SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 13, 2013-05-27
Całka krzywoliniowa
Miara na hiperpowierzchni gładkiej 1-wymiarowej na płaszczyźnie :R2 lub w przestrzeni :R3 . Definicja krzywej gładkiej
Dana jest funkcja ~r :< a, b >→ R3 , ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) klasy C1 , różnowartościowa taka, że (~r)0 6= 0. Wtedy obraz przedziału < a, b > : K = ~r(< a, b >) nazywamy krzywą gładką, a funkcję ~r jej parametryzacją. Punkty ~r(a) i ~r(b) nazywamy końcami krzywej , lub jeden z nich początkiem a drugi końcem krzywej.
Uwaga 1: Jeśli funkcja ~r jest tylko ciągła to zbiór K nazywawmy krzywą.
Uwaga 2: Ta sama krzywa (zbiór) posiada nieskończenie wiele parametryzacji.
Definicja krzywej kawałkami gładkiej
Krzywą kawałkami gładką nazywamy zbiór w R3 dający się podzielić na skończoną liczbę krzywych gładkich, takich, że koniec poprzedniej krzywej gładkiej jest początkiem następnej i ponadto krzywe te nie mają więcej wspólnych punktów. Jeśli koniec ostatniej krzywj gładkiej pokrywa się z poczatkiem pierwszej to taką krzywą nazywamy krzywą kawałkami gładką zamkniętą.
Długość krzywej
Niech dana będzie krzywa K ⊂ R3 i jej parametryzacja ~r :< a, b >→ R3. 1. Ustalamy liczbę naturalną n ∈ N .
2. Dzielimy przedział < a, b > na n części (niekoniecznie równych): a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b . Niech δn= max
i=0,...n(ti+1− ti)
3. Obliczamy długość łamanej łaczącej punkty P (ti) , i = 0, 1, 2, . . . n : ln = n−1P
i=0
PiPi+1 . Łamana ta jest wpisana w krzywą K.
4. Tworzymy ciąg podziałow taki, że lim
n→∞δn = 0 5. Obliczamy granicę lim
n→∞ln . Jeżeli granica ta istnieje i nie zależy od wyboru ciągu podziałów to nazywamy ją miarą (długością) krzywej i oznaczamy l lub m(K)
Uwaga 1: Długość krzywej nie zależy od jej parametryzacji.
Uwaga 2: Znane ze szkoły wzory na długości krzywych są zgodne z tą definicją.
Jeśli krzywa jest gładka to długość małego kwałka krzywej dl będacego obrazem przedziału < t, t+ dt >
jest w przybliżeniu równa długości odcinka:
dl = |(~r)0| dt =qx0(t)2+ y0(t)2+ z0(t)2dt oraz:
Twierdzenie
Miara krzywej gładkiej (jej długość) istnieje i jest równa:
m(K) =
b
Z
a
|(~r)0| dt =
b
Z
a
q
x0(t)2+ y0(t)2+ z0(t)2dt
Uwaga 1: Analogicznie wprowadzamy miarę krzywej w R2 : m(K) =
b
Z
a
|(~r)0| dt =
b
Z
a
q
x0(t)2+ y0(t)2dt
Uwaga 2: Wprowadzamy miarę krzywych kawałkami gładkich jako sumę miar krzywych gładkich tworzących krzywą kawałkami gładką.
Uwaga 3: W mechanice parametr t jest czasem, ~r wektorem wodzącym poruszającego się punktu ,
|(~r)0| jego prędkością a długość krzywej przebytą drogą.
Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej
Niech dana będzie krzywa K oraz funkcja f : K → R . Przprowadzamy kostrukcję podobną do konstrukcji długości krzywej. Z każdego przedziału < ti, ti+1 > wybieramy liczbę ξi ∈< ti, ti+1 > , i = 0, 1, . . . n − 1 Definiujemy sumę Riemanna:
Sn=n−1P
i=0
f (~r(ξi))PiPi+1 Jeżeli granica lim
n→∞Sn istnieje i nie zależy od wyboru ciągu podziałów oraz punktów ξi to nazywamy ją całką krzywoliniową po krzywej K z funkcji f i oznaczamy
Z
K
f (x, y, z) ds Własności całki krzywoliniowej nieskierowanej
1. Jeśli krzywą K podzielimy na dwie krzywe K1 i K2 to:
Z
K
f ds =
Z
K1
f ds +
Z
K2
f ds , całka lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją całki z prawej strony
2.
Z
K
f1+ f2ds =
Z
K
f1ds +
Z
K
f2ds , jeśli istnieją całki z prawej strony to isnieje całka z lewej strony 3.
Z
K
af ds = a
Z
K
f ds dla a ∈ R Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest ciągła, a krzywa K jest gładka to całka krzywoliniowa z f po K istnieje i jest równa:
Z
K
f (x, y, z) ds =
b
Z
a
f (~r)|(~r)0| dt =
b
Z
a
f (x, y, z)q(x0)2+ (y0)2+ (z0)2dt
Przykład : Oblicz całkę krzywoliniową
Z
K
x ds , gdzie krzywa K : x = t , y =√
3 t2 , z = √
3 t − 1 , t ∈< 0, 1 >
Obliczamy:
x0 = 1 , y0 = 2√
3 t , z0 =√ 3
Z
K
x ds =
1
Z
0
t
r
12+ (2√
3 t)2+√
32dt =
1
Z
0
t√
4 + 12t2dt =
16
Z
4
1 24
√u du = 1 24
2 3u32
16 4
= 14 9 W powyższej całce stosujemy podstawienie u = 4 + 12t2 , du = 24 dt
Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej Zakładamy, że krzywa K ⊂ R3 jest kawałkami gładka.
Długość krzywej
Długość krzywej jest równa:
l =
Z
K
1 ds Masa krzywej
Niech dana będzie ciągła funkcja ρ : K → R - gęstość krzywej. Wtedy masa małego odcinka krzywej ds jest równa dm = ρ ds, masa m krzywej K jest równa:
m =
Z
K
ρ ds
Przykład Znajdź masę części jednorodnej cykloidy:
x = t − sin t , y = 1 − cos t , t ∈< 0, 4π >.
Oznaczmy ρ - gęstość krzzywej. Wtedy jej masa jest równa:
m =
Z
K
ρ ds = ρ
Z
K
ds = ρ
4π
Z
0
q
(1 − cos t)2+ (sin t)2dt = ρ
4π
Z
0
√2 − 2 cos t dt = ρ
4π
Z
0
s
4 sin2 t 2dt = ρ
4π
Z
0
2
sint
2
dt
Funkcja sin2t jest 0 w przedziale < 0, 2π > i ¬ 0 w przedziale < 2π, 4π > Widać, że w punktach przesuniętych o 2π wartości funkcji podcałkowej są takie same. Stąd:
m = 4ρ
2π
Z
0
sint
2dt = 4ρ
−2 cos t 2
2π 0
= 16ρ Moment statyczny krzywej
Niech dana będzie gęstość ρ : K → R . Wtedy mmoment statyczny małego odcinka krzywej względem płaszczyzny xy jest równy: dmxy = ρz ds , a moment statyczny krzywej K jest równy:
względem płaszczyzny xy : mxy =
Z
K
zρ ds względem płaszczyzny yz : myz =
Z
K
xρ ds względem płaszczyzny xz : mxz =
Z
K
yρ ds Środek ciężkości krzywej
Współrzędnę środka cięzkości (xC, yC, zC) są równe:
xC = myz
m =
Z
K
xρ ds
Z
K
ρ ds
yC = mxz
m =
Z
K
yρ ds
Z
K
ρ ds
zC = mxy
m =
Z
K
zρ ds
Z
K
ρ ds
Moment bezwładności krzywej
Moment bezwładności małego odcinka krzywej względem np. osi Ox jest równy: dIx = ρ(y2+ z2) ds , a moment bezwładności krzywej K jest równy:
Względem osi Ox : Ix =
Z
K
(y2 + z2)ρ ds Względem osi Oy : Iy =
Z
K
(x2+ z2)ρ ds Względem osi Oz : Iz =
Z
K
(x2+ y2)ρ ds Względem punktu O(0, 0, 0) : IO =
Z
K
(x2+ y2+ z2)ρ ds
Przykład Oblicz moment bezwładności względem osi x jednorodnej linii śrubowej:
x = cos t , y = sin t , z = t , t ∈< 0, 2π >.
Ix =
Z
K
(y2+ z2)ρ ds = ρ
Z
K
(y2+ z2) ds = ρ
2π
Z
0
(sin2t + t2)q(− sin t)2+ (cos t)2+ 12dt =
ρ
2π
Z
0
(sin2t + t2)√
2 dt = ρ√ 2
2π
Z
0
1 − cos 2t 2 + t2
dt = ρ√ 2
1
2t − sin 2t 4 +1
3t3
2π 0
= ρ√
2(π +8π3 3 ) Całka krzywoliniowa skierowana
Orientacja krzywej
Niech dana będzie krzywa K i jej parametryzacja ~r :< a, b >→ R3 . Na krzywej tej wprowadzamy orientację (kierunek). Niech A = ~r(a) , A = ~r(b) . Są dwie możliwe orientacje krzywej (dwa kierunki):
1. Początek w punkcie A , koniec w punkcie B . Dla tej orientacji mówimy , że t zmienia się od a do b 2. Początek w punkcie B , koniec w punkcie A . Dla tej orientacji mówimy , że t zmienia się od b do a . Definicja całki krzywoliniowej skierowanej
Niech dana będzie krzywa gładka zorientowna K , jej parametryzacja ~r(t) , gdzie t zmienia się od a do b. Niech ~F : K → R3 , ~F = (P, Q, R będzie funkcją ciągłą (polem wektorowym).Wtedy całką krzywoliniwoą skierowaną po krzywej skierowanej K z funkcji ~F nazywamy:
Z
K
F · (~~ r)0
|(~r)0| ds , gdy b > a ,
−
Z
K
F · (~~ r)0
|(~r)0| ds , gdy b < a
Całkę krzywoliniową skierowaną oznaczamy:
Z
K
P dx + Q dy + R dz =
Z
K
F d~~ r =
Z
K
F cos α ds =
Z
K
F · ~~ s ds
Uwaga 1: W liczniku funkcji podcałkowej jest iloczyn skalarny wektorów, w mianowniku długość wektora, a całka jest całką krzywoliniową nieskierowaną.
Uwaga 2: W oznaczeniach całki skierowanej wektor vecs oznacza wektor styczny do krzywej, zgodny z orinetacją o długości 1 czyli: ~s = ± (~r)0
|(~r)0| , kąt α jest kątem pomiedzy wektorem stycznym ~s i wektorowym ~F .
Uwaga 3: Definicję łatwo rozszerzamy na krzywe kawałkami gładkie i kawałkami gładkie zamknięte.
Należy uważać przy tym, aby orientacje części na jakie dzielimy krzywą były ze sobą zgodne.
Uwaga 4: Całka krzywoliniowa skierowana nie zależy od paramteyzacji krzywej K . Uwaga 5: Stosuje się też oznaczenie
B
Z
A
P dx + Q dy + R dz podkreślające oreintację krzywej. Onzacznie takie wymaga jedna uzupełnienia informacją o krzywej. W przypadku krzyej zamkniętej używa się oznaczenia:
I
K
P dx + Q dy + R dz
Twierdzenie: Całka krzywoliniowa skierowana po gładkiej krzywej skierownaej K , z ciągłej funkcji (P, Q, R) jest równa:
Z
K
P dx + Q dy + R dz =
b
Z
a
(P · x0+ Q · y0+ R · z0) dt
Uwaga : W zalezności od parametryzacji krzywej i jej orientacji może być b > a lub b < a.
Przykład : Oblicz całkę
Z
K
z dx + z dy + x dz , gdzie krzywa K : jest fragmentem krzywej skierowanej x = t2 , y = t + 1 , z = 2t od punktu A(1, 2, 2) do punktu B(0, 1, 0)
Punkt A odpowiada wartości t = 1 , a punkt B , t = 0 Stąd:
Z
K
z dx + z dy + x dz =
Z0
1
2t · 2t + 2t · 1 + t2· 2 dt =
Z0
1
6t2+ 2t dt = h2t3− t2i0
1 = −1 Własności całki krzywoliniowej skierowanej
1. Zmiana orientacji krzywej zmieniea znak całki:
ZB
A
F d~~ r = −
ZA
B
F d~~ r (obie całki sa po tej samej krzywej, przeciwne orientacje)
2. Jeśli krzywą zorientowaną K podzielimy na dwie krzywe zorientowane K1 i K2 o tej samej orientacji to:
Z
K
F d~~ r =
Z
K1
F d~~ r +
Z
K2
F d~~ r
3.
Z
K
( ~F1+ ~F2) d~r =
Z
K
F~1d~r +
Z
K
F~2d~r
4.
Z
K
a ~F d~r = a
Z
K
F d~~ r , dla a ∈ R
Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej
Jeśli ~F jest siłą działająca na ciała , a K drogą przebytą przez to ciało to praca wykonana przy przesunięciu tego ciała jest równa:
W =
Z
K
F d~~ r
Przykład : Oblicz pracę wykonaną przy przesunięciu ciała wzdłuż drogi: x = cos t , y = sin t , z = t od punktu A(1, 0, 0) do punktu B(1, 0, 2π) jeżeli siła w punkcie (x, y, z) jest równa: ~F (x, y, z) = (−y, x, 1) Praca jest równa: W =
Z
K
−y dx + x dy + dz Punkt A odpowiada t = 0 , punkt B : t = 2π W =
2π
Z
0
(− sin t(− sin t) + cos t · cos t + 1) dt =
2π
Z
0
2 dt = [2t]2π0 = 4π
Wzór Greena
Niech dany będzie na płaszczyżnie R2 zbiór domknięty i ograniczony D , którego brzeg K jest krzywą kawałkami gładką zamkniętą. Krzywą tę orientujemy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (zbiór D leży po lewej stronie krzywej, jeśli poruszamy się po niej zgodnie z orientacją). Taką orientację nazywamy dodatnią. Niech dane będzie też pole wektorowe : ~F : D → R2 klasy C1 , ~F = (P, Q) . Wtedy zachodzi następująca równość (wzór Greena):
Z Z
D
∂Q
∂x − ∂P
∂y
!
dx dy =
I
K
P dx + Q dy
Przykład: Sprawdź wzór Greena dla zbioru D ograniczonego krzywymi: y = x2 , y = 1 i dla pola F = (x − y, x)~
Mamy P = x − y , Q = x
Obliczamy całkę z lewej strony:
L =
Z Z
D
∂Q
∂x − ∂P
∂y
!
dx dy =
Z Z
D
(1 − (−1)) dx dy =
Z Z
D
2 dx dy Obszar D : x ∈< −1, 1 > , y ∈< x2, 1 >
L =
1
Z
−1
1
Z
x2
2 dy
dx =
1
Z
−1
[2y]1x2 dx =
1
Z
−1
(2 − 2x2) dx == 4
1
Z
0
(1 − x2) dx = 4
x − 1 3x3
1 0
= 8 3 Zauważamy, że funkcja podcałkowa jest parzysta, a przedział całkowania symetryczny.
Obliczamy całkę z prawej strony:
Krzywą K będącą brzegiem obszaru dzielimy na dwie części.
K1 : x = t , y = t2 , t zmienia się od −1 do 1
Z
K1
(x − y) dx + x dy =
1
Z
−1
((t − t2) · 1 + t · 2t) dt =
1
Z
−1
(t + t2) dt =
1 2t2+1
3t3
1
−1
= 2 3 K2 : x = t , y = 1 , t zmienia się od 1 do −1
Z
K2
(x − y) dx + x dy =
−1
Z
1
((t − 1) · 1 + 1 · 0) dt =
−1
Z
1
(t − 1) dt =
1 2t2− t
−1 1
= 2 Całka z prawej strony jest więc równa:
P =
Z
K
(x − y) dx + x dy =
Z
K1
(x − y) dx + x dy +
Z
K2
(x − y) dx + x dy = 2
3 + 2 = 8 3 Widać, że całka z lewej strony jest równa całce z rawej strony: L = P
Zastosowanie wzoru Greena do obliczania pól figur płaskich
Aby obliczyć pole figury płaskiej wybieramy we wzorze Greena takie pole wektorowe (P, Q) aby wyra- żenie w całce powdójnej było stałe. Njczęściej wybiera się (P, Q) = (−y, x) . Wtedy:
Z Z
D
2 dx dy =
I
K
−y dx + x dy
Całka z lewej strony jest równa 2|D| (pole figury pomnożone przez 2. Stąd:
|D| = 12
I
K
−y dx + x dy
Przykład : Oblicz pole figury ograniczonej krzywą x23 + y23 = 1 Pole figury jest równe
P = 12
I
K
−y dx + x dy
Parametryzujemy brzeg figury K : x = cos3t , y = sin3t , t zmienia się od 0 do 2π . Jest to parame- tryzacja dodatnia.
P = 12
2π
Z
0
(− sin3t · 3 cos2t(− sin t) + cos3t · 3 sin2t cos t) dt = 3 2
2π
Z
0
sin2t cos2t dt = 3 2
2π
Z
0
sin2(2t) 4 dt = 3
2
Z2π
0
1 − cos(4t)
8 dt = 3
16
t − sin 4t 4
2π 0
= 3π 8
