SIMR Analiza 2, zadania: Całka podwójna, zmiana zmiennych
1. Podzielić zbiór A na sumę obszarów normalnych, których miara części wspólnej jest równa zero. Zapisać te obszary w postaci normalnej:
(a) A : y x2 , y ¬ 9
(b) A : y x , y ¬ 2x , y 3x − 4 (c) A : x2 + y2 ¬ 4 , y ¬ x
(d) A : x42 + y2 ¬ 1 , 2y ¬ x2
(e) A : x2 − y2 1 , y x − 2 , x 0
(f) A ograniczony krzywymi: y = x2 , y = 2 + x , y = 2 − x , punkt P (0, 1) ∈ A
(g) A ograniczony krzywymi: y = 0 , y = 3 + x , y = 3 − 2x (h) A ograniczony krzywymi: xy = 4 , y = 3 + x
2. Znaleźć pole powierzchni (miarę Jordana) zbioru A (a) A : y x2 , y ¬ x
(b) A : y x , y ¬ 2x , y ¬ −x + 6 (c) A : xy ¬ 4 , y ¬ x , y 1
(d) A ograniczony krzywymi: y = x2 , y = 2 + x , y = 2 − x , punkt P (0, 1) ∈ A
(e) A ograniczony krzywymi: y = 0 , y = 3 + x , y = 3 − 2x (f) A ograniczony krzywymi: xy = 4 , y = 3 + x
3. Obliczyć ZZ
A
f (x, y)dxdy , gdzie zbiór A jest ograniczony danymi krzywymi:
(a) f (x, y) = xy , A: xy = 1 ; x + y = 5 2
(b) f (x, y) = x + y , A: y = x ; y = 2x ; y = 3 − x (c) f (x, y) = 2x − y , A: x = y2 ; x = 2y2 ; x = 1 (d) f (x, y) = 2 + x , A: y = x ; y = 5 − x ; xy = 4
(e) f (x, y) = y − x , A: 4y = x2 ; x = 2y2; 4y − 3x + 2 = 0 (f) f (x, y) = q|y − x2| , A: x = −1 ; x = 1 ; y = 0 ; y = 2 (g) f (x, y) = x + y , A: y2 = 2x ; x + y = 4 ; x + y = 12 4. Używając zmiennych biegunowych obliczyć
ZZ
A
f (x, y)dxdy , gdzie zbiór A jest ograniczony danymi krzywymi:
(a) f (x, y) = 4y , A: x2 + y2 = 1; y = x (b) f (x, y) =√
1 − x2 − y2 , A: x2 + y2 = 1; y = 0 (c) f (x, y) = √
1 − x2 − y2 ; A : x2 + y2 = 9 (d) f (x, y) = y
x ; A : x2 + y2 = 9 ; y = x
√3 ; y = x√ 3 (e) f (x, y) = √
xy ; A : (x2 + y2)4 = xy (f) f (x, y) = √
x2 + y2 ; A : x2 + y2 = 2 ; y = 1 (g) f (x, y) =
v u u
t1 − x2 4 − y2
9 ; A : x2 4 + y2
9 = 1
