LISTA 48 Zadanie 1.
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥+𝑏𝑥−2 , o której wiadomo, że 𝑓(3) = 5 i 𝑓(1) = −1 . Wyznacz wzór tej funkcji, określ jej dziedzinę, sporządź wykres i oblicz jej miejsca zerowe.
Zadanie 2.
W wielokącie foremnym 𝐾 losujemy da spośród jego wierzchołków. Prawdopodobieństwo tego, że łączący je odcinek nie jest bokiem wielokąta 𝐾 jest równe 2
3 . Jaki to wielokąt?
Zadanie 3.
Ciąg 𝑎𝑛 jest określony wzorami 𝑎1 = 𝐴, 𝑎2= 2𝐴, 𝑎𝑛+1= 2𝑎𝑛− 𝑎𝑛−1 , gdzie 𝐴 jest daną liczbą całkowitą większą od 0. Uzasadnij, że każda liczba całkowita większa od 0 i podzielna przez 𝐴 jest wyrazem tego ciągu.
Zadanie 4.
Oblicz 𝑠𝑖𝑛2𝛼 i 𝑐𝑜𝑠2𝛼, jeśli 𝑠𝑖𝑛𝛼 =√6
3 i 90° < 𝛼 < 180° . Zadanie 5.
Wiadomo, że 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 są liczbami dodatnimi oraz 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑. Wykaż, że 𝑎
𝑐+𝑏
𝑑≥ 2 . Zadanie 6.
Udowodnij twierdzenie: „Jeżeli w trójkąt prostokątny wpiszemy okrąg, to iloczyn długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną punkt styczności z okręgiem równa się polu tego trójkąta”.
Zadanie 7.
Dany jest ciąg (𝑥1𝑥2, 2𝑥1𝑥2, 4𝑥1𝑥2, … ), w którym 𝑥1 i 𝑥2 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego 𝑦 = 2𝑥2− 5𝑥 − 6,5 . Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 8.
Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 =5
8 należących do przedziału 〈−𝜋2; 𝜋〉.
Zadanie 9.
Trapez prostokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷 podzielono na trzy części o równych polach. Wiedząc, że czworokąt 𝐸𝐹𝐶𝐷 jest kwadratem o boku długości 6 𝑐𝑚 oblicz obwód trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i cosinus kąta 𝐶𝐹𝐵.
Zadanie 10.
Dane są punkty 𝐴 = (1, 2), 𝐵 = (4, 4). Wyznacz współrzędne takiego punktu 𝐶, aby 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [−1, −5] i oblicz współrzędne wektora 𝑢⃗ =1
2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
