Paska geometria analityczna (pdf),

1

Płaska geometria analityczna

1.1

Wektory na płaszczyźnie

Współrzędne wektora swobodnego na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych określamy następująco. Jeśli punkt A ma współrzędne (x1, y1), a

punkt B ma współrzędne (x2, y2), to wektor

−→

AB ma współrzędne

[x2− x1, y2− y1].

Jeśli punkt A ma współrzędne (x0, y0), to wektor

−→

OA ma też współrzędne [x0, y0],

gdzie O to początek układu o współrzędnych (0, 0).

Dodawanie wektorów określamy następująco. Jeśli wektor ~v ma współrzędne

[x1, y1], a wektor ~w ma współrzędne [x2, y2], to wektor ~v + ~w ma współrzędne

[x1+ x2, y1+ y2].

Jeśli wektor ~v ma współrzędne [x0, y0], to dla dowolnej liczby c ∈ R wektor c · ~v ma

współrzędne [cx0, cy0].

Dowolny wektor ~v = [x, y] można przedstawić w postaci

~v = [x, y] = [x, 0] + [y, 0] = x · [1, 0] + y · [0, 1] = x · ~e1+ y · ~e2,

gdzie ~e1 = [1, 0], ~e2 = [0, 1].

Wektor zerowy ~0 ma współrzędne [0, 0]. Dla dowolnego wektora ~v o

współrzęd-nych [x0, y0] wektor przeciwny −~v ma współrzędne [−x0, −y0].

Długość wektora ~v o współrzędnych [x0, y0] wyraża się wzorem

|~v| =qx2 0+ y20.

Wektory ~v, ~w są równoległe dokładnie wtedy, gdy ~v = c · ~w dla pewnej liczby c ∈ R lub ~w = c0· ~v dla pewnej liczby c0

∈ R. Niezerowe wektory ~v, ~w są równoległe

dokładnie wtedy, gdy ~v = c · ~_{w dla pewnego c ∈ R.}

Iloczyn skalarny niezerowych wektorów ~v, ~w określamy wzorem ~v ◦ ~w = |~v| · | ~w| · cos_{(~v, ~}w),

gdzie przez_{(~v, ~}w) oznaczamy kąt między wektorami ~v i ~w. Iloczyn skalarny

dowol-nego wektora ~v i wektora zerowego ~0 z definicji jest równy 0: ~v ◦ ~0 = ~0 ◦ ~v = 0.

Twierdzenie 1. Dla dowolnych wektorów ~u, ~v, ~_{w oraz c ∈ R zachodzą następujące} zależności:

(a) ~v ◦ ~v = |~v|2,

1 PŁASKA GEOMETRIA ANALITYCZNA 2

(b) ~v ◦ ~w = 0 ⇔ ~v ⊥ ~w,

(c) ~v ◦ ~w = ~w ◦ ~v,

(d) (~u + ~v) ◦ ~w = ~u ◦ ~w + ~v ◦ ~w,

(e) (c · ~v) ◦ ~w = c · (~v ◦ ~w).

W układzie współrzędnych dla wektorów ~v = [x1, y1] i ~w = [x2, y2] iloczyn

ska-larny możemy wyliczyć korzystając z powyższych własności:

~v ◦ ~w = (x1· ~e1+ y1· ~e2) ◦ (x2· ~e1+ y2· ~e2) = x1y1· ( ~e1◦ ~e1) + x1y2· ( ~e1◦ ~e2)+

+x2y1· ( ~e2◦ ~e1) + x2y2· ( ~e2◦ ~e2) = x1y1· | ~e1|2+ x2y2· | ~e2|2 = x1y1+ x2y2.

1.2

Proste na płaszczyźnie

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie każda prosta nierów-noległa do osi Oy jest wykresem pewnej funkcji liniowej, więc jest zbiorem punktów (x, y) spełniających równanie

y = ax + b,

gdzie a, b ∈ R. Możemy to równanie zapisać w postaci ax + (−1)y + b = 0. Pozostają proste równoległe do osi Oy, czyli proste o równaniach postaci

x = c,

gdzie c ∈ R. Takie równanie możemy zapisać w postaci x + 0 · y + (−c) = 0.

Możliwość jednolitego ujęcia obu powyższych przypadków daje równanie ogólne prostej:

Ax + By + C = 0,

gdzie A, B, C ∈ R, przy czym A i B nie są jednocześnie równe zeru, tzn. (A, B) 6= (0, 0).

Zauważmy, że wektor v = [A, B] jest niezerowym wektorem prostopadłym do prostej o równaniu Ax + By + C = 0.

Prosta przechodząca przez punkt (x0, y0) ma równanie postaci A(x − x0) + B(y −

y0) = 0 dla pewnych A, B ∈ R, takich że (A, B) 6= (0, 0).

Odległość punktu M o współrzędnych (x0, y0) od prostej Ax+By+C = 0 wyraża

się wzorem

|Ax0+ By0+ C|

√

A2_{+ B}2 .

Jeśli dany jest punkt P o współrzędnych (x0, y0) i wektor ~v o współrzędnych

[a, b], to prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do wektora ~v jest określona

równaniami parametrycznymi

(

x = x0+ at

y = y0+ bt,

1 PŁASKA GEOMETRIA ANALITYCZNA 3

1.3

Krzywe stożkowe

Definicja. Okręgiem o środku O i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów

płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r. Okrąg o środku (x0, y0) i promieniu r ma równanie

(x − x0)2+ (y − y0)2 = r2.

Definicja. Elipsą o ogniskach F1, F2 i półosi wielkiej a > 0 nazywamy zbiór

punktów płaszczyzny, których suma odległości od punktów F1 i F2 jest równa 2a.

Elipsa o ogniskach F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) i półosi wielkiej a przedstawia się

równaniem x2 a2 + y2 b2 = 1, gdzie a2 _{= b}2_+c2_{. Liczbę e =} c

a nazywamy mimośrodem elipsy. Mimośrod elipsy leży

w przedziale (0, 1). Proste o równaniach x = −a_e i x = a_e nazywamy kierownicami. Każda z kierownic ma tę własność, że dla punktów na elipsie stosunek odległości od ogniska do odległości od kierownicy jest stały, równy mimośrodowi.

Definicja. Hiperbolą o ogniskach F1, F2 i półosi wielkiej a > 0 nazywamy zbiór

punktów płaszczyzny, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od punk-tów F1 i F2 jest równa 2a.

Hiperbola o ogniskach F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) i półosi wielkiej a przedstawia

się równaniem

x2

a2 −

y2

b2 = 1,

gdzie a2_{+ b}2 _{= c}2_{. Podobnie jak dla elipsy, liczbę e =} c

a nazywamy mimośrodem.

Mimośrod hiperboli leży w przedziale (1, +∞). Kierownice hiperboli również mają równania x = −a_e i x = a_e, a także własność opisaną powyżej.

Definicja. Parabolą o ognisku F i kierownicy k nazywamy zbiór punktów

płasz-czyzny, dla których odległość od ogniska jest równa odległości od kierownicy. Parabola o ognisku F = (p₂, 0) i kierownicy o równaniu x = −p₂ przedstawia się równaniem

y2 = 2px. Mimośrod paraboli e = 1.