1. Jaki rozkład ma suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1)?
2. Łączny rozkład zmiennych X i Y dany jest w tabeli
X Y -1 0 1
0 0.3 0.2 0,1 1 0.1 0.1 0.2
Wyznacz E(X|Y = −1), E(X|Y = 0) oraz E(X|Y = −1).
3. Zmienne losowe X i Y mają gęstość łączną
f (x, y) = e−y, 0 < x < y < ∞.
Wyznacz f (x|y), f (y|x), E(X|Y ) oraz E(Y |X).
4. Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = (x2+ 2y2)I(0,1)(x)I(0,1)(y).
Wyznacz gęstość warunkową f (x|y) oraz E(X|Y ).
5. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pois- sona z parametrem λ. Znajdź rozkład warunkowy zmiennej X, mając dane X + Y.
6. Rzucamy dwiema kostkami. Niech U oznacza minimum, a V maksi- mum otrzymanych liczb. Oblicz P (U ≤ 3|V = 4) oraz E(U |V ).
7. Zmienne losowe X i Y mają gęstość łączną
f (x, y) = Cx(y − x)e−y, 0 ≤ x ≤ y < ∞.
Wyznacz C, gęstości warunkowe oraz warunkowe wartości oczekiwane.
8. Niech X będzie zmienna losową o gęstości 2
(ln 2)2
ln(1 + x)
1 + x I[0,1](x).
Niech Y będzie zmienną losową o gęstości warunkowej f (y|x) = 1
ln(1 + x) 1
1 + yI[0,x](y).
Czy zmienne te są niezależne? Wyznacz rozkład zmiennej Y, rozkład warunkowy X względem Y oraz E(Y |X).
1
