ODPORNY REGULATOR PD KURSU AUTOPILOTA OKRĘTOWEGO
W artykule rozważono problem wrażliwości układu regulacji kursu z regulatorem minimalno-wariancyjnym ze względu na wartości parametrów opisujących dynamikę statku. Z analizy wrażliwości wynika możliwość przyjęcia nieoptymalnych nastaw regulatora, który daje nie dużo gorsze wartości średniokwadratowego kryterium jakości sterowania, natomiast zapewnia większą odporność (krzepkość) układu na zmiany parametrów dynamiki statku. Do wyznaczenia wrażliwości układu regulacji kursu posłużono się prostym liniowym modelem dynamiki statku Nomoto I rzędu oraz minimalnowariancyjnym regulatorem kursu.
1. MODEL PROCESU
Dla uproszczenia analizy wrażliwości rozpatrzono przypadek zakłóceń stochastycznych o charakterze normalnym, oddziaływających na statek. Przyjęty do analizy model Nomoto I rzędu dynamiki statku uzupełniony zakłóceniami zewnętrznymi przyjmuje następującą postać [1, 4]:
, , 2 1 2 2 2 2 2 w r r w L T V r L T V L T V k r L T V r dt d b os b os os os os (1) przy czym: ψ – kurs statku, r – prędkość kątowa, V – prędkość liniowa, L – długość kadłuba statku, kos,Tos – parametry dynamiki statku,
rb – wolno zmieniający się moment, który oddziałuje na kadłub statku i odpowiada wartości średniej zakłóceń hydrometeorologicznych, głównie pochodzenia wiatrowego,
w1, w2 – niezależne, nieskorelowane zakłócenia o charakterystykach szumu białego
i wariancjach odpowiednio q1, q2.
Dla pełniejszego odwzorowania rzeczywistości model (1) powinien zostać uzupełniony zakłóceniami o dużej częstotliwości, powodującymi krótkotrwałe zmiany kursu statku (małe statki, których długość jest porównywalna z długością
,
fali). Zakłócenia te, pochodzenia falowego, wywołane są kołysaniem bocznym i wzdłużnym kadłuba, a ich wartość średnia jest równa zeru. Model zakłóceń falowych może być przedstawiony następująco [2, 3]:
, , 3 2 2D w hf hf hf r hf hf hf hf hf (2) przy czym:
ψhf – składowa wysokoczęstotliwościowa zmian kursu,
ωhf – tzw. częstotliwość spotkaniowa fali,
Dr – współczynnik tłumienia (wartość z przedziału (0,1–0,2)), w3 – zakłócenia o charakterze szumu białego z wariancją q3.
Składowa kursu statku o wysokiej częstotliwości jest modelowana jako sygnał wyjściowy filtru drugiego rzędu, na którego wejściu został podany sygnał szumu białego. Równanie wyjścia (pomiaru kursu) uzupełnione białym szumem v1 można
zatem przedstawić w postaci:
1
v
hf m
. (3)
Dla uproszczenia wprowadza się do równań (1–3) czas względny t* będący odniesieniem czasu rzeczywistego t do stałej L·Tos/V. Wielkości względne będą
więc określone w sposób następujący:
. , , , , , , , , , , , 3 * 3 2 2 * 2 1 * 1 1 * 1 * * V L T w w V L T w w V L T w w v v V L T V L T V L T r r V L T r r k δ δ L T V t t os os os os hf * hf os hf * hf hf * hf * os b * b os os os * (4)
W dalszej części, w celu uproszczenia zapisu, skalowane zmienne będą oznaczane bez gwiazdki. Gdy oznaczy się przez xT = [ψ r rb ξhf ψhf] wektor stanu,
równania (1–3) można przedstawić w postaci równań macierzowych:
, , 1 v u D x C y w E u B x A x (5) w których poszczególne macierze są odpowiednio równe:
0 1 0 0 0
1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 2 D C B E A T hf hf hf D (6)Wartości rzeczywiste współczynnika wzmocnienia oraz stałej czasowej modelu Nomoto są po przyjęciu względnej skali równe (k0, T0) = (1, 1).
2. WRAŻLIWOŚĆ UKŁADU STABILIZACJI KURSU Z REGULATOREM MINIMALNOWARIANCYJNYM
W przypadku zakłóceń o charakterze stochastycznym w miejsce kryterium jakości sterowania:
r t dt t t J 0 2 2 ) ( ) ( (7)można przyjąć ważoną sumę wariancji odchylenia kursu od kursu zadanego
2
oraz wariancji kąta wychylenia steru 2 : 2 2 2 2 ) ( ) ( E E J . (8)
Zgodnie z rozwiązaniem optymalnym regulatora sterowanie optymalne, przy stabilizacji kursu według kryterium (7), ma postać:
b sx s s r sr S 1 2 3 . (9)
Znajomość zmiennych stanu implikuje dokładną kompensację wartości średniej zakłóceń przez stałe wychylenie steru –s3·rb (s3 = 1/k0). Zakładając, że na
proces stabilizacji kursu opisany równaniami stanu (5) oddziaływają zakłócenia w1
o wariancji q1 (Q = diag(q1, 0, 0)), wariancję wektora stanu x
T
=[ψ, r], P = E{xxT} w układzie sterowania można wyznaczyć z równania Lapunowa kowariancji zmiennych stanu:
ABS
sPP
ABS
sT EQET 0. (10) Wariancję kursu statku Pψ = E(ψ2) oraz wariancję kąta wychylenia steruPδ = E(δ2) można wyznaczyć odpowiednio z zależności:
2 , δ s s T S P S P C P C P . (11)
Rys. 1. Zależność pomiędzy wariancją kursu ( 2
) a wariancją kąta wychylenia steru ( 2 ) dla statku o parametrach (k0, T0) = (1, 1) i regulatora optymalnego przy λ(10-3,100) ()
oraz regulatorów nieoptymalnych (---)
Parametry regulatora optymalnego, a tym samym wariancja kursu oraz wariancja kąta wychylenia steru zależą od wartości współczynnika wagi λ. Określa on również szerokość pasma układu regulacji. Na rysunku 1 przedstawiono zależność pomiędzy obydwoma wariancjami dla regulatorów optymalnych przy poziomie zakłóceń q1 = 1 oraz dla różnych wartości współczynnika wagi λ
z przedziału (10-3
, 10) i różnych wartości stałej czasowej statku. Charakterystyka oznaczona linią ciągłą określa najmniejsze z możliwych do uzyskania ważonej sumy ze współczynnikiem λ wartości wariancji kursu oraz kąta wychylenia steru w układzie stabilizacji. Mniejszych wartości sumy wariancji, wyznaczonych przez punkty leżące na lewo od tej charakterystyki, nie zapewni żaden z regulatorów o tej samej lub innej strukturze przy założonej postaci kryterium jakości sterowania. Linie przerywane oznaczają zależności pomiędzy wariancjami dla przypadków, w których parametry regulatorów zostały określone na podstawie błędnie obliczonej wartości stałej czasowej obiektu regulacji. W nawiasach pary liczb przy charakterystykach oznaczają w kolejności wartość współczynnika wzmocnienia oraz stałej czasowej, podczas gdy parametry regulatora wyznaczono dla k0 = 1
i T0 = 1.
Na rysunku 2 pokazano wykresy zależności wskaźnika jakości przy stabilizacji kursu dla przypadków, w których parametry regulatora optymalnego zostały określone na podstawie błędnie przyjętych parametrów obiektu regulacji, podczas gdy jego wartości rzeczywiste są równe (k0, T0) = (1, 1). Optymalną pracę układu
regulacji otrzymuje się w punkcie centralnym (rys. 2b). Z rysunku wynika, że regulator średniokwadratowy bardziej jest wrażliwy na zmiany stałej czasowej obiektu niż na zmiany jego wzmocnienia. Stała czasowa w procesie identyfikacji
estymowana jest na ogół z większą dokładnością niż współczynnik wzmocnienia [5, 6]. Kierunek oznaczony na rysunku 2b linią przerywaną pokazuje zmiany parametrów statku spowodowane zmianami jego prędkości i stopnia załadowania. Wielkości te są najczęściej przyczyną zmian parametrów dynamiki statku.
Małe zmiany wartości kryterium jakości sterowania dla mniejszych wartości parametrów obiektu w odniesieniu do ich wartości nominalnych są podstawą koncepcji regulatora odpornego o charakterystykach PID.
Rys. 2. Zależność funkcjonału jakości sterowania J/J0 od parametrów dynamiki
statku: a) wykres powierzchni obrazującej wartości funkcjonału, b) poziomnice stałej wartości funkcjonału dla J/J0(1,05; 1,1; 1,2; 1,5; 2; 4; 6), c) przekroje powierzchni
funkcjonału dla T/T0 = const = [0,1; 0,2; 0,4; 1; 1,6; 2; 4], d) przekroje powierzchni funkcjonału dla k/k0 = const = [0,1; 0,2; 0,4; 1; 1,6; 2; 4]
a) b)
d) c)
3. MINIMALNOWARIANCYJNY ODPORNY REGULATOR KURSU PD AUTOPILOTA OKRĘTOWEGO
Na rysunkach 1 oraz 2 przedstawiono wykresy zależności funkcjonału jakości sterowania od błędnie przyjętych do obliczeń regulatora optymalnego parametrów dynamiki statku, podczas gdy wartości rzeczywiste dynamiki statku były równe (k/k0 = 1, T/T0 = 1).
Problem wrażliwości układu regulacji można sformułować inaczej – odpowiadając na pytanie: jaka jest zależność funkcjonału jakości sterowania w układzie stabilizacji kursu, w którym wartości parametrów regulatora są stałe i zostały obliczone na podstawie wartości nominalnych (k/k0 = 1, T/T0 = 1),
podczas gdy rzeczywiste parametry dynamiki statku są inne od nominalnych? Odpowiedź na to pytanie przedstawiają wykresy na rysunkach 3, 4 i 5.
Wykresy pokazują znacznie mniejszą zmienność wartości funkcjonału (8) dla k > k0 oraz T < T0. Charakter zmienności funkcjonału sugeruje, aby wartości
parametrów obiektu regulacji, według których oblicza się parametry regulatora minimalnowariancyjnego, odpowiadały dolnemu dla współczynnika wzmocnienia k i górnemu dla stałej czasowej T zakresowi zmienności tych parametrów (k0 kmin
k kmax, Tmin T Tmax T0 [7]. Wymaganiom tym w przybliżeniu odpowiada
zmienność parametrów modelu Nomoto I rzędu od prędkości liniowej statku oraz stanu załadowania [4]. Na przykład przy zmianie prędkości statku współczynnik wzmocnienia modelu Nomoto (1) narasta, natomiast stała czasowa obiektu maleje. I podobne zmiany występują przy zmianach stopnia załadowania statku.
Rys. 3. Powierzchnia obrazująca zależność funkcjonału jakości sterowania J/J0 od parametrów dynamiki statku w układzie regulacji, w którym parametry regulatora
Rys. 4. Krzywe zależności funkcjonału J/J0 od wartości współczynnika wzmocnienia k/k0 w układzie regulacji, w którym parametry regulatora obliczono dla (k, T) = (1, 1)
Rys. 5. Krzywe zależności funkcjonału J/J0 od wartości stałej czasowej obiektu T/T0 w układzie regulacji, w którym parametry regulatora obliczono dla (k, T) = (1, 1)
Jeżeli uwzględni się charakter zmian parametrów modelu dynamiki statku, parametry regulatora PD powinny być dobierane przy minimalnej prędkości statku, przy której jest wykorzystywany autopilot.
Badania układu regulacji przeprowadzono z wykorzystaniem modelu fizycznego zbiornikowca „Blue Lady” na jeziorze Silm (rys. 6).
Rys. 6. Badania na Jeziorze Silm z wykorzystaniem fizycznego modelu zbiornikowca Wyniki badań przedstawiono w poprzednim artykule autora (Optymalny regulator kursu – badania z modelem fizycznym zbiornikowca na jeziorze). W regulatorze przyjęto optymalne nastawy obliczone dla parametrów modelu Nomoto I rzędu odpowiadających prędkości 0,96 m/s. Ze względu na wiele ograniczeń, a przede wszystkim ze względu na niepowtarzalność zakłóceń wiatrowych nie przeprowadzono badań ilościowych jakości sterowania. Badano wpływ zmian prędkości statku na jakość sterowania. Z zarejestrowanych oraz przedstawionych w wymienionym wyżej artykule przebiegów wynika, że przy zmianach prędkości statku w zakresie od PN do CN (0,96–1,36 m/s) nie widać zauważalnych różnic jakości sterowania. Być może jest to efektem wprowa-dzonych do algorytmu członów nieliniowych, odłączających działanie regulatora PD w przypadku gdy uchyb sterowania jest mniejszy od przyjętej wartości progowej.
LITERATURA
1. Amerongen van J., Adaptive steering of ships, Ph. D. thesis, Delft University 1982.
2. Grimble M., Fung P., Dynamic Ship Positioning Using a Self-tuning Kalman Filter, IEEE Transaction on Automatic Control, 1983, vol. AC-28, no. 3.
3. Holzhuter T., On Robustness of Course Keeping Autopilots, CAMS-92, Control Application in Marine Systems, Genova, Italy, 8–10 April 1992.
4. Lisowski J., Statek jako obiekt sterowania automatycznego, Wydawnictwo Morskie, Gdańsk 1981.
5. Morawski L., Metody syntezy układów sterowania ruchem statku, Prace Naukowe WSM, Gdynia 1994.
6. Morawski L. i inni, Identyfikacja modeli dynamiki statku, algorytmy sterowania ruchem statku, Raport z realizacji projektu badawczego KBN 8T11A01515, Wyższa Szkoła Morska, Gdynia 2000.
7. Pomirski J., Morawski L., Rak A., Trajectory Tracking Control System for Ship, IFAC Conference on Control Applications In Marine Systems, CAMS 2004, Ancona, Italy, 7–9 July 2004.
THE ROBUST PD COURSE-KEEPING CONTROLLER FOR SHIP AUTOPILOT
Summary
The robustness of the ship course keeping, minimal variance controller was presented. From the sensitivity analysis of the performance control index results that it is possible to use not optimum parameters of controller, which give better robustness properties for the steering system in regards to change of parameters of the control plant. The control system was worked out in Matlab-Simulink with RTW, xPC-target toolboxes and tested on a scaled physical model of a tanker in the real lake environment. The paper discuss the results of control system tests.
