Ukady kombinacyjne

Wprowadzenie do projektowania układów kombinacyjnych

1. Wstęp

Każdy układ cyfrowy można przedstawić za pomocą tzw. „czarnej skrzynki” z określoną liczbą wejść i wyjść.

U K x1 x_i x_n y₁ yj ym

Rys. 1 Schemat blokowy układu logicznego o n- wejściach i m- wyjściach

Sygnały wejściowe i wyjściowe są sygnałami dwójkowymi (binarnymi). W układach kombinacyjnych kombinacja stanu wejść jednoznacznie określa stan wyjść. Zależności pomiędzy sygnałami wejściowymi i sygnałami wyjściowymi opisują funkcje boolowskie. Każdą funkcję przełączającą (logiczną) przedstawić można w dwóch postaciach kanonicznych: sumy

∑

∏

gdzie: Ki - iloczyn wszystkich argumentów funkcji (wejść) dla kombinacji i,

Si - suma wszystkich argumentów funkcji (wejść) dla kombinacji i,

f(i)- wartość funkcji dla kombinacji i; przy czym f(i) _{e {0,1}.}

Indeks i – przy iloczynie K jest liczbą dwójkową (lub równoważną dziesiętną), utworzoną przez przyporządkowanie każdej zmiennej xi symbolu 1, a zmiennej

− i

x symbolu 0. Tak więc iloczynowi dwóch zmiennych x1x2 odpowiada indeks (11) co w zapisie dziesiętnym oznacza

1*21+1*20=3, czyli symbol K3. Natomiast iloczynowi

− − 2 1 x x indeks (00) odpowiada 0*21+0*20=0 czyli symbol K0.

Indeks i – przy sumie S tworzy się odwrotnie niż przy iloczynie, przyporządkowując każdej zmiennej xi symbol 0, a zmiennej

− i

x symbol 1. Tak więc sumie dwóch zmiennych x1+x2

odpowiada indeks (00) co w zapisie dziesiętnym oznacza 0*21+0*20=0, czyli symbol S0.

Natomiast sumie

− −

+ ₂

1 x

x indeks (11) odpowiada 1*21+1*20=1 czyli symbol S3.

Należy zaznaczyć, że liczba wszystkich kombinacji dla n – wejść, liczona od 0 do 2n-1, równa się k=2n.

Tablica 1. Tablica zależności stanów dla układu o trzech wejściach x3 x2 x1 I 22 21 20 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 Przykład 1

Określić postać kanoniczną sumy i iloczynu funkcji zadanej za pomocą tablicy 2 Tablica 2. Zależności funkcji y(x₁,x₂,x₃) dla przykładu 1

x3 x2 x1 y 22 21 20 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Postać sumy: 7 2 0 7 6 5 4 3 2 1 0 3 2 1, , ) 1* 0* 1* 0* 0* 0* 0* 1* (x x x K K K K K K K K K K K y = + + + + + + + = + + (3) 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x y= + + − − − − − (4) Postać iloczynu: 6 5 4 3 1 7 6 5 4 3 2 1 0 3 2 1, , ) (1 ) (0 ) (1 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (1 ) (x x x S S S S S S S S S S S S S y = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (5) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( _{1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3} − − − − − − − − + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + = x x x x x x x x x x x x x x x x x x y (6)

Postacie kanoniczne sumy (4) i iloczynu (6) często przedstawia się za pomocą uproszczonego dziesiętnego zapisu:

- postać sumy ) , , (x₁ x₂ x₃ y =

∑

∏

Postać kanoniczną sumy nazywa się także rozkładem wyrażenia strukturalnego na składowe 1, a postać iloczynu rozkładem na składowe 0.

2. Upraszczanie funkcji logicznych

Za pomocą reguł algebry logiki (algebry Boole’a) można przekształcać i upraszczać funkcje logiczne. Ponieważ stosowanie reguł opartych na prawach logiki może być dość uciążliwe, do upraszczania funkcji logicznych stosuje się zapis graficzny w postaci tablicy Karnaugha. Sposób minimalizacji funkcji logicznej za pomocą siatki Karnaugha omówiony zostanie na przykładzie.

Przykład 2

Zaprojektować układ sterowania elementu wyjściowego F będącego funkcją trzech elementów wejściowych (a, b, c) przy czym obowiązuje następujący warunek pracy:

Element F ma działać przy działaniu przynajmniej dwóch spośród trzech elementów wejściowych.

Rozwiązanie

Zależności wiążące wejścia z wyjściem przedstawiono w tablicy 3. Tablica 3 Tablica prawdy funkcji F

c B a F 22 21 20 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Postać funkcji F(a, b, c) w zapisie kanonicznym sumy (rozkładzie na składowe jedynki jest następująca:

F=K3+K5+K6+K7= abc+abc+abc+abc

− −

−

(9)

Rozwiązanie (9) można uprościć, korzystając z algebry Boole’a, do postaci: F=abc+abc+ab c+c =abc+abc+ab − − − − − ) ( (10)

Dalsze etapy minimalizacji funkcji nie są takie oczywiste. Stąd nie zawsze metodą

przekształceń udaje się znaleźć minimalnie uproszczoną postać funkcji.

Poniżej przedstawiono zależności z tablicy 3 w postaci graficznej za pomocą tablicy Karnaugha.

Tablica ta składa się z tylu pól ile jest kombinacji zmiennych wejściowych. W omawianym przykładzie n=3 więc k=23=8 pól. Zmiennym wejściowym przyporządkowuje się

odpowiednio wiersze i kolumny tablicy (rys. 2). Tablica powinna być tak zakodowana, aby w kolejnych wierszach i kolumnach występowała zmiana tylko jednego wejścia. Znaczy to, że nie można zakodować dwóch kolejnych kolumn (wierszy) kombinacjami 00->11 lub 01->10.

a 0 1

Rys. 2 Tablica Karnaugha do przykładu 2 – minimalizacja postaci kanonicznej sumy

Do pól które spełniają warunki zadania wpisujemy jedynki. Sąsiednie pola z jedynkami, różniące się tylko wartością jednej zmiennej mogą być łączone w większe bloki 2, 4, 8 polowe. Uproszczenie polega na tym, że znikają te wszystkie zmienne wejściowe, których wartości zmieniają się wewnątrz oznaczonego bloku. Podgrupa dwu elementowa powoduje uproszczenie o jedno wejście w kombinacji Ki. Podgrupa czteroelementowa o dwa wejścia,

podgrupa czteroelementowa o trzy wejścia i tak dalej.

W niniejszym przykładzie tworzymy trzy podgrupy po dwie jedynki. Po uproszczeniu otrzymujemy:

F= ac+ab+bc (11)

Analogicznie postępuje się w przypadku korzystania z wartości zerowej zmiennej wejściowej. Wtedy obejmuje się pola zer (rys. 3).

a 0 1

Rys. 3 Tablica Karnaugha do przykładu 2 – minimalizacja postaci kanonicznej iloczynu

F=(a+b)(b+c)(a+c)=abc+ab+bc+ac=ab(c+1)+bc+ac=ab+bc+ac (12) bc 00 01 11 10 0 0 1 0 0 1 1 1 bc 00 01 11 10 0 0 1 0 0 1 1 1

II. Ćwiczenia laboratoryjne

- Zaprojektować układ realizujący następujące operacje arytmetyczne:

Wejścia programujące F x1 x2 x3, x4 0 0 1 1 0 1 0 1 x3*x4 x3+x4 0 1

Na bramkach typu NAND (NOR)

- Zrealizować konwerter naturalnego kodu binarnego (kodu 8421) na kod Graya. Tablica zależności kodów 8421 i kodu Graya.

Kod 8421 Kod Graya

abcd WXYZ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000