Algebra pozostała

Algebra

Pozostała algebra w pigułce

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Pozostała algebra w pigułce

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Uproszczenie wyra˙ze ´n

Uproszczenie wyra˙ze ´n

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

2x + (y − x) =

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

2x + (y − x) =

= 2x + (y + (−x)) = 2x + ((−x) + y)

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

2x + (y − x) =

= 2x + (y + (−x)) = 2x + ((−x) + y) = (2x + (−x)) + y

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Szczegóły

Uproszczenie wyra˙ze ´n. Zasady

1. ł ˛aczno´s´c dodawania (a + b) + c = a + (b + c)

2. przemienno´s´c dodawania a + b = b + a

3. istnieje zero 0, takie ˙ze a + 0 = 0 + a = a

4. istnieje liczba przeciwna _−a, taka ˙ze

a + (−a) = (−a) + a = 0

5. ł ˛aczno´s´c mno˙zenia a(bc) = (ab)c

6. przemienno´s´c mno˙zenia ab = ba

7. istnieje jedynka 1, taka, ˙ze _{a · 1 = 1a = a}

8. rozdzielczo´s´c mno˙zenia a(b + c) = ab + ac

Twierdzenie

Twierdzenie 1.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Układy, dla których spełniono

1

–

8

Układy, dla których spełniono

1

–

8

Wniosek 3. We wszystkich tych układach prawidłowy jest wzór

Pier´scienie

Definicja 4. Zbiór X, na którym okre´slone s ˛a dodawanie i mno˙zenie, spełniaj ˛ace warunki 1–8 nazywa si ˛e przemiennym pier´scieniem z jedynk ˛a Uwaga 5. Pier´scieniem nazywa si ˛e zbiór, na którym okre´slone s ˛a dodawanie i mno˙zenie, spełniaj ˛ece warunki 1–8 bez 6 i 7

Przykład pier´scienia

• Niech dany b ˛edzie niepusty zbiór T

• X b ˛edzie zbiorem podzbiorów T

◦ _{A + B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)} ◦ _{A · B = A ∩ B}

Działania w pier´scieniu

X

a + b

T

a · b

T

Twierdzenie 6. X jest przemiennym pier´scieniem z jedynk ˛a

Dzielenie

9. je˙zeli _{a 6= 0}, to istnieje a−1_{, element odwrotny, taki ˙ze}

a · a−1 _{= a}−1 _{· a = 1}

10. _{0 6= 1}

Definicja 8. Je˙zeli dodawanie i mno˙zenie okre´slone na X spełniaj ˛a warunki

Przykłady ciał

• R

• reszty modulo n, je˙zeli n jest liczb ˛a pierwsz ˛a

• liczby algebraiczne

Podwojenie sze´scianu

Zadanie 9. Zbudowa´c sze´scian o obj ˛eto´sci dwa razy wi ˛ekszej, ni˙z dany sze´scian

Podwojenie sze´scianu

Zadanie 11. Zbudowa´c sze´scian o obj ˛eto´sci dwa razy wi ˛ekszej, ni˙z dany sze´scian

Zadanie 12. Dany jest odcinek długo´sci 1. Skonstruowa´c (za pomoc ˛a cyrkla i linijki) odcinek długo´sci √3 2

Konstrukcje geometryczne

Obliczenie pierwiastka kwadratowego

1

r √

Jakie liczby mo˙zna skonstruowa´c?

• liczby p + q√r, gdzie _{p, q, r ∈} Q — ciało F1

• liczby p + q√s, gdzie _{p, q, s ∈} F1 — ciało F2

• i tak dalej: Q _⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ F3 ⊂ · · · ⊂ F_k−1 ⊂ Fk ⊂ · · ·

Twierdzenie 14. Ka˙zda konstruowalna liczba nale˙zy do jednego z ciał Fi przy odpowiednio dobranych r, s, . . .

Załó˙zmy, ˙ze

√

2

mo˙zna skonstruowa´c

2 /_∈ Q

• istnieje taki ci ˛ag ciał

Q _⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ F3 ⊂ · · · ⊂ F_k−1 ⊂ Fk ⊂ · · · , ˙ze 3 √ 2 /_∈ F_k−1 oraz √3 2 ∈ Fk • √3 2 = p + q√t, gdzie _{p, q, t ∈} F_k−1, √t /_∈ F_k−1 • (p3 + 3pq2_{t − 2) + (3p}2q + q3t)√t = 0 • p3 + 3pq2_{t − 2 = 0} oraz 3p2q + q3t = 0

• wi ˛ec _{p − q}√t te˙z jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z dwójki

• z czego wynika, ˙ze √3

Inne geometryczne zagadnienia

◦ w prypadku k ˛ata 60◦_{: skonstruowa´c pierwiastek}

równania x3 _{− 3x = 1}

• Kwadratura koła

◦ skonstruowa´c liczb ˛e π

• Wielok ˛at foremny

◦ mo˙z ´na skonstruowa´c wtedy i tylko wtedy, gdy liczba boków równa jest 2n _{· p}1 . . . pb, gdzie pi s ˛a ró˙zne liczby

pierwsze postaci 22c

+ 1 (liczby Fermata)

• przykładowo, 65 537-k ˛at mo˙zna skonstruowa´c

Pier´scie ´n

Z

• dni s ˛a podzielone na klasy: poniedziałek, wtorek, ´sroda, czwartek, pi ˛atek, sobota, niedziela

• przykładowo, ´sroda=_{{ . . . , −11, −4, 3, 10, 17, . . . }} — wsystkie liczby, kongruentne z 3 modulo 7, 7q + 3

• niech [x] b ˛edzie zbiorem liczb, kongruentnych z x modulo 7

• dodawanie [x] + [y] = [x + y]

• mno˙zenie _{[x] · [y] = [x · y]}

Pier´scie ´n

Z

• niech [x] b ˛edzie zbiorem liczb, kongruentnych z x modulo n

• dodawanie [x] + [y] = [x + y]

• mno˙zenie _{[x] · [y] = [x · y]}

Liczby zespolone

• a + bi, gdzie i2 _{= −1}

• wprowad´zmy liczby zespolone analogicznie do pier´scienia Z7

• w pier´scieniu Z7 obowi ˛azuje 7 = 0 ⇒ kongruencja modulo 7

• w liczbach zespolonych powinno by´c x2 _{+ 1 = 0 ⇒}

Liczby zespolone

• a + bi, gdzie i2 _{= −1}

• wprowad´zmy liczby zespolone analogicznie do pier´scienia Z7

• w pier´scieniu Z7 obowi ˛azuje 7 = 0 ⇒ kongruencja modulo 7

• w liczbach zespolonych powinno by´c x2 _{+ 1 = 0 ⇒}

kongruencja modulo x2 + 1

Liczby zespolone

• a + bi, gdzie i2 _{= −1}

• wprowad´zmy liczby zespolone analogicznie do pier´scienia Z7

• w pier´scieniu Z7 obowi ˛azuje 7 = 0 ⇒ kongruencja modulo 7

• w liczbach zespolonych powinno by´c x2 _{+ 1 = 0 ⇒}

kongruencja modulo x2 + 1

• pytanie: co jest kongruentne?

Ciało de Bruijna

Współrz ˛edne na planszy

(−1, 3)

(0, 3)

(1, 3)

(−1, 2)

(0, 2)

(1, 2)

(−3, 1)

(−2, 1)

(−1, 1)

(0, 1)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(−3, 0)

(−2, 0)

(−1, 0)

(0, 0)

(1, 0)

(2, 0)

(3, 0)

(−3, −1) (−2, −1) (−1, −1) (0, −1) (1, −1) (2, −1) (3, −1)

(−1, −2) (0, −2) (1, −2)

(−1, −3) (0, −3) (1, −3)

Niezmienniki stanów planszy

pk+l

• B(S) = P

pk−l

• na pocz ˛atku gry A(S) = B(S) = 1

• a wi ˛ec na ko ´ncu pk+l = pk−l = 1

• czyli k i l s ˛a wielokrotno´sciami trójki

• mo˙zliwe stany: _{(−3, 0)}, (0, 3), (3, 0), _{(0, −3)} oraz (0, 0)