eli y, x1, x2, ..., xn s¡ liniowo zale»ne, to y ∈ lin({x1, x2, ..., xn})?
(d) je»eli x1, x2, ..., xn s¡ liniowo niezale»ne i y /∈ lin({x1, x2, ..., xn}), to y, x1, x2, ..., xn s¡
liniowo niezale»ne?
(e) je»eli x1, x2, ..., xns¡ liniowo niezale»ne i lin({x1, x2, ..., xn}) 6= V, to istnieje taki y ∈ V ,
»e y, x1, x2, ..., xn s¡ liniowo niezale»ne?
36. Podaj przykªad przestrzeni liniowej, która ma dokªadnie dwie podprzestrzenie.
37. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ nad R i niech x1, x2, ..., xn ∈ V, (n > 2). Czy
z tego, »e wektory
y1= x1, y2 = 2x2+ x1, y3= 3x3+ x2+ x1, ... , yn= nxn+ xn−1+ ... + x1
s¡ liniowo niezale»ne wynika, »e wektory x1, x2, ..., xn s¡ liniowo niezale»ne?
38. Dane s¡ wektory x1, x2, ..., xn przestrzeni wektorowej V takie, »e
lin({x1, x2, ..., xn}) = lin({x1, x2, ..., xn−1}).
Czy wówczas
(a) {x1, x2, ..., xn} jest liniowo zale»ny?
(b) {x1, x2, ..., xn−1}jest liniowo niezale»ny?
39. Niech A ⊂ B, gdzie B ⊂ V i V jest przestrzeni¡ liniow¡ nad K. Czy wówczas: (a) je»eli zbiór B jest liniowo zale»ny, to zbiór A jest liniowo zale»ny?
