Index of /rozprawy2/10321

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Matematyki Stosowanej Katedra Matematyki Finansowej. Rozprawa doktorska. Problem inwestora na rynku obligacji Daniel Synowiec. Promotor: dr hab. Szymon Peszat. Kraków 2010.

(2) Składam serdeczne podziękowania Panu dr hab. Szymonowi Peszatowi za opiekę naukową oraz szereg cennych uwag dotyczących mojej pracy.

(3) Spis treści. Streszczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 1. Twierdzenia weryfikacyjne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Czas ciągły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Czas dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 8 9. Rozdział 2. Problem inwestora w czasie ciągłym . . . . . . . . . . . . . . .. 11 11 12 16 20 22 23 25 34 35 37. 2.1. Rozwiązanie Problemów A i B dla α < 0 . 2.2. Rozwiązanie Problemu C . . . . . . . . . 2.3. Rozwiązanie Problemu A dla α ∈ (0, 1) . 2.4. Modyfikacja lipschitzowska równania HJB 2.5. Dowód Twierdzenia 2.2 . . . . . . . . . . 2.6. Rozwiązanie Problemu B dla α ∈ (0, 1) . 2.7. Model Vasicka . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Model z przedziałem niezmienniczym . . 2.9. Modele z nieskończoną funkcją wartości . 2.10.Wyniki numeryczne . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. Rozdział 3. Dyskretna aproksymacja modelu ciągłego . . . . . . . . . . . 3.1. Dyskretyzacja modelu ciągłego 3.1.1. Rozwiązanie dla α < 0 . . 3.1.2. Rozwiązanie dla α ∈ (0, 1) 3.2. Zbieżność modelu dyskretnego 3.3. Model Vasicka . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. Rozdział 4. Model stopy forward w czasie dyskretnym . . . . . . . . . . . 4.1. Model stopy forward i problem inwestora . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Rozwiązanie problemu inwestora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Przypadek deterministyczny ze skończoną przestrzenią stanów 4.3.2. Przypadek stochastyczny ze skończoną przestrzenią stanów . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. Dodatek A. C0 -półgrupa i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dodatek B. Rozwiązanie słabe a mocne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40 40 41 41 44 46 50 50 52 54 55 56 58 60. 1.

(4) Spis treści. Dodatek C. Dziedzina generatora A . . . . . . . . . . . Dodatek D. Dowód C0 -półgrupowości (Pt ) w modelu Dodatek E. Dowód C0 -półgrupowości (Pt ) w modelu niezmienniczym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oznaczenia i skróty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 62. Vasicka . . . . . . z przedziałem. 66. . . . . . . . . . . . .. 71. . . . . . . . . . . . .. 73. . . . . . . . . . . . .. 75.

(5) Streszczenie. W pracy rozważamy problem optymalnej konsumpcji na nieskończonym horyzoncie czasowym w przypadku gdy krótkoterminowa stopa procentowa jest procesem dyfuzji. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności (rozwiązania równania HJB) jest zilustrowane modelem Vasicka i tzw. modelem z przedziałem niezmienniczym. Pokazujemy także, że w przypadku gdy dynamika krótkoterminowej stopy procentowej dana jest ruchem Browna lub geometrycznym ruchem Browna, funkcja wartości jest nieskończona. Problem konsumpcji rozpatrujemy również w przypadku czasu dyskretnego. Dokładniej, mając dany zbiór Γ ⊂ {0, 1, . . .} rozważamy rynek obligacji w którym krzywa forward (r(t, k), k ∈ Γ), t ≥ 0, jest łańcuchem Markowa. W modelu Filipovića i Zabczyka ([2]) rozwiązujemy problem inwestora na nieskończonym horyzoncie czasowym.. Słowa kluczowe modele krótkoterminowej stopy procentowej, optymalna konsumpcja, optymalny portfel, równanie HJB, modele stopy forward. 3.

(6) Abstract. We consider a problem of an optimal consumption strategy on the infinite time horizon when the short-rate is a diffusion process. General existence and uniqueness theorem (of a solution to HJB equation) is illustrated by the Vasicek and so-called invariant interval models. We show also that when the short-rate dynamics is given by a Brownian motion or a geometric Brownian motion, then the value function is infinite. We consider a consumption problem also in discrete time case. To be specific, given a finite set Γ ⊂ {0, 1, . . .} we consider a bond market in which the forward curve (r(t, k), k ∈ Γ), t ≥ 0, is a Markov chain. In the Filipović and Zabczyk model ([2]) we solve an investor problem on infinite time horizon.. Key words short-rate models, optimal consumption, optimal portfolio, HJB equation, forward curve models. 4.

(7) Wstęp. Problem wyboru optymalnego sposobu inwestycji w portfel instrumentów finansowych, tzw. problem inwestora rozważał już pod koniec lat sześćdziesiątych ubiegłego wieku Merton w pracy [11] (patrz także [10]). Przy założeniu możliwości inwestycji w skończoną liczbę akcji oraz rachunek bankowy ze stałą stopą procentową zostały podane wyniki explicite. Naturalna, przynajmniej z matematycznego punktu widzenia, jest sytuacja w której wartość stopy procentowej jest zmienna w czasie i opisana jest stochastycznym równaniem różniczkowym. Dopuszczamy możliwość inwestycji w rachunek bankowy i obligacje zero-kuponowe. W tej sytuacji nie mamy rozwiązania explicite. W niniejszej pracy będziemy rozważać problem inwestora, który część swojego kapitału inwestuje na rynku obligacji, a część konsumuje. Odpowiemy na pytanie o optymalną alokację jego kapitału w obligacje o różnych terminach zapadalności oraz optymalną strategię konsumpcji. Sformułujemy twierdzenie o istnieniu optymalnej strategii podając także sposób jej konstrukcji poprzez aproksymujący ją ciąg rozwiązań. W pewnym przypadku podamy także rozwiązanie numeryczne. Niech rt będzie krótkoterminową stopą procentową w chwili t ≥ 0. Załóżmy, że (rt ) spełnia stochastyczne równanie różniczkowe drt = µ(rt )dt + σ(rt )dWt , r0 = r,. (1). gdzie (Wt ) jest jednowymiarowym procesem Wienera na przestrzeni probabilistycznej z filtracją (Ω, F, (Ft ), P). (C;r,v) kapitał właściciela rachunku bankowego w chwili t, który Oznaczmy przez Vt jest konsumowany zgodnie ze stopą konsumpcji C, tzn. kapitał skonsumowany pomiędzy chwilą t1 ≥ 0, a chwilą t2 ≥ t1 wynosi Z t2 Ct dt. t1. Zakładając, że kapitał inwestora w chwili 0 wynosi v > 0, jego dynamika dana jest równaniem (C;r,v) (C;r,v) (C;r,v) dVt = rt V t − Ct dt, V0 = v. (2) 5.

(8) Wstęp. Niech. (C;r,v). τA. o n (C;r,v) =0 = inf t ≥ 0 : Vt. (3). oznacza moment bankructwa. Zakładamy, że proces stopy konsumpcji (Ct ) jest nieujemny i progresywnie mierzalny. Przestrzeń wszystkich takich procesów oznaczamy przez U. Przy ustalonym współczynniku dyskontowym γ > 0 i wykładniku potęgowej funkcji użyteczności α < 1, α 6= 0 rozważamy następujące problemy:. Problem A Przy ustalonych r i v znaleźć stopę konsumpcji Cˆ (r,v) ∈ U, która maksymalizuje funkcjonał satysfakcji, tzn. J(Cˆ (r,v) ; r, v) = sup J(C; r, v), C∈U. gdzie J(C; r, v) := E (C;r,v). r. Z. τA 0. e−γt. Ctα dt, α. (4). τA = τ A , a Er jest warunkową wartością oczekiwaną E (· |r0 = r). Rozwiązanie tego problemu dane jest poniżej, w Lemacie 2.5 i Twierdzeniu 2.2. Problem B Sformułowanie tego problemu zacznijmy od zauważenia, że istnieją modele stóp procentowych (np. model Vasicka), które z dodatnim prawdopodobieństwem dopuszczają ujemne stopy procentowe rt . Aby wykluczyć niepożądany przypadek ujemnych stóp procentowych zakładamy, że inwestor przechowuje swój kapitał na rachunku bankowym tak długo, jak krótkoterminowa stopa procentowa jest dodatnia. Wówczas funkcjonał satysfakcji definiujemy wzorem Z τB 1 r −γt α −γτB α JB (C; r, v) := E e Ct dt + $e VτB · χ{τB <∞} , α 0 (C;r,v). gdzie $ > 0, τB = τA ∧ τ0r , τ0r = inf {t ≥ 0 : rt = 0} oraz V = V (C;r,v) . Oczywiście jeśli r ≤ 0, to τB = 0. Naszym celem jest teraz znalezienie stopy konsumpcji maksymalizującej JB (patrz Lemat 2.6 i Twierdzenie 2.4). Problem C Oznaczmy przez p(t, θ) cenę w chwili t obligacji zero-kuponowej, która wypłaca 1 w chwili θ. Załóżmy, że ln p(t, θ) jest procesem Itô postaci dp(t, θ) = p(t, θ)[µp (t, θ)dt + σp (t, θ)dWt ], o współczynnikach zależnych w sposób regularny od θ. Zakładamy, że kapitał inwestora ma dynamikę Z ∞ dp(t, θ) (u;r,v) (u;r,v) (u;r,v) ψ(t, θ)dθ, dVt = η t rt V t − Ct dt + (1 − ηt )Vt p(t, θ) (5) 0 (u;r,v). V0. = v,. 6.

(9) Wstęp. co rozumiemy jako Z ∞ Z t Z t (u;r,v) (u;r,v) (u;r,v) µp (s, θ)ψ(s, θ)dθds (1 − ηs )Vs η s rs V s − Cs ds + Vt =v+ 0 0 0 Z t Z ∞ (u;r,v) (1 − ηs )Vs + σp (s, θ)ψ(s, θ)dθdWs . 0. 0. Powyższy wzór (5) ma następującą interpretację – V jest kapitałem inwestora, który może lokować swoje środki finansowe zarówno na rachunku bankowym (η), jak i kupując obligacje zero-kuponowe (1 − η). Sterowanie u = (C, η, ψ), natomiast ψ jest gęstością rozkładu inwestycji w obligacje o różnych terminach zapadalności θ. Celem inwestora jest maksymalizacja funkcjonału satysfakcji J, danego wzorem (u;r,v) (4) z τA = τA . Typ inwestora, który może inwestować swój kapitał w obligacje był ostatnio badany w [1], [9] i [16]. W przeciwieństwie do Rozdziału 2 naszej pracy, autorzy [1], [9] i [16] rozważali problem inwestora na skończonym horyzoncie czasowym z brakiem możliwości konsumpcji. Z drugiej jednak strony, w [1] i [16] zakłada się, że dana jest dynamika stopy forward, a funkcja satysfakcji zdefiniowana jest w mierze rzeczywistej. Więcej referencji można znaleźć w pracy przeglądowej [22]. W naszej pracy stosujemy podejście Hamiltona–Jacobiego–Bellmana podczas gdy w [1] i [16] korzysta się z wypukłej dualności (convex duality). Wyniki przedstawione w Rozdziale 2 oparte są na pracy [18]. Rozdział 3 stanowi alternatywę dla metody rozwiązania Problemu A zaprezentowanej w Rozdziale 2. Odpowiadamy tam na pytanie czy i przy jakich założeniach rozwiązanie Problemu A sterowania stochastycznego w czasie ciągłym można aproksymować przy pomocy rozwiązania jego odpowiednika w czasie dyskretnym. Także w tym przypadku stosujemy podejście Bellmana rozwiązywania problemów sterowania stochastycznego (tym razem w czasie dyskretnym). W Rozdziale 4 naszej pracy, opartym na [19], uogólniamy Problem C na przypadek gdy mamy dany model stopy forward. Rozważania przeprowadzamy w czasie dyskretnym przy założeniu braku możliwości krótkiej sprzedaży..

(10) Rozdział 1. Twierdzenia weryfikacyjne. Narzędziem powszechnie stosowanym do rozwiązywania problemów sterowania stochastycznego są twierdzenia weryfikacyjne. Podają one warunki przy jakich dana funkcja jest funkcją wartości, gdzie przez funkcję wartości dla każdego z problemów zdefiniowanych we Wstępie rozumiemy maksymalną wartość funkcji satysfakcji w zbiorze sterowań dopuszczalnych U. Ponadto dostajemy przepis na optymalne sterowanie.. 1.1. Czas ciągły Zastosowana tutaj notacja będzie dalej obowiązywała w Rozdziale 2. Niech (W tm ) będzie m-wymiarowym procesem Wienera na (Ωm , F m , (Ftm ), Pm ). Rozważmy d-wymiarowy sterowany proces dyfuzji dxt = Ξ(xt , ut )dt + Σ(xt , ut )dWtm ,. x0 = x,. (1.1). gdzie Ξ : Rd × U 7→ Rd , Σ : Rd × U 7→ Rd×m oraz U jest przestrzenią parametrów sterujących. Ponadto przez U oznaczamy przestrzeń sterowań dopuszczalnych, która składa się z procesów progresywnie mierzalnych (ut ) o wartościach w U , dla których (1.1) ma dokładnie jedno mocne rozwiązanie. W rozpatrywanych przez nas problemach xt = (rt , Vt ). Niech funkcjonał satysfakcji będzie postaci Z τS −γt −γτS e f (xt , ut )dt + e g(xτS )χ{τS <∞} , J(u; x) = E 0. 8.

(11) 1.2. Czas dyskretny. gdzie τS (ω) jest momentem wyjścia trajektorii xt (ω) z zadanego zbioru otwartego S. Oznaczmy 1 Sk = S ∩ |x| < k, dist(x, ∂S) > , k ∈ N, k d d X ∂2Φ ∂Φ 1X u L Φ(x) = Ξi (x, u) (ΣΣ> )ij (x, u) (x) + (x), u ∈ U. ∂xi 2 i,j=1 ∂xi ∂xj i=1 Zachodzi następujące twierdzenie weryfikacyjne, którego dowód można znaleźć w ([4], str. 166). Podobne wyniki można znaleźć w monografiach [14] oraz [15]. ¯ będzie rozwiązaniem równania Twierdzenie 1.1. Niech Φ ∈ C 2 (S) ∩ C(S) −γΦ(x) + sup{f (x, u) + Lu Φ(x)} = 0, u∈U. (1.2). x∈S. z warunkiem brzegowym Φ(x) = g(x),. x ∈ ∂S.. n. Niech ponadto dla dowolnego n ∈ N, rodzina zmiennych losowych {e −γTk Φ(xTkn )}k∈N , / Sk }, będzie jednostajnie całkowalna. Wówczas dla gdzie Tkn = inf{t ∈ [0, n − k1 ) : xt ∈ każdego x ∈ S zachodzi: a) Φ(x) ≥ J(u; x) dla każdego u ∈ U spełniającego lim sup e−γn E[Φ(xn )χ{n≤τS } ] ≥ 0. n→∞. b) Załóżmy, że uˆ ∈ U oraz xˆt jest odpowiedzią na sterowanie uˆ. Jeżeli lim e−γn E[Φ(ˆ xn )χ{n≤ˆτS } ] = 0. n→∞. oraz −γΦ(ˆ xt ) + f (ˆ xt , uˆt ) + Luˆ Φ(ˆ xt ) = 0,. P − p.n.,. ∀ t ≥ 0,. to Φ(x) = J(ˆ u; x). Uwaga 1.1. Założenia twierdzenia weryfikacyjnego z [4], gwarantujące jednostajną n całkowalność {e−γTk Φ(xTkn )}k∈N , zostały przez nas zastąpione w powyższym twierdzeniu założeniem jednostajnej całkowalności tej rodziny zmiennych losowych.. 1.2. Czas dyskretny Poniższe oznaczenia będą w dalszym ciągu obowiązywały w Rozdziałach 3 i 4. Ponieważ tym razem rozwiązujemy problem sterowania stochastycznego w czasie dyskretnym, potrzebujemy odpowiednich narzędzi, które będą niejako odpowiednikiem twierdzeń weryfikacyjnych w czasie ciągłym. Poniżej podajemy niezbędne wyniki. Więcej szczegółów można znaleźć w [21]. Niech t ∈ N0 oraz niech {x(t)} będzie jednorodnym łańcuchem Markowa na X z jądrem przejścia P . Przez U oznaczamy przestrzeń sterowań, natomiast U (x), x ∈ X ,. 9.

(12) 1.2. Czas dyskretny. niech będzie rodziną zbiorów zawartych w U . Dla czynnika dyskontującego β ∈ (0, 1) rozważamy funkcjonał satysfakcji J(u; x) = E. ∞ X. β t q(x(t), u(t)),. (1.3). t=0. gdzie q jest nieujemną funkcją mierzalną. Oznaczmy przez B+ (X ) przestrzeń funkcji mierzalnych f : X 7→ [0, +∞]. Aby znaleźć optymalną strategię uˆ wprowadzamy operator Bellmana Bf (x) = sup {q(x, u) + βP u f (x)} , u∈U (x). x ∈ X,. f ∈ B+ (X ). gdzie P u f (x) = E(f (x(t + 1)) | x(t) = x, u(t) = u).. Zakładamy dalej, że B : B+ (X ) 7→ B+ (X ). Niech B 0 będzie operatorem identycznościowym, a B m m-tą iteracją operatora B. Definiujemy wm (x) := B m (0)(x), m ∈ N0 , x ∈ X . Łatwo pokazać (patrz [21]), że (wm ) jest ciągiem rosnącym. Zatem granica w∞ (x) := lim B m (0)(x), m→∞. x ∈ X,. jest funkcją dobrze zdefiniowaną o wartościach w [0, +∞]. Rolę tej funkcji opisuje następujący wynik ([21], str. 76). Twierdzenie 1.2. (i) Dla dowolnej strategii u oraz warunku początkowego x ∈ X , w∞ (x) = Bw∞ (x),. w∞ (x) ≥ J(u; x).. (ii) Załóżmy, że u∞ : X 7→ U jest funkcją mierzalną taką, że u∞ (x) ∈ U (x) dla każdego x ∈ X oraz w∞ (x) = q(x, u∞ (x)) + βP u∞ (x) w∞ (x), ∀ x ∈ X . Wówczas strategia u∞ = (u∞ (x(0)), u∞ (x(1)), . . .) jest optymalna i J(u∞ ; x) = w∞ (x) dla każdego x ∈ X , jeśli lim Eβ t w∞ (xu∞ (t)) = 0. t→∞.

(13) Rozdział 2. Problem inwestora w czasie ciągłym. Niniejszy rozdział poświęcimy rozwiązaniu trzech wprowadzonych we Wstępie problemów inwestora. Warunki dostateczne na istnienie rozwiązań podane są w Twierdzeniach 2.1, 2.2 i 2.4. Rozdział zakończony zostanie podaniem przykładów, w tym także przykładem numerycznym. W tym rozdziale zakładamy, że (1) definiuje rodzinę Markowa na przedziale otwartym O ⊆ R, na którym istnieje jedyne (mocne) rozwiązanie (1). W szczególności oznacza to, że O jest niezmienniczy dla (1), tzn. z warunku r0 ∈ O wynika, że rt ∈ O dla każdego t ≥ 0. Ponadto zakładamy, że σ ∈ C 2 (O) i µ ∈ C 1 (O) są funkcjami o liniowym wzroście ze stałą k, tzn. |µ(r)| ≤ k(1 + |r|),. |σ(r)| ≤ k(1 + |r|),. r ∈ O,. (2.1). a dyfuzja jest niezdegenerowana, tzn. σ(r) 6= 0 dla wszystkich r ∈ O.. 2.1. Rozwiązanie Problemów A i B dla α < 0 Zauważmy, że z definicji funkcji satysfakcji dla Problemów A i B wynika, że w przypadku α < 0 funkcja wartości Φ jest ujemna, z kolei dla α ∈ (0, 1) mamy Φ ≥ 0. Poniższy wynik mówi, że gdy α < 0, to funkcja wartości jest tożsamościowo równa zero. Lemat 2.1. Jeśli O ∩ (−∞, 0] = ∅, to Φ(r, v) ≡ 0 jest funkcją wartości dla Problemu A, przy czym nie jest ona osiągalna. Jeśli natomiast O ∩ (−∞, 0] 6= ∅, to Φ(r, v) ≡ 0 jest funkcją wartości dla Problemu A, gdy dla każdego r ∈ O ∩ (−∞, 0] oraz dowolnie małego t > 0, Er e−αt sup0≤u≤t |ru | < ∞. Także w tym przypadku funkcja wartości nie jest osiągalna.. 11.

(14) 2.2. Rozwiązanie Problemu C. Dowód Na początek przypomnijmy, że z definicji funkcji satysfakcji (4) wynika, że funkcja wartości Φ jest ujemna. Stąd Φ ≡ 0 nie może być osiągalna. Z (2) łatwo widać, że dla każdego t ≤ τA , R Z t R t − 0s ru du Cs e ds e 0 ru du . Vt = v − 0. Przyjmijmy następującą strategię konsumpcji (n). Ct. = ne. Rt 0. ru du. n ∈ N.. ,. Wówczas odpowiadający jej proces kapitału (Vt ) jest postaci Vt = (v − nt)e. Rt 0. ru du. t ≤ τA. ,. oraz τA = v/n. Stąd J(C. (n). nα r ; r, v) = E α. Z. v n. e. −γt+α. 0. Rt 0. ru du. nα dt ≥ α. Z. v n. e−γt dt Er e. v −α n sup0≤u≤ v |ru | n. .. 0. Zauważmy ponadto, że jeśli r > 0, to z ciągłości (rt ) mamy rt > 0 dla dostatecznie dużych n i t ≤ v/n . Wówczas τB = τA oraz J(C. (n). nα r ; r, v) = E α. Z. v n. e. −γt+α. 0. Rt 0. ru du. nα dt ≥ α. Z. v n. e−γt dt.. 0. Biorąc n → ∞ otrzymujemy tezę.. . W Problemie B możemy założyć, że 0 ∈ O. W przeciwnym przypadku, Problem B redukuje się do Problemu A. Niech O ++ = O ∩ (0, ∞). Powyżej udowodniliśmy przy okazji następujący wynik dla α < 0. Lemat 2.2. Funkcja Φ(r, v) =. . $ α v , α. 0,. r ∈ O \ O ++ , r ∈ O ++ ,. jest nieosiągalną funkcją wartości dla Problemu B. W związku z otrzymanymi powyżej wynikami w dalszej części tego rozdziału, z wyjątkiem podrozdziału 2.2, będziemy zakładać, że α ∈ (0, 1). Poniżej pokażemy, że wówczas funkcje wartości są klasy C 2 ze względu na zmienną r.. 2.2. Rozwiązanie Problemu C W Problemie C zakładamy, że P jest miarą martyngałową. Wtedy Rθ p(t, θ) = E e− t rs ds |Ft. 12.

(15) 2.2. Rozwiązanie Problemu C. oraz µp (t, θ) = rt . Ponieważ (rt ) jest procesem Markowa, to p(t, θ) = ν θ (t, rt ) jest funkcją argumentów t, θ i rt . W pracy zakładamy, że ν θ jest różniczkowalne względem r. Wtedy (5) możemy przepisać w postaci Z ∞ ∂ θ ν (t, rt ) ∂r ψ(t, θ)dθdWt , (2.2) dVt = (rt Vt − Ct )dt + (1 − ηt )Vt σ(rt ) ν θ (t, rt ) 0 gdzie V = V (u;r,v) . W Problemie C funkcja satysfakcji dana jest wzorem (4), zbiór sterowań dopuszczalnych U składa się z trójek (C, η, ψ(·, θ)θ≥0 ) procesów progresywnie mierzalnych takich, że (Ct ) jest nieujemny, (2.2) jest dobrze zdefiniowane oraz Z ∞ ψ(t, θ)dθ = 1, ψ(t, θ) ≡ 0, ∀ θ ≤ t. 0. Zauważmy, że ani η, ani ψ nie muszą być nieujemne. Zdefiniujmy Z ∞ ∂ θ ν (s, rs ) ∂r Υs = ψ(s, θ)dθ i Πs = (1 − ηs )Υs . ν θ (s, rs ) 0. (2.3). Wtedy (2.2) możemy przepisać w postaci. dVt = (rt Vt − Ct )dt + Πt Vt σ(rt )dWt .. (2.4). Ponieważ założyliśmy że dynamika (rt ) i funkcja satysfakcji dane są w mierze martyngałowej, możemy traktować portfel inwestora jako portfel złożony z rachunku bankowego oraz instrumentu, którego cena St zdefiniowana jest następująco dSt = St (rt dt + σ(rt )Υt dWt ) ,. S0 = 1.. (2.5). Oczywiście aby (2.4) i (2.5) były dobrze zdefiniowane, musimy założyć, że dla każdego t > 0, Z Z t. t. 0. Υ2s ds. < ∞,. 0. Π2s ds < ∞,. P − p.n.. Stąd dynamika kapitału inwestora dana jest równaniem. dVt = (ηt rt Vt − Ct )dt + (1 − ηt )Vt dSt /St ,. które jest równoważne (5) i (2.4). Zatem możemy założyć, że liczba instrumentów w portfelu jest skończona, w związku z czym do rozwiązania Problemu C możemy zastosować podejście z Karatzas i Shreve ([8], Rozdział 3.9). Poniższe Twierdzenie 2.1, dające rozwiązanie Problemu C, zostało sformułowane i udowodnione w ([8], str. 141) przy znacznie słabszych założeniach. My prezentujemy tutaj inny dowód, oparty na poniższym Lemacie 2.3. Skupiamy naszą uwagę na funkcji wartości dla naszego problemu. W tym podrozdziale rozpatrujemy przypadek zarówno dodatniego jak i ujemnego wykładnika α funkcji użyteczności. Niech 1 Qϕ(r) := σ 2 (r)ϕ00 (r) + µ(r)ϕ0 (r), (2.6) 2 będzie formalnym generatorem procesu dyfuzji danego przez (1). Następujący wynik formułujemy dla α ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1). 13.

(16) 2.2. Rozwiązanie Problemu C. Lemat 2.3. Jeżeli K ∈ C 2 (O) spełnia α. QK(r) + (αr − γ)K(r) + (1 − α)K α−1 (r) +. ασ 2 (r) (K 0 (r))2 = 0, 2(1 − α) K(r). (2.7). to Φ(r, v) = α1 K(r)v α jest funkcją wartości dla Problemu C, gdy i) dla każdego r ∈ O i dowolnego sterowania u ∈ U, rodzina zmiennych losowych n {e−γTk K(rTkn )VTαkn }k∈N jest jednostajnie całkowalna, gdzie Tkn są jak w Twierdzeniu 1.1 dla S = O × (0, ∞), ii) dla każdego r ∈ O i sterowania optymalnego uˆ ∈ U i h −γn r α ˆ lim e E K(rn )Vn χ{n≤ˆτ } = 0, n→∞. (ˆ u;r,v) gdzie (rt ) jest zdefiniowane w (1), τˆ = τA i Vˆ = V (û;r,v) . ˆ zdefiOptymalna konsumpcja Cˆ (dokładniej, stopa konsumpcji) i optymalny czynnik Π niowany w (2.3) dane są w postaci sprzężenia zwrotnego: 1 Cˆ = K α−1 v,. ˆ= Π. K0 . (1 − α)K. (2.8). Dowód Biorąc pod uwagę dynamikę (Vt ) oraz formę funkcjonału satysfakcji można zauważyć, że 1 Φ(r, v) = K(r)v α α dla pewnej nieujemnej funkcji K. Równanie Hamiltona–Jacobiego–Bellmana (1.2) dla Φ danego powyższym wzorem jest postaci 1 αr − γ 1 α α α α−1 QK(r)v + K(r)v + sup C − CK(r)v α α α C≥0 α−1 2 2 α 2 0 α Π σ (r)K(r)v + sup Πσ (r)K (r)v + = 0. 2 Π ˆ danych przez (2.8). Zatem K spełnia (2.7). Proces Supremum osiągane jest w Cˆ i Π ˆ (rt , Vt ), dany przez (1) i (2), ma dokładnie jedno rozwiązanie. Z twierdzenia weryfikacyjnego otrzymujemy tezę. ˆ nie dostajemy jednoznacznego rozwiązania Problemu Warto zaznaczyć, że mając Π C, tzn. nie mamy jednoznacznej pary (η, ψ). Jednakże możemy arbitralnie zadać taką funkcję ψ, że (C, η, ψ) ∈ U i wtedy z (2.3) otrzymujemy optymalne ηˆ. Możemy na przykład przyjąć ψ(t, θ) = ςe−ς(θ−t) χ{t<θ} dla pewnego ς > 0. Następujący wynik zastosujemy do pokazania regularności funkcji wartości. Niech Z ∞ Rt 1 r e 1−α (−γt+α 0 rs ds) dt, N (r) := E r ∈ O. (2.9) 0. 14.

(17) 2.2. Rozwiązanie Problemu C. Lemat 2.4. Jeśli N (r) < ∞ dla każdego r ∈ O oraz Z ∞ Rt 2 r e 1−α (−γt+α 0 rs ds) dt < ∞, E 0. ∀r ∈ O,. (2.10). r ∈ O.. (2.11). to N ∈ C 2 (O) oraz QN (r) +. αr − γ N (r) + 1 = 0, 1−α. Dowód Niech O = (a, b), gdzie a ≥ −∞ i b ≤ ∞. Pokażemy najpierw, że dla odpowiednio dobranego bn istnieje funkcja Nn będąca rozwiązaniem problemu brzegowego QNn (r) + αr−γ Nn (r) = −1, 1−α (∗) Nn (an ) = Nn (bn ) = 0, gdzie. an =. . a + 1/n, a > −∞, −n, a = −∞,. bn ≥. Zauważmy, że całka ogólna równania QNn (r) +. b0n. =. . b − 1/n, b < ∞, n, b = ∞.. αr−γ Nn (r) 1−α. = −1 jest postaci. Nn (r) = ϕ0 (r) + c1,n ϕ1 (r) + c2,n ϕ2 (r), przy czym ϕ21 (an ) + ϕ22 (an ) > 0, ponieważ Wrońskian

(18)

(19)

(20) ϕ1 (an ) ϕ2 (an )

(21)

(22) 0

(23)

(24) ϕ1 (an ) ϕ02 (an )

(25) 6= 0.. Wiadomo, że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (∗) wtedy i tylko wtedy, gdy

(26)

(27)

(28) ϕ1 (an ) ϕ2 (an )

(29)

(30)

(31)

(32) ϕ1 (bn ) ϕ2 (bn )

(33) 6= 0.. Dowód istnienia i jednoznaczności rozwiązania (∗) przeprowadzimy nie wprost. Załóżmy, że dla każdego bn ≥ b0n powyższy wyznacznik jest równy zero. Zatem istnieje współczynnik λ taki, że przy ustalonym an mamy ϕ1 (bn ) = λ(bn )ϕ1 (an ) oraz ϕ2 (bn ) = λ(bn )ϕ2 (an ). Bez straty ogólności możemy założyć, że ϕ1 (an ) 6= 0. Ponieważ ϕ1 (x) ∈ C 2 ([b0n , b)) oraz ϕ1 (x) = λ(x)ϕ1 (an ), to także λ(x) ∈ C 2 ([b0n , b)). Licząc zatem wartość Wrońskianu w punkcie bn ,

(34)

(35)

(36)

(37)

(38) ϕ1 (bn ) ϕ2 (bn )

(39)

(40) λ(bn )ϕ1 (an ) λ(bn )ϕ2 (an )

(41)

(42)

(43)

(44)

(45) 0

(46) ϕ1 (bn ) ϕ02 (bn )

(47) =

(48) λ0 (bn )ϕ1 (an ) λ0 (bn )ϕ2 (an )

(49) = 0,. dochodzimy do sprzeczności. Przy założeniu (2.10) rozwiązanie (∗) jest więc postaci (patrz [20], str. 314) Nn (r) = E. r. Z. r τ±n. 0. 1. e 1−α (−γt+α. Rt 0. rs ds). dt,. 15.

(50) 2.3. Rozwiązanie Problemu A dla α ∈ (0, 1) r gdzie τ±n = inf{t ≥ 0 : rt ∈ / [an , bn ]}. Ponieważ założyliśmy że O jest niezmienniczy dla r (1), to limn→∞ τ±n = ∞ dla każdego r ∈ O i w konsekwencji N (r) = limn→∞ Nn (r). Zatem N jest słabym rozwiązaniem (patrz Definicja B.1 w Dodatku B) równania (2.11) i, z Lematu B.1, N ∈ C 2 (O). Stąd N jest mocnym rozwiązaniem (2.11). . Poniższy wynik pokazuje, że funkcja K pojawiająca się w funkcji wartości Φ(r, v) = wynosi N 1−α .. 1 K(r)v α α. Twierdzenie 2.1. Załóżmy że spełnione są założenia Lematu 2.4. Załóżmy dodatkowo, że dla funkcji K = N 1−α zachodzą założenia i) oraz ii) Lematu 2.3. Wtedy Φ(r, v) = α1 N 1−α (r)v α jest funkcją wartości dla Problemu C, a optymalne sterowanie jest postaci ˆ = N −1 N 0 . Cˆ = N −1 v, Π Dowód Można łatwo pokazać, że (2.11) jest równoważne (2.7) dla K(r) = N 1−α (r). Z Lematu 2.3 otrzymujemy tezę. Przypomnijmy, że zakładamy istnienie jednoznacznego mocnego rozwiązania (1). Gdy ponadto |σ(x) − σ(y)| ≤ ρ(|x − y|), x, y ∈ O, (2.12). gdzie ρ jest funkcją R ε −2 ściśle rosnącą na [0, ∞) i taką, że ρ(0) = 0 oraz dla dowolnego ε > 0 mamy 0 ρ (x)dx = ∞, to wówczas z kryterium porównawczego (comparison principle) rtx ≤ rty dla każdego t ≥ 0 i x ≤ y (patrz [7], str. 352). Powyższe założenia spełnione są m.in. w przypadku modelu Vasicka, CIR oraz rozważanego w podrozdziale 2.8 modelu z przedziałem niezmienniczym. Zatem w przypadku gdy zachodzi (2.12) oraz α ∈ (0, 1), funkcja N dana wzorem (2.9) jest niemalejąca i dodatnia. Stąd optyˆ w (2.8) jest dodatnie. Zauważmy, że gdy krótka sprzedaż jest zabroniona, to malne Π η ≤ 1 i ψ ≥ 0. Wówczas z warunku ∂ θ ν (t, rt ) ≤ 0, ∂r. (2.13). który zachodzi m.in. w modelu Vasicka i CIR, otrzymujemy Υt ≤ 0 i Πt ≤ 0, gdzie Υt i Πt dane są w (2.3). Zatem jeśli krótka sprzedaż jest zabroniona, α ∈ (0, 1) oraz zachodzą (2.12) i (2.13), wówczas Problem C redukuje się do Problemu A.. 2.3. Rozwiązanie Problemu A dla α ∈ (0, 1). Przypominamy, że od tej pory do końca niniejszego rozdziału będziemy rozpatrywać tylko przypadek α ∈ (0, 1). Wówczas funkcja wartości Φ jest nieujemna. Poniższy wynik mówi nam jakiej jest ona postaci. Lemat 2.5. Niech K ∈ C 2 (O) będzie takie, że α. QK(r) + (αr − γ)K(r) + (1 − α)K α−1 (r) = 0, dla każdego r ∈ O. Wówczas Φ(r, v) = A, jeśli. 1 K(r)v α α. (2.14). jest funkcją wartości dla Problemu. 16.

(51) 2.3. Rozwiązanie Problemu A dla α ∈ (0, 1). i) dla każdego r ∈ O i dowolnego sterowania C ∈ U, rodzina zmiennych losowych n {e−γTk K(rTkn )VTαkn }k∈N jest jednostajnie całkowalna, gdzie Tkn są jak w Twierdzeniu 1.1 dla S = O × (0, ∞), ii) dla każdego r ∈ O i sterowania optymalnego Cˆ ∈ U i h (2.15) lim e−γn Er K(rn )Vˆnα χ{n≤ˆτA } = 0, n→∞. ˆ ˆ (C;r,v) gdzie (rt ) jest zdefiniowane w (1), τÂ = τA i Vˆ = V (C;r,v) . Optymalna konsumpcja dana jest w formie sprzężenia zwrotnego 1 Cˆ = K α−1 v.. (2.16). Dowód Podobnie jak w dowodzie Lematu 2.3 możemy zauważyć, że Φ(r, v) = 1 K(r)v α dla pewnej nieujemnej funkcji K. Równanie HJB (1.2) jest postaci α γ 1 1 α α α α−1 sup − K(r)v + QK(r)v + (rv − C)v K(r) + C = 0. α α α C≥0 Supremum osiągane jest w Cˆ danym przez (2.16). Zatem K spełnia (2.14) oraz proces (rt , Vˆt ), dany przez (1) i (2), ma dokładnie jedno rozwiązanie. Z Twierdzenia 1.1 otrzymujemy tezę. Zauważmy, że K spełnia nieliniowe i nielipschitzowskie równanie różniczkowe drugiego rzędu, ale K nie jest zdefiniowane jako rozwiązanie problemu Cauchy’ego. Mimo iż równanie (2.14) może wydawać się łatwiejsze do rozwiązania niż (2.7), w rzeczywistości tak nie jest. Celem niniejszego rozdziału jest dowód istnienia rozwiązania (2.14) spełniającego założenia i) oraz ii) Lematu 2.5 oraz znalezienie ciągu aproksymującego funkcję K. W tym podrozdziale prezentujemy główny wynik niniejszego rozdziału. Podajemy warunki dostateczne istnienia rozwiązania K równania HJB (2.14) dla Problemu A. Ponadto podajemy metodę konstrukcji ciągu funkcji aproksymujących K, która oparta jest na metodzie podrozwiązań i nadrozwiązań. Trochę inne podejście do pokazania istnienia rozwiązania (2.14), również oparte na metodzie podrozwiązań i nadrozwiązań, prezentują Fleming i Pang w [3], przy założeniu, że O = R oraz współczynnik dyfuzji σ(r) = const. Po podstawieniu Z(r) = ln K(r) równanie (2.14) sprowadza się do równania ¯ Z, Z 0 ). Z 00 = H(r,. (2.17). ¯ z, p) jest ściśle rosnąca względem z oraz |H(r, ¯ z, p)| ≤ Okazuje się, że jeśli funkcja H(r, 2 C1 (p + C2 ), dla odpowiednich r i z (patrz [3], Lemat 3.4), a tak jest w rozpatrywanym przez nas modelu Vasicka, to wówczas istnieje rozwiązanie (2.17). Otrzymane jest ono jako granica, przy m → ∞, rozwiązań (2.17) na przedziale [−m, m], z warun¯ ¯ kami brzegowymi Z(−m) = Z(−m), Z(m) = Z(m), gdzie Z¯ jest nadrozwiązaniem. Można również zauważyć, że definicje podrozwiązań i nadrozwiązań w niniejszej pracy (Definicja 2.1) oraz w [3] są takie same z dokładnością do przekształcenia logarytmicznego Z(r) = ln K(r). 17.

(52) 2.3. Rozwiązanie Problemu A dla α ∈ (0, 1). Uprzedzając fakty, ponieważ naszym podrozwiązaniem będzie K ≡ 0, niedogodnością w [3] byłby wybór Z ≡ −∞. Ponadto rozważamy również przypadek gdy O = (a, b) z σ(r) 6= const, co więcej, limr→a+ σ(r) = limr→b− σ(r) = 0, tzn. operator Q, dany w (2.6), nie musi być jednostajnie eliptyczny. Niech A będzie operatorem różniczkowym postaci (2.18). Af (r) = Qf (r) + αrf (r).. Zakładamy, że (E, k · kE ) jest przestrzenią Banacha funkcji ciągłych na O z dodatnią wagą wE ∈ C(O), spełniającą następujące założenia: (H.1) Dla dowolnych ustalonych t ≥ 0, r ∈ O, ϕ ∈ E i dowolnego ciągu momentów stopu {Tn }, ciągi zmiennych losowych Z t∧Tn n o R R α 0t∧Tn rs ds α 0s ru du ϕ(rt∧Tn )e ϕ(rs )e ds i n∈N. 0. n∈N. są jednostajnie całkowalne względem miary probabilistycznej Pr = P (· |r0 = r). (H.2) Dla dowolnej ograniczonej funkcji lipschitzowskiej f : [0, ∞) 7→ [0, ∞) i dowolnego nieujemnego φ ∈ E, funkcja f (φ) należy do E. (H.3) Rodzina (Pt , t ≥ 0) operatorów liniowych Pt ϕ(r) = Er ϕ(rt )eα. Rt 0. rs ds. (2.19). r ∈ O,. ,. jest C0 -półgrupą na E. (C;r,v) , (H.4) Dla każdego r ∈ O i momentu stopu τA = τA h i Rn lim Er e−γn+α 0 rs ds N 1−α (rn )χ{n≤τA } = 0. (2.20). n→∞. oraz rodzina zmiennych losowych R Tn −γTkn +α 0 k rs ds 1−α e N (rTkn ). (2.21) k∈N. jest jednostajnie całkowalna, gdzie Tkn są niemalejącymi względem k momentami stopu takimi, że Tkn ≤ n ∧ τA . Ponadto N 1−α ∈ C 2 (O) ∩ E oraz AN 1−α ∈ E.. Uwaga 2.1. W przykładach O = R i wE (x) = e−δ|x| , tzn. E = {ϕ ∈ C(R) : lim |ϕ(r)|e−δ|r| = 0} |r|→∞. i. kϕkE = sup |ϕ(r)|e−δ|r| r∈R. dla wystarczająco dużego dodatniego δ lub O jest przedziałem ograniczonym, wE = 1 i E jest przestrzenią U C(O) funkcji jednostajnie ciągłych na O. W obydwu tych przypadkach zachodzi (H.2). Natomiast przypadek gdy O jest półprostą jest kombinacją powyższych. Ponadto w Lemacie C.1 pokażemy, że generator (A, D(A)) półgrupy (P t ) jest postaci D(A) = {ϕ ∈ C 2 (O) ∩ E : Aϕ ∈ E}. oraz Aϕ = Aϕ dla każdego ϕ ∈ D(A).. 18.

(53) 2.3. Rozwiązanie Problemu A dla α ∈ (0, 1). Uwaga 2.2. Warunek (H.1) będzie nam potrzebny w dowodzie inkluzji {ϕ ∈ C 2 (O) ∩ E : Aϕ ∈ E} ⊂ D(A). Zauważmy, że dla dowolnego momentu stopu Tn zachodzi |ϕ(rt∧Tn )|eα. R t∧Tn 0. rs ds. R t∧Tn. eαt sup0≤s≤t |rs | eα 0 |rs |ds kϕkE . kϕkE ≤ ≤ wE (rt∧Tn ) inf 0≤s≤t wE (rs ). Podobnie otrzymujemy oszacowanie

(54)

(55) Z t∧Tn Rs

(56)

(57) eαt sup0≤s≤t |rs | α r du u

(58)

(59) 0 ≤ ϕ(r )e ds s

(60) inf 0≤s≤t wE (rs ) tkϕkE .

(61) 0 Zatem (H.1) zachodzi na pewno gdy dla dowolnych t ≥ 0 i r ∈ O, αt sup 0≤s≤t |rs | e r E < ∞. inf 0≤s≤t wE (rs ). W przypadku ograniczonego O warunek ten jest oczywiście spełniony, gdyż wE = 1. Przypominamy, że N jest zdefiniowane w (2.9). Warunek (H.4) będzie nam potrzebny do pokazania, że N 1−α jest nadrozwiązaniem (2.14) takim, że N 1−α ∈ D(A) oraz ΦN (r, v) = N 1−α (r)v α spełnia założenia i) oraz ii) Lematu 2.5. Więcej szczegółów można znaleźć w Definicji 2.1 i Uwadze 2.6. Dla dowolnego m ∈ N zdefiniujmy funkcję α (1 − α)x α−1 , x > mα−1 , Fm (x) = (2.22) mα − αmx, 0 ≤ x ≤ mα−1 . Oznaczmy przez %(A − γ) zbiór rezolwenty operatora A − γ. Dowód następującego wyniku znajduje się w podrozdziale 2.5. Twierdzenie 2.2. Załóżmy, że spełnione są warunki (H.1) – (H.4). Wówczas istnieje rozwiązanie K równania (2.14) spełniające założenia i) oraz ii) Lematu 2.5. Ponadto K(r) ≤ N 1−α (r), r ∈ O. Co więcej, dla każdego ciągu {λm } ⊂ %(A − γ) takiego, że dla dowolnego m ∈ N, odwzorowanie [0, ∞) 3 x 7→ Fm (x) + λm x jest niemalejące,. (2.23). mamy K(r) = lim lim Knm (r), m→∞ n→∞. r ∈ O,. gdzie {Knm } jest ciągiem niemalejącym ze względu na m i n, zdefiniowanym następująco m K0m = 0, Kn+1 = (λm + γ − A)−1 (Fm (Knm ) + λm Knm ). Uwaga 2.3. Ponieważ Fm jest ciągiem funkcji lipschitzowskich, to odwzorowanie x 7→ Fm (x) + λx jest niemalejące dla dostatecznie dużego λ. Istnieje zatem ciąg {λm } ⊂. 19.

(62) 2.4. Modyfikacja lipschitzowska równania HJB. %(A−γ) taki, że funkcje x 7→ Fm (x)+λm x są niemalejące. Ponadto z C0 -półgrupowości (Pt ) gwarantowanej przez (H.3) mamy kPt ϕkE ≤ M eϑt kϕkE dla pewnych ϑ ∈ R i M > 0. Wówczas (ϑ, ∞) ⊂ %(A) i dla dowolnych ε1 > 0 i ε2 ≥ 0 możemy zdefiniować λm = max{ϑ − γ + ε1 , αm + ε2 }. Uwaga 2.4. W podrozdziałach 2.7 i 2.8 pokażemy, że założenia Twierdzenia 2.2 są spełnione w przypadku gdy (rt ) jest procesem Ornsteina–Uhlenbecka (tzw. model Vasicka) lub gdy O jest ograniczone. Natomiast w podrozdziale 2.9 pokażemy, że jeśli (rt ) jest ruchem Browna lub geometrycznym ruchem Browna, to funkcja wartości dla Problemu A jest nieskończona.. 2.4. Modyfikacja lipschitzowska równania HJB W tym podrozdziale znajdziemy dwukrotnie różniczkowalne rozwiązanie równania QK(r) + (αr − γ)K(r) + Fm (K(r)) = 0,. r ∈ O,. (2.24). gdzie Fm dane jest wzorem (2.22). Uwaga 2.5. Łatwo pokazać, że Fm jest funkcją lipschitzowską ze stałą Lipschitza Lm = αm. Ponadto Fm ∈ C 1 ((0, ∞)). Równanie (2.24) możemy interpretować jako równanie HJB dla Problemów A i B przy założeniu, że Ct = ct Vt oraz ct ∈ [0, m]. Możemy się zatem spodziewać, że rozwiązanie (2.14) będzie granicą ciągu rozwiązań równań (2.24), gdy m → ∞. Zdefiniujmy Aγ := (A − γ) oraz Aγ := (A − γ). Zauważmy, że (2.24) możemy przepisać w postaci −Aγ K = Fm (K) w O. (2.25) Definicja 2.1. Funkcję u ∈ C 2 (O) nazwiemy podrozwiązaniem (2.25) jeżeli −Aγ u ≤ Fm (u). w O,. −Aγ u ≥ Fm (u). w O.. a nadrozwiązaniem jeśli Uwaga 2.6. Łatwo pokazać, że K ≡ 0 jest podrozwiązaniem (2.25). Zauważmy, że K(r) = N 1−α (r) jest nadrozwiązaniem, gdyż z Lematu 2.4, N 1−α ∈ C 2 (O) oraz 0. ασ 2 (r)(K (r))2 −Aγ K(r) = F (K(r)) + ≥ F (K(r)) ≥ Fm (K(r)). 2(1 − α)K(r) Ponadto z warunku (H.4), N 1−α ∈ D(A) oraz ΦN (r, v) = N 1−α (r)v α spełnia założenia i) i ii) Lematu 2.5.. 20.

(63) 2.4. Modyfikacja lipschitzowska równania HJB m. Twierdzenie 2.3. Niech K m ∈ D(A) i K ∈ D(A) będą odpowiednio podrozwiązam niem i nadrozwiązaniem (2.25). Załóżmy, że K m ≤ K . Zdefiniujmy K0m = K m oraz m Kn+1 jako m Kn+1 = (λm − Aγ )−1 (Fm (Knm ) + λm Knm ), (2.26) gdzie λm jest takie, że zachodzi warunek (2.23). Wtedy K m zdefiniowane jako granica punktowa ciągu {Knm }, tzn. K m (r) = lim Knm (r),. (2.27). ∀r ∈ O,. n→∞. należy do C 2 (O) i jest mocnym rozwiązaniem (2.25). Ponadto dla każdego m ∈ N m mamy K m ≤ K m ≤ K . Dowód Ponieważ −Aγ K m + λm K m ≤ Fm (K m ) + λm K m = −Aγ K1m + λm K1m , to (λm − Aγ )(K1m − K m ) ≥ 0. Ponieważ dla każdego ϕ ≥ 0 mamy Pt ϕ ≥ 0 i w konsekwencji (λm − Aγ )−1 ϕ ≥ 0, to K m ≤ K1m . Teraz pokażemy, że Knm jest podrozwiązaniem. Z (2.23) i (2.26) otrzymujemy Fm (K1m ) + λm K1m ≥ Fm (K m ) + λm K m = −Aγ K1m + λm K1m , co wraz z Lematem C.1 implikuje, że K1m jest podrozwiązaniem (2.25). Postępując m m indukcyjnie dostajemy Knm ≤ Kn+1 , gdzie Kn+1 jest podrozwiązaniem dla każdego n ∈ N0 . m m Teraz pokażemy indukcyjnie, że Knm ≤ K dla każdego n. Z definicji K0m ≤ K . m Załóżmy, że Knm ≤ K . Wtedy z (2.26) i (2.23) mamy m. m. m m −Aγ Kn+1 + λm Kn+1 = Fm (Knm ) + λm Knm ≤ Fm (K ) + λm K .. Zatem z nierówności m. m m −Aγ Kn+1 + λm Kn+1 ≤ Fm (K ) + λm K. m. m. ≤ −Aγ K + λm K. m. m. m. m m ≤K . wnioskujemy, że (λm − Aγ )(K − Kn+1 ) ≥ 0, skąd Kn+1 Podsumowując, otrzymaliśmy. K m ≤ K1m ≤ K2m ≤ . . . ≤ Knm ≤ . . . ≤ K. m. w O.. Dlatego też K m (r) dane wzorem (2.27) istnieje dla każdego r. Z ciągłości Fm mamy Fm (K m (r)) = lim Fm (Knm (r)), n→∞. ∀ r ∈ O.. Natomiast z (2.26) wynika, że dla każdej funkcji próbnej ϕ ∈ C0∞ (O), Z Z m ϕ(r)(λm − Aγ )Kn+1 (r)dr = (Fm (Knm (r)) + λm Knm (r))ϕ(r)dr. O. O. 21.

(64) 2.5. Dowód Twierdzenia 2.2. Z Lematu C.1, Z Z m ∗ Kn+1 (r)(λm − Aγ )ϕ(r)dr = (Fm (Knm (r)) + λm Knm (r))ϕ(r)dr, O. O. gdzie A∗γ jest operatorem sprzężonym do Aγ . Niech n → ∞. Z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej Z Z m ∗ − K (r)Aγ ϕ(r)dr = Fm (K m (r))ϕ(r)dr. (2.28) O. m. O. m. Ponieważ K m ≤ K i K jest ciągłe, to K m jest lokalnie ograniczone. Zatem K m jest słabym rozwiązaniem (2.25). Z Lematu B.1 otrzymujemy tezę. . 2.5. Dowód Twierdzenia 2.2 Niech {K m } będzie ciągiem skonstruowanym w poprzednim podrozdziale. Z (2.20) i (2.21) wynika, że funkcja ΦN (r, v) = N 1−α (r)v α spełnia odpowiednio założenie ii) i i) Lematu 2.5. Oczywiście założenia te są spełnione także dla Φ0 (r, v) ≡ 0. Zatem Uwaga 2.6 i Twierdzenie 2.3 gwarantują, że również Φm (r, v) = K m (r)v α spełnia założenia i) i ii) Lematu 2.5. Z Uwagi 2.5, α1 Φm (r, v) jest więc funkcją wartości dla Problemu A z ograniczeniem Ct ≤ mVt . Stąd {K m } jest ciągiem niemalejącym, a funkcja K(r) = lim K m (r),. r ∈ O,. m→∞. Rt. jest dobrze zdefiniowana. Zauważmy, R t że z ciągłości rt wynika, że e dla każdych t > 0 i r ∈ O. Stąd Er e 0 rs ds > 0 oraz Z ∞ Rt 1 −1 e−(λ1 +γ)t Er eα 0 rs ds dt K1 (r) = (λ1 − Aγ ) 1 =. 0. rs ds. > 0, P-p.n.. 0. jest ściśle dodatnie w O. Ponieważ K11 ≤ K 1 ≤ K 2 ≤ . . . ≤ K m ≤ . . . ≤ K, więc K > 0. Zatem w szczególności F (K) jest dobrze zdefiniowane dla funkcji F (y) = α (1 − α)y α−1 . Pokażemy, że K zdefiniowane powyżej jest słabym rozwiązaniem w O.. −Aγ K = F (K). (2.29). W tym celu zdefiniujmy Zm = {r ∈ O : K m (r) ≥ mα−1 }. Oczywiście Zm ⊂ Zm+1 dla każdego m ∈ N. Ponieważ Fm (y) = F (y) dla każdego y ≥ mα−1 , więc Fm (K m (r)) = F (K m (r)), Zatem, z ciągłości funkcji F , dla każdego r ∈. ∀ r ∈ Zn ∀ m ≥ n.. S∞. n=1. Zn ,. lim Fm (K m (r)) = lim F (K m (r)) = F (K(r)).. m→∞. m→∞. 22.

(65) 2.6. Rozwiązanie Problemu B dla α ∈ (0, 1). Teraz pokażemy, że powyższe równości zachodzą dla każdego r ∈ O. W tym celu S 1 Z zauważmy, że ∞ n=1 n = O. Wynika to z następującej obserwacji. Ponieważ K (r) > 0 dla każdego r ∈ O, to dla każdego r ∈ O istnieje m takie, że K m (r) ≥ K 1 (r) > mα−1 > 0. Zatem r ∈ Zm . Zauważmy, że dla dowolnych m ∈ N i r ∈ O mamy α. |Fm (K m (r))ϕ(r)| ≤ (1 − α)(K 1 (r)) α−1 |ϕ(r)|. Niech m → ∞ w (2.28). Z powyższej nierówności i z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej otrzymujemy Z Z ∗ F (K(r))ϕ(r)dr, ∀ ϕ ∈ C0∞ (O), K(r)Aγ ϕ(r)dr = − O. O. co oznacza, że K jest słabym rozwiązaniem (2.29), pod warunkiem że K jest lokalnie m całkowalne. Tak jest w istocie, gdyż K = N 1−α ∈ E, a stąd K ≤ N 1−α i z ciągłości N 1−α , funkcja K jest lokalnie ograniczona. Z Lematu B.1 wnioskujemy, że K jest mocnym rozwiązaniem (2.29). Ponieważ zachodzą warunki (2.20) i (2.21), zatem funkcja Φ(r, v) = α1 K(r)v α spełnia założenia i) oraz ii) Lematu 2.5, co kończy dowód Twierdzenia 2.2.. 2.6. Rozwiązanie Problemu B dla α ∈ (0, 1). Przypomnijmy, że w Problemie B zakładamy, że 0 ∈ O oraz O ++ = O ∩ (0, ∞). Niech O + = O ∩ [0, ∞). Używając podobnej argumentacji jak w dowodzie Lematu 2.5 otrzymujemy następujący wynik dotyczący Problemu B. Lemat 2.6. Niech K ∈ C 2 (O++ ) ∩ C(O + ) spełnia (2.14). Wtedy  $ α r ∈ O \ O ++ ,  αv , Φ(r, v) =  1 K(r)v α , r ∈ O ++ , α. jest funkcją wartości dla Problemu B, jeśli i) dla każdego r ∈ O ++ i dowolnego sterowania C ∈ U, rodzina zmiennych losowych n {e−γTk K(rTkn )VTαkn }k∈N jest jednostajnie całkowalna, gdzie Tkn są jak w Twierdzeniu 1.1 dla S = O ++ × (0, ∞), ii) dla każdego r ∈ O ++ i sterowania optymalnego Cˆ ∈ U h i lim e−γn Er K(rn )Vˆnα χ{n≤ˆτB } = 0, n→∞. ˆ ˆ (C;r,v) gdzie (rt ) jest zdefiniowane w (1), τˆB = τB i Vˆ = V (C;r,v) , iii) K(0) = $. Optymalna konsumpcja dana jest w formie sprzężenia zwrotnego (2.16).. 23.

(66) 2.6. Rozwiązanie Problemu B dla α ∈ (0, 1). W tym podrozdziale podamy dowód istnienia rozwiązania równania HJB (2.14) dla Problemu B. Skonstruujemy również ciąg aproksymujący to rozwiązanie. Przestrzeń g H.5) g oznaczamy Banacha funkcji ciągłych na O + , spełniającą poniższe warunki (H.1)–( ˜ k · k ˜ ). przez (E, E Przypomnijmy, że τ0r = inf{t ≥ 0 : rt = 0}. Definiujemy następujące funkcje: Z τ0r Rt 1 r ˜ N (r) = E r ∈ O+ e 1−α (−γt+α 0 rs ds) dt, 0. oraz. r. KL (r) = $Er e−γτ0 +α. R τ0r 0. rs ds. ,. r ∈ O+ ,. gdzie $ jest stałą występującą w definicji funkcjonału satysfakcji JB . ˜ 1−α (r) dla każdego r ∈ O + oraz (˜ Niech KU (r) = KL (r)+ N rt ) = (rt∧τ0r ). Oznaczmy g (H.2) g i (H.3) g warunki równoważne warunkom (H.1), (H.2) i (H.3), z przez (H.1), ˜ tą różnicą, że teraz r ∈ O + , natomiast (rt ) i E zastępujemy przez (˜ rt ) i E. Oczywiście KL ≤ KU . Następujące założenie jest nam potrzebne do pokazania, że założenia i) – iii) Lematu 2.6 są spełnione przez każdą funkcję f taką, że KL ≤ f ≤ KU w O+ . g Dla każdego r ∈ O ++ i momentu stopu τB = τ (C;r,v) , (H.4) B i h Rn (2.30) lim Er e−γn+α 0 rs ds KU (rn )χ{n≤τB } = 0, n→∞. oraz rodzina zmiennych losowych R Tn −γTkn +α 0 k rs ds KU (rTkn ) e. (2.31) k∈N. jest jednostajnie całkowalna, gdzie Tkn są niemalejącymi względem k momentami stopu takimi, że Tkn ≤ n ∧ τB . Ponadto KL (0) = KU (0) = $ oraz KL ∈ D(A) i KU ∈ D(A), ˜ gdzie D(A) = {ϕ ∈ C 2 (O++ ) ∩ E˜ : Aϕ ∈ E}. g to zachodzi on zarówno dla procesu Zauważmy, że jeżeli zachodzi warunek (H.4), (rt ), jak i (˜ rt ). Załóżmy dodatkowo g (H.5) Dla każdego r ∈ O ++ zachodzi Aγ KL (r) = 0. g gwarantuje, że KL jest podrozwiązaniem (2.24). Łatwo zauważyć, Warunek (H.5) ˜ spełnia (2.11). Wystarczy przyjąć an = 0 w że przy założeniach Lematu 2.4, N g ˜ jest nadrozwiązaniem (2.24). Zatem z warunku (H.5) dowodzie Lematu 2.4. Stąd N otrzymujemy ˜ 1−α + Fm (KL + N ˜ 1−α ) ≤ Aγ N ˜ 1−α + Fm (N ˜ 1−α ) ≤ 0, Aγ KU + Fm (KU ) = Aγ N. a zatem KU jest również nadrozwiązaniem (2.24). Ponieważ KL (0) = KU (0) = $, to z faktu, że KL ≤ K ≤ KU (patrz Twierdzenie 2.4 poniżej) wynika, że K(0) = $. Ponadto funkcja wartości Φ(·, v) ∈ C 2 (O++ )∩C(O) dla każdego v > 0. Dowód poniższego wyniku jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 2.2, w związku z czym go pomijamy. 24.

(67) 2.7. Model Vasicka. g – (H.5). g Wtedy istnieje rozTwierdzenie 2.4. Załóżmy, że zachodzą warunki (H.1) wiązanie K równania (2.14) spełniające założenia i) – iii) Lematu 2.6. Ponadto zachodzi KL (r) ≤ K(r) ≤ KU (r), r ∈ O + . Co więcej, dla każdego ciągu {λm } ⊂ %(Aγ ) spełniającego dla każdego m ∈ N warunek (2.23) mamy K(r) = lim lim Knm (r),. r ∈ O+,. m→∞ n→∞. gdzie {Knm } jest ciągiem niemalejącym ze względu na m i n, zdefiniowanym następująco m K0m = KL , Kn+1 = (λm − Aγ )−1 (Fm (Knm ) + λm Knm ).. 2.7. Model Vasicka Przypomnijmy, że w tzw. modelu Vasicka proces (rt ) ma dynamikę drt = (a − brt )dt + σdWt ,. (2.32). α. (2.33). gdzie a, b, σ > 0. Niech E = {ϕ ∈ C(R) : lim |ϕ(r)|e− b |r| = 0} |r|→∞. oraz. α. kϕkE = sup |ϕ(r)|e− b |r| . r∈R. Zachodzi wówczas następujące twierdzenie. Twierdzenie 2.5. Założenia Twierdzenia 2.2 są spełnione, jeżeli α2 σ 2 αa + b. + γ> b 2(1 − α)b2. (2.34). Dowód Zauważmy, że z twierdzenia Fernique’a, dla dowolnego ustalonego t ≥ 0, α. Er e( b +αt) sup0≤s≤t |rs | < ∞, więc (patrz Uwaga 2.2) zachodzi (H.1). Z Uwagi 2.1 mamy (H.2). Przypomnijmy, że (rt ) dane jest wzorem (2.32), a (2.19) definiuje (Pt ). W Dodatku D pokazujemy, że (Pt ) jest C0 -półgrupą na E, a zatem zachodzi (H.3). Pozostaje nam do pokazania założenie (H.4). Weryfikację tego warunku przeprowadzimy w kilku krokach. Krok 1. Najpierw pokażemy, że N (r) < ∞ dla każdego r ∈ R. Z (2.32) mamy rt = re−bt + ab (1 − e−bt ) + σXt , gdzie Xt = ma rozkład. Z. (2.35). t. e−b(t−s) dWs. (2.36). 0. 1 L(Xt ) = N 0, 2b (1 − e−2bt ) ,. (2.37) 25.

(68) 2.7. Model Vasicka. który nie zależy od r. Stąd mamy Z ∞ Rt γ α r e− 1−α t+ 1−α 0 rs ds dt N (r) = E Z0 ∞ R∞ Rt γ α α a α −bs e− 1−α t+ 1−α 0 |r|e ds+ 1−α b t+ 1−α σ 0 Xs ds dt ≤ Er 0 Z ∞ Rt γb−αa α α |r| (1−α)b =e e− (1−α)b t Ee 1−α σ 0 Xs ds dt. 0. Z twierdzenia Fubiniego Z Z t Z tZ t 1 t −b(s−u) Yt := (1 − e−b(t−u) )dWu . Xs ds = e dsdWu = b 0 0 0 u Stąd Zatem ostatecznie. 3 2b. L(Yt ) = N 0, b12 (t −. N (r) ≤ e ≤e =e. α |r| (1−α)b. α |r| (1−α)b. α |r| (1−α)b. Z Z. ∞ 0. ∞. Z0 ∞. + 2b e−bt −. γb−αa. α2 σ 2. γb−αa. α2 σ 2. e− (1−α)b t e 2(1−α)2 b2 (. 1 −2bt e ) 2b. . (2.38). (2.39). .. 1 −2bt 3 + 2b e−bt − 2b e t− 2b ). dt. t. e− (1−α)b t e 2(1−α)2 b2 dt e. 1 (γ− αa − − 1−α b. α2 σ 2 )t 2(1−α)b2. 0. dt < ∞,. gdzie ostatnią nierówność gwarantuje założenie (2.34). Krok 2. W tej części dowodu pokażemy, że zachodzi (2.20). Właśnie pokazaliśmy, że α e (1−α)b |r| N (r) ≤ , (2.40) ρ gdzie αa 1 α2 σ 2 γ− − ρ= 1−α b 2(1 − α)b2 jest dodatnie dzięki (2.34). Aby zatem pokazać (2.20) wystarczy udowodnić, że lim Er e−γn+α. n→∞. Rn 0. |r | rs ds+ α b n. = 0.. Z nierówności Höldera lim sup Er e−γn+α n→∞. Rn 0. rs ds+ α |r | b n. n→∞. Natomiast γ. α. lim sup Er e− 1−α n+ 1−α n→∞. 1−α Rn |rn | α γ α ≤ lim sup Er e− 1−α n+ 1−α 0 rs ds . Er e b. Rn 0. rs ds. α. ≤ lim e (1−α)b |r|−ρn = 0, n→∞. ∀r ∈ R.. Zauważmy, że jeśli L(ξ) = N (m, s2 ), to Eeκ|ξ| ≤ e. κ 2 s2 2. (1 + eκ|m| ).. (2.41) 26.

(69) 2.7. Model Vasicka. Zatem wyrażenie Er e. |r| σ2 a jest nie większe niż e 4b3 1 + e b + b2 . Stąd zachodzi (2.20).. |rt | b. Krok 3. Pokażemy teraz jednostajną całkowalność rodziny (2.21). Z twierdzenia de la Vallée Poussin (patrz np. [14], str. 241), wystarczy pokazać, że dla pewnego β < 1 mamy sup E. r. k∈N. . e. −γTkn +α. R Tkn 0. rs ds. N. 1−α. (rTkn ). Do dalszych obliczeń przyjmujemy β = Z (2.40) mamy e. γ n α −β Tk + β. R Tkn 0. rs ds. β. √. N (r ) ≤ ρ Tkn. β1. < ∞,. ∀r ∈ O, ∀n ∈ N.. 1 − α.. γ n α −β − β Tk + β. e. R Tkn. α |rs |ds+ bβ |rT n |. 0. γ. k. α. ≤ ρ−β esupt≤n (− β t+ β. gdzie. aα. I = ρ−β e b2 β. (2.42). Rt 0. α |rt |) |rs |ds+ bβ. + 2α |r| supt≤n (− bγ−aα t+ ασ |Xt |+ ασ bβ bβ bβ β. e. Rt 0. |Xs |ds). ≤ I,. ,. √ a Xt jest zdefiniowane w (2.36). Niech g(x) = 1 + x2 oraz h(x) = x2 / 1 + x2 . Wówczas R aα bγ−aα−bασ ασ ασ t + 2α |r| I ≤ ρ−β e b2 β bβ esupt≤n (− bβ t+ bβ g(Xt )+ β 0 h(Xs )ds) .. Ze wzoru Itô. ασ ασ g(Xt ) + bβ β. gdzie ασ Ψt = bβ oraz. Z. t. t. h(Xs )ds = 0. 1 g (Xs )dWs − 2 0. 0. Z. 1 Rt = 2. Z. √. t. . ασ 00 g (Xs ) + bβ. 0. ασ bβ. . ασ + Ψ t + Rt , bβ 2 Z. t. (g 0 (Xs ))2 ds. 0. ασ 0 g (Xs ) bβ. 2 !. ds.. Zauważmy, że |g 0 (x)| < 1 oraz |g 00 (x)| < 2. Zatem z kryterium Nowikowa Mt = eΨt + 12 ( ασ )2 )t. Niech jest martyngałem, natomiast Rt < ( ασ bβ bβ ασ 1 κ= + bβ 2. . ασ bβ. 2. −. bγ − aα − bασ . bβ. Ponieważ supt≤n e−κt ≤ e|κ|n , więc γ. n. α. sup Er e− β Tk + β k∈N. R Tkn 0. rs ds. N β (rTkn ) ≤ ρ−β e. aα+bασ + 2α |r|+|κ|n bβ b2 β. E sup Mt . t≤n. Wystarczy więc pokazać, że E sup Mt < ∞, t≤n. ∀n ∈ N.. 27.

(70) 2.7. Model Vasicka. Mamy E sup Mt ≤ t≤n. n−1 X j=0. n−1 n−1 X X 2 2 E sup Mt ≤ (1 + E( sup Mt ) ) ≤ (1 + 4EMj+1 ), t∈[j,j+1]. t≤j+1. j=0. j=0. gdzie ostatnia nierówność jest konsekwencją nierówności Dooba. Ponieważ Mt2 ≤ ασ 2 ˜ t , gdzie M ˜ t jest martyngałem tej samej postaci co Mt , ale ze stałą 2 ασ zamiast e( bβ ) t M bβ ασ , więc bβ n−1 X ασ 2 (1 + 4e( bβ ) (j+1) ) < ∞, E sup Mt ≤ ∀n ∈ N. t≤n. j=0. Krok 4. Pokażemy teraz, że N 1−α ∈ C 2 (R) ∩ E. Aby pokazać, że N 1−α ∈ C 2 (R) moglibyśmy skorzystać z Lematu 2.4. Musielibyśmy jednak wzmocnić założenia dowoα2 σ 2 + (1−α)b dzonego twierdzenia dodatkowym warunkiem γ > αa 2 , który implikowałby b (2.10). Nie zmieniając jednak założeń pokażemy w inny sposób, że N ∈ C 2 (R). Zauważmy, że Z ∞. N (r) =. α. er (1−α)b (1−e. −bt ). φ(t)dt,. 0. gdzie φ jest nieujemną funkcją całkowalną (patrz Krok 1). Stąd Z ∞ k α ∂k ∂ r (1−α)b αk (1−e−bt ) N (r) = e N (r), φ(t)dt ≤ ∂rk ∂rk (1 − α)k bk 0. k ∈ N.. (2.43). Zatem N 1−α ∈ C 2 (R). Żeby pokazać, że N 1−α ∈ E, musimy pokazać, że α. lim N 1−α (r)e− b |r| = 0.. |r|→∞. Łatwo policzyć, że α. α. lim N 1−α (r)e− b |r| = lim N (r)e− (1−α)b |r| = 0.. r→−∞. r→−∞. Natomiast warunek. α. lim N (r)e− (1−α)b |r| = 0. r→∞. sprowadza się do lim. x→∞. Z. ∞. −t. e−kt−xe dt = 0,. k > 0.. 0. Nietrudno pokazać, że powyższa równość zachodzi. Krok 5. Pozostało nam do pokazania założenie AN 1−α ∈ E. Z definicji operatora A (patrz (2.18)) i wcześniejszych kroków dowodu wiemy, że AN 1−α ∈ C(R). Wystarczy więc wykazać warunek α lim |AN 1−α (r)|e− b |r| = 0. |r|→∞. 28.

(71) 2.7. Model Vasicka. Możemy napisać AN 1−α (r) = I1 (r) + I2 (r) + I3 (r), gdzie σ 2 (1 − α) N 00 (r) (N 0 (r))2 σ 2 1−α 00 (r)) = − α 1+α I1 (r) = (N 2 2 N α (r) N (r) 0 N (r) I2 (r) = (a − br)(N 1−α (r))0 = (a − br)(1 − α) α N (r) 1−α I3 (r) = αrN (r). Pokażemy, że dla j = 1, 2, 3 zachodzi α. lim |Ij (r)|e− b |r| = 0.. |r|→∞. Ponieważ N 1−α ∈ E, więc z (2.43) wynika, że powyższa równość zachodzi dla j = 1. Co więcej, wystarczy wykazać, że dla dowolnych a1 , a2 ∈ R, α. lim |a1 r + a2 |N 1−α (r)e− b |r| = 0.. |r|→∞. Mamy lim |a1 r + a2 |N. 1−α. |r|→∞. (r)e. −α |r| b. ≤ lim |a1 r + a2 | |r|→∞. Z. ∞. e. α −ρt r (1−α)b (1−e−bt ). e. dt. 0. 1−α. α. e− b |r| ,. gdzie ρ jest takie jak w (2.40), a stąd α. α. lim |a1 r + a2 |N 1−α (r)e b r ≤ ρα−1 lim |a1 r + a2 |e b r = 0.. r→−∞. r→−∞. Natomiast lim |a1 r + a2 |N. r→∞. 1−α. (r)e. −α r b. ≤ lim |a1 r + a2 | r→∞. ≤ lim. ∞. e. α −ρt −r (1−α)b e−bt. e. dt. 0. |a1 |r + |a2 |. Z. α r (1−α)b. b1−α (r. s. 1−α. ρ −1 b. ρ(1−α) α 0 ) b (1−α)b ρ(1−α) Γ1−α ( ρb ) lim |a1 |r1− b ρ(1−α) α ) b r→∞ b1−α ( (1−α)b. r→∞. ≤. Z. e−s ds. !1−α. + |a2 |r−. ρ(1−α) b. . ,. α gdzie s = r (1−α)b e−bt , a Γ jest funkcją gamma Eulera. Z (2.34) powyższa granica jest równa zero. . W tym miejscu pokażemy, że założenia Twierdzenia 2.2 są spełnione w modelu stopy krótkoterminowej nieco ogólniejszym niż model Vasicka. Niech σ > 0 oraz (2.44). drt = µ(rt )dt + σdWt , gdzie µ jest funkcją lipschitzowską taką, że µ0 (r) ≤ −,. a − br ≤ µ(r) ≤ a − br,. ∀ r ∈ R, 29.

(72) 2.7. Model Vasicka. dla pewnych a, a, b, > 0. Wówczas, z kryterium porównawczego ([7], str. 352), dla każdego x ∈ R i t ≥ 0 mamy r xt ≤ rtx ≤ rxt , gdzie rt i rt są opisane przez model Vasicka, tzn. drt = (a − br)dt + σdWt. drt = (a − br)dt + σdWt .. i. Przeprowadzając rozumowanie podobne do dowodu Twierdzenia 2.5 i korzystając z nierówności r xt ≤ rtx ≤ rxt otrzymujemy następujący wniosek. Wniosek 2.1. Jeżeli γ>. α2 σ 2 αa + b, + b 2(1 − α)b2. to w modelu (2.44) spełnione są założenia Twierdzenia 2.2. Rozważmy teraz Problem B. Niech δ >. α(3−α) . b(1−α). Załóżmy, że przestrzeń. E˜ = E˜δ = {ϕ ∈ C([0, ∞)) : lim |ϕ(r)|e−δr = 0} r→∞. wyposażona jest w normę kϕkE˜ = sup |ϕ(r)|e−δr . r∈[0,∞). Wówczas mamy następujący wynik. Twierdzenie 2.6. Jeśli współczynnik dyskontowy γ > max{γ1 , γ2 }, gdzie αa α2 σ 2 γ1 = + b (1 − α)b2. αa 3α2 σ 2 b+1 γ2 = + √ , + ασ 2 b b 2 1 − αb. oraz. to w modelu Vasicka (2.32) spełnione są założenia Twierdzenia 2.4. g (H.2) g i (H.3) g można zweryfikować w sposób analogiczny Dowód Założenia (H.1), g i (H.5). g W jak (H.1), (H.2) i (H.3). Tutaj pokażemy jedynie, że zachodzą (H.4) n g zdefiniujmy ciąg funkcji {K } takich, że celu pokazania (H.5) L Aγ KLn (r) = 0, r ∈ (0, en ), KLn (0) = KLn (en ) = $, gdzie en ≥ n jest dobrane tak, aby istniało dokładnie jedno rozwiązanie powyższego problemu brzegowego. Wówczas z warunku γ > γ1 mamy ([20], str. 314) KLn (r). r +α r −γτ0,n. = $E e. r R τ0,n 0. rs ds. ,. r gdzie τ0,n = τ0r ∧ τnr oraz τnr = inf {t ≥ 0 : rt = en }. Ponadto dla każdej funkcji próbnej ϕ ∈ C0∞ ((0, en )), Z ∞ ϕ(r)Aγ KLn (r)dr = 0, 0. 30.

(73) 2.7. Model Vasicka. skąd lim. n→∞. Z. ∞ 0. KLn (r)A∗γ ϕ(r)dr = 0.. Jeżeli dodatkowo zachodzą warunki (i) (ii) (iii). r lim τ0,n = τ0r ,. ∀r > 0, ∀ω ∈ Ω,. n→∞ Pr (τ0r. < ∞) = 1, ∀r > 0, sup sup |KLn (r)| < ∞, ∀j > 0, r≤j n∈N. to limn→∞ KLn (r) = KL (r), przy czym zbieżność jest prawie jednostajna. Zatem wówczas Z ∞ ∀ ϕ ∈ C0∞ ((0, ∞)). KL (r)A∗γ ϕ(r)dr = 0, 0. Z Lematu B.1, Aγ KL (r) = 0. Musimy zatem pokazać (i), (ii) i (iii). Ponieważ każdy proces Ornsteina–Uhlenbecka jest powracający (recurrent), to zachodzi (ii). Warunek (i) wynika z ciągłości trajektorii. Natomiast (iii) jest konsekwencją następującego oszacowania sup sup |KLn (r)| r≤j n∈N. r ∧m)+α r −γ(τ0,n. = $ sup sup lim E e r≤j n∈N m→∞. r ∧m R τ0,n. α. ≤ $ sup sup e b r sup Eesupt≤m (−γt+ r≤j n∈N. ≤ $d sup e. 0. rs ds. αa t+ασYt ) b. m≥0. α r b. r≤j. α. = $de b j < ∞,. gdzie d < ∞ jest stałą niezależną od r, a Yt dane jest wzorem (2.38). Natomiast pierwsza równość wynika z jednostajnej całkowalności wyrażenia stojącego po prawej stronie (patrz Krok 3 w dowodzie Twierdzenia 2.5). g Ponieważ KU ≤ KL + N 1−α , to z TwierPrzechodzimy teraz do pokazania (H.4). dzenia 2.5 wynika, że aby zachodziło (2.30), wystarczy aby h Rn i −γn r α 0 rs ds lim e E e KL (rn )χ{n≤τB } = 0. n→∞. Ponieważ z mocnej własności Markowa R

(74) r −γτ0 +α nτ0 rs ds

(75) $E e Fn = e−γn KL (rn ). na zbiorze {n ≤ τ0 }, zatem h Rn i h Rn i Rτ

(76) 0 e−γn Er eα 0 rs ds KL (rn )χ{n≤τB } = Er eα 0 rs ds $Er e−γτ0 +α n rs ds

(77) Fn χ{n≤τB } h i Rn Rτ 0 = $Er e−γτ0 +α 0 rs ds+α n rs ds χ{n≤τB } h i Rτ r −γτ0 +α 0 0 rs ds = $E e χ{n≤τB } ≤ KL (r).. Pokażemy teraz, że. r. KL (r) = $Er e−γτ0 +α. R τ0r 0. rs ds. < ∞,. ∀r > 0. 31.

(78) 2.7. Model Vasicka. Ponieważ τ0r ∧ n → τ0r , gdy n → ∞, to KL (r) < ∞ gdy ciąg R τ r ∧n |rs |ds −γ(τ0r ∧n)+α 0 0 e n∈N. jest jednostajnie całkowalny. √Analogicznie jak w Kroku 3 dowodu Twierdzenia 2.5 możemy pokazać, że dla β = 1 − α γ r − β (τ0r ∧n)+ α β. sup E e n∈N. R (τ0r ∧n) 0. α. |rs |ds. ≤ e bβ (σ+|r|) sup E sup Mt e−κt , n∈N. t≤n. )2 , dzięki założeniu γ > γ2 . Zatem korzystając z twierdzenia de la Vallée gdzie κ > ( ασ bβ Poussin, wystarczy pokazać, że sup E sup Mt e−κt < ∞. n∈N. t≤n. Ponieważ supt∈[j,j+1] e−κt = e−κj , postępując tak jak w Kroku 3 dowodu Twierdzenia 2.5, otrzymujemy sup E sup Mt e n∈N. t≤n. −κt. ≤ sup n∈N. n−1 X. ασ 2 (j+1). e−κj (1 + 4e( bβ ). j=0. ) < ∞.. Zatem z (ii) i z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej i h i h Rn R τ0 lim e−γn Er eα 0 rs ds KL (rn )χ{n≤τB } ≤ $Er e−γτ0 +α 0 rs ds lim χ{n≤τB } = 0. n→∞. n→∞. Zauważmy, że z Twierdzenia 2.5 i nierówności KU ≤ KL + N 1−α wynika, że ciąg (2.31) jest jednostajnie całkowalny, gdy jednostajnie całkowalna jest rodzina R Tn −γTkn +α 0 k rs ds n KL (rTk ) . e k∈N. Z mocnej własności Markowa jest to równoważne jednostajnej całkowalności ciągu h i R τr

(79) r −γτ0r +α 0 0 rs ds

(80) E e FTkn , n∈N. co zachodzi gdy. r. Er e−γτ0 +α. R τ0r 0. rs ds. < ∞,. a co wykazaliśmy powyżej. Następnie pokazujemy, że KL ∈ D(A). Ponieważ Aγ KL = 0, to KL ∈ C 2 ((0, ∞)) i ˜ Analogicznie jak w dowodzie (iii) otrzymujemy wystarczy pokazać, że KL ∈ E. r. lim |KL (r)|e−δr = $ lim lim Er e−γ(τ0 ∧m)+α. r→∞. r→∞ m→∞ α r−δr b. ≤ $ lim e r→∞. ≤ $d lim e r→∞. R τ0r ∧m 0. sup Eesupt≤m (−γt+. rs ds −δr. e. αa t+ασYt ) b. m≥0 α r−δr b. = 0.. 32.

(81) 2.7. Model Vasicka. ˜ ∈ D(A), co w konsekwencji da nam KU ∈ D(A). Ponieważ Teraz pokażemy, że N ˜ spełnia warunek γ > γ1 gwarantuje zachodzenie (2.10), zatem N ˜ (r) + QN. αr − γ ˜ N (r) = −1. 1−α. (2.45). ˜ ∈ C 2 ((0, ∞)), a więc N ˜ 1−α ∈ C 2 ((0, ∞)). Ponadto N ˜ 1−α ∈ E, ˜ gdyż Stąd N ˜ 1−α (r)e−δr ≤ lim N 1−α (r)e−δr ≤ ρα−1 lim e αb r−δr = 0. lim N. r→∞. r→∞. r→∞. ˜ 1−α ∈ E˜δ1 dla każdego δ1 > α/b. Stąd N ˜ ∈ E˜δ2 dla każdego δ2 > Analogicznie, N ˜ 1−α ∈ E, ˜ zauważmy, że z (2.45) mamy Aby pokazać, że AN . ˜ 1−α (r) = N ˜ 1−α (r) γ − 1 − α − α(1 − α)σ AN ˜ (r) 2 N. Ponadto skorzystamy z następującego wyniku.. 2. ˜ 0 (r) N ˜ (r) N. α . b(1−α). !2  .. Lemat 2.7. Niech f ∈ C([0, ∞)) ∩ C 1 ((0, ∞)) oraz f 0 ∈ E˜δ1 . Wówczas f ∈ E˜δ2 dla każdego δ 2 > δ 1 . Rx Dowód Ponieważ dla każdego x > 0 mamy f (x) = f (0) + 0 f 0 (y)dy, to Z x 1 1 −δ 2 x −δ 2 x −(δ 2 −δ 1 )x |f 0 (y)|e−δ y e−δ (x−y) dy |f (x)|e ≤ |f (0)|e +e 0. ≤ |f (0)|e. −δ 2 x. M 2 1 + 1 e−(δ −δ )x , δ. 1 gdzie M = supx≥0 |f 0 (x)|e−δ x . Skończoność M wynika z faktu, że f 0 ∈ E˜δ1 .. . Wracając do dowodu Twierdzenia 2.6 zauważmy, że (2.45) możemy przepisać w postaci 0 αr − γ 1 2 ˜0 ˜, ˜ = −1 − b + N σ N + (a − br)N 2 1−α. ˜0+ skąd wynika, że lewa strona należy do E˜δ2 . Z powyższego lematu otrzymujemy 12 σ 2 N ˜ ∈ E˜δ3 dla każdego δ3 > δ2 . Ponieważ (a − br)N ˜ ∈ E˜δ2 ⊂ E˜δ3 , to N ˜ 0 ∈ E˜δ3 . (a − br)N Zatem dla każdego δ1 > α/b i δ = δ1 + 2δ3 otrzymujemy 1 − α −2δ3 r 1−α −δr 1−α −δ1 r ˜ ˜ lim |Aγ N (r)|e ≤ lim N γ+ e (r)e ˜ (r) r→∞ r→∞ N 2 ˜ 0 (r)e−δ3 r )2 . ˜ 1−α (r)e−δ1 r α(1 − α)σ (N + lim N 2 ˜ r→∞ 2N (r) ˜ jest funkcją rosnącą, skąd wynika, że N ˜ (r) > 0 dla każdego r > 0. Łatwo pokazać, że N Zatem powyższa granica jest równa zero. . 33.