I Logistyka wykład 2 - całka podwójna

(1)

Całka podwójna

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D ciąg sum całkowych

 

Sn

jest zbliżony do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów Pi, to

granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f x y

 

, w obszarze

D

i oznaczamy symbolem





f x y d D , 



_lub f x y dxdy

 

D , ,



czyli

 





f x y d f x y D n i i i i n n ,  lim ,  







 0 1 

(2)

(3)

Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną

Obszar domknięty Dx opisany nierównościami

a x b

 

, 

 

x  y 

 

x , gdzie

 , _{są funkcjami ciągłymi w przedziale} a b, _{nazywamy obszarem normalnym}

względem osi 0X. Analogicznie obszar domknięty Dy opisany nierównościami c  y d _, 

 

y  x 

 

y _{, gdzie}  , _{są funkcjami ciągłymi w przedziale} c d,

nazywamy obszarem normalnym względem osi 0Y. Jeżeli f x y

 

, jest funkcją ciągłą w obszarze Dx,

 

Dy , to

 

   

f x y dxdy

f x y dy dx

D x x a b x

,





















 

 

   

f x y dxdy

f x y dx dy

D x x c d y

,





















 

(4)

Zamiana zmiennych w całce podwójnej

Niech funkcje x  



u v y, ,



 



u v, , ,



 C1







_{określają wzajemnie jednoznacznie}

odwzorowanie  wnętrza obszaru regularnego  _{na wnętrze obszaru regularnego}

D_. Wyznacznik funkcyjny:

 

_{ }

J u v D x y D u v u v u v , , ,          

nazywamy jakobianem odwzorowania  .

Niech J u v

 

,  0 w obszarze  (wówczas



jest w tym obszarze wzajemnie jednoznaczne). Zakładamy ponadto, że funkcja f x y

 

, jest ciągła i ograniczona w obszarze regularnym D.

(5)







   



 

f x y dxdy f u v u v J u v dudv D , , , , ,







   Całka potrójna





f x y z dV V , ,



lub f x y z dxdydz





V , ,



Przestrzenny obszar domknięty V x określony nierównościami

a   , x b 

 

x  y 

 

x _,

 

x y,  z 

 

x y,

gdzie  , _{są funkcjami ciągłymi dla} x  ,a b _oraz  , _{są funkcjami ciągłymi w}

obszarze D opisanym dwiema pierwszymi nierównościami, nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.

Analogicznie określamy obszary normalne względem płaszczyzn 0XZ, 0YZ. Jeżeli funkcja u f x y z



, ,



_{jest ciągła w obszarze}V_x _{, to}

(6)









        f x y z dxdydz f x y z dz dy dx x y x y x x a b V_x , , , , , ,                 





   

Całka krzywoliniowa nieskierowana

Niech funkcja z  f x y

 

, będzie określona na krzywej regularnej

 

: x   t y,   t t,   , _{. Przedział}  , _{dzielimy na n podprzedziałów} t_i_1, t_i



i  1 2, , ..., n



_{. Wówczas długość}s_i_{i-tego łuku częściowego krzywej}_

 

 

 

s_i t t dt t t i i    



 2  2 1 '

Wybieramy punkty pośrednie i  ti1, ti oraz tworzymy sumę n :





_n _i _i _i i n f x y s  



,  1 , gdzie

 

x_i   _i , y_i   _i

(7)

Jeżeli ciąg  _n jest zbieżny do tej samej granicy, dla każdego ciągu podziałów krzywej

 _{, niezależnie od wyboru punktów}_i _{, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową}

nieskierowaną (pierwszego rodzaju) po krzywej  i oznaczamy symbolem f x y ds

 

,





tzn.





 

lim

,

n n n i i i i n

f x y

s

f x y ds

  













 1

Związek między całką krzywoliniową a całką oznaczoną 1. Jeżeli funkcja z  f x y

 

, jest ciągła na krzywej regularnej

 

: x   t y,   t t,   , ,_wówczas

 



   



 

 

 

 

f x y ds, f t , t t ' t dt 







       2 2

(8)

2. Jeżeli funkcja z  f x y



,



jest ciągła na krzywej

   





: y  g x g x, C a b1 , ,_wówczas

 



 





 



f x y ds f x g x g x dx a b , , 







 1  2

Całki krzywoliniowe skierowane

Zakładamy, że dany jest otwarty łuk zwykły skierowany L o przedstawieniu parametrycznym x  

 

t , y  

 

t _,t   , _{zgodnym z kierunkiem tego łuku. Ponadto}

dane są funkcje P x y

 

, , Q x y

 

, określone w każdym punkcie łuku L. Analogicznie jak całkę oznaczoną definiujemy całkę krzywoliniową skierowaną pary funkcji

   

(9)

 

P x y dx Q x y dy

L

,  ,



Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną.

Jeżeli funkcje P x y



,



_i Q x y



,



_{są ciągłe na łuku L spełniającym podane założenia,}

wówczas całka krzywoliniowa istnieje oraz

 

_





   



 



   



 





 



















Q

x

y

dy

P

t

Q

t

dt

dx

y

x

P

L

,

Całkę krzywoliniową po krzywej zamkniętej Jordana  skierowanej dodatnio (ujemnie) względem swego wnętrza oznaczamy (odpowiednio)