ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Geometria analityczna na płaszczyźnie
ALEKSANDER DENISIUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Zaznacz na płaszczyźnie punkty, dla których (1) |x| = a, |x| < a.
(2) |x| = |y|, |x| < a, |y| < b.
Ćwiczenie 2. Znajdź wspólrzędne punktu, symetrycznego A(x, y) względem (1) osi x
(2) osi y
(3) początku okładu współrzędnych
Ćwiczenie 3. Jak się zmienią wspólrzędne punktu A(x, y), jeżeli za oś y wziąć oś x, a za oś x wziąć oś y?
Ćwiczenie 4. Jak się zmienią wspólrzędne punktu A(x, y), jeżeli początek układu współrzędnych przenieść do punktu A0(x0, y0), nie zmieniając kierunków osi?
Ćwiczenie 5. Znajdź wspólrzędne środków boków kwadratu, przyjmując za osie jego przekątne.
Ćwiczenie 6. Trzy punktu (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) należą do jednej prostej. Jak wyznaczyć, który z nich jest położony pomiędzy dwóch pozostałych?
Ćwiczenie 7. Dla trójkąta ABC wyznacz długości boków oraz pole powierzchni gdzie wierzchołki mają współrzędne (1) A(3, 1), B(−1, 5), C(6, 4). (2) A(−3, −1), B(1, −5), C(−6, −4). (3) A(−2, 1), B(0, 4), C(3, 2). (4) A(−3, −2), B(4, −1), C(0, 2). (5) A(0, −2), B(−4, 2), C(3, 1). (6) A(2, −1), B(−4, 1), C(0, −2).
Ćwiczenie 8. Znajdź wspólrzędne punktu na osi x, który jest równoodległy od punktów (1) A(0, a), B(b, 0).
(2) A(x1, y1), B(x2, y2).
Ćwiczenie 9. Niech A(0, a) oraz B(b, 0) będą wierzchołkami trójkąta równobocznego. Znajdź współrzędne trzeciego wierzchołka.
Ćwiczenie 10. Niech A(0, a) oraz B(b, 0) będą sąsiednimi wierzchołkami kwadratu. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków.
Ćwiczenie 11. Znajdź wspólrzędne punktu, który dzieli odcinek AB w stosunku λ, gdzie (1) A(3, 1), B(−1, 5), λ = 3 : 4. (2) A(−3, −1), B(1, −5), λ = 3 : 4. (3) A(−2, 1), B(0, 4), λ = 4 : 3. (4) A(−3, −2), B(4, −1), λ = 2 : 3. (5) A(0, −2), B(−4, 2), λ = 1 : 2. (6) A(2, −1), B(−4, 1), λ = 1 : 1.
Ćwiczenie 12. Dane są wspólrzędne trzech wierzchołków równoległoboku. Znajdź wspólrzędne czwartego wierzchołka. Ćwiczenie 13. Dane są wspólrzędne wierzchołków trójkąta. Znajdź wspólrzędne punktu przecięcia środkowych. Ćwiczenie 14. Jak jest położony okrąg x2
+ y2
+ 2ax + 2by + c = 0 względen układu współrzędnych, jeżeli
2 ALEKSANDER DENISIUK (1) a = 0. (2) c = 0. (3) a = b = 0. (4) b = 0. (5) a = c = 0. (6) b = c = 0.
Ćwiczenie 15. Znajdź równanie miejsca geometrycznego punktów, takich że suma odległości od pinktów F1(c, 0) oraz
F2(−c, 0) jest stała i równa 2a
Ćwiczenie 16. Znajdź równanie miejsca geometrycznego punktów, takich że różnica odległości od pinktów F1(c, 0) oraz
F2(−c, 0) jest stała i równa 2a
Ćwiczenie 17. Znajdź równanie miejsca geometrycznego punktów, takich że równoodległych od ponktu F (0, p) oraz
osi x.
Ćwiczenie 18. Jaką figurę określa równanie parametryczne x = R cos t + 1, y = R sin t + b?
Ćwiczenie 19. Znajdź równanie parametryczne krzywej, będącej zbiorem wszystkich punktów, które dzielą odcinek
długości a w stosunku λ : µ, jeżeli końce tego odcinka należą do osi wpółrzędnych. Jako parameter przyjąć kąt między odinkiem a osią x. Jaka to będzie krzywa w przypadku λ : ν = 1?
Ćwiczenie 20. Dwa wierzchołki trójkąta ślizgają się wzdłuż osi współrzędnych. Znajdź równanie parametryczne krzywej,
którą stworzy przy tym trzeci wierzchołek.
Ćwiczenie 21. Znajdź równanie parametryczne krzywej, którą tworzy punkt okręgu o promieniu r, toczącego się bez
poślizgu wzdłuż osi x. Za parameter przyjmij długość s przebiegu środka okręgu. Załóż, że na początku s = 0 punkt znajduje się w początku układu współrzędnych.
Ćwiczenie 22. Jaki warunek powinny spełniać współczynniki równania x2
+ y2
+ 2ax + 2by + c = 0, aby okrąg (1) nie przecinał osi x
(2) miał z osią x dwa punkty przecięcia
(3) był stycznym do osi x?
Ćwiczenie 23. Jaki warunek powinny spełniać współczynniki równań x2 + y2
+ 2a1x+ 2b1y+ c1 = 0 oraz x2+ y2+ 2a2x+ 2b2y+ c2= 0, aby dwa okręgi były styczne?
Ćwiczenie 24. Znajdź punkty przecięcia okręgów x2+ y2= 1 oraz x = cos t + 1,
y= sin t. Ćwiczenie 25. Znajdź punkty przecięcia krzywych
( x= s2 + 1, y= s oraz ( x= t2 , y= t + 1 . Ćwiczenie 26. Udowodnij, że punkty przecięcia krzywych ax2
+ by2
= c oraz Ax6 + By6
= C położone są symetrycznie względem początku układu współrzędnych.
E-mail address: denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk
